江苏省如东中学高一第二学期期末模拟试卷及解析答案

高一第二学期期末模拟试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．在复平面内，复数对应的点的坐标是，则的共轭复数（ ） A． B． C． D． 2．已知三个单位向量满足，则向量的夹角为（    ） A． B． C． D． 3．在中，边上的高等于，则（    ） A． B． C． D． 4．已知为两条不同的直线，为两个不同的平面，下列命题为真命题的是（   ） A．若，，，，则 B．若，，则 C．若，，，则 D．若，，，则 5．掷一个骰子的试验，事件表示“出现小于5的偶数点”，事件表示“出现小于5的点数”.若表示的对立事件，则一次试验中，事件发生的概率为（ ） A B. C. D. 6．降雨量是指从天空降落到地面上的雨水，未经蒸发、渗透、流失而在水平面上积聚的水层深度，一般以毫米为单位，它可以直观地表示降雨的多少，目前，测定降雨量常用的仪器有雨量筒和量杯.测量时，将雨量筒中的雨水倒在量杯中，根据杯上的刻度就可知道当天的降雨量.某兴趣小组同学为测量降水量，自制了一种圆台形的雨量器（如图）.某次降水，这种容器收集到的雨水高度为150mm，则该次降水的降雨量最接近（    ） A．60mm B．65mm C．70mm D．75mm 7．已知是边长为的等边三角形,在边上,且,为的中点,则（ ） A B. C. D. 8．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A＝2B，则的最小值为（    ） A．－1 B． C．3 D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知，且，，则（    ） A． B． C． D． 10．某中学高一年级举行了一次数学竞赛，从中随机抽取了一批学生的成绩．经统计，这批学生的成绩全部介于50至100之间，将数据按照[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]的分组作出频率分布直方图如图所示．根据图形估计本次竞赛成绩得到以下数据中正确的是（ ） A. B. 众数为80 C. 71百分位数是82 D. 平均分是 11．在棱长为2的正方体中，为中点，为四边形内一点（含边界），若平面，则下列结论正确的是（ ） A. B. 三棱锥体积为 C. 线段最小值为2 D. 的取值范围为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．如图，是的斜二测直观图，其中，斜边，则的面积是 . 13．已知平面向量是非零向量，，向量在向量方向上的投影向量为，则 ；向量的夹角为 . 14．现有A，B 两组数据，其中A组有4个数据，平均数为2，方差为6，B组有6个数据，平均数为7，方差为1.若将这两组数据混合成一组，则新的一组数据的方差为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15.已知，. (1)求的值； (2)若，，求的值. 16．在正三棱柱中，D为的中点． (1)证明：平面； (2)求证： 17．某家面包店以往每天制作120个三明治，为了解销售情况，店长统计了去年三明治的日销售量（单位：个），并绘制频率分布直方图如图所示. (1)求图中a的值，并估计该面包店去年（按360天算）三明治日销售量不少于100个的天数； (2)估计该面包店去年三明治日销售量的平均数；（同一组中的数据以这组数据所在区间的中点值作代表） (3)由于三明治的保质期只有一天，为了避免浪费，店长决定今年减少每天三明治的制作量，但要求有70%的天数可以满足顾客的需求，估计每天应该制作多少个三明治. 18.如图，设中角A，B，C所对的边分别为为边上的中线，已知且． (1)求的面积； (2)设点，分别为边上的动点，线段交于，且的面积为面积的一半，求的最小值． 19.已知平面四边形，，，，现将沿边折起，使得平面平面，此时，点为线段的中点． (1)求证：平面； (2)若为的中点 ①求与平面所成角的正弦值； ②求二面角的平面角的余弦值． 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高一第二学期期末模拟试卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．在复平面内，复数对应的点的坐标是，则的共轭复数（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】在复平面对应的点是，根据复数的几何意义，， 由共轭复数的定义可知，.（ ） 故选：D 2．已知三个单位向量满足，则向量的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，即， ，即，则， 因为，夹角 ， 故选：C. 3．在中，边上的高等于，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】如图，边上的高为，，且， 所以，则， 则，， 所以，则. 故选：B 4．已知为两条不同的直线，为两个不同的平面，下列命题为真命题的是（   ） A．若，，，，则 B．若，，则 C．若，，，则 D．若，，，则 【答案】C 【详解】A：由，可知、可能平行或相交，A错误； B：由，，可知、可能平行或异面，B错误； C：由，，，可知，C正确； D：由，，，可知、可能平行或异面，D错误. 故选：C 5．掷一个骰子的试验，事件表示“出现小于5的偶数点”，事件表示“出现小于5的点数”.若表示的对立事件，则一次试验中，事件发生的概率为（ ） A B. C. D. 【答案】C 【解析】掷一个骰子的试验有6种可能结果． 依题意，，， 因为表示“出现5点或6点”的事件，表示“出现小于5的偶数点”， 所以与互斥， 故. 故选：C 6．降雨量是指从天空降落到地面上的雨水，未经蒸发、渗透、流失而在水平面上积聚的水层深度，一般以毫米为单位，它可以直观地表示降雨的多少，目前，测定降雨量常用的仪器有雨量筒和量杯.测量时，将雨量筒中的雨水倒在量杯中，根据杯上的刻度就可知道当天的降雨量.某兴趣小组同学为测量降水量，自制了一种圆台形的雨量器（如图）.某次降水，这种容器收集到的雨水高度为150mm，则该次降水的降雨量最接近（    ） A．60mm B．65mm C．70mm D．75mm 【答案】B 【详解】如图，分别为上底面、下底面的半径，且，， 则， 当mm时，在中，，即， 解得mm，所以mm，所以圆的面积为， 又圆的面积为， 所以收集到的雨水量为， 设此时量杯的刻度为， 则，解得. 故选：B 7．已知是边长为的等边三角形,在边上,且,为的中点,则（ ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 如图,以BC中点为坐标原点建立直角坐标系,则 因为,所以 因为为AD的中点,所以 所以 故选：B 8．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A＝2B，则的最小值为（    ） A．－1 B． C．3 D． 【答案】C 【详解】因为A＝2B，,所以由正弦定理，得 ， 因为A＝2B，所以， 所以 ，所以， 当且仅当时，即时等号成立， 所以的最小值为. 故选：C. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多顶符合题目要求。全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选顶，每选对一个得3分;若只有3个正确选项，每选对一个得2分 9．已知，且，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】由，得，由，所以，即， 显然，而，则， 对于A：，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于D：，故D正确. 故选：ABD 10．某中学高一年级举行了一次数学竞赛，从中随机抽取了一批学生的成绩．经统计，这批学生的成绩全部介于50至100之间，将数据按照[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]的分组作出频率分布直方图如图所示．根据图形估计本次竞赛成绩得到以下数据中正确的是（ ） A. B. 众数为80 C. 71百分位数是82 D. 平均分是 【答案】ACD 【解析】由频率分布直方图可得，，解得，故A正确； 众数的估计值为，故B错误； 前三组数据的频率之和为，前四组数据的频率之和为 则设71百分位数是，所以，解得，所以71百分位数是82，故C正确； 由频率分布直方图估计平均数为，故D正确. 故选：ACD. 11．在棱长为2的正方体中，为中点，为四边形内一点（含边界），若平面，则下列结论正确的是（ ） A. B. 三棱锥体积为 C. 线段最小值为2 D. 的取值范围为 【答案】BD 【解析】取、中点分别为、，连接、、、，，如下图： 为正方体， ，，， ， 平面，平面，且，， 平面平面， 为四边形内一点（含边界），且平面， 点在线段上（含端点）， 对于选项A：当为时，，则与的夹角为， 此时， 则， 则与不垂直，故A错误； 对于选项B：为四边形内一点（含边界）， 到平面的距离为2， 三棱锥的体积为，故B正确； 对于选项C：点在线段上（含端点）， 当时，线段最小， ，， 在边上的高为， 则， 则当时，即，故C错误； 对于选项D：为正方体， 平面， 平面， ， 为直角三角形，且直角为， ， 点在线段上（含端点）， 则当最大时，即点为点时，此时，此时最小，为， 当最小时，即，此时，此时最大，为， 则的取值范围为，故D正确； 故选：BD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12．如图，是的斜二测直观图，其中，斜边，则的面积是 . 【答案】 【详解】由题意可知，，斜边，，∴， 由斜二测画法的规则可知，在中，，，， ∴的面积是， 故答案为： 13．已知平面向量是非零向量，，向量在向量方向上的投影向量为，则 ；向量的夹角为 . 【答案】 【详解】因为， 所以，即， 又向量在向量方向上的投影向量为， 所以，又， 所以， 所以. 故答案为：；. 14．现有A，B 两组数据，其中A组有4个数据，平均数为2，方差为6，B组有6个数据，平均数为7，方差为1.若将这两组数据混合成一组，则新的一组数据的方差为 . 【答案】9 【解析】根据题意，甲组数据的平均数为2，方差为6，乙组数据的平均数为7，方差为1, 则两组数据混合后，新数据的平均数， 则新数据的方差 故答案为：9 四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.已知，. (1)求的值； (2)若，，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意先求，然后写出的展开式计算即可; （2）根据题意，先求的取值范围和值，然后用求的值. 【详解】（1）由，，，可得， 所以. （2）由，，可得， 故. 从而 由，可得. 16.正三棱柱的底面正三角形的边长为为的中点． (1)证明：平面； (2)求证： 【分析】（1）连接，设，连接，即可证明，从而得证； （2）可证得平面，进而证得结果； （3）根据，利用等体积法求出点到平面的距离. 【详解】（1）连接，设，连接． 因为是正三棱柱的侧面，所以为矩形， 所以是的中点，所以是的中位线， 所以， 又平面平面， 所以平面 （2）因为在正三棱柱中，底面正三角形的边长为2，为的中点，， 又平面平面，， 平面，平面， 平面，． 17．某家面包店以往每天制作120个三明治，为了解销售情况，店长统计了去年三明治的日销售量（单位：个），并绘制频率分布直方图如图所示. (1)求图中a的值，并估计该面包店去年（按360天算）三明治日销售量不少于100个的天数； (2)估计该面包店去年三明治日销售量的平均数；（同一组中的数据以这组数据所在区间的中点值作代表） (3)由于三明治的保质期只有一天，为了避免浪费，店长决定今年减少每天三明治的制作量，但要求有70%的天数可以满足顾客的需求，估计每天应该制作多少个三明治. 【答案】(1)， (2)89.75 (3)估计每天应该制作95个三明治 【详解】（1）由，解得. 日销售量不少于100个的频率为， 则估计该面包店去年三明治日销售量不少于100个的天数为. （2）由题图知，平均数为， 故估计该面包店去年三明治日销售量的平均数为89.75. （3）由题意，即求三明治日销售量的分位数，设为. 对应的频率，对应的频率， 故. 由，得， 故估计每天应该制作95个三明治. 18．如图，设中角A，B，C所对的边分别为为边上的中线，已知且． (1)求的面积； (2)设点，分别为边上的动点，线段交于，且的面积为面积的一半，求的最小值． 【分析】（1）利用正弦定理将角化边，再由余弦定理将角化边，即可得到，从而求出，再由，设的夹角为，根据数量积的运算及夹角公式得到，解得，即可求出，再由面积公式计算可得； （2）设，，依题意可得，设，，根据平面向量基本定理得到，从而表示出、，根据数量积的运算律得到，再根据的范围计算可得. 【详解】（1）， 由正弦定理可得， 由余弦定理：． 因为为的中点，所以，设的夹角为， ， 又， ，即， 解得或，又，所以，易得， 的面积为． （2）设，，的面积为面积的一半，， 设，则，又共线， 所以设， 则， ，解得． ，又， ，又， 化简得，又，， 即，解得， 所以当时，的最小值为． 19.已知平面四边形，，，，现将沿边折起，使得平面平面，此时，点为线段的中点． (1)求证：平面； (2)若为的中点 ①求与平面所成角的正弦值； ②求二面角的平面角的余弦值． 分析】（1）利用面面垂直证明线面垂直，再证明线线垂直，从而可证明线面垂直； （2）因为线面垂直可证明更多的空间垂直关系，所以本题的线面角和二面角都可以通过作图，得到它们的平面角，从而解三角形即可得到平面角的三角函数值. 【详解】（1）因为，，所以为等边三角形， 因为为的中点，所以． 取的中点，连接，，则， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，又平面，所以． 因为，，，平面，所以平面， 因为平面，所以， 又因为,，，平面，所以平面． （2）①过点作，垂足为．如图所示， 由（1）知，平面．因为平面，所以． ，所以平面， 所以就是与平面所成角的平面角． 由（1）知，平面，平面，所以． 在中，，，， 因为为的中点，所以． 在中，， 在中，， 在中，， 所以由同角三角函数的基本关系得． 所以与平面所成角的正弦值为． ②取的中点为，连接，因为为线段的中点， 所以， 由（1）知，平面，所以平面，平面． 所以． 过点作，垂足为，连接，，，平面， 所以平面．平面，所以， 所以为二面角的平面角． 在中，， 由（1）知，为等边三角形，为线段的中点， 所以 由（1）知，平面，平面．所以， 在中，，由（2）知，， 即，解得． 因为平面，平面，所以． 在中，． ， 所以二面角的平面角的余弦值为． 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$