专题02 集合间的基本关系8种常见考法归类（74题）-2024年考点通关新高一暑假数学素养提升讲义（人教A版2019必修第一册）

2024年考点通关新高一暑假数学素养提升讲义（人教A版2019必修第一册） 专题02 集合间的基本关系8种常见考法归类（74题） 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 考点一 集合间关系的判断 考点二 求集合的子集、真子集 考点三 判断集合子集、真子集的个数 考点四 根据子集、真子集的个数求参数 考点五 空集的概念及判断 考点六 空集的性质及其应用 考点七 集合相等及其应用 （1） 判断两个集合是否相等 （2） 根据两个集合相等求参数 考点八 由集合间的包含关系求参数 知识点1：图（韦恩图） 在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图形称为图。 图和数轴一样，都是用来解决集合问题的直观的工具。利用图，可以使问题简单明了地得到解决。 对图的理解 (1)表示集合的图的边界是封闭曲线,它可以是圆、椭圆、矩形,也可以是其他封闭曲线. (2)用图表示集合的优点是能够呈现清晰的视觉形象,即能够直观地表示集合之间的关系,缺点是集合元素的公共特征不明显. 知识点2：子集 1.子集： 一般地，对于两个集合，，如果集合中任意一个元素都是集合中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合为集合的子集 （1）记法与读法：记作(或)，读作“含于”(或“包含”) （2）性质： ①任何一个集合是它本身的子集，即. ②对于集合，，，若，且，则 （3）图表示： 2.集合与集合的关系与元素与集合关系的区别 符号“”表示集合与集合之间的包含关系,而符号“”表示元素与集合之间的从属关系. 知识点3：集合相等 一般地,如果集合的任何一个元素都是集合的元素,同时集合的任何一个元素都是集合的元素,那么集合与集合相等,记作.也就是说,若,且,则.  （1）的图表示 （2）若两集合相等，则两集合所含元素完全相同，与元素排列顺序无关 知识点4：真子集的含义 如果集合，但存在元素，且，我们称集合是集合的真子集; （1）记法与读法：记作，读作“真包含于”(或“真包含”) （2）性质： ①任何一个集合都不是是它本身的真子集. ②对于集合，，，若，且，则 （3）图表示： 知识点5：空集的含义 我们把不含任何元素的集合，叫做空集，记作： 规定：空集是任何集合的子集，即; 性质：①空集只有一个子集，即它的本身， (2)，则 和 和 和 相同点 都表示无 都是集合 都是集合 不同点 表示集合； 是实数 不含任何元素 含有一个元素 不含任何元素 含有一个元素，该元素为： 关系 或者 解题策略 1、符号“∈”与“⊆”区别 ①“∈”表示元素与集合之间的关系，比如1∈N，－1N. ②“⊆”表示集合与集合之间的关系，比如N⊆R，{1，2，3}⊆{3，2，1}. ③“∈”的左边是元素，右边是集合，而“⊆”的两边均为集合． 2、0，{0}，∅，{∅}的关系 ∅与0 ∅与{0} ∅与{∅} 相同点 都表示无 的意思 都是集合 都是集合 不同点 ∅是集合； 0是实数 ∅中不含任何元素； {0}含一个元素0 ∅不含任何元素； {∅}含一个元素，该元素是∅ 关系 0∉∅ ∅{0} ∅{∅}或∅∈{∅} 3、对子集概念的三角度理解 (1)“A是B的子集”的含义：集合A中的任何一个元素都是集合B的元素，即有任意x∈A能推出x∈B. (2)不能把“A⊆B”理解为“A是B中部分元素组成的集合”，因为集合A可能是空集，也可能是集合B. (3)特殊情形：如果集合A中存在着不是集合B中的元素，那么集合A不包含于B，或集合B不包含集合A. 4、求集合子集、真子集的步骤 5、有限集的子集的确定问题，求解关键有三点： (1)确定所求集合； (2)合理分类，按照子集所含元素的个数依次写出，一般按元素从少到多的顺序逐个写出满足条件的集合； (3)注意两个特殊的集合，即空集和集合本身． 6、与子集、真子集个数有关的四个结论 假设集合A中含有n个元素，则有： (1)A的子集的个数为2n个； (2)A的非空子集的个数有2n－1个 (3)A的真子集的个数为2n－1个； (4)A的非空真子集的个数为2n－2个． 具体示例如下: 集合A 所有子集 子集个数 真子集个数 非空真子集个数 {a} ∅，{a} 2＝21 1 0 {a，b} ∅，{a}，{b}，{a，b} 4＝22 3 2 {a，b，c} ∅，{a}，{b}，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}，{a，b，c} 8＝23 7 6 A＝{a1，a2，…，an} 2n 2n－1 2n－2 注：对于元素个数有限的集合A，B，C，设集合A中含有n个元素，集合B中含有m个元素(n，m∈N＋，且m<n).若B⊆C⊆A，则C的个数为；若B⊆CA，则C的个数为；若BC⊆A，则C的个数为；若BCA，则C的个数为.　 7、空集是任何集合的子集 因此在解A⊆B(B≠∅)的含参数的问题时，要注意讨论A＝∅和A≠∅两种情况，前者常被忽视，造成思考问题不全面． 8、判断集合间关系的常用方法 (1)列举观察法 当集合中元素较少时，可列出集合中的全部元素，通过定义得出集合之间的关系． (2)集合元素特征法 首先确定集合的代表元素是什么，弄清集合元素的特征，再利用集合元素的特征判断关系． 一般地，设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，①若由p(x)可推出q(x)，则A⊆B；②若由q(x)可推出p(x)，则B⊆A；③若p(x)，q(x)可互相推出，则A＝B；④若由p(x)推不出q(x)，由q(x)也推不出p(x)，则集合A，B无包含关系． (3)数形结合法 利用Venn图、数轴和直角坐标平面等图示形象直观地判断集合间的关系．一般地，判断不等式的解集之间的关系，适合画出数轴，但要注意端点值的取舍. 9、由集合间的关系求参数问题的注意点及常用方法 (1)当集合为不连续数集时，常根据集合包含关系的意义，建立方程求解,此时应注意分类讨论． (2)当集合为连续数集时，常借助数轴来建立不等关系求解，应注意端点处是实点还是虚点． 注：(1)不能忽视集合为∅的情形． (2)当集合中含有字母参数时，一般需要分类讨论．　 10、利用集合关系求参数的关注点 (1)分析集合关系时，首先要分析、简化每个集合． (2)此类问题通常借助数轴，利用数轴分析法，将各个集合在数轴上表示出来，以形定数，还要注意验证端点值，做到准确无误．一般含“＝”用实心点表示，不含“＝”用空心点表示． (3)此类问题还要注意“空集”的情况，因为空集是任何集合的子集． 考点一 集合间关系的判断 1.（2023·宁夏银川·校联考二模）下列集合关系中错误的是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·全国·高一假期作业）下列各式：①，②，③，④，⑤，其中错误的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（2023春·山西运城·高二康杰中学校考阶段练习）已知集合，，则（ ） A． B． C． D．A 4.（2023秋·辽宁葫芦岛·高一统考期末）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 5．（2024·高一课时练习）设集合，则下列关系中正确的是（    ） A． B． C． D． 6．（2024·江苏·高一假期作业）指出下列各对集合之间的关系. (1)A＝{－1，1}，B＝{(－1，－1)，(－1，1)，(1，－1)，(1，1)}； (2)A＝{x|－1<x<4}，B＝{x|x－5<0}； (3)A＝{x|x是等边三角形}，B＝{x|x是等腰三角形}； (4)M＝{x|x＝2n－1，n∈N*}，N＝{x|x＝2n＋1，n∈N*}； (5)A＝{x|x＝2a＋3b，a∈Z，b∈Z}，B＝{x|x＝4m－3n，m∈Z，n∈Z}. 7.（2024·高一课时练习）已知集合，则（ ） A． B． C． D． 8．（2024·全国·高一假期作业）设，，则（    ） A． B． C． D． 9．【多选】（2024·高一单元测试）集合，，则下列关系错误的是（    ） A． B． C． D． 10．【多选】（2023秋·陕西西安·高一高新一中校考期中）若集合，则之间的关系是（    ） A． B． C． D． 11.（2023春·江西新余·高一新余市第一中学校考阶段练习）若，，，则这三个集合间的关系是（    ） A． B． C． D． 考点二 求集合的子集、真子集 12．（2023秋·西藏拉萨·高一校考期中）已知集合，则集合的子集为______. 13．（2024·高一课时练习）已知集合且，则（    ） A． B． C． D． 14．（2023秋·西藏拉萨·高一校考期中）已知集合，集合，则满足关系的所有集合为______. 15．（2024·江西景德镇·统考模拟预测）已知集合的所有非空子集的元素之和等于12，则等于（    ） A．1 B．3 C．4 D．6 16．（2024·湖南·校联考模拟预测）设集合，若A的所有三元子集的三个元素之和组成的集合为，则集合（    ） A． B． C． D． 17．（2023秋·海南儋州·高一校考期中）写出集合的所有子集和它的真子集. 18．（2024·全国·高一假期作业）已知集合，则下列集合中是集合A的真子集的是（    ） A． B． C． D． 19.【多选】（2023·全国·高三专题练习）已知集合，，若使成立的实数的取值集合为，则的一个真子集可以是（    ） A． B． C． D． 20．（2023秋·河北张家口·高一张家口市第四中学校考期中）已知集合，且； (1)求实数； (2)写出的所有真子集. 考点三 判断集合子集、真子集的个数 21．（2023春·浙江衢州·高一统考期末）已知集合，则集合的子集有（    ） A．7个 B．6个 C．4个 D．3个 22．（2023秋·江苏苏州·高一统考开学考试）由英文单词“book”中的字母构成的集合的子集个数为（   ） A．3 B．6 C．8 D．16 23．（2024·全国·高一专题练习）集合，则的子集的个数为（    ） A．4 B．8 C．15 D．16 24．（2023秋·广东深圳·高一校考阶段练习）若集合满足，则的个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 25．（2024·高一课时练习）集合且的真子集的个数是（    ） A．16 B．15 C．8 D．7 26.（2023·全国·高一专题练习）集合，则的子集的个数为（    ） A．4 B．8 C．15 D．16 27.（2023·陕西咸阳·统考三模）设集合，则集合的真子集个数是（    ） A．6 B．7 C．8 D．15 28．（2024·河南开封·统考三模）已知集合，，则集合B的真子集个数是（    ） A．3 B．4 C．7 D．8 29．（2023秋·高一课时练习）设集合，且，若，，则集合M的非空真子集的个数为（    ） A．4 B．6 C．7 D．15 30．（2024·全国·高三对口高考）已知集合，定义，则集合的所有非空子集的个数为__________． 31．（2023春·山东烟台·高二统考期中）若2730能被不同的偶数整除，则这样的偶数个数有（    ）． A．14 B．15 C．16 D．17 32．（2024·全国·高三对口高考）若集合A满足，则集合A所有可能的情形有（    ） A．3种 B．5种 C．7种 D．9种 33．（2024·新疆乌鲁木齐·统考三模）已知集合满足，那么这样的集合的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 34．（2023秋·辽宁·高一辽宁实验中学校考期中）已知集合满足，则满足条件的集合的个数为（    ） A．8个 B．4个 C．2个 D．1个 35．（2024·高一单元测试）已知集合，，则满足条件的集合的个数为_____个. 36.（2023·江西吉安·统考模拟预测）已知，，且，满足这样的集合的个数（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 37．（2024·全国·高三专题练习）已知集合． （1）用列举法表示集合，则______，集合的真子集的个数为______． （2）若，则所有满足条件的集合为______． （3）若，则满足条件的集合的个数为______． 考点四 根据子集、真子集的个数求参数 38．（2023秋·甘肃酒泉·高一统考期末）已知集合恰有两个非空真子集，则m的值可以是______．（说明：写出满足条件的一个实数m的值） 39．（2023秋·湖北武汉·高一校联考期中）已知集合的子集只有两个，则实数的值为______． 40．（2023秋·广东汕尾·高一华中师范大学海丰附属学校校考阶段练习）若集合有且仅有两个子集，则实数的值是__________. 41．【多选】（2023秋·四川宜宾·高一统考阶段练习）已知集合恰有4个子集，则的值可能为（    ） A． B． C．0 D．1 42．（2023秋·全国·高一专题练习）已知集合至多有1个真子集，则的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 43．（2023秋·上海普陀·高一校考阶段练习）若集合至多有两个子集，则实数的取值范围为___________． 考点五 空集的概念及判断 44．（2023秋·江苏宿迁·高一沭阳县修远中学校考阶段练习）下列关于空集的说法中，错误的是（ ） A．0 B． C． D． 45．（2024·全国·高一假期作业）已知集合，表示空集，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 46.（2023·河北·高三学业考试）下列集合中，结果是空集的是(    ) A． B． C． D． 47．（2023秋·高一课时练习）以下六个关系式：，，， ， ，是空集，错误的个数是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 48.（2023春·宁夏银川·高二银川一中校考期中）下列各式中：①；②；③；④；⑤；⑥.正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 49．（2024·高一单元测试）下列四个命题：①＝｛0｝；②空集没有子集；③任何一个集合必有两个或两个以上的子集；④空集是任何一个集合的子集．其中正确的有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 考点六 空集的性质及应用 50.（2024秋·湖南永州·高一校考阶段练习）若集合 为空集，则实数的取值范围是______. 51.（2023·全国·高一专题练习）已知集合，且，则实数的取值范围是____. 52.（2023·高一课时练习）不等式组的解集为，则实数的取值范围是_____________. 53．（2023秋·河北石家庄·高一校考阶段练习）已知集合，， （1）若A为空集，求实数a的取值范围； （2）若B是A的真子集，求实数a的取值范围. 考点七 集合相等及其应用 （一）判断两个集合是否相等 54．（2023秋·河南周口·高一校考阶段练习）下列各组集合表示同一集合的是（    ） A．， B．， C．， D．， 55.【多选】（2023·全国·高三专题练习）下列与集合表示同一个集合的有（    ） A． B． C． D． 56．【多选】（2023秋·福建泉州·高一校考阶段练习）下列各组中表示相同集合的是（    ） A． B． C． D． （二）根据两个集合相等求参数 57．（2024·江苏·高一假期作业）（1）集合与________相等集合．（填“是”或“不是”） （2）若集合，集合 且，则________， ________． 58.（2023秋·广东江门·高一统考期末）设，，，若P=Q，则_________. 59．（2023春·湖南长沙·高二湘府中学校考期末）已知实数集合若，则（　　） A． B．0 C．1 D．2 60．（2024·江西·金溪一中校联考模拟预测）已知集合，，若，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 61．（2024·江苏·高一假期作业）已知集合，若，求实数q的值． 考点八 由集合间的包含关系求参数 62．（2024·江苏·高一假期作业）设集合，且，则的值为________. 63．【多选】（2024·全国·高三专题练习）已知集合A＝，B＝{x|ax＋1＝0}，且B⊆A，则实数a的取值可能为（　　） A．－3 B．－2 C．0 D．3 64.（2023春·上海宝山·高一上海交大附中校考期中）已知集合，且，则实数的值是_________． 65．（2024·全国）设集合，，若，则（    ）． A．2 B．1 C． D． 66．（2024·全国·高一假期作业）已知集合，且，则实数a的值是_________． 67．（2023秋·湖南怀化·高一校联考期末）已知集合，.若，求实数的取值范围. 68.（2023·高一课时练习）已知A={﹣1，1}，B={x|x2﹣ax+b＝0}，若B⊆A，求实数a，b的值． 69．（2024·江苏·高一假期作业）已知集合，且，则实数m的取值范围是________. 70.（2023秋·湖北黄石·高一校联考期末）已知集合 （1）当时，求实数的值； （2）当时，求实数的取值范围. 71．（2023秋·广东东莞·高一东莞实验中学校考期中）设集合. (1)当时，求的非空真子集的个数； (2)若，求的取值范围. 72．（2024·高一单元测试）已知，，且，则a的取值范围为_________． 73．（2024·江苏·高一假期作业）已知集合. (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围. 74．（2023秋·安徽滁州·高一校考阶段练习）已知集合，， (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围. $$2024年考点通关新高一暑假数学素养提升讲义（人教A版2019必修第一册） 专题02 集合间的基本关系8种常见考法归类（74题） 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 考点一 集合间关系的判断 考点二 求集合的子集、真子集 考点三 判断集合子集、真子集的个数 考点四 根据子集、真子集的个数求参数 考点五 空集的概念及判断 考点六 空集的性质及其应用 考点七 集合相等及其应用 （1） 判断两个集合是否相等 （2） 根据两个集合相等求参数 考点八 由集合间的包含关系求参数 知识点1：图（韦恩图） 在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图形称为图。 图和数轴一样，都是用来解决集合问题的直观的工具。利用图，可以使问题简单明了地得到解决。 对图的理解 (1)表示集合的图的边界是封闭曲线,它可以是圆、椭圆、矩形,也可以是其他封闭曲线. (2)用图表示集合的优点是能够呈现清晰的视觉形象,即能够直观地表示集合之间的关系,缺点是集合元素的公共特征不明显. 知识点2：子集 1.子集： 一般地，对于两个集合，，如果集合中任意一个元素都是集合中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合为集合的子集 （1）记法与读法：记作(或)，读作“含于”(或“包含”) （2）性质： ①任何一个集合是它本身的子集，即. ②对于集合，，，若，且，则 （3）图表示： 2.集合与集合的关系与元素与集合关系的区别 符号“”表示集合与集合之间的包含关系,而符号“”表示元素与集合之间的从属关系. 知识点3：集合相等 一般地,如果集合的任何一个元素都是集合的元素,同时集合的任何一个元素都是集合的元素,那么集合与集合相等,记作.也就是说,若,且,则.  （1）的图表示 （2）若两集合相等，则两集合所含元素完全相同，与元素排列顺序无关 知识点4：真子集的含义 如果集合，但存在元素，且，我们称集合是集合的真子集; （1）记法与读法：记作，读作“真包含于”(或“真包含”) （2）性质： ①任何一个集合都不是是它本身的真子集. ②对于集合，，，若，且，则 （3）图表示： 知识点5：空集的含义 我们把不含任何元素的集合，叫做空集，记作： 规定：空集是任何集合的子集，即; 性质：①空集只有一个子集，即它的本身， (2)，则 和 和 和 相同点 都表示无 都是集合 都是集合 不同点 表示集合； 是实数 不含任何元素 含有一个元素 不含任何元素 含有一个元素，该元素为： 关系 或者 解题策略 1、符号“∈”与“⊆”区别 ①“∈”表示元素与集合之间的关系，比如1∈N，－1N. ②“⊆”表示集合与集合之间的关系，比如N⊆R，{1，2，3}⊆{3，2，1}. ③“∈”的左边是元素，右边是集合，而“⊆”的两边均为集合． 2、0，{0}，∅，{∅}的关系 ∅与0 ∅与{0} ∅与{∅} 相同点 都表示无 的意思 都是集合 都是集合 不同点 ∅是集合； 0是实数 ∅中不含任何元素； {0}含一个元素0 ∅不含任何元素； {∅}含一个元素，该元素是∅ 关系 0∉∅ ∅{0} ∅{∅}或∅∈{∅} 3、对子集概念的三角度理解 (1)“A是B的子集”的含义：集合A中的任何一个元素都是集合B的元素，即有任意x∈A能推出x∈B. (2)不能把“A⊆B”理解为“A是B中部分元素组成的集合”，因为集合A可能是空集，也可能是集合B. (3)特殊情形：如果集合A中存在着不是集合B中的元素，那么集合A不包含于B，或集合B不包含集合A. 4、求集合子集、真子集的步骤 5、有限集的子集的确定问题，求解关键有三点： (1)确定所求集合； (2)合理分类，按照子集所含元素的个数依次写出，一般按元素从少到多的顺序逐个写出满足条件的集合； (3)注意两个特殊的集合，即空集和集合本身． 6、与子集、真子集个数有关的四个结论 假设集合A中含有n个元素，则有： (1)A的子集的个数为2n个； (2)A的非空子集的个数有2n－1个 (3)A的真子集的个数为2n－1个； (4)A的非空真子集的个数为2n－2个． 具体示例如下: 集合A 所有子集 子集个数 真子集个数 非空真子集个数 {a} ∅，{a} 2＝21 1 0 {a，b} ∅，{a}，{b}，{a，b} 4＝22 3 2 {a，b，c} ∅，{a}，{b}，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}，{a，b，c} 8＝23 7 6 A＝{a1，a2，…，an} 2n 2n－1 2n－2 注：对于元素个数有限的集合A，B，C，设集合A中含有n个元素，集合B中含有m个元素(n，m∈N＋，且m<n).若B⊆C⊆A，则C的个数为；若B⊆CA，则C的个数为；若BC⊆A，则C的个数为；若BCA，则C的个数为.　 7、空集是任何集合的子集 因此在解A⊆B(B≠∅)的含参数的问题时，要注意讨论A＝∅和A≠∅两种情况，前者常被忽视，造成思考问题不全面． 8、判断集合间关系的常用方法 (1)列举观察法 当集合中元素较少时，可列出集合中的全部元素，通过定义得出集合之间的关系． (2)集合元素特征法 首先确定集合的代表元素是什么，弄清集合元素的特征，再利用集合元素的特征判断关系． 一般地，设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，①若由p(x)可推出q(x)，则A⊆B；②若由q(x)可推出p(x)，则B⊆A；③若p(x)，q(x)可互相推出，则A＝B；④若由p(x)推不出q(x)，由q(x)也推不出p(x)，则集合A，B无包含关系． (3)数形结合法 利用Venn图、数轴和直角坐标平面等图示形象直观地判断集合间的关系．一般地，判断不等式的解集之间的关系，适合画出数轴，但要注意端点值的取舍. 9、由集合间的关系求参数问题的注意点及常用方法 (1)当集合为不连续数集时，常根据集合包含关系的意义，建立方程求解,此时应注意分类讨论． (2)当集合为连续数集时，常借助数轴来建立不等关系求解，应注意端点处是实点还是虚点． 注：(1)不能忽视集合为∅的情形． (2)当集合中含有字母参数时，一般需要分类讨论．　 10、利用集合关系求参数的关注点 (1)分析集合关系时，首先要分析、简化每个集合． (2)此类问题通常借助数轴，利用数轴分析法，将各个集合在数轴上表示出来，以形定数，还要注意验证端点值，做到准确无误．一般含“＝”用实心点表示，不含“＝”用空心点表示． (3)此类问题还要注意“空集”的情况，因为空集是任何集合的子集． 考点一 集合间关系的判断 1.（2023·宁夏银川·校联考二模）下列集合关系中错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】对于A：集合为点集，含有元素，集合含有两个元素，， 所以不包含于，故A错误； 对于B：，故B正确； 对于C：，故C正确； 对于D：因为，所以，故D正确； 故选：A 2．（2024·全国·高一假期作业）下列各式：①，②，③，④，⑤，其中错误的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】由元素与集合的关系，集合与集合的关系考查所给式子是否正确即可． 【详解】由元素与集合的关系可知，故①错误； 由集合与集合的关系可知，故②错误； 任何集合都是自身的子集，故③正确； 空集是任何非空集合的子集，故④正确； 集合中的元素具有互异性和无序性，故⑤正确； 综上可得，只有①②错误． 故选B． 3．（2023春·山西运城·高二康杰中学校考阶段练习）已知集合，，则（ ） A． B． C． D．A 【答案】D 【分析】由题可化简集合A，由集合关系可判断选项正误. 【详解】由题可得，则，故ABC错误，D正确. 故选：D 4.（2023秋·辽宁葫芦岛·高一统考期末）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意知，， 所以. 故选：B. 5．（2024·高一课时练习）设集合，则下列关系中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将集合化简，即可由集合间的关系求解. 【详解】由，所以， 故选：B 6．（2024·江苏·高一假期作业）指出下列各对集合之间的关系. (1)A＝{－1，1}，B＝{(－1，－1)，(－1，1)，(1，－1)，(1，1)}； (2)A＝{x|－1<x<4}，B＝{x|x－5<0}； (3)A＝{x|x是等边三角形}，B＝{x|x是等腰三角形}； (4)M＝{x|x＝2n－1，n∈N*}，N＝{x|x＝2n＋1，n∈N*}； (5)A＝{x|x＝2a＋3b，a∈Z，b∈Z}，B＝{x|x＝4m－3n，m∈Z，n∈Z}. 【答案】(1)无包含关系 (2) (3) (4) (5)A＝B 【分析】（1）由集合A和集合B的代表元素判断； （2）利用数轴求解判断； （3）由等边三角形和等腰三角形的关系判断； （4）由n∈N*判断； （5）由任意k∈Z是否符合集合元素的公共属性判断. 【详解】（1）集合A的代表元素是数，集合B的代表元素是有序实数对，故A与B之间无包含关系. （2）集合B＝{x|x<5}，用数轴表示集合A，B如图所示，由图可知AB. （3）等边三角形是三边相等的三角形，等腰三角形是两边相等的三角形，故AB. （4）两个集合都表示正奇数组成的集合，但由于n∈N*，因此集合M含有元素“1”，而集合N不含元素“1”，故NM. （5）A＝{x|x＝2a＋3b，a∈Z，b∈Z}，因为任意k∈Z，k＝2×(－k)＋3k∈A，所以A＝{x|x＝2a＋3b，a∈Z，b∈Z}＝Z， 因为任意k∈Z，k＝4k－3k∈B，所以B＝{x|x＝4m－3n，m∈Z，n∈Z}＝Z，所以A＝B＝Z. 7.（2024·高一课时练习）已知集合，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为集合，集合， 所以集合与集合都是奇数集，所以，故选：C. 8．（2024·全国·高一假期作业）设，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别分析两个集合中的元素所代表的意思即可判断选项. 【详解】解：因为，因为， 所以集合是由所有奇数的一半组成， 而集合是由所有整数的一半组成，故. 故选：B 9．【多选】（2024·高一单元测试）集合，，则下列关系错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】将两个集合化简后比较分子的关系可得两个集合的关系. 【详解】因为， 表示整数，表示奇数， 故，故选项A、B、D错误，选项C正确， 故选：ABD. 10．【多选】（2023秋·陕西西安·高一高新一中校考期中）若集合，则之间的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据集合间的关系分析理解. 【详解】∵，， 且为奇数，为整数， ∴，即，A、D错误，C正确； 又∵，且均为整数， ∴，B正确； 故选：BC. 11.（2023春·江西新余·高一新余市第一中学校考阶段练习）若，，，则这三个集合间的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】依题意，，， ，而，{偶数}， 因此集合中的任意元素都是集合中的元素，即有，集合中的每一个元素都是集合中的元素，即， 所以. 故选：C 考点二 求集合的子集、真子集 12．（2023秋·西藏拉萨·高一校考期中）已知集合，则集合的子集为______. 【答案】 【分析】根据子集概念求解即可。 【详解】因为， 所以的子集为. 故答案为：. 13．（2024·高一课时练习）已知集合且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二元一次方程组求解方程组的根，进而可得集合,由子集的性质即可求解. 【详解】由，又且,所以， 故选：B 14．（2023秋·西藏拉萨·高一校考期中）已知集合，集合，则满足关系的所有集合为______. 【答案】，，，, 【分析】根据子集概念求解即可, 【详解】因为，， 所以集合为，，，, 故答案为：，，， 15．（2024·江西景德镇·统考模拟预测）已知集合的所有非空子集的元素之和等于12，则等于（    ） A．1 B．3 C．4 D．6 【答案】D 【分析】首先列出集合的非空子集，即可得到方程，解得即可. 【详解】解：集合的非空子集有、、， 所以， 解得. 故选：D 16．（2024·湖南·校联考模拟预测）设集合，若A的所有三元子集的三个元素之和组成的集合为，则集合（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】不妨设，由题意可得，即可得解. 【详解】不妨设， 则A的所有三元子集为， 由题意可得，解得， 因此集合. 故选：B. 17．（2023秋·海南儋州·高一校考期中）写出集合的所有子集和它的真子集. 【答案】答案见解析. 【分析】根据子集和真子集的定义进行求解即可. 【详解】集合的所有子集为； 集合的所有真子集为. 18．（2024·全国·高一假期作业）已知集合，则下列集合中是集合A的真子集的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据真子集的定义一一判断即可. 【详解】对A，两集合相等，故A选项不是集合A的真子集， 对B，由真子集定义知，是集合A的真子集， C和D选项的集合里含有不属于集合A的元素，故C,D错误， 故选：B. 19.【多选】（2023·全国·高三专题练习）已知集合，，若使成立的实数的取值集合为，则的一个真子集可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】由题意集合，， 因为，所以当时，，即 ； 当时，有 ，解得， 故,则M的一个真子集可以是或， 故选：BC. 20．（2023秋·河北张家口·高一张家口市第四中学校考期中）已知集合，且； (1)求实数； (2)写出的所有真子集. 【答案】(1) (2)，， 【分析】（1）利用集合与元素的关系求解即可； （2）根据真子集的定义写出的所有真子集即可. 【详解】（1）因为，所以或， 当，即时，不满足集合元素的互异性； 当时，解得（不满足集合元素互异性舍去）或， 所以当时，， 综上实数. （2）由（1）得， 所以的所有真子集为，，. 考点三 判断集合子集、真子集的个数 21．（2023春·浙江衢州·高一统考期末）已知集合，则集合的子集有（    ） A．7个 B．6个 C．4个 D．3个 【答案】C 【分析】列举出集合的子集即可得解. 【详解】因为集合， 所以集合的子集有共个. 故选：C. 22．（2023秋·江苏苏州·高一统考开学考试）由英文单词“book”中的字母构成的集合的子集个数为（   ） A．3 B．6 C．8 D．16 【答案】C 【分析】首先写出该集合，即可判断集合的元素个数，根据含有个元素的集合的子集个数为个计算可得. 【详解】解：由英文单词“book”中的字母构成的集合为，集合中含有个元素， 所以该集合的子集为个. 故选：C 23．（2024·全国·高一专题练习）集合，则的子集的个数为（    ） A．4 B．8 C．15 D．16 【答案】D 【分析】先求出，再找出中6的正约数，可确定集合，进而得到答案． 【详解】集合，, ， 故有个子集. 故选：D． 24．（2023秋·广东深圳·高一校考阶段练习）若集合满足，则的个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】根据真子集的概念即可求解. 【详解】由题意可知：集合或或, 所以的个数为3， 故选：B. 25．（2024·高一课时练习）集合且的真子集的个数是（    ） A．16 B．15 C．8 D．7 【答案】B 【分析】用列举法表示集合A，根据下面的结论求解：含有个元素的集合的真子集的个数是个． 【详解】，集合A含有4个元素，真子集的个数是， 故选：B． 26.（2023·全国·高一专题练习）集合，则的子集的个数为（    ） A．4 B．8 C．15 D．16 【答案】D 【详解】集合，, ， 故有个子集. 故选：D． 27.（2023·陕西咸阳·统考三模）设集合，则集合的真子集个数是（    ） A．6 B．7 C．8 D．15 【答案】B 【详解】因为， 所以， 所以集合A的真子集个数是， 故选：B． 28．（2024·河南开封·统考三模）已知集合，，则集合B的真子集个数是（    ） A．3 B．4 C．7 D．8 【答案】C 【分析】根据题意得到集合，然后根据集合中元素的个数求集合的真子集个数即可. 【详解】由题意得，所以集合的真子集个数为. 故选：C. 29．（2023秋·高一课时练习）设集合，且，若，，则集合M的非空真子集的个数为（    ） A．4 B．6 C．7 D．15 【答案】B 【分析】求得集合，即可求得结果. 【详解】根据题意知，集合且，其非空真子集的个数为. 故选：B 30．（2024·全国·高三对口高考）已知集合，定义，则集合的所有非空子集的个数为__________． 【答案】31 【分析】先根据题意得到，从而根据元素个数得到非空子集个数. 【详解】集合，，定义， 则，元素个数为5， 故集合的所有非空子集的个数为 故答案为：31 31．（2023春·山东烟台·高二统考期中）若2730能被不同的偶数整除，则这样的偶数个数有（    ）． A．14 B．15 C．16 D．17 【答案】C 【分析】根据题意分析可得所求偶数个数即为集合的子集的个数，即可得结果. 【详解】因为， 所以这样的偶数个数即为集合的子集的个数，共有个. 故选：C. 32．（2024·全国·高三对口高考）若集合A满足，则集合A所有可能的情形有（    ） A．3种 B．5种 C．7种 D．9种 【答案】C 【分析】由集合的包含关系讨论A所含元素的可能性即可. 【详解】由，可知集合A必有元素，即至少有两个元素，至多有四个元素， 依次有以下可能：七种可能. 故选：C 33．（2024·新疆乌鲁木齐·统考三模）已知集合满足，那么这样的集合的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据题意，利用列举法计数即可. 【详解】∵，∴要确定集合M,只需确定1和4是否放置在其中， 共有4种情况，， 故选：D 34．（2023秋·辽宁·高一辽宁实验中学校考期中）已知集合满足，则满足条件的集合的个数为（    ） A．8个 B．4个 C．2个 D．1个 【答案】C 【分析】根据给定的条件，确定集合中元素即可求解作答. 【详解】因，则有都是集合中元素，4，6都不在中，5可以在中， 因此集合可以是或， 所以满足条件的集合的个数为2. 故选：C 35．（2024·高一单元测试）已知集合，，则满足条件的集合的个数为_____个. 【答案】31 【分析】根据得是的真子集，根据子集个数即可求解. 【详解】集合，， 由得,所以是的真子集 故有， 故答案为：31 36.（2023·江西吉安·统考模拟预测）已知，，且，满足这样的集合的个数（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【详解】根据题意可知，集合还应包含集合中除元素1，2之外的其他元素； 若集合中有三个元素，则可以是； 若集合中有四个元素，则可以是； 若集合中有五个元素，则可以是；即这样的集合的个数为7个. 故选：B 37．（2024·全国·高三专题练习）已知集合． （1）用列举法表示集合，则______，集合的真子集的个数为______． （2）若，则所有满足条件的集合为______． （3）若，则满足条件的集合的个数为______． 【答案】 7 ，，， 3 【分析】由条件先确定集合中的全部元素，由此用列举法写出集合，再根据结论确定其真子集的个数，根据关系列出满足条件的集合，由关系确定满足条件的集合，可得结论. 【详解】（1）由知．又，所以， 集合的真子集的个数为． （2）由题意知集合中必含元素0，1，2，而3，4这两个元素可以不含，也可以含一个或含两个，所以满足条件的集合为，，，． （3）由，结合（2）知满足条件的集合的个数为3． 故答案为：，7；，，，；3 考点四 根据子集、真子集的个数求参数 38．（2023秋·甘肃酒泉·高一统考期末）已知集合恰有两个非空真子集，则m的值可以是______．（说明：写出满足条件的一个实数m的值） 【答案】（答案不唯一） 【分析】先根据题意得集合A中所含元素个数，再通过二次方程得答案. 【详解】集合恰有两个非空真子集, 则集合A中含有2个元素，即方程由2个不等实根， ， 解得且. 故答案为：（答案不唯一）. 39．（2023秋·湖北武汉·高一校联考期中）已知集合的子集只有两个，则实数的值为______． 【答案】0或1 【分析】分类讨论确定集合中元素或元素个数后得出其子集个数，从而得结论． 【详解】时，，子集只有两个，满足题意， 时，若即，则，子集只有1个，不满足题意； 若，即，则集合有两个元素，子集有4个，不满足题意， 时，，，子集只有两个，满足题意， 所以或1. 故答案为：0或1， 40．（2023秋·广东汕尾·高一华中师范大学海丰附属学校校考阶段练习）若集合有且仅有两个子集，则实数的值是__________. 【答案】 【分析】通过集合有且仅有两个子集，可知集合中只有一个元素，根据二次项系数是否为分类讨论. 【详解】由集合有且仅有两个子集，得中只有一个元素. 当即时，，符合题意. 当即时， 解得. 故答案为： 41．【多选】（2023秋·四川宜宾·高一统考阶段练习）已知集合恰有4个子集，则的值可能为（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】ABC 【分析】集合恰有4个子集，则集合有2个元素，问题转化为有两个不相等的实数解即可. 【详解】因为集合恰有4个子集，所以集合有2个元素，则有两个不相等的实数解，则，解得. 故选：ABC. 42．（2023秋·全国·高一专题练习）已知集合至多有1个真子集，则的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】根据真子集的个数可得或者为单元素集，进而根据方程的根可求解. 【详解】由于集合至多有1个真子集，则集合中的元素个数至多一个，故或者为单元素集， 当时，则且，解得， 当为单元素集，则中只有一个元素，当时，符合题意，当时，则，解得 ， 综上，或， 故选：D 43．（2023秋·上海普陀·高一校考阶段练习）若集合至多有两个子集，则实数的取值范围为___________． 【答案】或． 【分析】若集合至多有两个子集，则集合中至多有一个元素，通过分类讨论得出的范围． 【详解】若集合至多有两个子集，则集合中至多有一个元素． 当时，，此时集合为，符合题意， 当时，方程是一元二次方程， 时，解得，，此时集合为，符合题意， 时，解得，此时集合为空集，符合题意， 综上，的取值范围是或． 故答案为： 或． 考点五 空集的概念及判断 44．（2023秋·江苏宿迁·高一沭阳县修远中学校考阶段练习）下列关于空集的说法中，错误的是（ ） A．0 B． C． D． 【答案】A 【分析】根据元素与集合之间的关系可判断A、C选项，根据空集是任何集合的子集可判断B、D选项. 【详解】A：因为用于元素与集合之间，故A错误； B：因为空集是任何集合的子集，故B正确； C：因为中的元素是，故C正确； D：因为空集是任何集合的子集，故D正确； 故选：A 45．（2024·全国·高一假期作业）已知集合，表示空集，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由集合与集合间的关系，元素与集合的关系判断即可. 【详解】，，，，A，B，D正确，∵表示以为元素的集合，而集合A中不含元素， ∴不是A的子集。故C不对， 故选：C. 46.（2023·河北·高三学业考试）下列集合中，结果是空集的是(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【详解】A选项：，不是空集；B选项：{x|x>6或x<1}，不是空集； C选项：(0,0)∈{(x，y)|x2+y2=0}，不是空集；D选项：不存在既大于6又小于1的数， 即：{x|x>6且x<1}=. 故选：D 47．（2023秋·高一课时练习）以下六个关系式：，，， ， ，是空集，错误的个数是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【分析】根据元素与集合间的关系、集合与集合间的关系可判定排除得到答案． 【详解】根据元素与集合间的关系可判定、正确，不正确，根据集合与集合之间的关系可判定、、是空集正确 故选：D 48.（2023春·宁夏银川·高二银川一中校考期中）下列各式中：①；②；③；④；⑤；⑥.正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】①集合之间只有包含、被包含关系，故错误； ②两集合中元素完全相同，它们为同一集合，则，正确； ③空集是任意集合的子集，故，正确； ④空集没有任何元素，故，错误； ⑤两个集合所研究的对象不同，故为不同集合，错误； ⑥元素与集合之间只有属于、不属于关系，故错误； ∴②③正确. 故选：B. 49．（2024·高一单元测试）下列四个命题：①＝｛0｝；②空集没有子集；③任何一个集合必有两个或两个以上的子集；④空集是任何一个集合的子集．其中正确的有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】利用空集的定义、属性对各个命题进行判断．Φ不含任何元素；空集是任何一个集合的子集．是任何非空集合的真子集． 【详解】解：对于①Φ不含任何元素而{0}含元素0，故①错 对于②空集是本身的子集，故②错 对于③空集的子集只有其本身，故③错 对于④，空集是任何一个集合的子集．是任何非空集合的真子集，故④对 故选B． 【点睛】本题考查空集的定义、性质：Φ不含任何元素；空集是任何一个集合的子集．是任何非空集合的真子集． 考点六 空集的性质及应用 50.（2024秋·湖南永州·高一校考阶段练习）若集合 为空集，则实数的取值范围是______. 【答案】或 【详解】因为集合为空集，所以，即或. 故答案为：或 51.（2023·全国·高一专题练习）已知集合，且，则实数的取值范围是____. 【答案】m≥1 【详解】∵M＝∅，∴2m≥m＋1，∴m≥1. 故答案为m≥1 52.（2023·高一课时练习）不等式组的解集为，则实数的取值范围是_____________. 【答案】 【详解】解：∵不等式组的解集为， ①当时，由求得；由，求得，故不等式组的解集为，故不满足条件； ②当时，由求得；由，求得， 若，即时，不等式组的解集为，满足条件； 若，即时，不等式组的解集为，不满足条件， 综上可得实数的取值范围是， 故答案为：． 53．（2023秋·河北石家庄·高一校考阶段练习）已知集合，， （1）若A为空集，求实数a的取值范围； （2）若B是A的真子集，求实数a的取值范围. 【答案】（1）；（2）. 【分析】(1)根据给定条件，利用空集的意义列式作答； (2)利用集合的包含关系列出不等式组求解即得. 【详解】（1）因是空集，则，解得， 所以实数a的取值范围是； （2）且B是A的真子集，则，解得， 显然，a-1=0与2a+1=1不同时成立，于是得， 所以实数a的取值范围. 考点七 集合相等及其应用 （一）判断两个集合是否相等 54．（2023秋·河南周口·高一校考阶段练习）下列各组集合表示同一集合的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】根据集合相等的条件判断即可 【详解】选项A，两个集合表示点集元素与元素不一样，故A错误； 选项B，集合为点集，而集合为实数集，故不相同，所以B选项错误； 选项C，由集合中元素具有无序性，所以集合与集合相同，故C正确； 选项D，集合为实数集，而集合为点集，故不相同，所以D选项错误； 故选：C. 55.【多选】（2023·全国·高三专题练习）下列与集合表示同一个集合的有（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】由解得, 所以， 所以根据集合的表示方法知A，C与集合M表示的是同一个集合， 集合的元素是和两个数，的元素是和这两个等式，与集合M的元素是有序数对(可以看做点的坐标或者对应坐标平面内的点)不同,故BD错误. 故选：． 56．【多选】（2023秋·福建泉州·高一校考阶段练习）下列各组中表示相同集合的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据相同集合的意义，逐项分析判断作答. 【详解】对于A，集合M，P含有的元素相同，只是顺序不同，由于集合的元素具有无序性，因此它们是相同集合，A是； 对于B，因为，则，因此集合M，P都表示所有偶数组成的集合，B是； 对于C，，即，C是； 对于D，因为集合M的元素是实数，集合P中元素是有序实数对，因此集合M，P是不同集合，D不是. 故选：ABC （二）根据两个集合相等求参数 57．（2024·江苏·高一假期作业）（1）集合与________相等集合．（填“是”或“不是”） （2）若集合，集合 且，则________， ________． 【答案】 是 1 【分析】（1）解出集合A，并判断与B是否相等； （2）找到相等的对应情况，解方程即可． 【详解】（1）因为，所以或． 又，所以． （2）由题意知，，故， ∴，则，此时， 由于，∴. 58.（2023秋·广东江门·高一统考期末）设，，，若P=Q，则_________. 【答案】-2 【详解】，，若P=Q，则有，. 故答案为：-2. 59．（2023春·湖南长沙·高二湘府中学校考期末）已知实数集合若，则（　　） A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【分析】根据，可得两集合元素全部相等，分别求和,再根据集合元素的互异性可确定a，b的值，进而得出答案. 【详解】由题意可知，两集合元素全部相等， 得到或又根据集合互异性，可知， 解得或（舍），所以 故选:A. 60．（2024·江西·金溪一中校联考模拟预测）已知集合，，若，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【分析】根据，可得两集合元素全部相等，分别求和，再根据集合元素的互异性可确定，的值，进而得出答案. 【详解】由题意可知，两集合元素全部相等，得到或，又根据集合互异性，可知，解得(舍)，和(舍)，所以，，则， 故选：A 61．（2024·江苏·高一假期作业）已知集合，若，求实数q的值． 【答案】 【分析】由集合相等的定义一一讨论元素对应关系即可. 【详解】由元素的互异性得， 若，则有以下两种情况： ①，不符合题意舍去； ②或（舍去）， 综上，. 考点八 由集合间的包含关系求参数 62．（2024·江苏·高一假期作业）设集合，且，则的值为________. 【答案】或. 【分析】由，得到或，求得或，结合集合间的包含关系，即可求解. 【详解】由，可得或，解得或， 当时，，此时满足，符合题意； 当时，，此时满足，符合题意， 所以实数的值为或. 故答案为：或. 63．【多选】（2024·全国·高三专题练习）已知集合A＝，B＝{x|ax＋1＝0}，且B⊆A，则实数a的取值可能为（　　） A．－3 B．－2 C．0 D．3 【答案】BCD 【分析】由题得B＝，，，，再分四种情况讨论得解. 【详解】由题知B⊆A，B＝{x|ax＋1＝0}，A＝. 所以B＝，，，. 当 B＝时，此种情况不可能，所以舍去； 当B＝时，，解得a＝3； 当B＝时，，解得a＝－2； 当B＝时，a＝0. 综上可得实数a的可能取值为3，0，－2. 故选：BCD. 64.（2023春·上海宝山·高一上海交大附中校考期中）已知集合，且，则实数的值是_________． 【答案】-3 【详解】因为，，， 所以是方程的解， 即，解得. 经检验，符合题意，所以. 故答案为：. 65．（2024·全国）设集合，，若，则（    ）． A．2 B．1 C． D． 【答案】B 【分析】根据包含关系分和两种情况讨论，运算求解即可. 【详解】因为，则有： 若，解得，此时，，不符合题意； 若，解得，此时，，符合题意； 综上所述：. 故选：B. 66．（2024·全国·高一假期作业）已知集合，且，则实数a的值是_________． 【答案】-3 【分析】根据得出是方程的解，将代入方程中进行计算，即可得出结果. 【详解】因为，，， 所以是方程的解， 即，解得. 经检验，符合题意，所以. 故答案为：. 67．（2023秋·湖南怀化·高一校联考期末）已知集合，.若，求实数的取值范围. 【答案】或. 【分析】由题意，求得，再根据，结合韦达定理分和两种情况讨论即可求出答案． 【详解】由，则. ， 为方程的解集. ①若，则， 或或， 当时有两个相等实根，即不合题意，同理， 当时，符合题意； ②若则，即， 综上所述，实数的取值范围为或 68.（2023·高一课时练习）已知A={﹣1，1}，B={x|x2﹣ax+b＝0}，若B⊆A，求实数a，b的值． 【答案】a＝2，b＝1或a＝﹣2，b＝1或a＝0，b＝﹣1或a2﹣4b＜0． 【详解】因为B={x|x2﹣ax+b＝0}，且B⊆A， ①当B中有一个元素时，B＝{1}或B＝{﹣1} 当B＝{1}时，，解得a＝2，b＝1； 当B＝{﹣1}时，，解得a＝﹣2，b＝1； ②当B中有两个元素时，B＝A，即B＝{﹣1，1}，，解得a＝0，b＝﹣1； ③当时，只需满足a2﹣4b＜0， 69．（2024·江苏·高一假期作业）已知集合，且，则实数m的取值范围是________. 【答案】. 【分析】根据集合间的包含关系，分和，两种情况讨论，即可求解. 【详解】由集合， 若时，可得，此时满足； 若时，要是得到，则满足，解得， 综上可得，实数的取值范围是. 故答案为：. 70.（2023秋·湖北黄石·高一校联考期末）已知集合 （1）当时，求实数的值； （2）当时，求实数的取值范围. 【答案】（1）；（2） 【详解】分析：利用一元二次不等式的解法，化简集合化简集合（1）利用集合相等的定义可得结果；（2）利用子集的定义可得结果. 详解：由，可得， 所以 由可得， 集合 （1）因为，所以； （2）因为，所以， 即实数的范围是. 71．（2023秋·广东东莞·高一东莞实验中学校考期中）设集合. (1)当时，求的非空真子集的个数； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1)254 (2) 【分析】（1）由题得即可解决.（2）根据得，即可解决. 【详解】（1）由题知，， 当时，共8个元素， 的非空真子集的个数为个； （2）由题知， 显然， 因为， 所以，解得， 所以实数的取值范围是. 72．（2024·高一单元测试）已知，，且，则a的取值范围为_________． 【答案】 【分析】求得集合，根据，分和两种情况讨论，即可求解. 【详解】由题意，集合， 当时，即，解得，此时满足， 当时，要使得，则或， 当时，可得，即，此时，满足； 当时，可得，即，此时，不满足， 综上可知，实数的取值范围为. 故答案为：. 73．（2024·江苏·高一假期作业）已知集合. (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)不存在 【分析】（1）根据题意，分和两种情况讨论，列出不等式组，即可求解； （2）根据题意，结合，列出不等式组，即可求解. 【详解】（1）解：①当时，即，解得，此时满足； ②当时，要使得， 则满足，解得， 综上可得，实数的取值范围是. （2）解：由题意，要使得，则满足，此时不等式组无解， 所以实数不存在，即不存在实数使得. 74．（2023秋·安徽滁州·高一校考阶段练习）已知集合，， (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】根据集合之间的包含关系，建立不等式组，解得答案. 【详解】（1）因为， 当时：，即符合题意； 当时，，， 综上所述：. （2）因为， 当时，， ，解得，无解， 当时，或， ， 综上所述：. $$