1.3.2 空间向量运算的坐标表示（word练习）-【状元桥·优质课堂】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）

第一章　1.3.2 一、选择题 1.已知两个非零向量a＝（a1，a2，a3），b＝（b1，b2，b3），它们平行的充要条件是（　　） A.a＝b B. a1·b1＝a2·b2＝a3·b3 C. a1b1＋a2b2＋a3b3＝0 D.存在非零实数k，使a＝kb 答案　D 解析　空间向量平行的充要条件是“存在非零实数k，使a＝kb”.故选D项. 2.（多选）已知向量a＝（4，－2，－4），b＝（6，－3，2），则下列结论正确的是（　　） A. a＋b＝（10，－5，－2） B. a－b＝（2，－1，6） C. a·b＝10 D.｜a｜＝6 答案　AD 解析　因为向量a＝（4，－2，－4），b＝（6，－3，2），所以a＋b＝（10，－5，－2），故A项正确；a－b＝（－2，1，－6），故B项错误；a·b＝24＋6－8＝22，故C项错误；｜a｜＝＝6，故D项正确.故选AD项. 3.已知a＝（x，3，1），b＝（2，y，4），若a＝zb且c＝（x，y，z），则c＝（　　） A. B. C. D. 答案　C 解析　由题意可得（x，3，1）＝z（2，y，4），即解得x＝，y＝12，z＝，所以c＝.故选C项. 4.已知向量a＝（2，－1，3），b＝（－4，2，x），c＝（1，－x，2），若（a＋b）⊥c，则x＝（　　） A.4 B.－4 C. D.－6 答案　B 解析　由已知得a＋b＝（－2，1，3＋x）.又（a＋b）⊥c，所以－2－x＋2（3＋x）＝0，解得x＝－4.故选B项. 5.（多选）已知空间向量a＝（－2，－1，1），b＝（3，4，5），则下列结论正确的是（　　） A.（2a＋b）∥a B.5｜a｜＝｜b｜ C. a⊥（5a＋6b） D. a与b夹角的余弦值为 答案　BC 解析　因为2a＋b＝（－1，2，7），a＝（－2，－1，1），而≠≠，故A项不正确；因为｜a｜＝，｜b｜＝5，所以5｜a｜＝｜b｜，故B项正确；a·（5a＋6b）＝5a2＋6a·b＝5×（4＋1＋1）＋6×（－6－4＋5）＝0，故C项正确；又a·b＝－5，则cos＜a，b＞＝＝－，故D项不正确.故选BC项. 二、填空题 6.已知a＝（－2，0，1），b＝（1，0，2），若a⊥（ka＋b），则k＝　　　　. 解析　由ka＋b＝（－2k＋1，0，k＋2），可得a·（ka＋b）＝－2（－2k＋1）＋k＋2＝5k＝0，解得k＝0. 答案　0 7.已知a＝（1，2，－y），b＝（x，1，2），且（a＋2b）∥（2a－b），则x＝　　　　，y＝　　　　. 解析　因为a＋2b＝（1＋2x，4，4－y），2a－b＝（2－x，3，－2y－2），且（a＋2b）∥（2a－b），所以3（1＋2x）＝4（2－x）且3（4－y）＝4（－2y－2），所以x＝，y＝－4. 答案　　－4 8.若A（x，5－x，2x－1），B（1，x＋2，2－x），则当｜｜取最小值时，x＝　　　　. 解析　因为＝（1－x，2x－3，3－3x），所以｜｜＝＝.故当x＝时，｜｜有最小值. 答案　 三、解答题 9.已知空间三点A（1，2，3），B（2，－1，5），C（3，2，－5），求： （1）向量，的模； （2）向量，夹角θ的余弦值. 解析　（1）由于A（1，2，3），B（2，－1，5），C（3，2，－5），所以＝（1，－3，2），故｜｜＝＝； ＝（2，0，－8），故｜｜＝＝2. （2）由（1）得cos θ＝＝＝－. 10.已知向量a＝（x，4，1），b＝（－2，y，－1），c＝（3，－2，z），且a∥b，b⊥c. （1）求向量a，b，c； （2）求向量a＋c与向量b＋c夹角θ的余弦值. 解析　（1）因为a∥b，所以＝＝，且y≠0，解得x＝2，y＝－4，此时a＝（2，4，1），b＝（－2，－4，－1）.又由b⊥c得b·c＝0，故（－2，－4，－1）·（3，－2，z）＝－6＋8－z＝0，得z＝2，此时c＝（3，－2，2）. （2）由（1）得a＋c＝（5，2，3），b＋c＝（1，－6，1），因此向量a＋c与向量b＋c夹角θ的余弦值为cos θ＝＝＝－. 11.已知a＝（1－t，1－t，t），b＝（2，t，t），则｜b－a｜的最小值为（　　） A. B. C. D.1 答案　B 解析　由已知得b－a＝（2，t，t）－（1－t，1－t，t）＝（1＋t，2t－1，0），所以｜b－a｜＝＝＝，所以当t＝时，｜b－a｜的最小值为.故选B项. 12.若A（1，－2，1），B（4，2，3），C（6，－1，4），则△ABC的形状是（　　） A.不等边锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等边三角形 答案　A 解析　由已知得 ＝（3，4，2），＝（5，1，3），＝（2，－3，1），所以·＞0，得A为锐角；·＞0，得C为锐角；·＞0，得B为锐角.所以△ABC为锐角三角形，且｜｜≠｜｜≠｜｜.故选A项. 13.（多选）已知向量a·b＝b·c＝a·c，b＝（3，0，－1），c＝（－1，5，－3），下列等式中正确的是（　　） A.（a·b）·c＝b·c B.（a＋b）·c＝a·（b＋c） C.（a＋b＋c）2＝a2＋b2＋c2 D.｜a＋b＋c｜＝｜a－b－c｜ 答案　BCD 解析　易得a·b＝a·c＝b·c＝－3＋0＋3＝0，（a·b）·c＝0，b·c＝0，所以A项错误；（a＋b）·c－a·（b＋c）＝a·c＋b·c－a·b－a·c＝0，所以（a＋b）·c＝a·（b＋c），所以B项正确；（a＋b＋c）2＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2b·c＋2a·c＝a2＋b2＋c2，所以C项正确；（a－b－c）2＝a2＋b2＋c2－2a·b＋2b·c－2a·c＝a2＋b2＋c2，即（a＋b＋c）2＝（a－b－c）2，即｜a＋b＋c｜＝｜a－b－c｜，所以D项正确.故选BCD项. 14.已知a＝（3，－2，－3），b＝（－1，x－1，1），且a与b的夹角为钝角，求x的取值范围. 解析　因为＜a，b＞为钝角，所以cos＜a，b＞＜0且＜a，b＞≠π. 若cos＜a，b＞＜0，则a·b＜0，即3×（－1）＋（－2）×（x－1）＋（－3）×1＜0，解得x＞－2. 若＜a，b＞＝π，则a与b反向，则b＝λa（λ＜0）， 所以解得λ＝－3，x＝. 因为＜a，b＞≠π，所以x≠，即x＞－2且x≠， 故x的取值范围是∪. 15.设＝（cos α＋sin α，0，－sin α），＝（0，cos α，0），则｜｜的最大值为　　　　. 解析　因为＝＋＝（cos α＋sin α，cos α，－sin α），所以＝（cos α＋sin α）2＋cos2α＋（－sin α）2＝2＋sin 2α≤3，所以｜｜的最大值为. 答案　 16.如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，侧棱PA⊥底面ABCD，AB＝，BC＝1，PA＝2，E为PD的中点. （1）求AC与PB所成角的余弦值； （2）在侧面PAB内找一点N，使NE⊥平面PAC，求点N的坐标. 　　　 题图　　　　　　　　答图 解析　（1）由题意，建立如图所示的空间直角坐标系，则A（0，0，0），B（，0，0），C（，1，0），D（0，1，0），P（0，0，2），E，从而＝（，1，0），＝（，0，－2）.设与的夹角为θ，则cos θ＝＝＝. 所以AC与PB所成角的余弦值为. （2）由于点N在侧面PAB内，故可设点N的坐标为（x，0，z），则＝， 由NE⊥平面PAC可得 即 化简得所以 即当点N的坐标为（，0，1）时，NE⊥平面PAC. （范围：1.1～1.3） 一、选择题 1.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点F是侧面CDD1C1的中心，设＝a，＝b，＝c，则＝（　　） A. a＋b＋c B.a＋b＋c C.－a＋b＋c D.a＋b＋c 答案　A 解析　由题知，点F是侧面CDD1C1的中心，所以F为DC1的中点，则＝＋＝＋＝＋（＋）＝＋（＋）＝a＋b＋c.故选A项. 2.已知空间向量a＝（－1，2，x），b＝（3，－6，－3），且a∥b，则x＝（　　） A.9 B.－1 C.1 D.－9 答案　C 解析　因为空间向量a＝（－1，2，x），b＝（3，－6，－3），且a∥b，所以＝＝，解得x＝1.故选C项. 3.对于空间一点O和不共线三点A，B，C，有6＝＋2＋3，则（　　） A. O，A，B，C四点共面 B. P，A，B，C四点共面 C. O，P，B，C四点共面 D. O，P，A，B，C五点共面 答案　B 解析　由6＝＋2＋3，得－＝2（－）＋3（－），即＝2＋3，所以，，共面，又它们有公共点P，所以P，A，B，C四点共面.故选B项. 4.（多选）已知空间向量a＝（1，1，1），b＝（－1，0，2），则下列结论正确的是（　　） A. a＋b＝（0，1，3） B.｜a｜＝ C. a⊥b D.＜a，b＞＝ 答案　AB 解析　因为a＝（1，1，1），b＝（－1，0，2），所以a＋b＝（1，1，1）＋（－1，0，2）＝（0，1，3），故A项正确；｜a｜＝＝，故B项正确；a·b＝（1，1，1）·（－1，0，2）＝－1＋0＋2＝1≠0，所以a，b不垂直，故C项错误； cos＜a，b＞＝＝＝≠cos ，故D项错误.故选AB项. 5.我国古代数学名著《九章算术》商功中记载“斜解立方，得两堑堵”，堑堵是底面为直角三角形的直三棱柱.在堑堵ABC－A1B1C1中，AB＝AC＝AA1＝2，P为B1C1的中点，则·＝（　　） A.6 B.－6 C.2 D.－2 答案　A 解析　根据堑堵的几何性质知AB⊥AC，AA1⊥AB，AA1⊥AC.因为＝＋，＝＋＝＋（－），所以·＝（＋）·［＋（－）］＝·＋－·＋＋·－·＝2＋4＝6.故选A项. 二、填空题 6.已知点A（－2，－1，－3），B（1，3，9），若a0是与反向的单位向量，则a0＝　　　　. 解析　由题意知，＝（3，4，12），则｜｜＝＝13， 所以a0＝－＝（－，－，－）. 答案　（－，－，－） 7.如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，G为B1C1的中点，＝x＋y＋z，则x＋y＋z＝　　　　；若该六面体的棱长都为2，∠BAD＝∠A1AB＝∠A1AD＝60°，则AG＝　　　　. 解析　＝＋＝＋＋＝＋＋，所以x＝1，y＝，z＝1，所以x＋y＋z＝.因为｜｜2＝＝（＋＋）2＝＋＋＋·＋2·＋·＝22＋×22＋22＋2×2cos 60°＋2×2×2cos 60°＋2×2cos 60°＝17，所以｜｜＝，即AG＝. 答案　 8.在三棱锥O－ABC中，M，N，P，Q四点分别为棱OA，AB，BC，OC的中点，则以下表述正确的序号是　　　　. ①若·＝0，·＝0，则·＝0； ②＝； ③若｜｜＝｜｜，则·＝0； ④－＝－. 解析　对于①，·＝0，即·（－）＝0，·＝0，即·（－）＝0，两式相减得·－·＝0，即·＝0，正确；对于②，连接MN，NP，PQ，QM，如图，M，N，P，Q四点分别为棱OA，AB，BC，OC的中点，则MN∥OB∥PQ，且MN＝OB＝PQ，则四边形MNPQ为平行四边形，故＝，正确；对于③，由｜｜＝｜｜可知，平行四边形MNPQ为菱形，故·＝0，正确；对于④，－＝，－＝，两向量所在直线为平行四边形MNPQ的对角线所在直线，两向量不共线，故≠，错误.故正确表述的序号是①②③. 答案　①②③ 三、解答题 9.如图，在正四面体O－ABC中，OA＝6，M为棱OA的中点，N为棱BC（靠近C点）的三等分点，设＝a，＝b，＝c. （1）用a，b，c表示； （2）求·； （3）求MN的长. 解析　（1）＝＋＝－a＋＋＝－a＋＋＝－a＋＋（＋）＝－a＋b－b＋c＝－a＋b＋c. （2）由（1）知·＝a·（－a＋b＋c） ＝－a2＋a·b＋a·c ＝－×36＋×6×6×＋×6×6× ＝－18＋3＋6＝－9. （3）＝－ ＝＋－a＝b＋（c－b）－a ＝－a＋b＋c， 所以｜｜2＝（－a＋b＋c）2 ＝a2＋b2＋c2＋2·（－）·a·b＋2·（－）·a·c＋2··b·c ＝×36＋×36＋×36－6－12＋8＝19， 所以｜｜＝. 10.棱长为2的正方体中，E，F分别是DD1，DB的中点，G在棱CD上，且CG＝CD，H是C1G的中点.建立适当的空间直角坐标系，解决下列问题： （1）求证：EF⊥B1C； （2）求cos＜，＞； （3）求FH的长. 　　　 题图　　　　　　　　答图 解析　（1）证明：如图，以D为原点，DA，DC，DD1分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系Dxyz， 则D（0，0，0），E（0，0，1），F（1，1，0），C（0，2，0），C1（0，2，2），B1（2，2，2），G（0，，0）， 因为＝（1，1，－1），＝（－2，0，－2）， 所以·＝（1，1，－1）·（－2，0，－2）＝1×（－2）＋1×0＋（－1）×（－2）＝0， 所以⊥，故EF⊥B1C. （2）因为＝（0，－，－2）， 所以｜｜＝. 因为｜｜＝，且·＝（1，1，－1）·（0，－，－2）＝2－＝， 所以cos＜，＞＝＝＝·＝＝. （3）因为H是C1G的中点，所以H（0，，1）， 又因为F（1，1，0），所以＝（1，－，－1）， 所以｜｜＝＝＝，即FH＝. 11.已知a＝（1，1，0），b＝（1，1，1），若b＝b1＋b2，b1∥a，b2⊥a，则向量2b1－3b2的坐标为（　　） A.（2，－2，－3） B.（2，－2，3） C.（－2，－2，3） D.（2，2，－3） 答案　D 解析　因为b1∥a，所以设b1＝（m，m，0），因为b＝b1＋b2，所以b2＝b－b1＝（1，1，1）－（m，m，0）＝（1－m，1－m，1），因为b2⊥a，所以1－m＋1－m＋0＝0，解得m＝1，则b1＝（1，1，0），b2＝（0，0，1），所以2b1－3b2＝（2，2，0）－（0，0，3）＝（2，2，－3）.故选D项. 12.（多选）已知a＝（2，－1，2），b＝（2，2，1），则（　　） A. a，b的夹角为锐角 B. a＋b与a－b相互垂直 C.｜a＋b｜＝｜a－b｜ D.以a，b为邻边的平行四边形的面积为 答案　ABD 解析　a＝（2，－1，2），b＝（2，2，1），则｜a｜＝｜b｜＝3，a·b＝2×2－1×2＋2×1＝4. 因为≠≠，则a与b不共线，又因为cos＜a，b＞＝＝＞0，故a，b的夹角为锐角，故A项正确；因为a＋b＝（4，1，3），a－b＝（0，－3，1），则（a＋b）·（a－b）＝4×0＋1×（－3）＋3×1＝0，所以a＋b与a－b相互垂直，故B项正确；｜a＋b｜＝＝，｜a－b｜＝＝，即｜a＋b｜≠｜a－b｜，故C项错误；因为＜a，b＞∈（0，π），则sin＜a，b＞＝＝，故以a，b为邻边的平行四边形的面积为2××3×3×＝，故D项正确.故选ABD项. 13.如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，P为空间一点，且满足＝λ＋μ，λ，μ∈[0，1]，则下列结论正确的序号是　　　　. ①当λ＝1时，点P在棱BB1上； ②当μ＝1时，点P在棱B1C1上； ③当λ＋μ＝1时，点P在线段B1C上； ④当λ＝μ时，点P在线段BC1上. 解析　当λ＝1时，＝＋μ，所以＝μ，则∥，即P在棱CC1上，故①错误；同理当μ＝1时，∥，故P在棱B1C1上，故②正确；当λ＋μ＝1时，μ＝1－λ，所以＝λ＋（1－λ），即＝λ，故点P在线段B1C上，故③正确；当λ＝μ时，＝λ（＋）＝λ，故点P在线段BC1上，故④正确. 答案　②③④ 14.如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，＝a，＝b，＝c，CA＝CB＝CC1＝1，＜a，b＞＝＜a，c＞＝，＜b，c＞＝，N是AB的中点. （1）用a，b，c表示向量； （2）在线段C1B1上是否存在点M，使AM⊥A1N？若存在，求出M的位置；若不存在，说明理由. 解析　（1）因为N是AB的中点， 所以＝， 所以＝＋＝＋＝－＋（－）＝－a＋b－c. （2）假设存在点M，使AM⊥A1N，设＝λ（λ∈[0，1]），显然λ＝λb，＝＋＋＝c－a＋λb，因为AM⊥A1N，所以·＝0， 即（c－a＋λb）·（－a＋b－c）＝0， 所以－c·a＋c·b－c2＋a2－a·b＋c·a－λa·b＋λb2－λb·c＝0， 因为CA＝CB＝CC1＝1，＜a，b＞＝＜a，c＞＝，＜b，c＞＝， 所以c·a－c2＋a2－（＋λ）a·b＋λb2＝0， 即×1×1×（－）－12＋×12－（＋λ）×1×1×（－）＋λ·12＝0， 解得λ＝， 所以当C1M＝C1B1时，AM⊥A1N. 15.（多选）金刚石是天然存在的最硬的物质，如图1所示是组成金刚石的碳原子在空间中排列的结构示意图，组成金刚石的每个碳原子，都与其相邻的4个碳原子以完全相同的方式连接.从立体几何的角度来看，可以认为4个碳原子分布在一个正四面体的四个顶点处，而中间的那个碳原子处于与这4个碳原子距离都相等的位置，如图2所示，即图2中有AE＝BE＝CE＝DE.若正四面体ABCD的棱长为2，则下列结论正确的是（　　） 　 图1　　　　　图2 A.｜｜＝ B.｜＋＋｜＝ C. cos＜，＞＝ D. ·＝2 答案　BD 解析　由题意得E是四面体ABCD外接球的球心，设O是顶点A在下底面的射影，AO是四面体的高，OB是△BCD的外接圆半径，则OB＝，AO＝，BE2＝（AO－AE）2＋BO2，解得AE＝，OE＝，所以｜｜＝AE＝，故A项错误；因为AE＝BE＝DE，所以＋＝－（＋），所以＋＋＋＝0，所以｜＋＋｜＝｜｜＝｜｜＝，故B项正确；cos＜，＞＝cos＜，＞＝－＝－，故C项错误；·＝＝2，故D项正确.故选BD项. 16.如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，点E，F分别在棱DD1，BB1上，且EF⊥A1E.若AB＝2，AD＝1，AA1＝3，则B1F的取值范围是　　　　. 　　　　 题图　　　　　　　答图 解析　以点C1为坐标原点，C1D1，C1B1，C1C所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A1（2，1，0）.设E（2，0，m），F（0，1，n），0≤m≤3，0≤n≤3，则＝（0，－1，m），＝（－2，1，n－m）.因为EF⊥A1E，所以·＝0，即－1＋m（n－m）＝0，化简得mn＝1＋m2.当m＝0时，显然不符合题意.故n＝＋m≥2，当且仅当m＝1时，等号成立.故B1F的最小值为2.所以2≤B1F≤3，即B1F的取值范围是[2，3]. 答案　[2，3] 学科网（北京）股份有限公司 $$