精品解析：北京市第一六六中学2023-2024学年高一下学期月考（期末模拟）数学试卷

北京市第一六六中学2023-2024学年度第二学期月考试卷 高一 数学 （考试时长：120分钟） 一、选择题（每题4分，共10题） 1. 已知i是虚数单位，若复数是纯虚数，则实数m的值是（ ） A. B. 3 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据复数的乘法运算求出复数，再根据纯虚数的定义即可得解. 【详解】， 因为复数是纯虚数， 所以，解得. 故选：C. 2. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先结合题目条件，根据求出；再根据两角差的余弦公式和特殊角的三角函数值即可求解. 【详解】因为，，， 所以. 则. 故选：B. 3. 若，且，则向量与夹角为 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：根据题意，由于，且，结合向量的数量积公式可知，解得其向量的夹角为1200，故选C. 考点：向量的数量积 点评：主要是考查了向量的数量积的垂直的充要条件的运用，属于基础题． 4. 设m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，给出下列四个命题： ①若，，则； ②若，，则； ③若，，，则； ④若，，，，，则． 其中所有真命题的序号是（ ） A. ①②③ B. ②③④ C. ①②③④ D. ①③④ 【答案】D 【解析】 【分析】由线面，面面平行与垂直的性质和判定，对各命题进行判断. 【详解】对于①，，则存在平面，，，有， 由，，则，所以，命题①正确； 对于②，若，，则或，命题②错误； 对于③，若，，则有， 又，存在平面，，，有， 所以且，则，命题③正确； 对于④，若，则存在平面，使， 由，，，，得，所以，命题④正确． 故选：D 5. 攒尖是我国古代建筑中屋顶的一种结构样式，多见于亭阁式建筑、园林建筑等，如图所示的亭子带有攒尖的建筑屋顶可近似看作一个圆锥，其底面积为，屋顶的体积为，算得侧面展开图的圆心角约为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据底面圆面积求出底面圆半径，从而求出底面圆周长，得侧面展开图扇形的弧长，再由圆锥体积求圆锥的高，勾股定理求圆锥母线长，得侧面展开图扇形半径，可求侧面展开图的圆心角. 【详解】底面圆的面积为，得底面圆的半径为， 所以底面圆周长为，即圆锥侧面展开图扇形的弧长为， 屋顶的体积为，由得圆锥的高， 所以圆锥母线长，即侧面展开图扇形半径， 得侧面展开图扇形的圆心角约为. 故选：C. 6. 已知函数（其中，，）的部分图象如图所示，将函数图象上所有点向左平移个单位长度，得到函数的图象，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由函数的图象，求得，得到，再由点在图象上，求得，得到，结合三角函数的图象变换，即可求解. 【详解】由函数的图象，可得， 则，所以，则， 因为点在图象上，所以， 则，即， 又因为，则，所以， 将函数图象上所有点向左平移个单位长度， 得到. 故选：D． 7. 在中，“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】由充分条件和必要条件的定义，结合正弦定理进行判断. 【详解】中，，由正弦定理，有， 则，即，有， 所以，得，充分性成立； 中，若，则，由正弦定理， 有，必要性成立. 所以在中，“”是“”的充要条件. 故选 ：C 8. 《周髀算经》中对圆周率有“径一而周三”记载．已知圆周率小数点后24位数字分别为141592653589793238462643，若从前12个数字和后12个数字中各随机抽取一个数字，则这两个数字奇偶不同的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由前12个数字和后12个数字中奇数和偶数的个数，利用古典概型概率公式计算即得. 【详解】前12个数字中8个奇数，4个偶数； 后12个数字中5个奇数，7个偶数， 从前12个数字和后12个数字中各随机抽取一个数字，有种取法， 这两个数字奇偶不同有种取法， 所以所求概率为. 故选：B 9. 一条河流的两岸平行，一艘船从河岸边的A处出发到河对岸．已知船在静水中的速度的大小为，水流速度的大小为．设船行驶方向与水流方向的夹角为，若船的航程最短，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用垂线段最短得到船的行驶方向，结合三角函数的知识求出夹角 【详解】解：当航线垂直于河岸时，航程最短， 如图，在中，，所以， 所以，所以， 故选：C 10. 如图，在六面体中，平面平面，四边形ABCD与四边形是两个全等的矩形，，，平面ABCD，，，，则六面体的体积为（ ） A. 288 B. 376 C. 448 D. 600 【答案】B 【解析】 【分析】先根据题意把六面体可以看成长方体的一部分；再结合柱体体积和锥体体积用该长方体的体积减去多余部分的体积即可求解. 【详解】在长方体中，，. 根据题意可知：六面体可以看成长方体的一部分. 因为长方体的体积； 直三棱柱的体积； 直三棱柱体积； 三棱锥的体积， 所以六面体的体积. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题主要考查不规则几何体体积的求法，涉及柱体和锥体体积公式.解题关键在于不规则几何体借助于规则几何体去求解即可. 二、填空题（每题5分，共五道题） 11. 在复平面内，复数对应的点Z的坐标为________；________． 【答案】 ①. ②. 1 【解析】 【分析】利用复数的除法化简复数，由复数的几何意义求复平面内对应点的坐标，公式法求复数的模. 【详解】. 所以复平面内复数对应的点Z的坐标为，. 故答案为：；1. 12. 已知是平面，m是直线，从下列五个条件中选择若干个作为已知条件，能够得到的是________．（填入条件的序号即可） ①；②；③；④；⑤． 【答案】①④⑤（或②③⑤） 【解析】 【分析】由面面平行、线面平行结合线不在面内得结论（或由面面垂直，线面垂直结合线不在平面内得结论）. 【详解】由，，，得；由，，得， 故答案为：①④⑤（或②③⑤） 13. 已知点，，，． （1）设线段AB的中点是H，若，则实数________； （2）已知．若点Q的轨迹与直线平行，则实数________． 【答案】 ①. 3 ②. 1 【解析】 【分析】（1）由，，得，代入，可得实数的值； （2）设，由求出点Q轨迹方程，点Q的轨迹与直线平行，可得实数的值. 【详解】（1）线段AB的中点是H，则， 由，解得； （2）设，，则有， 得点Q的轨迹方程为，点Q的轨迹与直线平行， 所以实数. 故答案为：3；1 14. 在中，，，．P为所在平面内的动点，且，若，的最大值为________． 【答案】14 【解析】 【分析】建立以为原点，所在的直线分别为轴，平面直角坐标系，设，然后表示出的坐标，得出，再利用数量积的坐标公式计算即可. 【详解】 如图，以为原点，所在的直线分别为轴，建立平面直角坐标系， 则，因为，所以设， 则 ， 其中， 所以的最大值为14. 故答案为：14 15. 如图①，矩形ABCD中，，，E，F分别为AB，DC的中点．将四边形AEFD沿EF折起至四边形的位置，如图②． （1）若点在平面上的射影为的中点，则三棱锥的体积为________； （2）当平面与平面垂直时，作正方体如图③．若平面平面，且平面截该正方体所得图形的面积记为，则的最大值为________． 【答案】 ①. ## ②. 【解析】 【分析】(1) 先作出在上的投影点，再根据三棱锥的等体积法即可得到结果. (2) 因为，平面平面，所以，分别取的中点，构造一个平面，求出平面的面积即可. 【详解】(1) 设的中点为，如图所示， 因为点在平面上的射影为的中点, 则平面. 所以，. (2) 如图所示，分别取的中点， 则，所以四点共面， 因为，平面，平面， 所以平面， 因为，平面，平面， 所以平面， 又相交，平面， 所以平面平面， 同理平面平面， 所以平面平面， 所以平面与平面平行， 此时截面是边长为的正六边形，面积最大， 此时面积. 故答案为：；. 三、解答题（共六道题，共计85分） 16. 已知函数， （1）如果点是角终边上一点，求的值； （2）设，求单调递增区间． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由角终边上的点，求出，代入利用诱导公式和倍角公式化简即可； （2）辅助角公式化简解析式，整体代入法求单调递增区间． 【小问1详解】 点是角终边上一点，则， 所以； 【小问2详解】 ， 由，得：， 所以的单调增区间为. 17. 诚信是立身之本，道德之基．某校学生会创设了“诚信水站”，既便于学生用水，又推进诚信教育，并用“”表示每周“水站诚信度”．为了便于数据分析，以四周为一个周期，下表为该水站连续八周（共两个周期）的诚信度数据统计，如表1： 第一周 第二周 第三周 第四周 第一个周期 第二个周期 （1）计算表中八周水站诚信度的平均数； （2）从表中诚信度超过的数据中，随机抽取2个，求至少有1个数据出现在第二个周期的概率； （3）学生会认为水站诚信度在第二个周期中的后两周出现了滑落，为此学生会举行了“以诚信为本”主题教育活动，并得到活动之后一个周期的水站诚信度数据，如表2： 第一周 第二周 第三周 第四周 第三个周期 请根据提供的数据，判断该主题教育活动是否有效，并根据已有数据说明理由． 【答案】（1） （2） （3）有效，理由见解析 【解析】 【分析】（1）利用平均数公式求出表中八周“水站诚信度”的平均数； （2）利用列举法列出所有的基本事件，利用古典概型概率计算公式求解即可； （3）结合表中的数据从平均数等方面的结果判断即可. 【小问1详解】 由， 所以八周诚信水站诚信度的平均数为. 【小问2详解】 表1中超过的数据共有5个，其中第一个周期有3个，分别记为、、， 第二个周期有2个，分别记为、， 从这5个数据中任取2个共有10种情况： ，，，，，，，，，． 其中至少有1个数据出现在第二个周期有7种情况． 设至少有1个数据出现在第二个周期为事件A． 则． 【小问3详解】 有效，阐述理由含如下之一， 理由陈述的可能情况： ①第三个周期水站诚信度的平均数高于第二个周期的诚信度平均数； ②第三个周期的四周的水站诚信度相对于第二个周期的第四周诚信度而言，呈逐步上升趋势； ③第三个周期水站诚信度的平均数高于第一、二个周期的诚信度平均数； ④12周的整体诚信度平均数为，高于前两个周期的诚信度的平均数； 18. 已知和都是直角三角形，，E，F分别是边AB，AD的中点，现将沿BD边折起到的位置，如图所示，使平面平面BCD． （1）求证：平面BCD； （2）求证：平面平面； （3）请你判断，与BD是否有可能垂直，做出判断并写明理由． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3）与BD不可能垂直，理由见解析 【解析】 【分析】（1）证明：，即可证明平面BCD； （2）证明 平面，即可证明平面平面. （3）利用反证法进行证明. 【小问1详解】 因为E、F分别是边AB、AD的中点， 所以 因为平面BCD，平面BCD， 所以平面BCD． 【小问2详解】 因为平面平面BCD， 平面平面， 平面BCD，， 所以平面， 因为平面，所以， 因为，，平面， 所以平面． 因为平面，所以平面平面． 【小问3详解】 结论：与BD不可能垂直． 理由如下： 假设， 因为，，平面， 所以平面， 因为平面， 所以与矛盾，故与BD不可能垂直． 19. 在中， （1）求； （2）若为边上一点，再从条件①､条件②､条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，求的面积. 条件①：； 条件②：； 条件③：的周长为. 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】（1） （2）若选条件①，则；若选条件③，则. 【解析】 【分析】（1）由余弦定理计算即可得； （2）若选条件①，由正弦定理可计算出，结合三角形内角和与面积公式即可得面积；若选条件③，由余弦定理结合条件可计算出、，由面积公式计算即可得；不能选条件②，计算出到的距离，故该三角形不唯一，不符合题意. 【小问1详解】 ，故； 【小问2详解】 若选条件①：， 由，，，故，即， ， 此时三角形唯一确定，符合要求， . 若选条件③：的周长为, 由，故， 则，化简得， 即有，解得，故， 此时三角形唯一确定，符合要求， . 不能选条件②，理由如下： 若选条件②：， 由，，，设点到直线的距离为， 则，即， 此时，， 故该三角形不唯一，故②不符合要求. 20. 水车是一种利用水流的动力进行灌溉的工具，工作示意图如图所示．设水车（即圆周）的直径为3米，其中心（即圆心）O到水面的距离b为1.2米，逆时针匀速旋转一圈的时间是80秒．水车边缘上一点P距水面的高度为h（单位；米），水车逆时针旋转时间为t（单位：秒）．当点P在水面上时高度记为正值；当点P旋转到水面以下时，点P距水面的高度记为负值．过点P向水面作垂线，交水面于点M，过点O作PM的垂线，交PM于点N．从水车与水面交于点Q时开始计时（），设，水车逆时针旋转秒转动的角的大小记为． （1）求与的函数解析式； （2）当雨季来临时，河流水量增加，点O到水面的距离减少了0.3米，求∠QON的大小（精确到1°）； （3）若水车转速加快到原来的2倍，直接写出与的函数解析式．（参考数据：） 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，设出与的函数关系式，再求出其中的待定系数作答； （2）确定水面位置，求出的正弦即可作答； （3）求出函数的周期，结合（1）的结论作答. 【小问1详解】 由题意设（，，）， 则，，则， 由题意，是锐角，所以， 所以，又，解得， 所以与的函数解析式； 【小问2详解】 河水上涨米，水面仍在圆心的下方， 在中，， 所以． 【小问3详解】 水车转速加快到原来的2倍，则周期变为原来的一半， 即，所以， 所以与的函数解析式． 21. 设n为正整数，集合A=．对于集合A中的任意元素和，记 M（）=． （Ⅰ）当n=3时，若，，求M（）和M（）的值； （Ⅱ）当n=4时，设B是A的子集，且满足：对于B中的任意元素，当相同时，M（）是奇数；当不同时，M（）是偶数．求集合B中元素个数的最大值； （Ⅲ）给定不小于2的n，设B是A的子集，且满足：对于B中的任意两个不同的元素，M（）=0．写出一个集合B，使其元素个数最多，并说明理由． 【答案】(1)2,1;(2) 最大值为4;(3) 【解析】 【详解】（Ⅰ），． （Ⅱ）考虑数对只有四种情况：、、、， 相应的分别为、、、， 所以中的每个元素应有奇数个， 所以中的元素只可能为（上下对应的两个元素称之为互补元素）： 、、、， 、、、， 对于任意两个只有个的元素，都满足是偶数， 所以集合、、、满足题意， 假设中元素个数大于等于，就至少有一对互补元素， 除了这对互补元素之外还有至少个含有个的元素， 则互补元素中含有个的元素与之满足不合题意， 故中元素个数的最大值为． （Ⅲ）， 此时中有个元素，下证其为最大． 对于任意两个不同的元素，满足， 则，中相同位置上的数字不能同时为， 假设存在有多于个元素，由于与任意元素都有， 所以除外至少有个元素含有， 根据元素的互异性，至少存在一对，满足， 此时不满足题意， 故中最多有个元素. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 北京市第一六六中学2023-2024学年度第二学期月考试卷 高一 数学 （考试时长：120分钟） 一、选择题（每题4分，共10题） 1. 已知i是虚数单位，若复数是纯虚数，则实数m的值是（ ） A. B. 3 C. D. 2. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 3. 若，且，则向量与的夹角为 A. B. C. D. 4. 设m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，给出下列四个命题： ①若，，则； ②若，，则； ③若，，，则； ④若，，，，，则． 其中所有真命题的序号是（ ） A ①②③ B. ②③④ C. ①②③④ D. ①③④ 5. 攒尖是我国古代建筑中屋顶的一种结构样式，多见于亭阁式建筑、园林建筑等，如图所示的亭子带有攒尖的建筑屋顶可近似看作一个圆锥，其底面积为，屋顶的体积为，算得侧面展开图的圆心角约为（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数（其中，，）的部分图象如图所示，将函数图象上所有点向左平移个单位长度，得到函数的图象，则（ ） A. B. C. D. 7. 在中，“”是“”的（ ） A 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 《周髀算经》中对圆周率有“径一而周三”的记载．已知圆周率小数点后24位数字分别为141592653589793238462643，若从前12个数字和后12个数字中各随机抽取一个数字，则这两个数字奇偶不同的概率为（ ） A. B. C. D. 9. 一条河流的两岸平行，一艘船从河岸边的A处出发到河对岸．已知船在静水中的速度的大小为，水流速度的大小为．设船行驶方向与水流方向的夹角为，若船的航程最短，则（ ） A B. C. D. 10. 如图，在六面体中，平面平面，四边形ABCD与四边形是两个全等的矩形，，，平面ABCD，，，，则六面体的体积为（ ） A. 288 B. 376 C. 448 D. 600 二、填空题（每题5分，共五道题） 11. 在复平面内，复数对应的点Z的坐标为________；________． 12. 已知是平面，m是直线，从下列五个条件中选择若干个作为已知条件，能够得到的是________．（填入条件的序号即可） ①；②；③；④；⑤． 13. 已知点，，，． （1）设线段AB的中点是H，若，则实数________； （2）已知．若点Q的轨迹与直线平行，则实数________． 14. 在中，，，．P为所在平面内的动点，且，若，的最大值为________． 15. 如图①，矩形ABCD中，，，E，F分别为AB，DC的中点．将四边形AEFD沿EF折起至四边形的位置，如图②． （1）若点在平面上的射影为的中点，则三棱锥的体积为________； （2）当平面与平面垂直时，作正方体如图③．若平面平面，且平面截该正方体所得图形的面积记为，则的最大值为________． 三、解答题（共六道题，共计85分） 16. 已知函数， （1）如果点是角终边上一点，求的值； （2）设，求的单调递增区间． 17. 诚信是立身之本，道德之基．某校学生会创设了“诚信水站”，既便于学生用水，又推进诚信教育，并用“”表示每周“水站诚信度”．为了便于数据分析，以四周为一个周期，下表为该水站连续八周（共两个周期）的诚信度数据统计，如表1： 第一周 第二周 第三周 第四周 第一个周期 第二个周期 （1）计算表中八周水站诚信度的平均数； （2）从表中诚信度超过的数据中，随机抽取2个，求至少有1个数据出现在第二个周期的概率； （3）学生会认为水站诚信度在第二个周期中的后两周出现了滑落，为此学生会举行了“以诚信为本”主题教育活动，并得到活动之后一个周期的水站诚信度数据，如表2： 第一周 第二周 第三周 第四周 第三个周期 请根据提供的数据，判断该主题教育活动是否有效，并根据已有数据说明理由． 18. 已知和都是直角三角形，，E，F分别是边AB，AD中点，现将沿BD边折起到的位置，如图所示，使平面平面BCD． （1）求证：平面BCD； （2）求证：平面平面； （3）请你判断，与BD否有可能垂直，做出判断并写明理由． 19. 在中， （1）求； （2）若为边上一点，再从条件①､条件②､条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，求的面积. 条件①：； 条件②：； 条件③：的周长为. 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 20. 水车是一种利用水流的动力进行灌溉的工具，工作示意图如图所示．设水车（即圆周）的直径为3米，其中心（即圆心）O到水面的距离b为1.2米，逆时针匀速旋转一圈的时间是80秒．水车边缘上一点P距水面的高度为h（单位；米），水车逆时针旋转时间为t（单位：秒）．当点P在水面上时高度记为正值；当点P旋转到水面以下时，点P距水面的高度记为负值．过点P向水面作垂线，交水面于点M，过点O作PM的垂线，交PM于点N．从水车与水面交于点Q时开始计时（），设，水车逆时针旋转秒转动的角的大小记为． （1）求与的函数解析式； （2）当雨季来临时，河流水量增加，点O到水面的距离减少了0.3米，求∠QON的大小（精确到1°）； （3）若水车转速加快到原来的2倍，直接写出与的函数解析式．（参考数据：） 21. 设n为正整数，集合A=．对于集合A中的任意元素和，记 M（）=． （Ⅰ）当n=3时，若，，求M（）和M（）的值； （Ⅱ）当n=4时，设B是A的子集，且满足：对于B中的任意元素，当相同时，M（）是奇数；当不同时，M（）是偶数．求集合B中元素个数的最大值； （Ⅲ）给定不小于2的n，设B是A的子集，且满足：对于B中的任意两个不同的元素，M（）=0．写出一个集合B，使其元素个数最多，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$