2.4.2 圆的一般方程（word练习）-【状元桥·优质课堂】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）

一、选择题 1.方程x2＋y2＋2ax＋2by＋a2＋b2＝0表示的图形是（　　） A.以（a，b）为圆心的圆 B.以（－a，－b）为圆心的圆 C.点（a，b） D.点（－a，－b） 答案　D 解析　由题意配方得（x＋a）2＋（y＋b）2＝0，所以方程表示点（－a，－b）.故选D项. 2.已知圆C：（x－a）2＋（y－b）2＝1过点A（1，0），则圆C的圆心的轨迹是（　　） A.点 B.直线 C.线段 D.圆 答案　D 解析　因为圆C：（x－a）2＋（y－b）2＝1过点A（1，0），所以（1－a）2＋（0－b）2＝1，所以（a－1）2＋b2＝1，所以圆C的圆心的轨迹是以（1，0）为圆心，1为半径的圆.故选D项. 3.已知直线l：ax－y＋b＝0，圆M：x2＋y2－2ax＋2by＝0，则l与M在同一平面直角坐标系中的图形只可能是（　　） 　　 A　　　　　　B 　　 C　　　　　　D 答案　B 解析　圆M的圆心为（a，－b），且过原点，可排除A，C项；B项中由直线l可知a＞0，b＜0，所以圆心（a，－b）在第一象限，符合图形；D项中由直线l可知a＜0，b＜0，所以圆心（a，－b）在第二象限，与图形不符.故选B项. 4.（多选）方程x2＋y2＋4mx－2y＋5m＝0表示圆的充分不必要条件可以是（　　） A.＜m＜1 B. m＜或m＞1 C. m＜ D. m＞2 答案　CD 解析　x2＋y2＋4mx－2y＋5m＝0可化为（x＋2m）2＋（y－1）2＝4m2－5m＋1，因为该方程表示圆，故4m2－5m＋1＞0，即m＜或m＞1，即方程x2＋y2＋4mx－2y＋5m＝0表示圆的充要条件为m＜或m＞1.因为（－∞，），（2，＋∞）均为（－∞，）∪（1，＋∞）的真子集，（，1）不是（－∞，）∪（1，＋∞）的真子集，故m∈（－∞，），m∈（2，＋∞）均为方程x2＋y2＋4mx－2y＋5m＝0表示圆的充分不必要条件.故选CD项. 5.点P（4，－2）与圆x2＋y2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是（　　） A.（x－2）2＋（y＋1）2＝1 B.（x－2）2＋（y＋1）2＝4 C.（x＋4）2＋（y－2）2＝4 D.（x＋2）2＋（y－1）2＝1 答案　A 解析　设圆上任一点为Q（x0，y0），线段PQ的中点为M（x，y），则所以因为点Q在圆x2＋y2＝4上，所以＋＝4，即（2x－4）2＋（2y＋2）2＝4，化简得（x－2）2＋（y＋1）2＝1.故选A项. 二、填空题 6.若方程x2＋y2＋2x＋3y＋m＝0表示圆，则实数m的取值范围是　　　　. 解析　由4＋9－4m＞0，得m＜.故实数m的取值范围是. 答案　 7.设A为圆C：（x－1）2＋y2＝1上的动点，CA⊥PA且｜PA｜＝1，则点P的轨迹方程为　　　　. 解析　由圆的方程可知半径为1，又｜PA｜＝1，则圆心（1，0）到点P的距离为，所以点P在以（1，0）为圆心，以为半径的圆上，其轨迹方程为（x－1）2＋y2＝2. 答案　（x－1）2＋y2＝2 8.如果圆的方程x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0表示的圆的面积最大，则圆心坐标为　　　　. 解析　圆的方程可化为＋（y＋1）2＝1－k2，所以1－k2＞0，即k2＜，圆的面积S＝π＝－πk2＋π.当k＝0时，Smax＝π，此时圆心坐标为（0，－1）. 答案　（0，－1） 三、解答题 9.求圆x2＋y2－4x＋6y－3＝0关于点（3，1）对称的圆的方程. 解析　圆x2＋y2－4x＋6y－3＝0的标准方程为（x－2）2＋（y＋3）2＝16，其圆心坐标为（2，－3），半径r＝4.由题意得所求圆的圆心坐标为（4，5），半径为4，所以所求圆的方程为（x－4）2＋（y－5）2＝16. 10.已知三角形的三个顶点的坐标分别为A（4，1），B（－6，3），C（3，0），求这个三角形外接圆的一般方程. 解析　设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， 因为A，B，C三点都在圆上， 所以A，B，C三点的坐标都满足所设方程， 把A（4，1），B（－6，3），C（3，0）的坐标依次代入所设方程，得解得所以所求圆的方程为x2＋y2＋x－9y－12＝0. 11.方程x2＋y2＋ax－2ay＋2a2＋3a＝0表示的图形是半径为r（r＞0）的圆，则该圆的圆心在（　　） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 答案　D 解析　因为方程x2＋y2＋ax－2ay＋2a2＋3a＝0表示的图形是圆，且方程可化为＋（y－a）2＝－a2－3a，所以圆心坐标为，r2＝－a2－3a.又r2＞0，即－a2－3a＞0，解得－4＜a＜0，所以－＞0，故该圆的圆心在第四象限.故选D项. 12.（多选）已知圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋3＝0，圆心在直线x＋y－1＝0上，且圆心在第二象限，半径为，则（　　） A. D＝2 B. D＝－2 C. E＝－4 D. E＝4 答案　AC 解析　易知圆心C，因为圆心在直线x＋y－1＝0上，所以－－－1＝0，即D＋E＝－2　①，又 r＝＝，所以D2＋E2＝20　②，由①②可得或又圆心在第二象限，所以－＜0，即D＞0，所以故选AC项. 13.已知定点P1（－1，0），P2（1，0），动点M满足｜MP1｜＝｜MP2｜，则构成△MP1P2面积的最大值是（　　） A. B.2 C. D.2 答案　B 解析　设M（x，y），则由｜MP1｜＝｜MP2｜，可以得到＝，化简得（x－3）2＋y2＝8，即M在以（3，0）为圆心，2为半径的圆上运动，又＝·｜P1P2｜·｜yM｜＝｜yM｜≤2，所以面积的最大值是2.故选B项. 14.已知圆x2＋y2＋2x－4y＋a＝0关于直线y＝2x＋b成轴对称图形，则a－b的取值范围是　　　　. 解析　由题意知，直线y＝2x＋b过圆心，而圆心坐标为（－1，2），代入直线方程，得b＝4，圆的方程化为标准方程为（x＋1）2＋（y－2）2＝5－a，所以a＜5，由此得a－b＜1.故a－b的取值范围是（－∞，1）. 答案　（－∞，1） 15.（多选）方程λ（x2＋y2－2x）＋μ（x2＋y2－2y）＝0（λ，μ不全为零），下列说法中正确的是（　　） A.当λμ＝0时为圆 B.当λμ≠0时不可能为直线 C.当方程为圆时，λ，μ满足λ＋μ≠0 D.当方程为直线时，直线方程为y＝x 答案　ACD 解析　对于A项，由题意可得或代入得x2＋y2－2y＝0或x2＋y2－2x＝0，都是圆，故正确；对于B项，当λ＝1，μ＝－1时，化简得y＝x是直线，故错误；对于C项，原式可化为（λ＋μ）x2＋（λ＋μ）y2－2λx－2μy＝0，要表示圆，则必有λ＋μ≠0，故正确；对于D项，只有λ＋μ＝0时，方程表示直线y＝x，故正确.故选ACD项. 16.已知圆C经过点P（1，3），Q（2，0），且圆心在直线y＝x＋1上. （1）求圆C的一般方程； （2）已知点A与点Q关于y轴对称，点B在圆C上（与点A不重合），记线段AB的中点为M，且｜OA｜＝｜OM｜，求直线AB的方程. 解析　（1）因为直线PQ的斜率kPQ＝＝－3，线段PQ的中点为，所以线段PQ的垂直平分线的方程为y－＝（x－），即y＝x＋1. 由解得圆心C（0，1）. 又圆C的半径｜CP｜＝＝， 所以圆C的一般方程为x2＋y2－2y－4＝0. （2）由（1）可知圆的标准方程为x2＋（y－1）2＝5.由已知可得A（－2，0），设M（a，b），则B（2a＋2，2b）， 所以即 解得或（舍去）. 所以由A（－2，0），M得直线AB的方程为y＝2x＋4. 学科网（北京）股份有限公司 $$