1.1.2 空间向量的数量积运算（word练习）-【状元桥·优质课堂】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）

一、选择题 1.设a，b为空间中的非零向量，下列各式： ①a2＝｜a｜2； ②＝； ③（a·b）2＝a2·b2； ④（a－b）2＝a2－2a·b＋b2； ⑤（a·b）·c＝b·（a·c）＝（b·c）·a； ⑥向量a在向量b上的投影向量为｜a｜cos＜a，b＞·.其中正确的个数为（　　） A.1 B.2 C.3 D.4 答案　C 解析　由向量数量积的性质可知①正确；向量的数量积不满足消去律，故②不正确；（a·b）2＝a2·b2·cos2＜a，b＞≤a2·b2，故③不正确；由向量数量积的运算律知④正确；数量积不满足结合律，故⑤不正确；｜a｜cos＜a，b＞为向量a在向量b上的投影向量，故⑥正确.故选C项. 2.已知向量a，b是平面α内的两个不相等的非零向量，非零向量c是直线l的一个方向向量，则“c·a＝0且c·b＝0”是“l⊥α”的（　　） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案　B 解析　当a与b不共线时，由c·a＝0，c·b＝0，可推出l⊥α；当a与b为共线向量时，由c·a＝0，c·b＝0，不能推出l⊥α.若l⊥α，则一定有c·a＝0，c·b＝0.故选B项. 3.已知空间向量a，b，｜b｜＝4，｜a｜＝2，＜a，b＞＝，则b在a上的投影向量的模为（　　） A.1 B.－1 C.2 D.－2 答案　C 解析　由题意可得b在a上的投影向量的模为｜b｜cos＜a，b＞·＝＝2.故选C项. 4.（多选）在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，下列结论正确的是（　　） A. ＝－ B. ·＝0 C. ·＝0 D. ·＝0 答案　ABC 解析　如图所示，由图形知，因为＝－，＝，所以＝－，故A项正确；因为⊥，所以·＝0，故B项正确；因为AA1⊥平面A1B1C1D1，所以AA1⊥B1D1，所以·＝0，故C项正确；因为四边形AA1C1C是矩形，所以AC1与A1C不垂直，则·≠0，故D项错误.故选ABC项. 5.（多选）如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，体对角线AC1与BD1相交于点O，则有（　　） A. ·＝2a2 B. ·＝a2 C. ·＝a2 D. ·＝a2 答案　BC 解析　·＝·（＋）＝＝a2，·＝·（＋＋）＝＝a2，·＝·＝·（＋＋）＝＝a2，·＝·（＋）＝－＝－a2.故选BC项. 二、填空题 6.已知｜a｜＝13，｜b｜＝19，｜a＋b｜＝24，则｜a－b｜＝　　　　. 解析　｜a＋b｜2＝a2＋2a·b＋b2＝132＋2a·b＋192＝242，所以2a·b＝46，所以｜a－b｜2＝a2－2a·b＋b2＝530－46＝484，故｜a－b｜＝22. 答案　22 7.已知｜a｜＝1，｜b｜＝，且a－b与a垂直，则a与b的夹角为　　　　. 解析　因为a－b与a垂直，所以（a－b）·a＝0，所以a·a－a·b＝｜a｜2－｜a｜｜b｜cos＜a，b＞＝1－1××cos＜a，b＞＝0，所以cos＜a，b＞＝.因为0°≤＜a，b＞≤180°，所以＜a，b＞＝45°. 答案　45° 8.已知非零向量m，n满足4｜m｜＝3｜n｜，cos＜m，n＞＝，若n⊥（tm＋n），则实数t的值为　　　　. 解析　因为n⊥（tm＋n），所以n·（tm＋n）＝0，即t·m·n＋n2＝0，所以t｜m｜｜n｜cos＜m，n＞＋｜n｜2＝0，由已知得t×｜n｜2×＋｜n｜2＝0，解得t＝－4. 答案　－4 三、解答题 9.已知a＋3b与7a－5b垂直，且a－4b与7a－2b垂直，求a与b的夹角. 解析　由条件知（a＋3b）·（7a－5b）＝7｜a｜2－15｜b｜2＋16a·b＝0，（a－4b）·（7a－2b）＝7｜a｜2＋8｜b｜2－30a·b＝0，两式相减得46a·b＝23｜b｜2，所以a·b＝｜b｜2，代入上面两个式子中的任意一个，得｜a｜＝｜b｜，所以cos＜a，b＞＝＝＝，所以＜a，b＞＝60°. 10.如图，在平行六面体ABCD－A'B'C'D'中，AB＝4，AD＝3，AA'＝5，∠BAD＝90°，∠BAA'＝∠DAA'＝60°.求： （1）·； （2）AC'的长. 解析　（1）·＝｜｜·｜AB｜cos∠A'AB＝5×4×＝10. （2）因为＝＋＝＋＋， 所以＝（＋＋）2＝＋＋＋2·＋2·＋2·＝16＋9＋25＋0＋2×4×5×＋2×3×5×＝85， 所以｜｜＝，即AC'的长为. 11.设平面上有四个互异的点A，B，C，D，已知（＋－2）·（－）＝0，则△ABC是（　　） A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.等边三角形 答案　B 解析　因为＋－2＝（－）＋（－）＝＋，所以（＋）·（－）＝｜｜2－｜｜2＝0，所以｜｜＝｜｜，即△ABC是等腰三角形.故选B项. 12.（多选）在正方体ABCD－A1B1C1D1中，下列命题正确的是（　　） A.（＋＋）2＝3 B. ·（－）＝0 C. 与的夹角为60° D.正方体的体积为｜··｜ 答案　AB 解析　如图所示，（＋＋）2＝（＋＋）2＝＝3；·（－）＝（＋）·＝·＋·＝0；与的夹角是与夹角的补角，而与的夹角为60°，故与的夹角为120°；正方体的体积为｜｜｜｜｜｜.故选AB项. 13.在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为1的正方形，AA1＝，∠A1AD＝∠A1AB＝120°，则对角线BD1的长度为　　　　. 解析　对＝＋－两边平方并化简得｜｜2＝＋｜｜2＋｜｜2＋2·－2·－2·＝1＋2＋1＋2×1×cos 120°－0－2××1×cos 120°＝4，所以｜｜＝2.所以对角线BD1的长度为2. 答案　2 14.已知等边△ABC中，P在线段AB上，且＝λ，若·＝·，则实数λ的值为　　　　. 解析　如图，＝－＋＝－＋λ，故·＝（λ－）·＝λ｜｜2－｜｜｜｜cos A，·＝（－λ）·（1－λ）＝λ（λ－1）｜｜2，设｜｜＝a（a＞0），则a2λ－a2＝λ（λ－1）a2，解得λ＝1－（λ＝1＋舍去）. 答案　1－ 15.如图，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，AB是一条侧棱，Pi（i＝1，2，…，8）是上底面上其余的八个点，则·（i＝1，2，…，8）的不同值的个数为　　　　. 解析　由题意知AB⊥BPi，所以·＝0，所以·＝·（＋）＝ ｜｜2＋·＝｜｜2＝1，所以·（i＝1，2，…，8）的不同值的个数为1. 答案　1 16.如图，已知直三棱柱ABC－A'B'C'中，AC＝BC＝AA'，∠ACB＝90°，D，E分别为AB，BB'的中点. （1）求证：CE⊥A'D； （2）求异面直线CE与AC'所成角的余弦值. 解析　（1）证明：设＝a，＝b，＝c， 根据题意得｜a｜＝｜b｜＝｜c｜，且a·b＝b·c＝c·a＝0. 因为＝b＋c，＝－c＋b－a，所以·＝·＝－c2＋b2＝0， 所以⊥，即CE⊥A'D. （2）因为＝－a＋c， 所以｜｜＝｜a｜，｜｜＝｜a｜， 因为·＝（－a＋c）· ＝c2＝｜a｜2， 所以cos〈，〉＝＝. 所以异面直线CE与AC'所成角的余弦值为. 学科网（北京）股份有限公司 $$