1.2.2 空间向量基本定理的应用（word练习）-【状元桥·优质课堂】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）

一、选择题 1.设a，b，c是不共面的三个非零向量，＝2a＋3b＋2c，＝a＋b＋c，则不重合的直线AB与CD（　　） A.相交 B.平行 C.垂直 D.无法判断位置关系 答案　B 解析　由已知可得＝2，所以∥，又AB与CD不重合，所以直线AB与CD平行.故选B项. 2.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是C1D1的中点，则直线AB和CE所成角的余弦值为（　　） A. B. C. D. 答案　B 解析　设AB＝1，则由＝＋＝－，得·＝·（－）＝－，又｜｜＝，故cos＜，＞＝－，则直线AB和CE所成角的余弦值为.故选B项. 3.如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，底面是边长为1的正方形，若∠A1AB＝∠A1AD＝60°，且A1A＝3，则A1C的长为（　　） A. B.2 C. D. 答案　A 解析　因为＝＋＋＝＋－， 所以｜｜2＝（＋－）2＝＋＋＋2·－2·－2·＝1＋1＋9＋2×0－2×1×3×－2×1×3×＝5，所以｜｜＝.故选A项. 4.若＝λ＋μ，则直线AB与平面CDE的位置关系是（　　） A.相交 B.平行 C.在平面内 D.平行或在平面内 答案　D 解析　因为＝λ＋μ，所以，，共面，则AB与平面CDE的位置关系是平行或在平面内.故选D项. 5.如图，在空间四边形OABC中，OA＝8，AB＝6，AC＝4，BC＝5，∠OAC＝45°，∠OAB＝60°，则OA与BC所成角的余弦值为（　　） A. B. C. D. 答案　A 解析　易知·＝8×6cos 60°＝24，·＝8×4cos 135°＝－16，设异面直线OA与BC的夹角为θ，则可得cos θ＝＝＝＝.故选A项. 二、填空题 6.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，直线AC1与BC所成角的余弦值为　　　　. 解析　设AB＝1，则由＝＋＋，得·＝·（＋＋）＝0＋1＋0＝1，又易知｜｜＝，故cos＜，＞＝＝，即直线AC1与BC所成角的余弦值为. 答案　 7.在三棱柱ABC－A1B1C1中，M，N分别是A1B，B1C1上的点，且BM＝2A1M，C1N＝2B1N.若∠BAC＝90°，∠BAA1＝∠CAA1＝60°，AB＝AC＝AA1＝1，则MN＝　　　　. 解析　如图，设＝a，＝b，＝c，则＝＋＋＝＋＋＝（－）＋＋（－）＝（＋＋）＝（a＋b＋c），因为（a＋b＋c）2＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2a·c＋2b·c＝1＋1＋1＋0＋2×1×1×cos 60°＋2×1×1×cos 60°＝5， 所以MN＝｜｜＝｜a＋b＋c｜＝. 答案　 8.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O是底面正方形ABCD的中心，M是DD1的中点，N是A1B1的中点，则直线ON与AM的位置关系是　　　　. 解析　＝＋，＝＋＋＝－（＋）＋＋＝－＋， 设｜｜＝a，则·＝·（－＋）＝－＋·－·＋＝－a2＋a2＝0，故⊥，即ON⊥AM. 答案　垂直 三、解答题 9.如图所示，已知正四面体ABCD的棱长均为1，点E，F，G分别是AB，AD，CD的中点，设＝a，＝b，＝c，{a，b，c}为空间向量的一个基底，计算下列各式的值. （1）·；（2）｜｜. 解析　（1）由题意得｜a｜＝｜b｜＝｜c｜＝1，a·b＝a·c＝b·c＝，因为＝－＝c－a，＝－a， 所以·＝·（－a）＝－＋＝. （2）因为＝－＝（b＋c）－a， 所以＝＝a2＋b2＋c2＋b·c－b·a－a·c＝， 所以｜｜＝. 10.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是C1D1，D1D的中点，正方体的棱长为1. （1）求＜，＞的余弦值； （2）求证：⊥. 解析　（1）＝＋＝＋，＝＋＝＋＝－. 因为·＝0，·＝0，·＝0， 所以·＝·（＋）＝. 又｜｜＝｜｜＝， 所以cos＜，＞＝. （2）证明：＝＋＝－＋，＝＋＝－（＋）， 所以·＝0，所以⊥. 11.如图，已知正三棱柱ABC－A1B1C1的各条棱长都相等，M是侧棱CC1的中点，则异面直线AB1和BM所成的角的大小是（　　） A.30° B.45° C.60° D.90° 答案　D 解析　不妨设棱长为2，则＝－，＝＋，cos＜，＞＝＝＝0，故AB1和BM所成的角为90°.故选D项. 　　 第11题图　　　第12题图 12.（多选）如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，点M，P，Q分别为棱AB，CD，BC的中点，若平行六面体的各棱长均相等，则（　　） A. A1M∥D1P B. A1M∥B1Q C. A1M∥平面DCC1D1 D. A1M∥平面D1PQB1 答案　ACD 解析　＝＋＝＋，＝＋＝＋，所以∥，又A1M与D1P无公共点，所以A1M∥D1P，由线面平行的判定定理可知，A1M∥平面DCC1D1，A1M∥平面D1PQB1.故选ACD项. 13.如图，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，F为BD的中点，G在棱CD上，且CG＝CD，H为C1G的中点，则FH＝　　　　. 解析　设＝a，＝b，＝c，则a·b＝b·c＝c·a＝0，｜a｜2＝a2＝1，｜b｜2＝b2＝1，｜c｜2＝c2＝1，所以＝＋＋＋＝（a－b）＋b＋c＋＝（a－b）＋b＋c＋＝a＋b＋c，所以｜｜2＝（a＋b＋c）2＝a2＋b2＋c2＝， 所以FH＝. 答案　 14.棱长为a的正四面体ABCD中，E，F分别为棱AD，BC的中点，则异面直线EF与AB所成角的大小是　　　　，线段EF的长度为　　　　. 解析　设＝a，＝b，＝c，则{a，b，c}是空间的一个基底，所以｜a｜＝｜b｜＝｜c｜＝a，a·b＝a·c＝b·c＝a2. 因为＝－＝（a＋b）－c，所以·＝a2＋a·b－a·c＝a2，｜｜＝＝a，所以cos＜，＞＝＝＝，所以异面直线EF与AB所成的角为. 答案　a 15.（多选）如图，一个结晶体的形状为平行六面体ABCD－A1B1C1D1，其中，以顶点A为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60°，下列说法中正确的是（　　） A. AC1＝6 B. AC1⊥DB C.向量与的夹角是60° D. BD1与AC所成角的余弦值为 答案　AB 解析　因为以顶点A为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60°，所以·＝·＝·＝6×6×cos 60°＝18，（＋＋） 2＝＋＋＋2·＋2·＋2·＝36＋36＋36＋3×2×18＝216，则｜｜＝｜＋＋｜＝6，所以A项正确； ·＝（＋＋）·（－）＝·－·＋－·＋·－＝0，所以B项正确；显然△AA1D为等边三角形，则∠AA1D＝60°，因为＝，且向量与的夹角是120°，所以与的夹角是120°，所以C项不正确；因为＝＋－，＝＋， 所以｜｜＝＝6，｜｜＝＝6，·＝（＋－）·（＋）＝36， 所以cos＜，＞＝＝＝， 所以D项不正确.故选AB项. 16.如图所示，在四棱锥E－ABCD中，底面ABCD是菱形，∠ADC＝60°，AC与BD交于点O，EC⊥底面ABCD，F为BE的中点，AB＝CE. （1）求证：DE∥平面ACF； （2）求异面直线EO与AF所成角的余弦值. 解析　设AB＝CE＝1，＝a，＝b，＝c， 则｜a｜＝｜b｜＝｜c｜＝1， ＜a，c＞＝＜b，c＞＝90°， ＜a，b＞＝120°. （1）证明：因为＝c－a，＝（b＋c），＝a＋b，所以＝2－，即，，共面，又DE⊄平面ACF，CF， CA⊂平面ACF，所以DE∥平面ACF. （2）因为＝－＝（a＋b）－c，＝－＝（b＋c）－（a＋b） ＝－a－b＋c， 所以·＝－，｜｜＝，｜｜＝1， 所以cos＜，＞＝＝＝－， 因为两异面直线所成的角不大于90°，所以异面直线EO与AF所成角的余弦值为. 学科网（北京）股份有限公司 $$