1.1.1 空间向量及其线性运算（word练习）-【状元桥·优质课堂】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）

一、选择题 1.已知空间四边形ABCD，连接AC，BD，则＋＋＝（　　） A. B. C. D.0 答案　A 解析　＋＋＝＋＝.故选A项. 2.在空间四边形ABCD中，＝a，＝b，＝c，则＝（　　） A. a＋b－c B. c－a－b C. c＋a－b D. c＋a＋b 答案　B 解析　如图，因为＋＋＋＝0，即a＋b＋－c＝0，所以＝c－a－b.故选B项. 3.在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，下列各组向量一定共面的组数为（　　） ①，；②，；③，，；④，，. A.1 B.2 C.3 D.4 答案　C 解析　如图所示，由向量共面的定义知①②中的向量一定共面；③中＝，可以平移到平面ABB1A1中，故三向量共面；④中三向量不能平移到同一个平面内，故不共面.故共有3组共面.故选C项. 4.已知三棱锥O－ABC中，点M，N分别为AB，OC的中点，且＝a，＝b，＝c，则＝（　　） A.（b＋c－a） B.（a＋b＋c） C.（a－b＋c） D.（a＋b－c） 答案　D 解析　＝＋＝－＋＋＝（a＋b－c）.故选D项. 5.（多选）下列关于空间向量的命题中正确的是（　　） A.将空间中所有的单位向量移到同一个起点，则它们的终点构成一个圆 B.长度不相等、方向相反的两向量一定是共线向量 C.由于零向量方向不确定，故零向量不能与任何向量平行 D.对于任意向量a，b，有｜a｜－｜b｜≤｜a＋b｜≤｜a｜＋｜b｜ 答案　BD 解析　对于A项，其终点构成一个球面，故A项错误；对于B项，由共线向量的概念知，长度不相等、方向相反的两向量一定是共线向量，故B项正确；对于C项，规定0的方向是任意的，与任何向量平行，故C项错误；对于D项，由向量模的性质知，对于任意向量a，b，有｜a｜－｜b｜≤｜a＋b｜≤｜a｜＋｜b｜，故D项正确.故选BD项. 二、填空题 6.设有四边形ABCD，O为空间任意一点，且＋＝＋，则四边形ABCD的形状是　　　　. 解析　因为＋＝＋，所以＝，所以∥且｜｜＝｜｜，所以四边形ABCD为平行四边形. 答案　平行四边形 7.设e1，e2是不共线的向量，已知＝2e1＋ke2，＝e1＋3e2，＝2e1－e2，若A，B，D三点共线，则实数k的值为　　　　. 解析　因为＝－＝e1－4e2，＝2e1＋ke2，且A，B，D三点共线，由向量共线的充要条件得＝，所以k＝－8. 答案　－8 8.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点M为上底面A1B1C1D1的中心，若＝x＋y＋z，则x＋y＋z的值是　　　　. 解析　＝＋＝＋＝＋＝＋（－＋）＝－＋，所以x＝1，y＝－，z＝，所以x＋y＋z＝1. 答案　1 三、解答题 9.已知长方体ABCD－A1B1C1D1中，M是对角线AC1的中点，化简下列表达式： （1）＋＋； （2）＋－. 解析　（1）＋＋＝＋＝. （2）＋－＝（＋）－＝－＝＋＝＋＝＝. 10.在长方体ABCD－A1B1C1D1中，M为DD1的中点，点N在AC上，且AN∶NC＝2∶1，求证：与，共面. 证明：因为＝－， ＝＋＝－， ＝＝（＋）， 所以＝－＝（＋）－＝（－）＋＝＋， 所以与，共面. 11.已知空间向量a，b，且＝a＋2b，＝－5a＋6b，＝7a－2b，则一定共线的三点是（　　） A. A，B，C B. B，C，D C. A，B，D D. A，C，D 答案　C 解析　＝＋＝－5a＋6b＋7a－2b＝2a＋4b＝2（a＋2b）＝2，又与过同一点B，所以A，B，D三点共线.故选C项. 12.（多选）如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝3，AD＝2，AA1＝1，则在以八个顶点中的两个分别为始点和终点的向量中（　　） A.单位向量有8个 B.与相等的向量有3个 C.与相反的向量有4个 D.向量，，共面 答案　ABC 解析　由题可知单位向量有，，，，，，，，共8个，故A项正确；与相等的向量有，，，共3个，故B项正确；与向量相反的向量有，，，，共4个，故C项正确；因为＝，向量，，有一个公共点A1，而点A1，B1，D1都在平面A1B1C1D1内，点A在平面A1B1C1D1外，所以向量，，不共面，故D项错误.故选ABC项. 13.（多选）如图，四边形ABCD是空间四边形，E，H分别是AB，AD的中点，F，G分别是CB，CD上的点，且＝，＝，则（　　） A. ＝ B. ＝ C. ＝ D.四边形EFGH是梯形 答案　ABD 解析　因为E，H分别是AB，AD的中点，所以＝，＝，所以EH是△ABD的中位线，则＝，＝－＝－＝（－）＝，故A项正确；＝＝×＝，故B项正确；直线EF和直线HG相交，故C项不正确；因为＝，＝，所以FG∥BD，EH∥BD，所以FG∥EH，且FG≠EH，又EF与HG相交，所以四边形EFGH是梯形，故D项正确.故选ABD项. 14.如图，平面ABC内的小方格均为正方形，点P为平面ABC内一点，点O为平面ABC外一点，设＝m＋n＋2，求m＋n的值. 解析　由题知＝＋，因为A，P，B，C四点共面，根据平面向量基本定理，不妨设＝x＋y（x，y∈R），则＝＋x＋y＝＋x（－）＋y（－）＝（1－x－y）＋x＋y， 因为＝m＋n＋2， 所以 所以m＋n＝1－x－y＋x＝1－y＝－1. 15.已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，P，M为空间任意两点，如果有＝＋7＋6－4，那么M必（　　） A.在平面BAD1内 B.在平面BA1D内 C.在平面BA1D1内 D.在平面AB1C1内 答案　C 解析　＝＋7＋6－4＝＋＋6－4＝＋＋6－4＝＋6（－）－4（－）＝11－6－4，所以－＝6（－）＋4（－），即＝6＋4，又A1M，BA1，D1A1有公共点A1，所以A1M，BA1，D1A1共面，于是M，B，A1，D1四点共面.故选C项. 16.设棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中的八个顶点所构成的集合为S，向量的集合P＝{m｜m＝，P1，P2∈S}，则P中长度为a的向量有　　　　个. 解析　每一条体对角线对应两个向量，正方体共有4条体对角线，共有8个向量. 答案　8 学科网（北京）股份有限公司 $$