2.1 代数式讲义2023-2024学年 沪科版数学七年级上册

2.1 代数式 本节课知识框架： 知识点1：用字母表示数 知识点2：代数式 知识点3：列代数式 知识点4：整式 知识点5：代数式的值 本节课重难点： 重点：代数式概念和书写、列代数式和代数式的值 难点：单项式、多项式、整式 本节课学习目标： 1、 在具体情境中,了解代数式,进一步理解字母表示数的意义,能解释一些简单代数式的实际背景或几何意义 2、 了解单项式、多项式、整式等概念,弄清它们之间的关系 3、 能分析具体问题中的数量关系,并会用代数式表示 4、 会用代入法求代数式的值 知识点1：用字母表示数 知识点讲解 1.用字母表示数 用字母或含有字母的式子表示数或数量关系 . 在用字母表示数中，字母和数一样可以参与运算，可以用式子把数量关系简明地表示出来 . 2.用含有字母的式子表示数的书写规定 (1)数与字母相乘或字母与字母相乘，通常将乘号写作 “· ”或省略不写； (2)数与字母相乘时，通常把数写在前面； (3)数字因数是 1 或 -1 时，“1”常省略不写； (4) 带分数与字母相乘时要将带分数化成假分数； (5)除法运算要表示成分数形式； (6)若式子后面有单位且式子是和或差的形式，式子应用括号括起来 . 例题1：填空： (1)买单价为 6 元的钢笔 a 支，共需_________元； (2)一台电视机的标价为 a 元，则打八折后的售价为___________元； (3) 温度由 30 ℃下降 t ℃后是_________ ℃； (4) 大圆的半径为 R cm，小圆的半径为 r cm，则圆环的面积是__________ cm2. 用字母表示日常生活中的数或数量关系，仅仅是把具体数用字母代替了，其实际意义与具体数是一致的，它将个别数量关系转变为了一般数量关系 . 方法总结 例题2：填空： (1)若 m 为整数，则 2m 为 数，2m－1 为_______数(填“奇”或“偶”)； (2)三个连续偶数，若中间一个数为 2n，则其余两个数分别为 _________； (3)若 k 为整数，以被 4 除作为分类标准，则整数可分为__________________________共 4 类； (4)若一个两位数，其个位数字为 a，十位数字为 b，则这个两位数为________________ . (1)奇、偶数的区别在于能否被 2 整除，偶数能被 2 整除，奇数被 2 除余 1； (2) 连续自然数前后相差 1；连续奇数或偶数前后相差 2； (3) 整数被 4 除可能的情况只有 4 种：整除、余 1、余 2、余 3； (4) 两位数的表示方法：十位数字 ×10+ 个位数字 . 例题3：如图 2.1 － 1，有一块长为 18 米，宽为 10 米的长方形土地，现将三面留出宽都是 x (0<x<8)米的小路，余下的部分种菜，用含 x 的式子表示： (1)菜地的长为___________米，宽为________米； (2)菜地的面积为_______________平方米 . 方法规律 用字母表示数量关系 “三要”： 1.要辨析词语意义：应认真审题，审题时要对语言叙述中的关键词语所代表的意义进行仔细辨析. 2.要分清数量关系：需分清语言叙述中各数量之间的和、差、倍、分关系，不要见多就加、见少就减、见倍就乘. 3.要书写规范：必须按照用字母表示数的书写要求正确、规范地书写 . 牛刀小试： 第一题：如图, 阴影部分的面积为(　　) A. ab－πa2 B. ab－πa2 C. ab－πa2 D. ab－πa2 第二题： 为落实“双减”政策, 某校利用课后服务开展了主题为“书香满校园”的读书活动, 现需购买甲、乙两种读本共100本供学生阅读, 其中甲种读本的单价为10元/本, 乙种读本的单价为8元/本, 设购买甲种读本x本, 则购买乙种读本的费用为(　　) A. 8x元 B. 10(100－x)元 C. 8(100－x)元 D. (100－8x)元 第三题：用式子表示: a的2倍与3的和, 下列表示正确的是(　　) A. 2a－3 B. 2a＋3 C. 2(a－3) D. 2(a＋3) 知识点2：代数式 知识点讲解 1.代数式的定义 用运算符号把数或表示数的字母连接而成的式子，叫做代数式 . 单独一个字母或者一个数也是代数式 . 2.代数式的书写要求 (1)数字与字母相乘时，数字在前，字母在后； (2)当字母和带分数相乘时，要把带分数化成假分数； (3)如果式中出现除法，一般写成分数形式； (4)若代数式是带加减运算且须注明单位的，要把代数式括起来，后面注明单位 . 例题4： 下列各式哪些是代数式？哪些不是代数式？ (1) 3>2； （2) a+b=5； (3) a；(4) 3； （5) 5+x－y； (6)5x－3y. 本题运用定义法求解 . 因为代数式是由数、表示数的字母和运算符号组成的，并且单独的一个数或 一个字母 也是代数式，所以我们可以理解为凡是不含等号和不等号的式子都是代数式 . 方法总结 牛刀小试： 第一题：在式子3, a, 3x＝4, a－3b, 4(x＋y)中, 代数式的个数为(　　) A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 第二题：下列代数式书写规范的是(　　) A. (x＋y)÷2 B. 1x C. y D. m－n厘米 第三题：某商店举办促销活动, 促销的方法是将原价x元的衣服以(0.8x－10) 元出售, 则下列说法中, 能正确表达该商店促销方法的是(　　) A. 原价减去10元后再打八折 B. 原价打八折后再减去10元 C. 原价减去10元后再打两折 D. 原价打两折后再减去10元 知识点3：列代数式 知识点讲解 1. 列代数式：把实际问题中与数量有关的语句用含有数字、字母和运算符号的式子表示出来 . 2. 列代数式常用的方法如表所示 方法及注意点 举例 抓关键性词语，如“大”“小”“ 多”“ 少”“ 和”“ 差”“积”“商”“倍”等，弄清题目中的量及各个量之间的关系 如“甲数的 2 倍与乙数除以 3 的商的差”中关键性词语是“倍”“除以”“商”“差”设甲数为 x，乙数为 y，则所列代数式为2x－ 例题5：根据下列语句列出代数式： (1) x 与 y 的和乘 3 的积的倒数； (2) x， y 两数的平方差； (3) x， y 两数和的平方的 2 倍． 在书写代数式时，要注意问题的语言叙述中所直接或间接表示的运算顺序 . 如“和的平方”表示先 “求和”再“平方”，而 “平方和”表示先“平方” 再“求和”，要注意两者的区别 . 方法总结 例题6：某校为积极响应贯彻国家“双减”政策，使课后服务更加丰富多彩，准备在网上订购一批某品牌的羽毛球拍和羽毛球， 开设羽毛球课 . 经调查发现，羽毛球拍一副定价 40元，羽毛球每个定价 5 元，“双十一”期间 A、 B 两家网店均提供包邮服务，并给出了各自的优惠方案． A 网店：买一副羽毛球拍送 2 个羽毛球； B 网店：羽毛球拍和羽毛球都按定价的 80% 付款．已知要购买羽毛球拍 30 副， 羽毛球 x( x>60) 个， 若在 A 网店购买， 需付款_______元(用含 x 的代数式表示)；若在 B 网店购买，需付款________元( 用含 x 的代数式表示)． 方法总结： 用含字母的式子表示实际问题中数量关系的关键是理解问题中的数量关系 . 这些数量关系中，除把文字“翻译”成字母表达式外，还要注意题中涉及的有关量之间存在的等量关系，如：路程 = 时间 ×速度，工作量=工作时间×工作效率，总价 = 单价 ×数量，各种面积公式等 . 方法总结： 牛刀小试： 第一题：用代数式表示“x的2倍与y的和的平方”, 是(　　) A. (2x＋y)2 B. 2x＋y2 C. 2x2＋y2 D. x(2＋y)2 第二题：一个三位数, 十位上的数字是a, 百位上的数字是a的2倍, 个位上的数字比十位上的数字小1, 这个三位数用式子可以表示为(　　) A. 122a－1 B. 211a－1 C. 5a－1 D. 111a－1 第三题： 下面四个代数式中, 不能表示图中阴影部分面积的是(　　) A. x2＋5x B. x(x＋3)＋6 C. 3(x＋2)＋x2 D. (x＋3)(x＋2)－2x 知识点4：整式 知识点讲解 1.单项式 ：由数和字母的积组成的代数式叫做单项式 .单独的一个数或一个字母也是单项式 . 2. 单项式的系数与次数 (1)系数： 单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数 . (2)次数： 单项式中所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数 . 例题7：找出下列各式中的单项式，并写出单项式的系数和次数 . (1) －m； ( 2) － ； (3) ； (4) (a+b) h； (5) 23xy3； (6)π r2. 确定单项式系数与次数的两易漏、三易错： 两易漏： 1. 易漏系数 1 或 －1，针对只含字母因式的单项式； 2. 易漏指数 1. 三易错： 1. 易将系数的指数当作字母的指数； 2. 易将分子为 1 的分数系数写成整数系数； 3. 易将数字π当成字母. 例题8：已知 2kx2yn 是关于 x， y 的一个单项式，且系数是7，次数是 5， 那么 k=________ ， n= _________. 知识点讲解 1.多项式：几个单项式的和叫做多项式 . 一个式子是多项式需具备两个条件： (1)式子中含有运算符号“+”或“－”； (2)分母中不含有字母 . 2. 多项式的项 在多项式里，每个单项式(连同符号)叫做多项式的项，其中不含字母的项，叫做常数项，一个多项式含有几项，这个多项式就叫做几项式 . 3. 多项式的次数 一个多项式里，次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数 . 整式定义：单项式与多项式统称为整式 . 例题9：多项式 a3b3 － 4ab4 － b － 的最高次项是什么？一次项系数是什么？常数项是什么？它是几次几项式？ 方法点拨 1. 多项式的每一项都包括它前面的符号，且每一项都是单项式 . 2. 多项式的次数是多项式中次数最高项的次数，而不是所有项的次数之和 . 3. 一个多项式有几项，就叫几项式 . 例题10：已知关于 x 的多项式 3x4 － ( m+5) x3+( n － 1) x2 － 5x+3 不含 x3 项和 x2 项，求 m， n 的值 . 特别提醒 不含某一项， 说明这一项的系数为 0. 若一个多项式的值与某字母的取值无关，则该多项式中含这个字母的项的和为 0. 牛刀小试： 第一题：填表: 第二题：如果多项式xn－2－5x＋2是关于x的三次三项式, 那么n等于(　　) A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 第三题： 在式子x2＋5, －1, －3x＋2, π, , x2＋, 5x中, 整式有(　　) A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 知识点5：代数式的值 知识点讲解 1.代数式的值：用数值代替代数式里的字母，按照代数式中的运算关系计算得出的结果叫做代数式的值 . 2. 求代数式的值的一般步骤 (1)代入： 用指定的字母的数值代替多项式里的字母，其他的运算符号和原来的数都不能改变 . (2) 计算： 按照多项式指明的运算，并根据有理数的运算方法计算 . 例题11：将式子： ， ，－y，π ( x2－y2 ) ， a2，7x－1，9a2+ －2 填入相应的大括号中 . 单项式：{                         …}； 多项式： {                          …}； 整式： {                           …}. 方法点拨 判断一个式子是单项式还是多项式的方法： 首先判断它是否是整式，若分母中含字母，则一定不是整式，也不可能是单项式或多项式.若是整式，再判断它是单项式还是多项式，单项式与多项式的区别在于是否含有加减运算，整式中一般含加减运算的是多项式，不含加减运算的是单项式. 例题12：当 a=2， b=－1 时，求下列代数式的值： (1) ( a－b) 2； (2)( a+b)( a－b)；(3)( a+b) 2. 方法点拨 用直接代入法求代数式的值可以分三步： 1. “当……时”，即指出字母的值； 2. “原式 =……”，即代入所给字母的值； 3. 计算 . 例题13：已知 |a|=5， |b|=3，且 ab<0，则 a－b 的值是(　　) A.2 或 8　　 　B. －2 或 －8　　　 C. ±2　　　 D. ±8 方法点拨 用间接代入法求代数式的值，其实质是要先计算出相关字母的值，再把求得的值代入含字母的式子，计算出结果 . 例题14：当 x2+x+5 的值为 7 时，求 3x2+3x－2 的值 . 技巧点拨 要求的代数式的某部分与已知条件中的某部分相类似时，用整体代入法能使问题快速得到解决 . 牛刀小试： 第一题：若x＝1, 则3x－2＝________. 第二题：正偶数2, 4, 6, 8, 10, …, 按如下规律排列, 则第27行的第21个数是________. 第三题： 当x＝, y＝－5时, 则代数式2x2－y的值为________. 课后作业 第一题：木材加工厂将一批木料按如图所示的规律依次摆放, 则第n个图中共有木料___________根. 第二题：用含字母的式子表示如图所示图形中阴影部分的面积: 第三题：下列问题中的数量关系不能用代数式2a＋3b表示的是(　　) A. 小红去商场买了2本单价为a元的笔记本和3支单价为b元的笔, 她共花了多少钱? B. 全班同学都报名参加了丰富多彩的课外小组, 其中同时报2个小组的有a名同学, 同时报3个小组的有b名同学, 全班共有多少名同学? C. 小亮看书特别快, 他借了一本课外书, 5天就看完了, 他有2天是每天看a页, 有3天是每天看b页, 这本书一共有多少页? D. 为了奖励先进个人, 学校买了两种笔记本当成奖品, 其中2元的笔记本a本, 3元的笔记本b本, 学校买这些奖品共花了多少钱? . 第四题：A, B两地相距280 km, 李明驾驶汽车以v km/h的速度从A地驶往B地, 请你用代数式表示: (1)李明驾车从A地到B地需要的时间; (2)如果汽车每小时多行驶10 km, 李明驾车从A地到B地需要的时间; (3)在(2)的情况下, 李明驾车从A地到B地比原计划少用的时间. 第五题：为了美化城市, 某商场在门前的空地上用花盆按如图所示的方式搭正方形花坛. (1)填写下表: 正方形的层数(n) 1 2 3 4 … 花的盆数(s) 4 8 ____ ____ … (2)按这个规律搭下去, 搭第6层正方形, 需要多少盆花? (3)如果某一层上有36盆花, 那么这是第几层? (4)你找到这个规律了吗? 请用含n(n表示正方形的层数)的代数式把这个规律表示出来. 第六题：(1)已知单项式6x2y4与－a2bm＋2的次数相同, 求m2－2m的值. (2)若x2yn＋1是关于x, y的五次单项式且系数为1, 试求m, n的值. 第七题：已知关于x的整式(k2－9)x3＋(k－3)x2－k. (1) 若该整式是二次式, 求k2＋2k＋1的值; (2)若该整式是二项式, 求k的值. 第八题：如图, 某链条每节长为2. 8 cm, 每两节链条相连接部分重叠的圆的直径为1 cm, 按这种连接方式, 50节链条总长度为________cm. 第九题：(1)当a＝－, b＝时, 求下列代数式的值: ①(a＋b)2; ②a2＋2ab＋b2. (2)回答下列问题: ①这两个代数式的值有什么关系? ②当a＝2, b＝－3时, 上述结论是否仍然成立? ③你能用简便的方法算出当a＝－0. 875, b＝－0. 125时, 代数式a2＋2ab＋b2的值吗? 2 学科网（北京）股份有限公司 $$