1.2.1 空间向量基本定理（word练习）-【状元桥·优质课堂】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）

一、选择题 1.设p：a，b，c是三个非零向量；q：{a，b，c}为空间的一个基底，则p是q的（　　） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案　B 解析　当非零向量a，b，c不共面时，{a，b，c}可以当基底，否则不能当基底；当{a，b，c}为基底时，一定有a，b，c为非零向量.因此p是q的必要不充分条件.故选B项. 2.（多选）在正方体ABCD－A1B1C1D1中，若点F是侧面CDD1C1的中心，且＝＋m－n，则（　　） A. m＝ B. m＝－ C. n＝ D. n＝－ 答案　AD 解析　根据空间向量基本定理，有＝＋＋，所以m＝，－n＝，即n＝－.故选AD项. 3.如图，梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，点O为空间内任意一点，设＝a，＝b，＝c，则向量可用a，b，c表示为（　　） A. a－b＋2c B. a－b－2c C.－a＋b＋c D.a－b＋c 答案　D 解析　＝＋＝＋＝＋（－）＝a－b＋c.故选D项. 4.如图所示，空间四边形OABC中，＝a，＝b，＝c，点M在上，且＝2，N为BC的中点，＝xa＋yb＋zc，则x，y，z分别为（　　） A.，－， B.－，， C.，，－ D.，，－ 答案　B 解析　由题意可得＝＋＋＝＋（－）＋＝＋（－）＋（－）＝－a＋b＋c，所以x＝－，y＝，z＝.故选B项. 5.如图，在三棱柱A1B1C1－ABC中，D是四边形BB1C1C的中心，且＝a，＝b，＝c，则＝（　　） A.a＋b＋c B.a－b＋c C.a＋b－c D.－a＋b＋c 答案　D 解析　＝（＋）＝（＋＋）＝－a＋b＋c.故选D项. 二、填空题 6.已知{a，b，c}是空间的一个基底，则向量①2a，②－b，③c，④a＋c中可以与p＝2a－b，q＝a＋b构成空间的另一个基底的是　　　　（填序号）. 解析　因为p＝2a－b，q＝a＋b，所以p和q都与a，b共面，所以2a与p，q共面，－b也与p，q共面.而c与a，b不共面，所以c与p，q可以构成另一个基底，同理a＋c与p，q也可构成一个基底. 答案　③④ 7.在空间四边形ABCD中，AC和BD为对角线，G为△ABC的重心，E是BD上一点，BE＝3ED，以{，，}为基底，则＝　　　　. 解析　设AC的中点为F，则＝＋＝＋＝－×（＋）＋＝－（－2）＋（－）＝－－＋. 答案　－－＋ 8.四棱锥S－ABCD的底面是平行四边形，＝2，若＝x＋y＋z，则x＋y＋z＝　　　　. 解析　由题意可得，＝，＝＋，则＝＋＝＋＝＋（－）＝＋（－－）＝－＋＋，又＝x＋y＋z，所以x＝－，y＝，z＝，所以x＋y＋z＝. 答案　 三、解答题 9.已知平行六面体OABC－O'A'B'C'中，＝a，＝b，＝c. （1）用a，b，c表示向量； （2）设G，H分别是侧面BB'C'C和O'A'B'C'的中心，用a，b，c表示. 解析　（1）＝＋＝－＋＝b－a＋c. （2）＝＋＝－＋＝－（＋＋）＋＝－（b＋a＋c）＋（c＋b＋a）＝（c－b）. 10.如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，＝a，＝b，＝c，E为A1D1的中点，F为BC1与B1C的交点. （1）用基底{a，b，c}表示向量，，； （2）化简＋＋，并在图中标出化简结果. 解析　（1）＝＋＝＋－＝a－b＋c， ＝＋＋＝－a＋b＋c， ＝＋＝a＋（b＋c）＝a＋b＋c. （2）＋＋＝＋（＋）＝＋＝＋＝.如图，连接DA1，则即为所求. 11.（多选）若{a，b，c}构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（　　） A. a＋b，a－b，c B. a＋b，b＋c，c＋a C. a＋b，c，a＋b＋c D. a，a＋b，a＋b＋c 答案　ABD 解析　对于A项，设a＋b＝λ（a－b）＋μc，则此方程组无解，所以a＋b，a－b，c不共面，故A项符合题意；对于B项，设a＋b＝λ（b＋c）＋μ（c＋a），则此方程组无解，所以a＋b，b＋c，c＋a不共面，故B项符合题意；对于C项，a＋b＝－c＋a＋b＋c，所以a＋b，c，a＋b＋c共面，故C项不符合题意；对于D项，设a＋b＋c＝λa＋μ（a＋b），则此方程组无解，所以a，a＋b，a＋b＋c不共面，故D项符合题意.故选ABD项. 12.已知空间的一个基底{a，b，c}，m＝a－b＋c，n＝xa＋yb＋c，若m与n共线，则x＋y＝（　　） A.－1 B.0 C.1 D.2 答案　B 解析　因为m与n共线，所以xa＋yb＋c＝z（a－b＋c），所以所以所以x＋y＝0.故选B项. 13.已知空间四边形ABCD中，＝a－2c，＝5a＋6b－8c，对角线AC，BD的中点分别为E，F，则＝　　　　. 解析　如图所示，取BC的中点G，连接EG，FG，则＝－＝－＝＋＝（5a＋6b－8c）＋（a－2c）＝3a＋3b－5c. 答案　3a＋3b－5c 14.已知a＝e1＋e2，b＝e2＋e3，c＝e1＋e3，d＝e1＋2e2＋3e3，且e1，e2，e3不共面.若d＝αa＋β b＋γc，则α＋β＋γ＝　　　　. 解析　由已知d＝αa＋βb＋γc，a＝e1＋e2，b＝e2＋e3，c＝e1＋e3，得d＝（α＋γ）e1＋（α＋β）e2＋（γ＋β）e3.又因为d＝e1＋2e2＋3e3，所以则α＋β＋γ＝3. 答案　3 15.已知{e1，e2，e3}是空间的一个基底，若λe1＋μe2＋ve3＝0，则λ2＋μ2＋v2＝　　　　. 解析　因为{e1，e2，e3}是空间的一个基底，所以e1，e2，e3为不共面向量.又因为λe1＋μe2＋ve3＝0，所以λ＝μ＝v＝0，所以λ2＋μ2＋v2＝0. 答案　0 16.如图，在四面体ABCD中，设＝a，＝b，＝c. （1）若＝，F是AD的中点，用a，b，c表示； （2）若，，两两垂直，证明：△ABD为锐角三角形. 解析　（1）＝＋＝＋（＋）＝a－b＋c. （2）证明△ABD为锐角三角形，即证每一个角都是锐角，即证三对数量积·，·，·都大于0. 因为，，两两垂直，所以a·b＝a·c＝b·c＝0， 因为＝－＝b－a，＝－＝c－a， 所以·＝（b－a）·（c－a）＝｜a｜2＞0， ·＝（＋）·（＋）＝｜c｜2＞0， 同理·＝｜b｜2＞0，所以△ABD为锐角三角形. 学科网（北京）股份有限公司 $$