2.1.1 倾斜角与斜率（word练习）-【状元桥·优质课堂】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）

一、选择题 1.（多选）下列命题中，正确的是（　　） A.若α是直线l的倾斜角，则0°≤α＜180° B.若k是直线的斜率，则k∈R C.任何一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率 D.任何一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角 答案　ABC 解析　由倾斜角和斜率的概念可知A，B，C项正确.故选ABC项. 2.若直线过坐标平面内两点（4，2），（1，2＋），则此直线的倾斜角是（　　） A.30° B.150° C.60° D.120° 答案　B 解析　由题意知直线的斜率k＝＝－，所以直线的倾斜角为150°.故选B项. 3.过A（y，6），B（－4，3）两点的直线的一个方向向量为n＝（－1，－1），则y＝（　　） A.－ B. C.－1 D.1 答案　C 解析　由直线的方向向量为（－1，－1）得，直线的斜率为＝1，所以＝1，解得y＝－1.故选C项. 4.如图，直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则（　　） A. k1＜k3＜k2 B. k3＜k1＜k2 C. k1＜k2＜k3 D. k3＜k2＜k1 答案　A 解析　设直线l1，l2，l3的倾斜角分别为α1，α2，α3，则由题图知0°＜α3＜α2＜90°＜α1＜180°，所以tan α1＜0，tan α2＞tan α3＞0，即k1＜0，k2＞k3＞0，所以k1＜k3＜k2.故选A项. 5.若某直线的斜率k的取值范围是（－∞，]，则该直线的倾斜角α的取值范围是（　　） A. B. C.∪ D. 答案　C 解析　因为直线的斜率k∈（－∞，]，所以k≤tan，所以该直线的倾斜角α的取值范围是∪.故选C项. 二、填空题 6.已知三点A（a，2），B（3，7），C（－2，－9a）在同一条直线上，则实数a的值为　　　　. 解析　因为A，B，C三点共线，所以kAB＝kBC，即＝，所以a＝2或. 答案　2或 7.如图，已知直线l1的倾斜角为150°，l2⊥l1，垂足为B，l1，l2与x轴分别相交于点C，A，l3平分∠BAC，则l3的倾斜角为　　　　. 解析　因为直线l1的倾斜角为150°，所以∠BCA＝30°，所以l3的倾斜角为×（90°－30°）＝30°. 答案　30° 8.若经过两点A（2，1），B（1，m）的直线的倾斜角为锐角，则m的取值范围是　　　　. 解析　由题意可得kAB＝＝1－m.因为直线AB的倾斜角为锐角，所以kAB＞0，即1－m＞0，所以m＜1.所以m的取值范围是（－∞，1）. 答案　（－∞，1） 三、解答题 9.已知过两点A（3－m－m2，－2m），B（m2＋2，3－m2）的直线的倾斜角为135°，求m的值. 解析　易知直线的斜率为tan 135°＝－1，又直线过A（3－m－m2，－2m），B（m2＋2，3－m2），所以＝－1，整理得＝1，可求得m＝－2或m＝－1，经检验m＝－1不合题意，故m＝－2. 10.已知两点A（－4，3），B（3，2），过点P（0，－1）的直线l与线段AB有公共点. （1）求直线l的斜率k的取值范围； （2）求直线l的倾斜角α的取值范围. 解析　如图，由题意可以得到kPA＝＝－1，kPB＝＝1. （1）要使直线l与线段AB有公共点，则直线l的斜率k的取值范围是（－∞，－1]∪[1，＋∞）. （2）由题意可知，l的倾斜角介于直线PB与PA的倾斜角之间.又PB的倾斜角是，PA的倾斜角是，所以直线l的倾斜角α的取值范围是. 11.（多选）下列各组点中，共线的是（　　） A.（1，4），（1，2），（1，5） B.（－2，－5），（7，6），（－5，3） C.（1，0），（0，－），（7，2） D.（0，0），（2，4），（－1，3） 答案　AC 解析　A项中，三点都在直线x＝1上，共线；B项中，＝，＝≠，不共线；C项中，＝，＝，共线；D项中，＝2，＝－3≠2，不共线.故选AC项. 12.直线l过点A（1，2），且不过第四象限，则直线l的斜率k的最大值为（　　） A.0 B.1 C. D.2 答案　D 解析　如图，kOA＝2，kl'＝0，只有当直线落在图中阴影部分时才符合题意，故k∈[0，2].故直线l的斜率k的最大值为2.故选D项. 13.已知O（O为坐标原点）是等腰直角三角形OAB的直角顶点，点A在第一象限，∠AOy＝15°，则斜边AB所在直线的斜率为　　　　. 解析　如图1，当点B在第二象限时，设直线AB与x轴的交点为C，则∠ACO＝180°－∠A－∠AOC＝180°－45°－105°＝30°，所以kAB＝tan 30°＝.如图2，当点B在第四象限时，设直线AB与x轴的交点为D，则∠DOB＝15°，所以∠ADx＝∠ODB＝180°－∠DOB－∠DBO＝180°－15°－45°＝120°，所以kAB＝tan 120°＝－.所以斜边AB所在直线的斜率为或－. 　 图1　　　　　图2 答案　或－ 14.已知经过坐标平面内A（1，2），B（－2，2m－1）两点的直线的方向向量为（1，sin α），则实数m的取值范围为　　　　. 解析　由题意知直线的斜率一定存在.设直线AB的斜率为k.由直线的方向向量为（1，sin α），得k＝sin α，所以k∈[－1，1].又k＝＝，所以－1≤≤1，解得0≤m≤3.所以实数m的取值范围为[0，3]. 答案　[0，3] 15.已知函数f（x）＝log3（x＋2），若a＞b＞c＞0，则，，的大小关系为（　　） A. ＜＜ B. ＜＜ C. ＜＜ D. ＜＜ 答案　B 解析　作出函数f（x）＝log3（x＋2）的大致图象，如图所示. 由图象可知y轴右侧曲线上各点与原点连线的斜率随x的增大而减小，因为a＞b＞c＞0，所以＜＜.故选B项. 16.已知实数x，y满足关系式x＋2y＝6，当1≤x≤3且x≠2时，求的取值范围. 解析　的几何意义是过M（x，y），N（2，1）两点的直线的斜率.因为点M在y＝3－x的图象上，满足1≤x≤3且x≠2，所以可设该线段为AB，其中A，B（3，）. 由于kNA＝－，kNB＝，所以的取值范围是∪. 学科网（北京）股份有限公司 $$