1.4.2.2 用空间向量研究夹角问题（word练习）-【状元桥·优质课堂】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）

一、选择题 1.若直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角等于120°，则直线l与平面α所成的角为（　　） A.120° B.60° C.30° D.以上均错误 答案　C 解析　不妨设直线l与平面α所成的角为θ，则sin θ＝｜cos 120°｜＝，又因为0＜θ≤90°，所以θ＝30°.故选C项. 2.已知两平面的法向量分别为m＝（0，1，0），n＝（0，1，1），则两平面的夹角为（　　） A.45° B.135° C.45°或135° D.90° 答案　A 解析　由题意可得cos＜m，n＞＝＝＝，即＜m，n＞＝45°，所以两平面的夹角为45°.故选A项. 3.已知A（0，1，1），B（2，－1，0），C（3，5，7），D（1，2，4），则直线AB与直线CD所成角的余弦值为（　　） A. B.－ C. D.－ 答案　A 解析　由题意可得＝（2，－2，－1），＝（－2，－3，－3），所以cos＜，＞＝＝＝，所以直线AB与直线CD所成角的余弦值为.故选A项. 4.在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝，PA⊥平面ABCD，PA＝1，则PC与平面ABCD所成的角为（　　） A.30° B.45° C.60° D.90° 答案　A 解析　建立如图所示的空间直角坐标系，则P（0，0，1），C（1，，0），＝（1，，－1），平面ABCD的一个法向量为n＝（0，0，1），所以cos＜，n＞＝＝－，所以＜，n＞＝120°，所以斜线PC与平面ABCD的法向量所在直线所成的角为60°，所以斜线PC与平面ABCD所成的角为30°.故选A项. 5.如图，在四棱锥P－ABCD中，PB⊥平面ABCD，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC，AB＝AD＝PB＝3，点E在棱PA上，且PE＝2EA，则平面ABE与平面BED夹角的余弦值为（　　） A. B. C. D. 　　　 题图　　　　　　　答图 答案　B 解析　以B为坐标原点，分别以BC，BA，BP所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则B（0，0，0），A（0，3，0），P（0，0，3），D（3，3，0），E（0，2，1），所以＝（0，2，1），＝（3，3，0）.设平面BED的法向量为n＝（x，y，z），则取z＝1，得n＝.又平面ABE的一个法向量为m＝（1，0，0），所以cos＜n，m＞＝＝.所以平面ABE与平面BED夹角的余弦值为.故选B项. 二、填空题 6.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为AB，CC1的中点，则异面直线EF与A1C1夹角的大小为　　　　. 解析　建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则E（0，1，2），F（2，2，1），A1（0，0，0），C1（2，2，0），所以＝（2，1，－1），＝（2，2，0），所以cos＜，＞＝＝，所以＜，＞＝30°.所以异面直线EF与A1C1夹角的大小为30°. 答案　30° 7.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，直线BC1与平面A1BD所成角的余弦值是　　　　. 解析　建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则B（1，1，0），C1（0，1，1），A1（1，0，1），D（0，0，0），所以＝（－1，0，1），＝（－1，0，－1），＝（－1，－1，0）.设平面A1BD的法向量为n＝（x，y，z），BC1与平面A1BD所成的角为θ.由有取x＝1，则n＝（1，－1，－1），则cos＜，n＞＝＝－，所以可得sin θ＝，所以cos θ＝＝. 答案　 8.已知三棱锥S－ABC中，底面ABC为边长等于2的等边三角形，SA垂直于底面ABC，SA＝3，那么直线AB与平面SBC所成角的正弦值为　　　　. 解析　建立如图所示的空间直角坐标系，则S（0，0，3），A（0，0，0），B（，1，0），C（0，2，0）.所以＝（，1，0），＝（，1，－3），＝（0，2，－3）.设平面SBC的法向量为n＝（x，y，z），则令y＝3，则z＝2，x＝，所以n＝（，3，2）.设AB与平面SBC所成的角为θ，则sin θ＝＝＝. 答案　 三、解答题 9.在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ACB＝90°，AC＝2BC，A1B⊥B1C，求B1C与侧面A1ABB1所成角的正弦值. 解析　如图，建立空间直角坐标系Cxyz.设BC＝1，CC1＝a，则A（2，0，0），A1（2，0，a），B（0，1，0），B1（0，1，a），所以＝（－2，1，－a），＝（0，－1，－a），＝（－2，1，0），＝（0，0，a）. 因为A1B⊥B1C，所以·＝0，即－1＋a2＝0，所以a＝1，所以＝（0，－1，－1）. 设平面A1ABB1的法向量为n＝（x，y，z）， 由得即 令x＝1，则有y＝2，可取n＝（1，2，0）. 设B1C与侧面A1ABB1所成角为θ， 则sin θ＝｜cos＜，n＞｜＝＝，所以B1C与侧面A1ABB1所成角的正弦值为. 10.如图所示，在几何体S－ABCD中，AD⊥平面SCD，BC⊥平面SCD，AD＝DC＝2，BC＝1，又SD＝2，∠SDC＝120°，求平面SAD与平面SAB夹角的余弦值. 　　　 题图　　　　　　　　答图 解析　如图，过点D作DC的垂线交SC于E，以D为原点，以DC，DE，DA所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系. 因为∠SDC＝120°，所以∠SDE＝30°，又SD＝2，所以点S到y轴的距离为1，到x轴的距离为，则有D（0，0，0），S（－1，，0），A（0，0，2），C（2，0，0），B（2，0，1）， 设平面SAD的法向量为m＝（x，y，z）， 因为＝（0，0，－2），＝（－1，，－2）， 所以取x＝，得平面SAD的一个法向量为m＝（，1，0）. 又＝（2，0，－1），设平面SAB的法向量为n＝（a，b，c）， 则即 令a＝，则n＝（，5，2）， 所以cos＜m，n＞＝＝＝， 故平面SAD与平面SAB夹角的余弦值是. 11.（多选）已知＝（0，1，1），＝（2，－1，2），BE⊥平面BCD，则（　　） A.点A到平面BCD的距离为 B. AB与BE所成角的正弦值为 C.点A到平面BCD的距离为 D. AB与平面BCD所成角的正弦值为 答案　CD 解析　因为BE⊥平面BCD，所以是平面BCD的一个法向量，所以点A到平面BCD的距离为＝，故A项错误，C项正确；与所成角的余弦值为＝＝，正弦值为＝，B项错误；AB与平面BCD所成角的正弦值为＝＝，D项正确.故选CD项. 12.已知正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB，建立如图所示的空间直角坐标系，则平面BDC1的一个法向量为　　　　（答案不唯一，写出一个坐标即可），直线CB1与平面BDC1所成角的正弦值为　　　　. 解析　不妨设AB＝1，则AA1＝2，由题图可知D（0，0，2），C1（0，1，0），B（1，1，2），C（0，1，2），B1（1，1，0），所以＝（1，1，0），＝（0，1，－2），＝（1，0，－2）.设平面BDC1的法向量为n＝（x，y，z），则可得 即令z＝1，则y＝2，x＝－2.故平面BDC1的一个法向量为n＝（－2，2，1），设CB1与平面BDC1所成角为θ，则sin θ＝＝. 答案　（－2，2，1） 13.已知菱形ABCD中，∠ABC＝60°，沿对角线AC折叠之后，使得平面BAC⊥平面DAC，则平面BCD和平面ACD的夹角的余弦值为　　　　. 　　　 题图　　　　　　　　　答图 解析　设菱形ABCD的边长为1，取AC的中点O，连接BO，DO，因为∠ABC＝60°，所以BO⊥AC，又平面BAC⊥平面DAC，平面BAC∩平面DAC＝AC，所以BO⊥平面ACD，如图建系，则O（0，0，0），C（，0，0），B（0，0，），D（0，，0）， 所以＝（0，0，），＝（，0，－），＝（－，，0）.设平面BCD的法向量为n＝（x，y，z），则有即令z＝1，得x＝，y＝1，则n＝（，1，1），易知平面CDA的一个法向量为＝（0，0，），所以cos＜，n＞＝＝.所以两平面夹角的余弦值为. 答案　 14.如图所示，四棱锥P－ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD是边长为2的正方形，PD＝2，E是棱PB的中点，M是棱PC上的动点，当直线PA与直线EM所成的角为60°时，线段PM的长度是　　　　. 　　　 题图　　　　　　　答图 解析　以D为坐标原点，直线DA为x轴，直线DC为y轴，直线DP为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz.依题意知A（2，0，0），P（0，0，2），B（2，2，0），所以＝（－2，0，2）.因为E是棱PB的中点，所以点E的坐标为（1，1，1）.设M（0，2－m，m）（0≤m≤2），则＝（－1，1－m，m－1）， 所以｜cos＜，＞｜＝ ＝＝，解得m＝， 所以M（0，，），所以可以得到｜｜＝＝＝.所以线段PM的长度是. 答案　 15.如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ACB＝90°，AC＝AA1＝2BC＝2，D为AA1上一点.若平面B1DC和平面DCC1的夹角为30°，则AD的长为　　　　. 　　　 题图　　　　　　答图 解析　如图，以C为坐标原点，CA，CB，CC1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系Cxyz，则C（0，0，0），B1（0，1，2），B（0，1，0），所以＝（0，1，2），＝（0，1，0）.设AD＝a（0≤a≤2），则点D的坐标为（2，0，a），＝（2，0，a）.设平面B1CD的法向量为m＝（x，y，z），则⇒ 令z＝－1，得m＝（，2，－1）.又平面C1DC的一个法向量为＝（0，1，0），记为n，则由cos 30°＝＝＝，解得a＝（负值舍去），故AD＝. 答案　 16.在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝4，AD＝3，AA1＝2，在线段AB上是否存在一点E，使平面CDE与平面C1DE的夹角的余弦值为？若存在，求出AE的长；若不存在，说明理由. 　　　 题图　　　　　　　答图 解析　假设存在点E，设AE＝a（0≤a≤4）. 如图，以D为原点，，，分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系Dxyz，则有E（3，a，0），C1（0，4，2），D（0，0，0）.设平面DEC1的法向量为n＝（x，y，z），又＝（0，4，2），＝（3，a，0），故所以 即令y＝1，得x＝－，z＝－2，即n＝，又易知平面DEC的一个法向量为m＝（0，0，1），所以cos＜m，n＞＝＝.由题意知＝，解得a＝3，所以在线段AB上存在点E，使平面CDE与平面C1DE的夹角的余弦值为，此时AE＝3. 学科网（北京）股份有限公司 $$