1.4.2.1 用空间向量研究距离问题（word练习）-【状元桥·优质课堂】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）

一、选择题 1.已知平面α的一个法向量n＝（－2，－2，1），点A（－1，3，0）在α内，则平面外一点P（－2，1，4）到α的距离为（　　） A.10 B.3 C. D. 答案　D 解析　由题意可得＝（1，2，－4），则点P到α的距离d＝＝＝.故选D项. 2.正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，则点C1到平面A1BD的距离是（　　） A.a B.a C.a D.a 答案　D 解析　以A为原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图，则A（0，0，0），B（a，0，0），C1（a，a，a），所以＝（a，a，a），＝（0，a，a），由于AC1⊥平面A1BD，所以点C1到平面A1BD的距离d＝＝＝a.故选D项. 3.已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，点E是A1B1的中点，则点A到直线BE的距离是（　　） A. B. C. D. 答案　B 解析　建立空间直角坐标系如图所示，则B（0，0，0），A（0，2，0），E（0，1，2），所以＝（0，2，0），＝（0，1，2），设∠ABE＝θ，则有cos θ＝＝＝，所以sin θ＝＝.故点A到直线BE的距离d＝｜｜sin θ＝2×＝.故选B项. 4.已知三棱锥O－ABC中，OA⊥OB，OB⊥OC，OC⊥OA，且OA＝1，OB＝2，OC＝2，则点A到直线BC的距离为（　　） A. B. C. D.3 答案　B 解析　以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.由题意可知A（1，0，0），B（0，2，0），C（0，0，2），所以＝（－1，2，0），＝（0，－2，2），取a＝＝（－1，2，0），u＝＝（0，－，），则点A到直线BC的距离为＝＝.故选B项. 5.如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，O是底面A1B1C1D1的中心，则O到平面ABC1D1的距离是（　　） A. B. C. D. 　　　 题图　　　　　　　　答图 答案　B 解析　以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则有D1（0，0，1），D（0，0，0），A（1，0，0），B（1，1，0），A1（1，0，1），C1（0，1，1）.因为O为A1C1的中点，所以O（，，1），＝，＝（－1，0，1），＝（0，1，0）.设平面ABC1D1的法向量为n＝（x，y，z），则有即可取x＝1，则n＝（1，0，1），所以O到平面ABC1D1的距离为d＝＝＝.故选B项. 二、填空题 6.已知直线l经过点A（2，3，1），且向量n＝（，0，）为l的一个单位方向向量，则点P（4，3，2）到l的距离为　　　　. 解析　由题意可得＝（－2，0，－1），因为n＝（，0，）为l的一个单位方向向量，所以点P到l的距离d＝＝＝. 答案　 7.在空间直角坐标系Oxyz中，平面OAB的一个法向量为n＝（2，－2，1）.已知点P（－1，3，2），则点P到平面OAB的距离d＝　　　　. 解析　由题意可得，点P到平面OAB的距离d＝＝＝2. 答案　2 8.已知线段AB，BD在平面α内，BD⊥AB，线段AC⊥α，若AB＝a，BD＝b，AC＝c，则C，D间的距离为　　　　. 解析　｜｜2 ＝（＋＋）2＝｜｜2＋｜｜2＋｜｜2＋2·＋2·＋2·.因为AC⊥α，AB⊂α，BD⊂α，所以AC⊥BD，AC⊥AB，又因为AB⊥BD，所以·＝·＝·＝0，所以｜｜2＝｜｜2＋｜｜2＋｜｜2＝a2＋b2＋c2，所以｜｜＝. 答案　 三、解答题 9.如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AB＝2，AD＝1，点F，G分别是AB，CC1的中点，求点D1到直线GF的距离. 　　　 题图　　　　　　　 答图 解析　如图，以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在的直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，则D1（0，0，2），F（1，1，0），G（0，2，1），于是有＝（1，－1，－1），＝（0，－2，1），所以＝＝，｜｜＝，所以点D1到直线GF的距离为＝. 10.如图所示，在直二面角D－AB－E中，四边形ABCD是边长为2的正方形，△AEB是等腰直角三角形，其中∠AEB＝90°，求点D到平面ACE的距离. 　　　　　 题图　　　　　　　　答图 解析　取AB的中点O，连接OE.以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz（其中z轴平行于BC），则A（0，－1，0），E（1，0，0），D（0，－1，2），C（0，1，2），所以＝（0，0，2），＝（1，1，0），＝（0，2，2）.设平面ACE的法向量为n＝（x，y，z），则即令y＝1，所以n＝（－1，1，－1）.故点D到平面ACE的距离d＝＝＝. 11.（多选）在棱长为3的正方体ABCD－A1B1C1D1中，点P在棱DC上运动（不与顶点重合），则点B到平面AD1P的距离可以是（　　） A. B. C.2 D. 答案　CD 解析　以D为原点，DA，DC，DD1分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则D（0，0，0），A（3，0，0），B（3，3，0），D1（0，0，3），设P（0，t，0）（0＜t＜3），所以＝（－3，t，0），＝（－3，0，3），＝（0，3，0），设n＝（x，y，z）为平面AD1P的法向量，则令y＝3，可得n＝（t，3，t），则点B到平面AD1P的距离为d＝｜｜＝，因为0＜t＜3，所以d的取值范围是（，3）.故选CD项. 12.如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，所有棱长均为1，且AA1⊥底面ABC，则点B1到平面ABC1的距离为　　　　. 　　　 题图　　　　　　　答图 解析　建立如图所示的空间直角坐标系，则A（，，0），B（0，1，0），B1（0，1，1），C1（0，0，1），则＝（，，－1），＝（0，1，0），＝（0，1，－1）.设平面ABC1的法向量为n＝（x，y，z）， 则有 取y＝1，则n＝（，1，1），则点B1到平面ABC1的距离为＝＝. 答案　 13.在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是BC，CD的中点，则BD到平面EFD1B1的距离为　　　　. 解析　以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则D（0，0，0），B（1，1，0），E，F（0，，0），D1（0，0，1），B1（1，1，1），所以＝（－，－，0），＝（0，，－1），＝（0，0，1）.设平面EFD1B1的法向量为n＝（x，y，z），则即令x＝2，则y＝－2，z＝－1，则n＝（2，－2，－1），由题易知BD∥平面EFD1B1，所以BD到平面EFD1B1的距离即为点D到平面EFD1B1的距离，为＝. 答案　 14.如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，底面ABC为正三角形，且侧棱AA1⊥底面ABC，底面边长与侧棱长都等于2，O，O1分别为AC，A1C1的中点，则平面AB1O1与平面BC1O间的距离为　　　　. 　　　 题图　　　　　　　答图 解析　如图，连接OO1，根据题意，OO1⊥底面ABC，则以O为坐标原点，分别以OB，OC，OO1所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.由题意可知AO1∥OC1，OB∥O1B1，AO1∩O1B1＝O1，OC1∩OB＝O，所以平面AB1O1∥平面BC1O，所以平面AB1O1与平面BC1O间的距离即为点O1到平面BC1O的距离.因为O（0，0，0），B（，0，0），C1（0，1，2），O1（0，0，2），所以＝（，0，0），＝（0，1，2），＝（0，0，2），设n＝（x，y，z）为平面BC1O的法向量，则即所以可取n＝（0，2，－1）.点O1到平面BC1O的距离记为d，则d＝＝＝，所以平面AB1O1与平面BC1O间的距离为. 答案　 15.如图，已知正三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长均为1，动点P在线段AB1上，则△PBC1面积的最小值为　　　　. 　　　 题图　　　　　　答图 解析　如图，以点A为原点建立空间直角坐标系，则A（0，0，0），B（1，0，0），B1（1，0，1），C1（，，1），所以＝（1，0，1），＝（－，，1），因动点P在线段AB1上，则令＝t＝（t，0，t），0≤t≤1，即点P（t，0，t），所以＝（t－1，0，t），则｜｜2＝（t－1）2＋t2＝2t2－2t＋1，从而＝（t＋1），因此点P到直线BC1的距离d＝ ＝ ＝＝≥，当且仅当t＝时取等号，所以线段AB1上的动点P到直线BC1的距离的最小值为，又因为｜BC1｜＝＝，所以△PBC1面积的最小值为dmin｜BC1｜＝××＝. 答案　 16.如图，四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，∠BAD＝∠ABC＝90°，PA＝AD＝2，AB＝BC＝1，试问在线段PA上是否存在一点M，使其到平面PCD的距离为？若存在，试确定点M的位置；若不存在，请说明理由. 　　　 题图　　　　　　　答图 解析　如图所示，以点A为原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则A（0，0，0），P（0，0，2），C（1，1，0），D（0，2，0），所以＝（1，1，－2），＝（0，2，－2）. 设直线PA上有一点M（0，0，z0），平面PCD的法向量为n＝（x，y，z）， 则即 令z＝1，得所以n＝（1，1，1），又＝（0，0，2－z0），故点M到平面PCD的距离d＝＝｜2－z0｜. 令d＝，可解得z0＝3或z0＝1. 当z0＝3时，M（0，0，3）在线段AP的延长线上，故舍去； 当z0＝1时，M（0，0，1）是线段AP的中点. 综上可知，当点M是线段AP的中点时，点M到平面PCD的距离为. 学科网（北京）股份有限公司 $$