堑堵、阳马与鳖臑的含义及其外接球问题讲义-2023-2024学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

堑堵、阳马、鳖臑、刍甍、刍童的含义及其外接内切球问题 《九章算术》是中国古代数学的经典著作，里面提及了很多有趣但十分拗口的立体图形的名词，如堑堵[qiàn dǔ]、阳马、鳖臑[biē nào]、刍甍(chú méng)、刍童、羡除、楔形四棱台等，其中最有名气的，莫过于“鳖臑”了， 1、堑堵[qiàn dǔ]、阳马与鳖臑[biē nào]的含义 《九章算术·商功》：“斜解立方，得两堑堵。斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑。阳马居二，鳖臑居一，不易之率也。” 阳马和鳖臑是我国古代对一些特殊锥体的称谓，取一长方体，按下图斜割一分为二，得两个一模一样的三棱柱，称为堑堵. 再沿堑堵的一顶点与相对的棱剖开，得四棱锥和三棱锥各一个.以矩形为底，另有一棱与底面垂直的四棱锥，称为阳马.余下的三棱锥是由四个直角三角形组成的四面体，称为鳖臑. 我们可以看出来，“阳马”和“鳖臑”是截长方体所得，那么如果有需要也可以补形回去。而且“阳马”和“鳖臑”的最长的棱就是对应长方体的体对角线。 立体几何中的鳖臑 ①正棱锥中的鳖臑 ②长方体中的鳖臑 ③圆柱中的鳖臑 ④直二面角中的鳖臑 ⑤三垂线定理中的鳖臑 2、刍甍(chú méng)、刍童、羡除、楔形四棱台的含义 刍甍(chú méng)是底面为长方形，顶棱和底面平行，且长度不等于底面平行的棱长的五面体，是一个楔形体，有时底面也扩展成平行四边形。用平行于刍甍底面的一个面去截刍甍，截面和底面之间的几何体就叫刍童。 羡除是三个面为梯形或平行四边形(至多一个侧面是平行四边形)，其余两个个面为三角形的五面几何体。显然这是刍甍的表兄妹，它是将刍甍的底面改为梯形得到。刍童也有个表兄妹，若把刍童上下底面平行的矩形换成平行的梯形，即为楔形四棱台(不是台体)。我们也可以说是用一个平行于羡除底面的面去截羡除，截面和底面之间的几何体就是楔形四棱台。 下面用割补法求上述几何体的体积 （1）如图，将刍甍(chú méng)分割成一个三棱柱和一个四棱锥 设刍甍的底面长方形的长宽分别为a,b, 顶棱长为c,顶棱到底面的距离为h，则 提示：=h （2）如图，将刍童分割成两个刍甍.设刍童的上底面长宽为a和b，下底面长宽为c和d，高为h，则 注：刍童的体积公式是根据刍甍的体积公式推导的；当刍童的上底面平行四边形变成线段时(即图中的b时的情形)，刍童就变成了刍甍，故刍甍的体积公式可以看成是刍童体积公式的极限情形. （3）如图，将羡除分割成一个斜三棱柱和四棱锥，或补成一个刍甍.设羡除的下底面梯形的上底下底边长分别为a和b，高为h，顶棱长为c,顶棱到底面的距离为H，则 或者 外接球问题 例1：如图，在四棱锥中,底面ABCD为菱形,O为对角线AC与BD交点,若求三棱锥的外接球的表面积. 解析：易证可知三棱锥为鳖臑模型， 取PC的中点M,连接BM,OM. 在中, 在中, 故其外接球球心为PC中点M， 易证中, 故答案为:4π 练习1.在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称之为鳖臑，在体积为的鳖臑ABCD中,且则该鳖臑外接球的体积为 . 【详解】如图， 鳖臑四个面都是直角三角形，且平面BCD,所以 故所以 由知 在直角三角形中斜边上的中点到各顶点距离相等,可知 AD中点O到A、B、C、D的距离相等， 所以鳖臑外接球的球心为O，半径 球的体积故答案为: 例2.中国古代数学经典《九章算术》系统地总结了战国、秦、汉时期的数学成就，书中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑，如图为一个阳马与一个鳖臑的组合体，已知四边形ABCD为正方形，若鳖臑的外接球的体积为则阳马的外接球的表面积等于 . 【详解】∵四边形ABCD是正方形，即且 所以，的外接圆半径为 设鳖臑的外接球的半径则解得 可得 正方形ABCD的外接圆直径为 所以阳马的外接球半径 因此，阳马的外接球的表面积为故答案为:20π. 练习2.《九章算术》中记载，堑堵是底面为直角三角形的直三棱柱，阳马指底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥.如图，在堑堵中,当阳马体积的最大值为时，堑堵的外接球的体积为( ) 【解析】由题意易知，所以当且仅当时取等号.又阳马体积的最大值为所以所以堑堵的外接球的半径为其外接球的体积为【答案】B 例3.我们古代《九章算术》中将上、下两面为平行矩形的六面体称为刍童，如图，刍童中，点E到平面ABCD距离为4，则该刍童外接球的表面积为 . 解：设刍童外接球的球心为O，矩形ABCD的外接圆的圆心为半径为，矩形EFGH的外接圆的圆心为半径为则 所以 由球的性质可知又平面 所以三点共线. (i)当球心O在线段上时,如图1-1所示,则 即解得 (ii)当球心○在线段的延长线上时，如图1-2所示,则 即解得 综上，外接球的表面积为 本题也可以看成求圆台的外接球的表面积，圆台的上底面为圆下底面为圆如下图： 练习3.我们古代《九章算术》中将上、下两面为平行矩形的六面体称为刍童，如图刍童ABCD-EFGH的外接球半径为5，且则该刍童的体积为 【答案】 或 例4.《九章算术》与《几何原本》并称现代数学的两大源泉.在《九章算术》卷五商功篇中介绍了羡除(此处是指三面为等腰梯形，其他两侧面为直角三角形的五面体)体积的求法.在如图所示的羡除中，平面是铅垂面，下宽3m,上宽深3m,平面BCDE是水平面，末端宽,无深,长6m(直线CE到BD的距离)，则该羡除的体积为( ) 42m³ 解：如图,在BD,CF上分别取点使得连接则三棱柱是斜三棱柱,该羡除的体积为 V=+ 故选:C. 练习4.如图，在多面体ABCDEF中,已知面ABCD是边长为3的正方形，EF EF与面ABCD的距离为2，则该多面体的体积为 思考题 1.我国古代数学著作《九章算术》中记载：斜解立方,得两堑堵．其意思是：一个长方体沿对角面一分为二,得到两个一模一样的堑堵．如图,在长方体中,,,,将长方体沿平面一分为二,得到堑堵,下列结论正确的序号为_______________． ①点C到平面的距离等于; ②与平面所成角的正弦值为; ③堑堵外接球的表面积为; ④堑堵没有内切球． 2.如图所示,在以A,B,C,D,E,F为顶点的五面体中,面ABEF为正方形,，且二面角与二面角都是 (1)求证:平面(2)求二面角的余弦值. 学科网（北京）股份有限公司 $$