专题1.3 探索三角形全等的条件（SSS与SAS）（知识梳理与考点分类讲解）-2024-2025学年八年级数学上册基础知识专项突破讲与练（苏科版）

专题1.3 探索三角形全等的条件（SSS与SAS） （知识梳理与考点分类讲解） 第一部分【知识点归纳】 【知识点一】三角形全等的判定方法——边边边（SSS） （1）基本事实：三条边分别对应相等的两个三角形全等.（可以简写成“边边边”或“SSS”）. （2）书写格式： 如图，在△ABC和△中， （3）书写强调：在书写两个三角形全等时的条件“边角边”时，要按照边角边的顺序来书写，即要把夹角写在中间，以突出两边及其夹角分别相等；在列举三角形全等时，一般把同一个三角形的三个条件放在等号的同一侧，并用大括号将其括起来 【知识点二】三角形全等的判定方法——边角边（SAS） （1）基本事实：两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等.（可以简写成“边角边”或“SAS”）. （2）书写格式： 如图，在△ABC和△中， （3）重点强调：有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等. 如图，△ABC与△ABD中，AB＝AB，AC＝AD，∠B＝∠B，但△ABC与△ABD不完全重合，故不全等，也就是有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等. 【知识点三】找等角和等边常用途径 （1）找等角的常用途径：①公共角相等；②对顶角相等；③等角加（减）等角，其和（差）相等；④同（等）角的余（补）角相等；⑤平行线的性质得到相相等等. （2）找等角的常用途径：①公共边相等；②对顶角相等；③等边加（减）等边，其和（差）相等；④由中线得到的线段相等等等. 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】用SSS证明三角形全等 【例1】（23-24八年级上·北京昌平·期末）已知：如图，，是线段上两点，，，．求证：． 【变式1】如图，AD＝BC，AE＝CF．E、F是BD上两点，BE＝DF，∠AEB＝100°，∠ADB＝30°，则∠BCF的度数为（    ） A．30° B．60° C．70° D．80° 【变式2】已知，如图，AD=AC，BD=BC，O为AB上一点，那么图中共有 对全等三角形． 【题型2】用SSS证明三角形全等与三角形全等性质综合求值 【例2】（21-22七年级下·宁夏中卫·期末）如图所示，，，，是上两点，且． （1）试说明； （2）请你判断与的位置关系，并说明理由． 【变式1】（23-24七年级下·四川成都·期中）如图，在和中，点B，C，E，F在同一条直线上，，则的度数为（　　）    A． B． C． D． 【变式2】（23-24七年级下·陕西西安·阶段练习）如图，在的上方有一点，连接，，，，，则的度数为 ． 【题型3】用SAS证明三角形全等 【例3】如图，在中，D为上一点，E为中点，连接并延长至点F，使得，连． （1）求证：； （2）若，连接，平分，平分，求的度数． 【变式1】（23-24八年级上·浙江嘉兴·阶段练习）如图，点P是平分线上的一点，，，，则的长不可能是（    ）    A．6 B．5 C．4 D．3 【变式2】（23-24八年级上·江苏盐城·期末）如图，，，添加条件 ，可以根据“”得到． 【题型4】用SAS证明三角形全等与三角形性质综合 【例4】（23-24七年级下·四川成都·期中）已知：平分，为中点，，求证：． 证明：延长至点，使，连接， 为中点， （______） 在和中 ， （______） ______， ， （______） ， 平分 （______） （______） ， ． 【变式1】（23-24七年级下·陕西西安·期中）如图，把两个角的直角三角板放在一起，点B在上，A、C、D三点在一条直线上，连接延长线交于点F．若，则的面积为（　　） A．16 B．12.8 C．6.4 D．5.6 【变式2】（23-24七年级下·陕西榆林·阶段练习）和的位置如图所示，交于点F，，，，，则的度数为 °．    【题型5】通过用SSS和SAS证明三角形全等进行求值 【例5】（23-24七年级下·山西太原·阶段练习）综合与探究 【操作探索】 在生活中，我们常用实物体验图形变换的过程．小颖同学利用一块风筝纸片完成了如下的操作： 如图1，已知四边形，，． （1）操作一：沿所在的直线对折，如图1．你认为左右两侧对折后能完全重合吗？并说明理由； （2）操作二：对折后，将风筝纸片剪成两个三角形（和），摆成如图2所示的图形，与相交于点，与相交于点．试说明． 【应用拓展】 （3）如图3，在中，，，点在边上，，点，在线段上，，，若的面积为24，求与的面积之和．    【变式1】（23-24八年级下·黑龙江绥化·期中）如图，在四边形中，，，若连接、相交于点O，则图中全等三角形共有（    ） A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 【变式2】（22-23八年级上·陕西宝鸡·期末）如图，是外一点，是上一点，，，，，则的度数为 ． 第三部分【中考链接与拓展延伸】 1、直通中考 【例1】（2024·云南·中考真题）如图，在和中，，，． 求证：． 【例2】（2024·四川内江·中考真题）如图，点、、、在同一条直线上，，， （1）求证：； （2）若，，求的度数． 2、拓展延伸 【例1】（23-24八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，已知E、C是线段上两点，满足，A，D为线段上方两点，连接，满足． （1）求证：； （2）若五边形的面积为10，的面积为4，请直接写出四边形的面积：________． 【例2】（23-24八年级上·四川广元·期末） 如图①，连接和的顶点A、B和C、D交于点P，和交于点E，其中，，． （1）求证：； （2）在（1）的条件下， 如图②，若A，O，D三点在同一条直线上，求证： 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.3 探索三角形全等的条件（SSS与SAS） （知识梳理与考点分类讲解） 第一部分【知识点归纳】 【知识点一】三角形全等的判定方法——边边边（SSS） （1）基本事实：三条边分别对应相等的两个三角形全等.（可以简写成“边边边”或“SSS”）. （2）书写格式： 如图，在△ABC和△中， （3）书写强调：在书写两个三角形全等时的条件“边角边”时，要按照边角边的顺序来书写，即要把夹角写在中间，以突出两边及其夹角分别相等；在列举三角形全等时，一般把同一个三角形的三个条件放在等号的同一侧，并用大括号将其括起来 【知识点二】三角形全等的判定方法——边角边（SAS） （1）基本事实：两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等.（可以简写成“边角边”或“SAS”）. （2）书写格式： 如图，在△ABC和△中， （3）重点强调：有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等. 如图，△ABC与△ABD中，AB＝AB，AC＝AD，∠B＝∠B，但△ABC与△ABD不完全重合，故不全等，也就是有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等. 【知识点三】找等角和等边常用途径 （1）找等角的常用途径：①公共角相等；②对顶角相等；③等角加（减）等角，其和（差）相等；④同（等）角的余（补）角相等；⑤平行线的性质得到相相等等. （2）找等角的常用途径：①公共边相等；②对顶角相等；③等边加（减）等边，其和（差）相等；④由中线得到的线段相等等等. 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】用SSS证明三角形全等 【例1】（23-24八年级上·北京昌平·期末）已知：如图，，是线段上两点，，，．求证：． 【分析】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的五种判定方法是解题关键．利用“”证明即可． 证明：， ， . 在和中， ， ． 【变式1】如图，AD＝BC，AE＝CF．E、F是BD上两点，BE＝DF，∠AEB＝100°，∠ADB＝30°，则∠BCF的度数为（    ） A．30° B．60° C．70° D．80° 【答案】C 【分析】由SSS证明△AED≌△CFB，得到∠BCF＝∠DAE，利用三角形的外角的性质得∠DAE＝∠AEB −∠ADB＝70°． 解：∵BE＝DF， ∴BE+EF＝DF+EF， ∴BF=DE 又∵AD＝BC，AE＝CF． ∴△AED≌△CFB（SSS）， ∴∠BCF＝∠DAE， ∵∠DAE＝∠AEB −∠ADB＝100°-30°=70° ∴∠BCF＝70°． 故选C． 【点拨】此题考查全等三角形的判定与性质，三角形的外角等于与它不相邻的两内角之和等知识． 【变式2】已知，如图，AD=AC，BD=BC，O为AB上一点，那么图中共有 对全等三角形． 【答案】3 【分析】由已知条件，结合图形可得△ADB≌△ACB，△ACO≌△ADO，△CBO≌△DBO共3对．找寻时要由易到难，逐个验证． 解：∵AD=AC，BD=BC，AB=AB， ∴△ADB≌△ACB； ∴∠CAO=∠DAO，∠CBO=∠DBO， ∵AD=AC，BD=BC，OA=OA，OB=OB ∴△ACO≌△ADO，△CBO≌△DBO． ∴图中共有3对全等三角形． 故答案为3． 【题型2】用SSS证明三角形全等与三角形全等性质综合求值 【例2】（21-22七年级下·宁夏中卫·期末）如图所示，，，，是上两点，且． （1）试说明； （2）请你判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，平行线的判定，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． （1）先证明，然后结合已知条件即可证明； （2）根据，得出，根据内错角相等，两直线平行即可得证． （1）证明：∵， ∴， 即， 在与中， ， ∴； （2）证明：，理由如下， ∵， ∴， ∴． 【变式1】（23-24七年级下·四川成都·期中）如图，在和中，点B，C，E，F在同一条直线上，，则的度数为（　　）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要查了全等三角形的判定和性质：根据题意可得，再证明，可得，进而即可求解 解：∵， ∴， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 【变式2】（23-24七年级下·陕西西安·阶段练习）如图，在的上方有一点，连接，，，，，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，根据题意直接证明，即可得出，即可求解． 解：在中， ， ∴， 又， ∴， 故答案为：． 【题型3】用SAS证明三角形全等 【例3】如图，在中，D为上一点，E为中点，连接并延长至点F，使得，连． （1）求证：； （2）若，连接，平分，平分，求的度数． 【答案】(1)见解析； (2) 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定、平行线的性质和判定、三角形内角和定理等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键． （1）证出，根据全等三角形的性质得出，根据平行线的判定得出即可； （2）根据（1）求出，根据三角形内角和定理求出即可． （1）证明：∵E为中点， ∴， ∵在和中 ， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【变式1】（23-24八年级上·浙江嘉兴·阶段练习）如图，点P是平分线上的一点，，，，则的长不可能是（    ）    A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】A 【分析】在上取，然后证明，根据全等三角形对应边相等得到，再根据三角形的任意两边之差小于第三边即可求解. 在上截取连接,    ， ， ∵点是平分线上的一点， ， 在和中, ， ， ， ， 解得 故选A. 【点拨】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、三角形的三边关系； 通过作辅助线构造全等三角形是解题的关键. 【变式2】（23-24八年级上·江苏盐城·期末）如图，，，添加条件 ，可以根据“”得到． 【答案】 【分析】此题考查了添加条件证明两个三角形全等，正确掌握全等三角形的判定定理是解题的关键，根据两直线平行内错角相等推出，结合已知条件，若根据“”得到，则应添加的条件为． 解：∵， ∴， 若，则 在和中 ∴， 故答案为：． 【题型4】用SAS证明三角形全等与三角形性质综合 【例4】（23-24七年级下·四川成都·期中）已知：平分，为中点，，求证：． 证明：延长至点，使，连接， 为中点， （______） 在和中 ， （______） ______， ， （______） ， 平分 （______） （______） ， ． 【答案】线段中点的定义，，，两直线平行，同位角相等，角平分线的定义，等量代换 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，延长至点，使，连接，根据线段中点的定义得到，根据全等三角形的性质得到，根据平行线的性质得到，根据角平分线的定义得到，根据等腰三角形的判定定理即可得到结论． 证明：延长至点，使，连接， 为中点， （线段中点的定义）， 在和中， ， ， ， ， （两直线平行，同位角相等）， ， 平分 （角平分线的定义）， （等量代换）， ， ． 故答案为：线段中点的定义，，，两直线平行，同位角相等，角平分线的定义，等量代换． 【变式1】（23-24七年级下·陕西西安·期中）如图，把两个角的直角三角板放在一起，点B在上，A、C、D三点在一条直线上，连接延长线交于点F．若，则的面积为（　　） A．16 B．12.8 C．6.4 D．5.6 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，先通过和都是等腰直角三角形，得出再证明，结合面积公式代入数值，进行计算，即可作答． 解：∵和都是等腰直角三角形，， ∴ 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴ 故选：B． 【变式2】（23-24七年级下·陕西榆林·阶段练习）和的位置如图所示，交于点F，，，，，则的度数为 °．    【答案】30 【分析】本题考查了三角形内角和定理，全等三角形的判定和性质，三角形外角的性质．由三角形内角和定理可得，由可证，可得，由三角形的外角性质可求． 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：30． 【题型5】通过用SSS和SAS证明三角形全等进行求值 【例5】（23-24七年级下·山西太原·阶段练习）综合与探究 【操作探索】 在生活中，我们常用实物体验图形变换的过程．小颖同学利用一块风筝纸片完成了如下的操作： 如图1，已知四边形，，． （1）操作一：沿所在的直线对折，如图1．你认为左右两侧对折后能完全重合吗？并说明理由； （2）操作二：对折后，将风筝纸片剪成两个三角形（和），摆成如图2所示的图形，与相交于点，与相交于点．试说明． 【应用拓展】 （3）如图3，在中，，，点在边上，，点，在线段上，，，若的面积为24，求与的面积之和．    【答案】（1）能完全重合，理由见解析；（2）证明见解析；（3）6 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，折叠性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）通过三边分别相等得出，即可作答． （2）同理得出，得出，，再结合，证明，即可作答． （3）因为以及角的运算得出，再证明，则，因为，得出，即可作答． 解：（1）能完全重合．理由：在与中， ， ∴， ∴对折后能完全重合． （2）同理得出， ∴，， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． （3）∵， ∴． ∵， ∴． 在和中， ， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． 【变式1】（23-24八年级下·黑龙江绥化·期中）如图，在四边形中，，，若连接、相交于点O，则图中全等三角形共有（    ） A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 【答案】C 【分析】本题考查三角形全等的判定方法，首先证明，根据全等三角形的性质可得，，再证明，．解题的关键是掌握判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、． 解：在和中 ， ， ，， 在和中 ， ， 在和中 ， ， 综上，图中全等三角形共有3对， 故选：C． 【变式2】（22-23八年级上·陕西宝鸡·期末）如图，是外一点，是上一点，，，，，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，连接，证明，可得，再证明，即可得到，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 解：连接， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 故答案为：． 第三部分【中考链接与拓展延伸】 1、直通中考 【例1】（2024·云南·中考真题）如图，在和中，，，． 求证：． 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握三角形全等的判定定理是解题关键．利用“”证明，即可解决问题． 证明：， ，即， 在和中， ， ． 【例2】（2024·四川内江·中考真题）如图，点、、、在同一条直线上，，， （1）求证：； （2）若，，求的度数． 【答案】(1)见解析；(2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练地掌握全等三角形的判定和性质是解决本题的关键. （1）先证明，再结合已知条件可得结论； （2）证明，再结合三角形的内角和定理可得结论. （1）证明：∵ ∴，即 ∵， ∴ （2）∵，， ∴， ∵， ∴ 2、拓展延伸 【例1】（23-24八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，已知E、C是线段上两点，满足，A，D为线段上方两点，连接，满足． （1）求证：； （2）若五边形的面积为10，的面积为4，请直接写出四边形的面积：________． 【答案】(1)证明见解析； (2)3 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质． （1）利用证明即可； （2）根据全等三角形的性质得出，利用五边形ABFDG的面积，求出，再根据四边形的面积求解即可． （1）证明：∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵五边形的面积， ∴， ∴四边形的面积， 故答案为：3． 【例2】（23-24八年级上·四川广元·期末） 如图①，连接和的顶点A、B和C、D交于点P，和交于点E，其中，，． （1）求证：； （2）在（1）的条件下， 如图②，若A，O，D三点在同一条直线上，求证： 【分析】本题考查了全等三角形判定和性质等知识． （1）由“”可证，可得； （2）由得，，从而得出，，根据和进一步得出结论． （1）证明：在和中， ， ， ∴； （2）证明：由（1）知：， ，， ，， ，， ， ， ∴． 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$