第3章 一次方程与方程组 单元测试卷-2023-2024学年沪科版数学七年级上册

第3章《一次方程与方程组》章节测试卷 一.选择题(共10小题,满分30分,每小题3分) 1.下列各式运用等式的性质变形,错误的是( ) A.若,则 B.若,则 C.若,则 D.若,则 2.按下面的程序计算: 如果n值为非负整数,最后输出的结果为2343,则开始输入的n值可能有 ( ). A.2种 B.3种 C.4种 D.5种 3.已知关于x,y的方程组,以下结论其中不成立是( ). A.不论k取什么实数,的值始终不变 B.存在实数k,使得 C.当时, D.当,方程组的解也是方程的解 4.已知实数、、满足,下列结论正确的是( ) A.可能为 B.若、、中有两个数相等,则 C.若,则 D.若,则 5.关于x,y的两个方程组和有相同的解,则的值是( ) A. B. C. D. 6.对一个正整数x进行如下变换:若x是奇数,则结果是;若x是偶数,则结果是.我们称这样的操作为第1次变换,再对所得结果进行同样的操作称为第2次变换,……以此类推.如对6第1次变换的结果是3,第2次变换的结果是10,第3次变换的结果是5……若正整数a第6次变换的结果是1,则a可能的值有( ) A.1种 B.4种 C.32种 D.64种 7.如表格所示,在方格中做填字游戏,要求每行,每列及对角线上三个方格中的数字和都相等,则表格中x,y的值是( ) 0 5 A. B. C. D. 8.若方程组的解是,则方程组的解是( ) A. B. C. D. 9.甲、乙两人共同解关于x,y的方程组,甲正确地解得乙看错了方程②中的系数c,解得,则的值为( ) A.16 B.25 C.36 D.49 10.满足方程的整数x有( )个 A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 二.填空题(共6小题,满分18分,每小题3分) 11.已知a,b为定值,且无论k为何值,关于x的方程的解总是x=2,则 . 12.已知,则的值等于 . 13.把75拆成4个数的和,使得第一个数加4,第二个数减4,第三个数乘4,第四个数除以4,得到的结果都相等,拆成这四个数中最大的数是 . 14.已知关于,的二元一次方程,无论实数取何值,此二元一次方程都有一个相同的解,则这个相同的解是 . 15.我们观察钟表可以发现钟表中有许多有趣的数学问题.若钟表从开始,设分针经过t分钟与时针第一次所成的角为,则t的值为 . 16.如图,在长方形中,厘米,厘米,点在边上且,动点从点出发,先以每秒厘米的速度沿运动,然后以每秒厘米的速度沿运动,再以每秒厘米的速度沿运动,最终到达点.设点运动的时间是秒,那么当 时,三角形的面积等于平方厘米. 三.解答题(共7小题,满分52分) 17.(6分)解方程(组) (1). (2). 18.(6分)已知是一个被墨水污染的方程组.圆圆说:“这个方程组的解是,而我由于看错了第二个方程中的x的系数,求出的解是.”请你根据以上信息,把方程组复原出来. 19.(8分)问题解决: 是小学大家都承认的事实,但你能推理说明其中的道理吗?小明有如下的探究: 解:, 所以设, 则, 所以, 解得, 于是. (1)实践探究:请你仿照小明的方法把下列两个小数化成分数,要求写出利用一元一次方程进行解答的过程: (2)拓展延伸:直接写出将化成分数的结果为_. 20.(8分)对于有理数x、y定义一种新运算“※”:规定※,等式右边是通常的四则运算.例如:2※. (1)若1※,3※,求a、b的值; (2)若运算“※”满足交换律,即对于任意有理数x、y且,都满足※※,求a、b之间的数量关系. 21.(8分)先阅读,再解方程组. 解方程组时,可由①得③,然后再将③代入②,得, 解得,从而进一步得这种方法被称为“整体代入法”. 请用上述方法解方程组 22.(8分)已知数轴上A,B,C三个点表示的数分别是,b,c,且满足,动点P、Q都从点A出发,且点P以每秒1个单位长度的速度向终点C移动.P点运动时间为t. (1)直接写出_,_; (2)若M为的中点,N为的中点,试判断在P点运动的过程中,线段的长度是否发生变化,请说明理由; (3)当点P运动到点B时,点Q再从点A出发,以每秒3个单位长度的速度在A,C之间往返运动,直至P点停止运动,Q点也停止运动.当点P从点A开始运动后的时间_秒时,P,Q两点之间的距离为2. 23.(8分)为响应国家号召,某区推进新型农村建设,强村富民.村民小军家准备将一块良田分成A、B、C三个区域来种植三种畅销型农作物.爸爸计划好三个区域的占地面积后,小军主动承担起实地划分的任务.划分完毕后,爸爸发现粗心的小军将A区20%的面积划分给了B区,而原B区50%的面积错划分给了A区,C区面积未出错,造成现B区的面积占A、B两区面积和的比例达到了40%.为了协调三个区域的面积占比,爸爸只好将C区面积的25%分成两部分划分给现在的A区和B区.爸爸划分完后,A、B、C三个区域的面积比变为2:1:3 (1)求爸爸计划的A、B、C三个区域的面积之比; (2)求爸爸从C区划分给B区的面积与良田总面积的比. 答案解析 1. 选择题 1.B 【分析】根据等式的性质,逐一进行判断即可. 【详解】解:A、若,则,选项正确,不符合题意; B、若,当时,,当时,没有意义,选项错误,符合题意; C、若,则,选项正确,不符合题意; D、若,则,选项正确,不符合题意; 故选B. 2.D 【分析】根据最后的结果2343倒推,解出方程,再根据方程求出满足条件的值. 【详解】由最后的结果可列出方程:,解得: 再由,解得: ,解得: ,解得: ,解得: 由值为非负整数可知值可能为0,3,18,93,468这5种情况. 故答案为D. 3.D 【分析】把k看成常数,解出关于x,y的二元一次方程组(解中含有k),然后根据选项逐一分析即可. 【详解】解:,解得:,然后根据选项分析: A选项,不论k取何值,,值始终不变,成立; B选项,,解得,存在这样的实数k,成立; C选项,,解得,成立; D选项,当时,,则,不成立; 故选D. 4.D 【分析】,,则,等式不成立,故A错误;B分三种情形讨论即可;C由,推出,推出,即,故错误;D由,推出,,则根据完全平方公式可得,. 【详解】A.,, ,等式不成立,故错误; B.分三种情形讨论: 当时,,则,成立; 当时,,则,,无解,故不成立; 当时,,则,,解得,故不成立,该选项错误; C.由,推出,推出,即,故错误; D ,, ,, , , 解得:,故正确; 故选:D. 5.A 【分析】由题意知,可重新组成两个关于x,y的两个方程组和,先计算不含参的二元一次方程组,得的值,然后代入含参的二元一次方程组,求的值,然后代入求解即可. 【详解】解:∵两个方程组同解 ∴可知关于x,y的两个方程组和有相同的解 解方程组 ②①得 将代入①式得 解得 ∴方程组的解为 将代入方程组得 解关于的方程组 ③④得 解得 将代入③式得 解得 ∴方程组的解为 ∴ 故选A. 6.B 【分析】利用“倒推法”从第6次的变换结果出发推出第5次的结果,依次往前推,从而得到a可能的值即可. 【详解】∵正整数x进行如下变换:若x是奇数,则结果是;若x是偶数,则结果是. ∴第6次结果为1,那么可能是或(不成立),此时x=2; ∴第5次结果应为2,那么可能是或(不成立),此时x=4; ∴第4次结果应为4,那么可能是或,此时x=8或x=1; ∴第3次结果应为8或1,那么可能是或(不成立),此时x=16,也可能是或(不成立),此时x=2; ∴第2次结果应为16或2,那么可能是或,此时x=32或x=5,也可能是或(不成立),此时x=4; ∴第1次结果应为32或5或4,那么可能是或(不成立),此时x=64,也可能是或(不成立),此时x=10,还可能是或,此时x=8或x=1; ∴要使第6次变换的结果为1,a可能的值有1,8,10,64,共4种. 故选:B. 7.A 【分析】根据题意,可得,解二元一次方程组即可得到答案. 【详解】解:由题意可得 ,解得, 故选:A. 8.A 【分析】将变形为,再设-3x+1=x’,-2y=y’,列出方程组,再得其解即可. 【详解】解:将变形为, 设-3x+1=x’,-2y=y’,则原方程变形为:, 因为方程组的解是, 所以,解得:, 所以方程组的解是, 故选:A. 9.B 【分析】将x=2,y=﹣1代入方程组中,得到关于a与b的二元一次方程与c的值,将x=3,y=1代入方程组中的第一个方程中得到关于a与b的二元一次方程,联立组成关于a与b的方程组,求出方程组的解得到a与b的值,即可确定出a,b及c的值. 【详解】把代入得:,解得:c=4,把代入得:3a+b=5,联立得:,解得:,则(a+b+c)2=(2﹣1+4)2=25. 故选B. 10.C 【分析】分类讨论:,,时,分别解方程求得答案. 【详解】当时,原方程为: ,得x=,不合题意舍去; 当时,原方程为: ,得x=,不合题意舍去; 当时,原方程为: ,得2=2,说明当时关系式恒成立,所以满足条件的整数解x有:0和1. 故选:C. 二.填空题 11. 【分析】根据一元一次方程的解法,去分母并把方程整理成关于a、b的形式,然后根据方程的解与k无关分别列出方程求解即可. 【详解】解:方程两边都乘6,去分母得2(kx-a)=6-3(2x+bk), ∴2kx-2a=6-6x-3bk, 整理得(2x+3b)k+6x=2a+6, ∵无论k为何值,方程的解总是2, ∴2a+6=6 2,2 2+3b=0, 解得a=3,, ∴. 故答案为:-4. 12. 【分析】将两个方程相加求得的值,将两个方程相减求得的值,然后将其代入中计算即可. 【详解】解:, 得:, 则, 得:, 则, 那么, 故答案为:. 13. 【分析】设相等的数为x,依次表示出拆成的4个数,根据4个数的和为75列方程即可求得相等的数,进而求得拆成的4个数,从而可判断最大的数. 【详解】解:设相等的数为x,则拆成的4个数为:,,,, 由题意得: , 解得:, 则,,,, 故最大的数是. 故答案为:. 14. 【分析】将方程整理成关于m的一元一次方程,若无论实数m取何值,此二元一次方程都有一个相同的解,则与m无关,从而令m的系数为0,从而得关于x和y的二元一次方程组,求解即可. 【详解】将(m+1)x+(2m-1)y+2-m=0整理得:mx+x+2my-y+2-m=0,即m(x+2y-1)+x-y+2=0, 因为无论实数m取何值,此二元一次方程都有一个相同的解, 所以, 解得:. 故答案为:. 15.4 【分析】先计算出时针和分针每分钟转动角度,以及时,时针分针夹角,再根据经过t分钟时针于分针夹角为,列出方程求解即可. 【详解】解:根据题意可得: 分针每分针转动角度, 时针每分钟转动角度, 时,时针分针夹角, ∴, 解得:. 故答案为:4. 16.或或 【分析】根据题意,分当在上时,当在上时,当在上时,当在上时,根据三角形的面积等于平方厘米,建立方程,解方程即可求解. 【详解】解:∵,点在边上且, ∴, 当在上时,,则 依题意, ∴, 解得:, 当在上时,, ∴, 解得: 当在上时,, ∴ ∴,解得:,舍去; 当在上时,,,则 ∴,解得:, 综上所述,或或 三.解答题 17.(1)解:去分母,得, 去括号,得, 移项、合并同类项,得, 化系数为1,得; (2), 将代入中,得, 解得, 将代入,得, 解得, 原方程组的解为. 18.解:设被墨水污染的三角形为a,圆点为b,正方形为c, ∵这个方程组的解是, ∴, ∴. ∵看错了第二个方程中的x的系数,求出的解是, ∴, ∴, 解得:. ∴原方程组为. 19.(1)解: 设, 两边同时乘以10, , , 解得:, ; , 设, 两边同时乘以100, , , 解得:, ; (2)解:设, 两边同时乘以100,可得:, , 设, 两边同时乘以10,得,, , 解得:, , 解得:, . 20.(1)解:※,※, ,, 即, 解得:, 的值为,的值为; (2), , ※※, , , , , , , 、之间的数量关系为. 21.解: 由①得,, 代入②得, 解得, 把代入③得,, 解得. 故原方程组的解为. 22.(1)解: , ,, ,, 故答案为:,9; (2)解:不发生变化,理由如下: 设点P表示的数为, M为的中点,N为的中点, 点M表示的数为,点N表示的数为, , 即在P点运动的过程中,线段的长度不发生变化,恒为; (3)解:运动特点为:点P运动到点B时,点Q再从点A出发,点P以每秒1个单位长度的速度向终点C移动,点Q再从点A出发,以每秒3个单位长度的速度在A,C之间往返运动, ,,, 点P从点B运动至点C的时间为:,点P从点A运动至点B的时间为:,点Q从点A运动至点C的时间为:, 即可知点Q的运动情况为:先是由A运动到C点,再由C点运动到A点,在由A点继续出发运动1s,即Q点在A与C之间运动了一个来回, 可将P,Q两点距离为2的情况分为以下2种情况讨论: 设点P从点B运动s后,P,Q两点距离为2, ,即点P表示的数为:,, ①当点Q由A运动到C点时, 此时点Q表示的数为:, , ,即, 解得:,或, 点P运动的时间为:,即或者秒时,P,Q两点之间的距离为2; ②当点Q由C运动到A点时,此时点Q表示的数为:, , ,即, 解得:,或, 点P运动的时间为:,即或者秒时,P,Q两点之间的距离为2; 综上,当点P从点A开始运动后的时间8,10,14.5,15.5秒,P,Q两点之间的距离为2. 故答案为:8,10,14.5,15.5. 23.(1)解:设爸爸计划A、B、C三个区域的面积分别为x、y、z. 则小军将A区20%的面积划分给了B区,而原B区50%的面积错划分给了A区,C区面积未出错,造成现B区的面积占A、B两区面积和的比例达到了40%, 可列方程:,解得:, 则此时,A区:, B区:, C区:z, 由爸爸只好将C区面积的分成两部分划分给现在的A区和B区. 爸爸划分完后,A、B、C三个区域的面积比变为2:1:3, 所以A、B两区面积之和等于C区面积, 可列方程:, 解得:, ∴爸爸计划的A、B、C三个区域的面积之比为. (2)设将C区面积的分成两部分划分给现在的A区为m,则B区为. 由三个区域的面积比变为2:1:3, 可列方程: 解得:, ∴爸爸从C区划分给B区的面积为:, 则爸爸从C区划分给B区的面积与良田总面积的比为:, 学科网(北京)股份有限公司 $$