13.3.2空间图形的体积教案-2023-2024学年高二上学期数学苏教版（2019）必修第二册

聚焦核心素养，打造和悦课堂 如东县掘港高级中学高一数学备课组 13.3.2　空间图形的体积 教学目标： 1．了解柱、锥、台的体积公式，能运用公式求解有关体积计算问题； 2．了解柱体、锥体、台体空间结构的内在联系，感受它们体积之间的关系； 3．培养学生空间想象能力、理性思维能力以及观察能力． 教学重点： 柱、锥、台的体积计算公式及其应用． 教学难点： 运用公式解决有关体积计算问题． 教学方法： 通过分析柱体、锥体和台体空间结构的内在联系，让学生感受柱体、锥体和台体的体积之间的关系，体会数与形的完美结合． 教学过程： 一、问题情境 类似于用单位正方形的面积度量平面图形的面积，我们可以用单位正方体（棱长为1个长度单位的正方体）的体积来度量几何体的体积． 一个几何体的体积是单位正方体体积的多少倍，那么这个几何体的体积的数值就是多少． 正方体的棱长为a,那么它的体积为，长方体的长、宽、高分别为a，b，c， 那么它的体积为V长方体＝abc或V长方体＝Sh（这里，S，h分别表示长方体的底面积和高．） 二、学生活动 阅读课本P206“祖暅原理”． 思考：两个底面积相等、高也相等的棱柱（圆柱）的体积如何？ 三、建构数学 1．柱体的体积． 棱柱（圆柱）可由多边形（圆）沿某一方向平移得到，因此，根据“祖暅原理”，两个底面积相等、高也相等的棱柱（圆柱）应该具有相等的体积． V柱体= sh 2．锥体的体积． 师生探讨：将一个三棱柱按如图所示分解成三个三棱锥，那么这三个小三棱锥的体积有什么关系？每个小三棱锥与三棱柱的体积有什么关系？ 类似地，根据“祖暅原理”，底面积相等,高也相等的两个锥体的体积也相等． 3． 台体的体积． 师生探讨：圆台（棱台）是由圆锥（棱锥）截成的，能否利用两个锥体的体积之差，得到圆台（棱台）的体积？（学生自主思考，小组合作，主动展示） 上下底面积分别是S’，S，高是h，则 柱体、锥体、台体的体积公式之间有怎样的关系呢？ V柱体＝Sh V台体＝h(S′＋＋S)V锥体＝Sh. 4、 数学应用 例1、如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，过顶点B，D，A1截下一个三棱锥． ①求剩余部分的体积； ②求三棱锥A－A1BD的体积及高． 解　①＝S△ABD·A1A ＝×·AB·AD·A1A＝a3. 故剩余部分的体积 V＝V正方体－＝a3－a3＝a3. 设三棱锥A－A1BD的高为h， 则 ＝×××(a)2h＝a2h， 故a2h＝a3，解得h＝a. 例2、 若一个正四面体的棱长为,求它的体积. 方法1：直接利用棱锥的体积公式求解； 方法2：构造一个棱长为1的正方体，我们称之为该四面体的“生成正方体”（如图一），则四面体是棱长为的正四面体，四面体的体积 五、要点归纳与方法小结 1． 理解柱体、锥体、台体之间的关系； 2． 能运用公式法、等积法、分割法求解有关体积计算问题。 六、当堂训练： 1、把长和宽分别为6和3的矩形卷成一个圆柱的侧面，则该圆柱的体积为或 2、棱台的上、下底面面积分别是2,4，高为3，则该棱台的体积是(　B　) A．18＋6 B．6＋2 C．24 D．18 3、如图所示，在长方体ABCD－A′B′C′D′中，用截面截下一个棱锥C－A′DD′，求棱锥C－A′DD′的体积与剩余部分的体积之比． 解　方法一　设AB＝a，AD＝b，DD′＝c， 则长方体ABCD－A′B′C′D′的体积V＝abc， 又S△A′DD′＝bc且三棱锥C－A′DD′的高为CD＝a， 所以V三棱锥C－A′DD′＝S△A′DD′·CD ＝abc. 则剩余部分的几何体体积 V剩＝abc－abc＝abc. 故V棱锥C－A′DD′∶V剩＝abc∶abc＝1∶5. 方法二　已知长方体可以看成侧棱垂直于底面的四棱柱ADD′A′－BCC′B′， 设它的底面ADD′A′面积为S，高为h，则它的体积为V＝Sh. 而棱锥C－A′DD′的底面面积为S，高为h， 因此棱锥C－A′DD′的体积 VC－A′DD′＝×Sh＝Sh， 剩余部分的体积是Sh－Sh＝Sh. 所以棱锥C－A′DD′的体积与剩余部分的体积之比为Sh∶Sh＝1∶5. 7、 课后作业： 书本P206 3、5 8、 板书设计： 13.3.2 空间图形的体积 1、柱、锥、台体的体积 V柱体＝Sh V台体＝h(S′＋＋S)V锥体＝Sh. 2、 数学方法 公式法、等积法、分割法、补体法 3、数学思想 数形结合、转化化归、分割补形 1 学科网（北京）股份有限公司 $$