1.1 空间向量及其运算（六大常考题型）-2024年新高二数学暑假衔接重点知识回顾与新课预习（人教A版2019）

1.1 空间向量及其运算 知识点1 空间向量的有关概念 1．空间向量的定义及表示 定义 在空间，把具有方向和大小的量叫做空间向量 长度或模 空间向量的大小叫做空间向量的长度或模 表示方法 几何表示法 空间向量用有向线段表示，有向线段的长度表示空间向量的模 符号表示法 若向量的起点是A，终点是B，则也可记作，其模记为或 2.几类特殊的空间向量 名称 方向 模 表示法 零向量 任意 0 记为 单位向量 1 或 相反向量 相反 相等 记为 共线向量 相同或相反 或 相等向量 相同 相等 或 知识点2 空间向量的线性运算 1.空间向量的加减运算 加法运算 三角形法则 语言叙述 首尾顺次相接，首指向尾为和 图形叙述 平行四边形法则 语言叙述 共起点的两边为邻边作平行四边形，共起点对角线为和 图形叙述 减法运算 三角形法则 语言叙述 共起点，连终点，方向指向被减向量 图形叙述 2.空间向量的数乘运算 定义 与平面向量一样，实数λ与空间向量的乘积仍然是一个向量，称为空间向量的数乘 几何意义 与向量的方向相同 的长度是的长度的倍 与向量的方向相反 ，其方向是任意的 3.空间向量的运算律 交换律 结合律 ， 分配律 知识点3　共线向量与共面向量 1.直线的方向向量 定义：把与平行的非零向量称为直线的方向向量． 2．共线向量与共面向量的区别 共线(平行)向量 共面向量 定义 位置关系 表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，这些向量叫做共线向量或平行向量 平行于同一个平面的向量叫做共面向量 特征 方向相同或相反 特例 零向量与任意向量平行 充要条件 共线向量定理：对于空间任意两个向量，的充要条件是存在实数使 共面向量定理：若两个向量不共线，则向量与向量共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使 对空间任一点O， 空间中四点共面的充要条件是存在有序实数对，使得对空间中任意一点，都有 知识点1 空间向量的夹角 如图，已知两个非零向量，在空间任取一点，作，则叫做向量的夹角，记作， 夹角的范围：，特别地，如果，那么向量互相垂直，记作 知识点2 空间向量的数量积运算 1．空间向量的数量积 已知两个非零向量，则叫做的数量积，记作，即． 零向量与任意向量的数量积为0，即. 2．数量积的运算律 数乘向量与数量积的结合律 交换律 分配律 3．投影向量 在空间，向量向向量投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面α内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量共线的向量，，向量称为向量在向量上的投影向量． 4．数量积的性质 若，为非零向量， 则（1）；（2）；（3），； （4）；（5） 题型一 空间向量的线性运算 1．如图，在平行六面体中，为与的交点．若，则下列向量中与相等的是（    ） A． B． C． D． 2．在空间四边形ABCD中，E，F分别为BC，CD的中点，则（    ） A． B． C． D． 3．在四面体中，，，，，为的中点，若，则（    ） A． B．3 C． D．2 4．在四面体中，点E满足F为BE的中点，且则实数λ=（    ） A． B． C． D． 5．《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱.如图，在堑堵中，分别是，的中点，是的中点，若，则 . 6．化简：． 7．如图，长方体中，点E，F分别是和BD的中点，，，，将下列两组中相等的向量连线．                     题型二 共线问题 8．已知是不共面的空间向量，若与（是实数）是平行向量，则的值为（    ） A．16 B．-13 C．3 D．-3 9．（多选）如图，在三棱柱中，P为空间一点，且满足，，则（　　） A．当时，点P在棱上 B．当时，点P在棱上 C．当时，点P在线段上 D．当时，点P在线段上 10．若空间非零向量不共线，则使与共线的k的值为 . 11．四棱柱的六个面都是平行四边形，点在对角线上，且，点在对角线上，且． (1)设向量，，，用、、表示向量、； (2)求证：、、 三点共线． 12．如图所示，在正方体中，点在上，且，点在体对角线上，且．求证：，，三点共线．    13．在正方体中，G为的重心，证明：三点共线. 14．已知、、、、、、、、为空间的个点（如图所示），并且，，，，．求证：． 题型三 共面问题 15．若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（    ） A． B． C． D． 16．对于空间一点和不共线三点，且有，则（    ） A．四点共面 B．四点共面 C．四点共面 D．五点共面 17．为空间任意一点，若，若，，，四点共面，则（    ） A．1 B． C． D． 18．对于空间任一点和不共线的三点，，，有，则是，，，四点共面的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 19．已知点在确定的平面内，是平面外任意一点，若正实数满足，则的最小值为（    ） A． B． C．2 D．4 20．（多选）下列命题正确的是（    ） A．若，则与，共面 B．若，则共面 C．若，则共面 D．若，则共面 21．已知四面体，空间的一点满足，若共面，则 . 22．已知三棱锥，空间内一点满足，则三棱锥与的体积之比为 ． 题型四 求空间数量积 23．由四个棱长为1的正方体组合成的正四棱柱（如图所示），点是正方形的中心，则向量（    ）    A．1 B．2 C．4 D．8 24．有一长方形的纸片，的长度为，的长度为，现沿它的一条对角线把它折成直二面角，则折叠后（    ） A． B． C． D． 25．从棱长为的正方体的八个顶点中任意取四个点，则值的不同种数为（    ） A． B． C． D． 26．在正三棱锥中，是的中心，，则等于（ ） A． B． C． D． 27．在正四面体中，棱长为2，且E是棱中点，则的值为（    ） A． B． C． D． 28．已知空间中四点A，B，E，C，若，则 .（填“”“ //”或“”） 29．已知点C在以AB为直径的球面上，若，则 ． 30．已知空间向量，若，则的值为 ． 题型五 夹角问题 31．已知平行六面体中，，则（    ） A． B． C． D． 32．已知平行六面体中，，，，则（    ） A． B． C． D． 33．在空间四边形中，，，则的值为（    ） A． B． C． D．0 34．已知平行六面体的所有棱长都相等，且，则直线与直线所成角的余弦值为 . 35．如图，在平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱长度都为1，且两两夹角为．记，，．    (1)求的长； (2)求与夹角的余弦值． 36．在平行六面体中，，，为与的交点. (1)用向量表示； (2)求线段的长及向量与的夹角. 37．如图，在平行六面体中，底面是边长为的正方形，侧棱的长为，且.求： (1)的长； (2)直线与所成角的余弦值. 题型六 用数量积求线段长度 38．（多选）如图，两条异面直线a，b所成的角为，在直线a，b上分别取点A，O和点C，B，使，.已知，，，则线段OC的长为（    ）    A．6 B．8 C． D． 39．如图所示，已知平面，则 ．    40．在矩形中，，现将沿对角线折起，得到四面体，若异面直线与所成角为，则 . 41．在四棱柱中，若底面是边长为1的正方形，，，则四棱柱对角线的长为 ． 42．如图，在空间四边形ABCD中，，，，，. (1)求； (2)求CD的长. 43．如图，在平行六面体中，，，，，，求： (1)； (2)的长. 44．如图，在平行六面体中，，，，，，，与相交于点．        (1)求； (2)求的长． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.1 空间向量及其运算 知识点1 空间向量的有关概念 1．空间向量的定义及表示 定义 在空间，把具有方向和大小的量叫做空间向量 长度或模 空间向量的大小叫做空间向量的长度或模 表示方法 几何表示法 空间向量用有向线段表示，有向线段的长度表示空间向量的模 符号表示法 若向量的起点是A，终点是B，则也可记作，其模记为或 2.几类特殊的空间向量 名称 方向 模 表示法 零向量 任意 0 记为 单位向量 1 或 相反向量 相反 相等 记为 共线向量 相同或相反 或 相等向量 相同 相等 或 知识点2 空间向量的线性运算 1.空间向量的加减运算 加法运算 三角形法则 语言叙述 首尾顺次相接，首指向尾为和 图形叙述 平行四边形法则 语言叙述 共起点的两边为邻边作平行四边形，共起点对角线为和 图形叙述 减法运算 三角形法则 语言叙述 共起点，连终点，方向指向被减向量 图形叙述 2.空间向量的数乘运算 定义 与平面向量一样，实数λ与空间向量的乘积仍然是一个向量，称为空间向量的数乘 几何意义 与向量的方向相同 的长度是的长度的倍 与向量的方向相反 ，其方向是任意的 3.空间向量的运算律 交换律 结合律 ， 分配律 知识点3　共线向量与共面向量 1.直线的方向向量 定义：把与平行的非零向量称为直线的方向向量． 2．共线向量与共面向量的区别 共线(平行)向量 共面向量 定义 位置关系 表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，这些向量叫做共线向量或平行向量 平行于同一个平面的向量叫做共面向量 特征 方向相同或相反 特例 零向量与任意向量平行 充要条件 共线向量定理：对于空间任意两个向量，的充要条件是存在实数使 共面向量定理：若两个向量不共线，则向量与向量共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使 对空间任一点O， 空间中四点共面的充要条件是存在有序实数对，使得对空间中任意一点，都有 知识点1 空间向量的夹角 如图，已知两个非零向量，在空间任取一点，作，则叫做向量的夹角，记作， 夹角的范围：，特别地，如果，那么向量互相垂直，记作 知识点2 空间向量的数量积运算 1．空间向量的数量积 已知两个非零向量，则叫做的数量积，记作，即． 零向量与任意向量的数量积为0，即. 2．数量积的运算律 数乘向量与数量积的结合律 交换律 分配律 3．投影向量 在空间，向量向向量投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面α内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量共线的向量，，向量称为向量在向量上的投影向量． 4．数量积的性质 若，为非零向量， 则（1）；（2）；（3），； （4）；（5） 题型一 空间向量的线性运算 1．如图，在平行六面体中，为与的交点．若，则下列向量中与相等的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】. 故选：B． 2．在空间四边形ABCD中，E，F分别为BC，CD的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】在空间四边形ABCD中，E为BC的中点，则， 所以. 故选：C 3．在四面体中，，，，，为的中点，若，则（    ） A． B．3 C． D．2 【答案】B 【详解】如图，   因为，为的中点，所以， 又因为， 所以， 又，所以，解得：． 故选：B. 4．在四面体中，点E满足F为BE的中点，且则实数λ=（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由F为BE 的中点，得 又 所以，由 得 即所以 故选：D    5．《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱.如图，在堑堵中，分别是，的中点，是的中点，若，则 . 【答案】 【详解】解：连接，如图所示： 因为是的中点，分别是，的中点， 所以 , 又因为， 所以， 所以. 故答案为： 6．化简：． 【答案】 【详解】原式． 7．如图，长方体中，点E，F分别是和BD的中点，，，，将下列两组中相等的向量连线．                     【答案】答案见解析 【详解】 如图，在长方体中， ， , ， 故两组中向量的连线如图所示： 题型二 共线问题 8．已知是不共面的空间向量，若与（是实数）是平行向量，则的值为（    ） A．16 B．-13 C．3 D．-3 【答案】C 【详解】因为是不共面的空间向量且， 故，则， 解得，所以. 故选：C. 9．（多选）如图，在三棱柱中，P为空间一点，且满足，，则（　　） A．当时，点P在棱上 B．当时，点P在棱上 C．当时，点P在线段上 D．当时，点P在线段上 【答案】BCD 【详解】 当时，，所以， 则，即P在棱上，故A错误； 同理当时，则，故P在棱上，故B正确； 当时，，所以，即， 故点P在线段上，故C正确； 当时，，故点在线段上，故D正确． 故选：BCD． 10．若空间非零向量不共线，则使与共线的k的值为 . 【答案】－/ 【详解】由题意知，存在实数λ使得， 即，解得. 故答案为： 11．四棱柱的六个面都是平行四边形，点在对角线上，且，点在对角线上，且． (1)设向量，，，用、、表示向量、； (2)求证：、、 三点共线． 【答案】(1)，． (2)证明见解析 【详解】（1）因为，则， 所以， 又因为，则， 所以 ； （2）因为 ，且， 所以，即、、三点共线． 12．如图所示，在正方体中，点在上，且，点在体对角线上，且．求证：，，三点共线．    【答案】证明见解析 【详解】连接，， ∵ ， ， ∴，∴， 又，∴，，三点共线．    13．在正方体中，G为的重心，证明：三点共线. 【答案】证明见解析 【详解】设的中点为，连接GB，GD，，，    ， 因为G为的重心，所以， 所以， 所以，即三点共线. 14．已知、、、、、、、、为空间的个点（如图所示），并且，，，，．求证：． 【答案】证明见解析． 【详解】 ，，， ， ， 因为、无公共点，故. 题型三 共面问题 15．若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于A，，所以三个向量共面，排除； 对于B，，所以三个向量共面，排除； 对于D，，所以三个向量共面，排除. 故选：C. 16．对于空间一点和不共线三点，且有，则（    ） A．四点共面 B．四点共面 C．四点共面 D．五点共面 【答案】B 【详解】 由，可得， 即，根据平面向量的基本定理，可得共面， 又因为三个向量有公共点，所以四点共面. 故选：B. 17．为空间任意一点，若，若，，，四点共面，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以，可化简为：，即， 由于，，，四点共面，则，解得：； 故选：C 18．对于空间任一点和不共线的三点，，，有，则是，，，四点共面的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】B 【详解】解：若，则，即， 由共面定理可知向量，，共面，所以，，，四点共面； 反之，若，，，四点共面，当与四个点中的一个比如点重合时， ，可取任意值，不一定有， 所以是，，，四点共面的充分不必要条件． 故选：B． 19．已知点在确定的平面内，是平面外任意一点，若正实数满足，则的最小值为（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】B 【详解】由四点共面，可知，即， 由， ，当且仅当，即时等号成立， 故选：B 20．（多选）下列命题正确的是（    ） A．若，则与，共面 B．若，则共面 C．若，则共面 D．若，则共面 【答案】ABD 【详解】选项A，根据共面向量基本定理可知，与，共面；所以选项A是正确的； 选项B，根据共面向量基本定理可知，共面，由于它们有公共点， 所以共面； 选项C，举反例说明，若，，是一个正方体同一个顶点的三条棱所对应的向量， 则它们的和向量是以为起点的对角线向量，而是该对角线向量的相反向量， 此时显然四个点不在同一个平面上，所以C选项是错误的； 选项D，由可得， 则，即， 则，此时与选项B一样，可以判断共面，即D选项是正确的； 故选：ABD． 21．已知四面体，空间的一点满足，若共面，则 . 【答案】 【详解】方法一：由共面，故存在实数使得 , 故,化简得, 又，所以，解得， 方法二：因为共面，所以，解得. 故答案为:. 22．已知三棱锥，空间内一点满足，则三棱锥与的体积之比为 ． 【答案】 【详解】由空间内一点满足， 可得， 因为，根据空间向量的基本定理，可得在平面内存在一点， 使得，所以，即点为的中点， 可得，所以三棱锥和的体积比值为. 故答案为：. 题型四 求空间数量积 23．由四个棱长为1的正方体组合成的正四棱柱（如图所示），点是正方形的中心，则向量（    ）    A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】A 【详解】由正四棱柱性质可知，向量在上的投影向量为， 由数量积的几何意义可知，. 故选：A 24．有一长方形的纸片，的长度为，的长度为，现沿它的一条对角线把它折成直二面角，则折叠后（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】在中，，，， 所以， 所以， 故选：C． 25．从棱长为的正方体的八个顶点中任意取四个点，则值的不同种数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】①当为正方体的两条棱，且时， 或，； ②当为正方体的两条棱，且时，； ③当为正方体的一条棱，为与垂直的侧面的面对角线时， ，； ④当为正方体的一条棱，为与平行的侧面的面对角线时， ，，或，； ⑤当为正方体的一条棱，为正方体的体对角线时， ，，，； ⑥当分别为同一侧面或两平行侧面的面对角线时，或， 若，则； 若，则或，，； ⑦当分别为两相邻侧面的面对角线时， ，或，； ⑧当为正方体两条体对角线时， 设，则，， ，； 综上所述：的值有，，，共种. 故选：B. 26．在正三棱锥中，是的中心，，则等于（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 在正三棱锥中，为正的中心，， 则平面，而平面，于是，，且， 所以. 故选：D 27．在正四面体中，棱长为2，且E是棱中点，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】如图所示， 由正四面体的性质可得，， 由E是棱中点， ， 故选：A． 28．已知空间中四点A，B，E，C，若，则 .（填“”“ //”或“”） 【答案】 【详解】由，得， 所以. 故答案为： 29．已知点C在以AB为直径的球面上，若，则 ． 【答案】 【详解】由点C在以AB为直径的球面上，得， 所以. 故答案为： 30．已知空间向量，若，则的值为 ． 【答案】/ 【详解】由题知，因为，所以， 即 ， 所以. 故答案为： 题型五 夹角问题 31．已知平行六面体中，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 ， 故， 所以. 故选：B. 32．已知平行六面体中，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为 所以， . 故选：B. 33．在空间四边形中，，，则的值为（    ） A． B． C． D．0 【答案】D 【详解】如图所示， ∵ ， 又，， 则 ∴，∴，. 故选：D 34．已知平行六面体的所有棱长都相等，且，则直线与直线所成角的余弦值为 . 【答案】0 【详解】因为，所以四边形为平行四边形， 所以，所以直线与直线所成角和直线与直线所成的角相等， 又因为，所以 ， 所以直线与直线垂直，即直线与直线所成角的余弦值为0. 故答案为：0.    35．如图，在平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱长度都为1，且两两夹角为．记，，．    (1)求的长； (2)求与夹角的余弦值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意知：，， ∴， 又∵， ∴， ∴，即的长为， （2）∵， ∴， ∴， ， ∴， 即与夹角的余弦值为． 36．在平行六面体中，，，为与的交点. (1)用向量表示； (2)求线段的长及向量与的夹角. 【答案】(1) (2)，答案见解析 【详解】（1）解：因为为与的交点，所以， 又因为， 所以. （2）解：因为 ，所以， 因为，所以 . 37．如图，在平行六面体中，底面是边长为的正方形，侧棱的长为，且.求： (1)的长； (2)直线与所成角的余弦值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意得， 所以 ； （2） 所以 ， ，, ， 故， 由于异面直线所成角的范围为大于小于等于， 所以直线与AC所成角的余弦值为. 题型六 用数量积求线段长度 38．（多选）如图，两条异面直线a，b所成的角为，在直线a，b上分别取点A，O和点C，B，使，.已知，，，则线段OC的长为（    ）    A．6 B．8 C． D． 【答案】AC 【详解】依题意，， 平方得. 因为a，b所成的角为，或. 当时，，， 代入数据可得， 所以，，所以； 当时，，， 代入数据可得， 所以，，所以. 综上所述，或，即OC的长为6或. 故选：AC. 39．如图所示，已知平面，则 ．    【答案】12 【详解】， , 因为平面，平面， 所以，， 所以， 则. 故答案为： 40．在矩形中，，现将沿对角线折起，得到四面体，若异面直线与所成角为，则 . 【答案】或 【详解】如图所示，在矩形中，，可得， 则， 在四面体中，设与的夹角为， 因为异面直线与所成角为，则或， 由 ，所以或. 故答案为：或 41．在四棱柱中，若底面是边长为1的正方形，，，则四棱柱对角线的长为 ． 【答案】 【详解】如图，    可得. 则 . 故答案为： 42．如图，在空间四边形ABCD中，，，，，. (1)求； (2)求CD的长. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，，， 所以； （2）因为， 所以 ， 所以. 43．如图，在平行六面体中，，，，，，求： (1)； (2)的长. 【答案】(1)10 (2) 【详解】（1）． （2）因为， 所以． 44．如图，在平行六面体中，，，，，，，与相交于点．        (1)求； (2)求的长． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）. （2）因为， 所以 ， 所以的长为. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$