13.3.2空间图形的体积课件-2023-2024学年高二上学期数学苏教版（2019）必修第二册

13.3.2 空间图形的体积 江苏省如东县掘港高级中学 1 情境创设： 魔方 　一个几何体的体积是单位正方体体积的多少倍，那么这个几何体的体积的数值就是多少． 我们用单位正方体(棱长为1个长度单位的正方体)的体积来度量几何体的体积。 （一）问题驱动，引出原理 1.正方体的体积公式 V正方体=a3 2.长方体的体积公式 V长方体 =abc=sh 【问题】 一般的柱体体积公式呢？锥体、台体是否也有相应的体积公式？ （二）主体活动，启迪发现 【活动】一摞纸放在桌面上，改变放置方法，观察改变前后体积是否发生变化？ 祖暅原理:幂势既同，则积不容异(幂指截面积，势指高度)。 释义：两等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等． 【数学文化】 祖暅[gèng]（456年—536年）。中国南北朝时期数学家、天文学家，祖冲之之子。同父亲祖冲之一起圆满解决了球面积的计算问题，得到正确的体积公式并据此提出了著名的“祖暅原理”。 该原理在西方直到十七世纪才由意大利数学家卡瓦列利发现，比祖暅晚一千一百多年。 （三）立体互动，探究公式 s h S S 底面积相等，高也相等的柱体的体积也相等。 V柱体=Sh 探究1.柱体的体积公式 探究2.锥体的体积公式 将一个三棱柱按如图所示分解成三个三棱锥，那么这三个小三棱锥的体积有什么关系？ 每个小三棱锥与三棱柱的体积有什么关系？ 分割 相等 一般的锥体的体积如何求？ s s h 由祖暅原理知等底面积等高的几何体体积相等 探究2.锥体的体积公式 s s h x 探究3:台体的体积公式 圆台（棱台）是由圆锥（棱锥）截成的，能否利用两个锥体的体积之差，得到圆台（棱台）的体积？ s s/ s s/ s S/=0 S/=S V台体= V柱体=Sh V锥体= 探究4:柱体、锥体、台体的体积公式之间有怎样的关系呢？ 数 形 例1、如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，过顶点B，D，A1截下一个三棱锥. ①求剩余部分的体积； 四、应用数学、融汇贯通 故剩余部分的体积 V＝V正方体－ 四、应用数学、融汇贯通 12 ②求三棱锥A－A1BD的体积及高. 四、应用数学、融汇贯通 设三棱锥A－A1BD的高为h， 则 四、应用数学、融汇贯通 14 例2、已知一个正四面体的各棱长均为, 求它的体积。 四、应用数学、融汇贯通 方法1：直接利用棱锥的体积公式求解； 求空间图形体积的常用方法 (1)公式法：直接代入公式求解. (2)等积法：例如四面体的任何一个面都可以作为底面，只需选用底面积和高都易求的形式即可. (3)补体法：将空间图形补成易求解的空间图形，如棱锥补成棱柱，棱台补成棱锥等. (4)分割法：将空间图形分割成易求解的几部分，分别求体积. 方法总结： （五）课堂小结，自我内化 1.一个原理：祖暅原理（新课的“根”） 2.三个公式：柱、锥、台的体积公式（新课的“叶”） 3.三种思想方法：数形结合，转化化归思想，分割补形思想（新课的“土壤”） 幂势既同，则积不容异 六、当堂训练 1、把长和宽分别为6和3的矩形卷成一个圆柱的侧面，则该圆柱的体积为________． 2、棱台的上、下底面面积分别是2,4，高为3，则该棱台的体积是(　　)A． B．6＋2 C．24 D．18 3、如图所示，在长方体ABCD－A′B′C′D′中，用截面截下一个棱锥C－A′DD′，求棱锥C－A′DD′的体积与剩余部分的体积之比． ＝a3－a3＝a3. ＝S△ABD·A1A ＝×·AB·AD·A1A＝a3. ＝×××(a)2h＝a2h， 故a2h＝a3，解得h＝a. $$