1.4.1.1 空间中点、直线和平面的向量表示空间中直线、平面的平行（word练习）-【状元桥·优质课堂】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）

一、选择题 1.与向量a＝（1，－3，2）平行的一个向量的坐标是（　　） A. B.（－1，－3，2） C. D.（，－3，－2） 答案　C 解析　a＝（1，－3，2）＝－2.故选C项. 2.已知平面α的一个法向量是（2，－1，－1），α∥β，则下列向量可作为平面β的一个法向量的是（　　） A.（4，2，－2） B.（2，0，4） C.（2，－1，－5） D.（4，－2，－2） 答案　D 解析　因为α∥β，所以β的法向量与α的法向量平行，又（4，－2，－2）＝2（2，－1，－1），所以D项符合题意.故选D项. 3.已知a＝（2，4，5），b＝（3，x，y）分别是直线l1，l2的方向向量.若l1∥l2，则（　　） A. x＝6，y＝15 B. x＝3，y＝ C. x＝3，y＝15 D. x＝6，y＝ 答案　D 解析　由l1∥l2得＝＝，解得x＝6，y＝.故选D项. 4.若直线l的一个方向向量为a＝（2，5，7），平面α的一个法向量为u＝（1，1，－1），则（　　） A. l∥α或l⊂α B. l⊥α C. l⊂α D. l与α斜交 答案　A 解析　由条件知a·u＝2×1＋5×1＋7×（－1）＝0，所以a⊥u，故l∥α或l⊂α.故选A项. 5.已知向量a＝（2，－1，3）和b＝（－4，2x2，6x）都是直线l的方向向量，则x的值是（　　） A.－1 B.1或－1 C.－3 D.1 答案　A 解析　由题意得a∥b，则有a＝λb，即2＝－4λ，解得λ＝－，所以解得x＝－1.故选A项. 二、填空题 6.已知直线l的一个方向向量为（2，m，m），平面α的一个法向量为（1，1，2），且l∥α，则m＝　　　　. 解析　因为l∥α，所以l的方向向量与α的法向量垂直，所以（2，m，m）·（1，1，2）＝2＋m＋2m＝0，所以m＝－. 答案　－ 7.设直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n＝（2，2，4），若a＝（－1，－1，1），则直线l与平面α的位置关系为　　　　. 解析　由题意可得，a·n＝（－1，－1，1）·（2，2，4）＝0，则l∥α或l⊂α. 答案　l∥α或l⊂α 8.已知平面α内的三点A（0，0，1），B（0，1，0），C（1，0，0），平面β的一个法向量为n＝（－1，－1，－1），且β与α不重合，则β与α的位置关系是　　　　. 解析　＝（0，1，－1），＝（1，0，－1），n·＝（－1，－1，－1）·（0，1，－1）＝－1×0＋（－1）×1＋（－1）×（－1）＝0，n·＝（－1，－1，－1）·（1，0，－1）＝－1×1＋0＋（－1）×（－1）＝0，所以n⊥，n⊥.又AB∩AC＝A，所以n也为α的一个法向量，又 α与β不重合，所以α∥β. 答案　平行 三、解答题 9.如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱垂直于底面，AB⊥BC，E，F分别为A1C1和BC的中点.求证：C1F∥平面ABE. 　　　　　 题图　　　　　　　　答图 证明：如图，以B为坐标原点，分别以BC，BA，BB1所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系.设BC＝a，AB＝b，BB1＝c，则B（0，0，0），A（0，b，0），C1（a，0，c），F，E，所以＝（0，－b，0），＝. 设平面ABE的法向量为n＝（x，y，z）， 则即 令x＝2，则y＝0，z＝－，即n＝. 又＝，所以 n·＝0， 又C1F⊄平面ABE，所以C1F∥平面ABE. 10.已知棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，M分别是A1C1，A1D和B1A上任意一点.求证：平面A1EF∥平面B1MC. 证明：如图，建立空间直角坐标系Dxyz，A1（1，0，1），B1（1，1，1），C1（0，1，1），A（1，0，0），D（0，0，0），C（0，1，0），则＝（－1，1，0）， ＝（－1，0，－1）， ＝（1，0，1）， ＝（0，－1，－1）， 设＝λ，＝μ，＝v（λ，μ，v∈R，且均不为0）. 设n1＝（x1，y1，z1），n2＝（x2，y2，z2）分别是平面A1EF与平面B1MC的法向量， 则即 即所以可取n1＝（1，1， －1）， 由可得 即 所以可取n2＝（1，1，－1）， 所以n1＝n2，所以n1∥n2， 所以平面A1EF∥平面B1MC. 11.（多选）在如图所示的空间直角坐标系中，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，下列结论中正确的是（　　） A.平面ABB1A1的一个法向量为（0，1，0） B.平面B1CD的一个法向量为（1，1，1） C.平面B1CD1的一个法向量为（1，1，1） D.平面ABC1D1的一个法向量为（0，1，1） 答案　AC 解析　因为＝（0，1，0），AB⊥AD，AA1⊥AD，又AB∩AA1＝A，所以AD⊥平面ABB1A1，所以A项正确；因为＝（－1，0，0），而（1，1，1）·＝－1≠0，所以（1，1，1）不是平面B1CD的法向量，所以B项不正确；因为＝（0，1，－1），＝（－1，0，1），（1，1，1）·＝0，（1，1，1）·＝0，B1C∩CD1＝C，所以（1，1，1）是平面B1CD1的一个法向量，所以C项正确；因为＝（0，1，1），而·（0，1，1）＝2≠0，所以（0，1，1）不是平面ABC1D1的法向量，所以D项不正确.故选AC项. 12.在空间直角坐标系中，A（1，2，3），B（－2，－1，6），C（3，2，1），D（4，3，0），则直线AB与CD的位置关系是（　　） A.垂直 B.平行 C.异面 D.相交但不垂直 答案　B 解析　由题意得，＝（－3，－3，3），＝（1，1，－1），所以＝－3，所以与共线，又AB与CD没有公共点，所以AB∥CD.故选B项. 13.（多选）已知点P（1，－1，2）在平面α内，平面α的一个法向量为n＝（2，－1，2），则下列点在α内的是（　　） A.（2，3，3） B.（3，－3，4） C.（1，3，4） D.（2，0，1） 答案　AC 解析　对于A项，记点A（2，3，3），＝（1，4，1），·n＝2－4＋2＝0，点（2，3，3）在平面α内；对于B项，记点B（3，－3，4），＝（2，－2，2），·n＝4＋2＋4≠0，点（3，－3，4）不在平面α内；对于C项，记点C（1，3，4），＝（0，4，2），·n＝0－4＋4＝0，点（1，3，4）在平面α内；对于D项，记点D（2，0，1），＝（1，1，－1），·n＝2－1－2≠0，点（2，0，1）不在平面α内.故选AC项. 14.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点O是底面ABCD的中心，点P是DD1的中点，点Q是CC1上的点，则OP与BD1的位置关系是　　　　；设＝λ，若平面D1BQ∥平面PAO，则λ＝　　　　. 　　　　 题图　　　　　　　　　答图 解析　如图所示，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系Dxyz，设正方体的棱长为1，则O，C（0，1，0），C1（0，1，1），P（0，0，），A（1，0，0），B（1，1，0），D1（0，0，1），则＝，＝（－1，－1，1），所以＝，所以∥，所以OP∥BD1.设Q（0，1，z），则＝（－1，0，z）.由于OP∥BD1，故要使平面D1BQ∥平面PAO，只需∥，又＝（－1，0，），故z＝，则Q，由＝（0，0，），＝（0，0，1）及＝λ，得λ＝. 答案　平行 15.如图，正方形ABCD与矩形ACEF所在平面互相垂直，以CD，CB，CE所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，若AB＝，AF＝1，M在EF上，且AM∥平面BDE，则点M的坐标为（　　） A.（1，1，1） B.（，，1） C.（，，1） D.（，，1） 答案　C 解析　由已知得A（，，0），B（0，，0），D（，0，0），E（0，0，1）.设M（x，x，1），则＝（x－，x－，1），＝（，－，0），＝（0，－，1）.设平面BDE的法向量为n＝（a，b，c）， 则即解得 令b＝1，则n＝（1，1，）.又AM∥平面BDE，所以n·＝0，即2（x－）＋＝0，解得x＝，所以M（，，1）.故选C项. 16.在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AD＝DD1＝1，AB＝，E，F，G分别是棱AB，BC，CC1的中点，P是底面ABCD（不含边界）内的动点，若直线D1P与平面EFG平行，求△BB1P的面积的最小值. 　　　 题图　　　　　　　　答图 解析　如图，建立空间直角坐标系，则A（1，0，0），B（1，，0），C（0，，0），D1（0，0，1），C1（0，，1），E（1，，0），F，G， 所以＝（－，，0），＝（－，0，）. 设n＝（x，y，z）是平面EFG的法向量，则n·＝0，n·＝0， 代入坐标计算得 令x＝，则y＝1，z＝，所以n＝（，1，）. 设P（m，s，0）（0＜m＜1，0＜s＜）， 则＝（m，s，－1），＝（m－1，s－，0）， 因为D1P∥平面EFG，所以n⊥， 所以n·＝m＋s－＝0， 所以s＝－m，由题意可知BB1＝1， 所以＝BB1×BP＝×1×＝＝. 当m＝时，取得最小值. 学科网（北京）股份有限公司 $$