1.3.1 空间直角坐标系（word练习）-【状元桥·优质课堂】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）

一、选择题 1.如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，则点B1的坐标是（　　） A.（1，0，0） B.（1，0，1） C.（1，1，1） D.（1，1，0） 答案　C 解析　点B1到三个坐标平面的距离都为1，易知其坐标为（1，1，1）.故选C项. 2.在空间直角坐标系中，P（2，3，4），Q（－2，－3，－4）两点的位置关系是（　　） A.关于x轴对称 B.关于坐标平面Oyz对称 C.关于坐标原点对称 D.以上都不正确 答案　C 解析　当三个坐标均相反时，两点关于坐标原点对称.故选C项. 3.如图，在长方体OABC－O1A1B1C1中，OA＝3，OC＝5，OO1＝4，点P是B1C1的中点，则点P的坐标为（　　） A.（3，5，4） B. C. D. 答案　C 解析　由题图知，点P在x轴、y轴、z轴上的射影分别为P1，P2，P3，它们在坐标轴上的坐标分别是，5，4，故点P的坐标是.故选C项. 4.已知空间向量a＝（1，2，－3），则向量a在坐标平面Oyz上的投影向量是（　　） A.（0，2，3） B.（0，2，－3） C.（1，2，0） D.（1，2，－3） 答案　B 解析　根据空间中点的坐标确定方法知，空间中点（1，2，－3）在坐标平面Oyz上的投影坐标的横坐标为0，纵坐标与竖坐标不变，所以空间向量a＝（1，2，－3）在坐标平面Oyz上的投影向量是（0，2，－3）.故选B项. 5.已知＝8a＋6b＋4c，其中a＝i＋j，b＝j＋k，c＝k＋i，{i，j，k}是空间向量的一个单位正交基底，则的坐标为（　　） A.（12，14，10） B.（10，12，14） C.（14，10，12） D.（4，2，3） 答案　A 解析　＝8（i＋j）＋6（j＋k）＋4（k＋i）＝12i＋14j＋10k＝（12，14，10）.故选A项. 二、填空题 6.在空间直角坐标系中，点（－2，1，4）关于x轴对称的点的坐标是　　　　. 解析　在空间直角坐标系中，点（－2，1，4）关于x轴对称的点的坐标为（－2，－1，－4）. 答案　（－2，－1，－4） 7.若点P（1，2，－1）在坐标平面Ozx内的射影为B（x，y，z），则x＋y＋z＝　　　　. 解析　点P（1，2，－1）在坐标平面Ozx内的射影为B（1，0，－1），所以x＝1，y＝0，z＝－1，所以x＋y＋z＝1＋0－1＝0. 答案　0 8.设{i，j，k}是空间向量的一个单位正交基底，则向量a＝3i＋2j－k，b＝－2i＋4j＋2k的坐标分别是　　　　. 解析　因为i，j，k是单位正交基底，所以根据空间向量坐标的概念知a＝（3，2，－1），b＝（－2，4，2）. 答案　（3，2，－1），（－2，4，2） 三、解答题 9.建立如图所示的空间直角坐标系，正方体DABC－D'A'B'C'的棱长为a，E，F，G，H，I，J分别是棱C'D'，D'A'，A'A，AB，BC，CC'的中点，写出正六边形EFGHIJ各顶点的坐标. 解析　正方体DABC－D'A'B'C'的棱长为a，且E，F，G，H，I，J分别是棱C'D'，D'A'，A'A，AB，BC，CC'的中点，所以正六边形EFGHIJ各顶点的坐标为E，F（，0，a），G，H，I，J（0，a，）. 10.已知PA垂直于正方形ABCD所在的平面，M，N分别是AB，PC的中点，并且PA＝AD＝1.在如图所示的空间直角坐标系中，求向量的坐标. 解析　因为PA＝AD＝AB＝1，所以可设＝i，＝j，＝k.因为＝＋＋＝＋＋＝＋＋（＋＋）＝－＋＋（－＋＋）＝＋＝j＋k，所以＝. 11.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M是AD的中点，AB＝1，则向量的坐标为　　　　. 解析　由题意可知，{，，}是一个单位正交基底.因为＝＋＋＝－－＋＝－－－＋＝－－－，所以＝（－1，－，－1）. 答案　 12.如图所示，正四面体ABCD的棱长为1，G是△BCD的中心，建立如图所示的空间直角坐标系，则的坐标为　　　　. 解析　由题意可知，BG＝BE＝×＝，所以AG＝＝， 所以＝（0，0，－）. 答案　（0，0，－） 13.设{i，j，k}是空间向量的一个单位正交基底，已知a＝（3，4，5），e1＝（2，－1，1），e2＝（1，1，－1），e3＝（0，3，3），若a＝xe1＋ye2＋ze3，则x＝　　　　，y＝　　　　，z＝　　　　. 解析　由题设知a＝3i＋4j＋5k，e1＝2i－j＋k，e2＝i＋j－k，e3＝3j＋3k，又a＝xe1＋ye2＋ze3，所以3i＋4j＋5k＝x（2i－j＋k）＋y（i＋j－k）＋z（3j＋3k）＝（2x＋y）i＋（－x＋y＋3z）j＋（x－y＋3z）k，所以解得x＝，y＝，z＝. 答案　 14.设{i，j，k}是空间向量的一个单位正交基底，若点A的坐标为（－1，3，0），点B的坐标为（0，1，1），则cos＜，＞＝　　　　. 解析　由题设知＝（－1，3，0）＝－i＋3j，＝j＋k，故｜｜＝＝，｜｜＝＝，·＝（－i＋3j）·（j＋k）＝3，所以cos＜，＞＝＝. 答案　 15.若p＝xa＋yb＋zc，则称（x，y，z）为p在基底{a，b，c}下的坐标.若一向量p在基底{a，b，c}下的坐标为（1，2，3），则向量p在基底{a＋b，a－b，c}下的坐标为（　　） A. B. C. D. 答案　B 解析　设p在基底{a＋b，a－b，c}下的坐标为（x，y，z），则p＝a＋2b＋3c＝x（a＋b）＋y（a－b）＋zc＝（x＋y）a＋（x－y）b＋zc，所以解得故p在基底{a＋b，a－b，c}下的坐标为.故选B项. 16.已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，点E，F分别在线段A1D，AC上，且EF⊥A1D，EF⊥AC，以点D为坐标原点，DA，DC，DD1分别作为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示，试求向量的坐标. 解析　因为正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，根据题意知{，，}为单位正交基底，设＝i，＝j，＝k，所以向量可用单位正交基底{i，j，k}表示.因为＝＋＋，与共线，与共线，所以设＝λ，＝μ，则＝λ＋＋μ＝λ（＋）＋＋μ（－）＝（λ＋μ）＋（1－μ）·＋λ＝（λ＋μ）i＋（1－μ）j＋λk，因为EF⊥A1D，EF⊥AC，即⊥，⊥，所以·＝0，·＝0，又＝－－＝－i－k，＝－＝－i＋j， 所以 整理得 即解得 所以＝i＋j－k，所以的坐标是. 学科网（北京）股份有限公司 $$