2.3.3 2.3.4 点到直线的距离公式、两条平行直线间的距离（word练习）-【状元桥·优质课堂】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）

一、选择题 1.原点到直线x＋2y－5＝0的距离为（　　） A.1 B. C.2 D. 答案　D 解析　由题意和点到直线的距离公式可得，原点到直线x＋2y－5＝0的距离d＝＝.故选D项. 2.两条平行线l1：3x＋4y－2＝0，l2：9x＋12y－10＝0间的距离为（　　） A. B. C. D. 答案　C 解析　l1的方程可化为9x＋12y－6＝0，由平行线间的距离公式得d＝＝.故选C项. 3.已知点（a，2）（a＞0）到直线l：x－y＋3＝0的距离为1，则a＝（　　） A. B.－1 C.＋1 D.2－ 答案　B 解析　由点到直线的距离公式，得1＝，即｜a＋1｜＝.因为a＞0，所以a＝－1.故选B项. 4.（多选）到直线3x－4y－1＝0的距离为2的直线方程为（　　） A.3x－4y－11＝0 B.3x－4y＋9＝0 C.3x－4y＋11＝0 D.3x－4y－9＝0 答案　AB 解析　设所求直线方程为3x－4y＋k＝0（k≠－1），由题意得＝2，所以｜k＋1｜＝10，所以k＝9或k＝－11.故所求直线方程为3x－4y＋9＝0或3x－4y－11＝0.故选AB项. 5.若点P（2，3）到直线l：ax＋y－2a＝0的距离为d，则d的最大值为（　　） A.3 B.4 C.5 D.7 答案　A 解析　直线方程可变形为y＝－a（x－2），据此可知直线恒过定点M（2，0），当直线l⊥PM时，d有最大值，结合两点间的距离公式可得d的最大值为＝3.故选A项. 二、填空题 6.直线x－2y＋1＝0关于直线x＝1对称的直线方程是　　　　. 解析　由得交点A（1，1），且所求直线斜率为－，所以直线方程为y－1＝－（x－1），即x＋2y－3＝0. 答案　x＋2y－3＝0 7.已知点P在直线3x＋y－5＝0上，且点P到直线x－y－1＝0的距离为，则点P的坐标为　　　　. 解析　设点P的坐标为（a，5－3a），由点到直线的距离公式得＝，解得a＝1或2，所以点P的坐标为（1，2）或（2，－1）. 答案　（1，2）或（2，－1） 8.在直角坐标平面内，与点（1，2）的距离为1，且与点B（3，1）的距离为2的直线共有　　　　条. 解析　由题意可知，所求直线显然不与y轴平行，所以可设直线方程为y＝kx＋b，即kx－y＋b＝0.所以可以得到d1＝＝1，d2＝＝2，两式联立，解得b＝3，k＝0或b＝，k＝－.故所求直线共有2条. 答案　2 三、解答题 9.求过点P（0，2）且与点A（1，1），B（－3，1）等距离的直线l的方程. 解析　因为点A（1，1）与B（－3，1）到y轴的距离不相等，所以直线l的斜率存在，设为k.又直线l在y轴上的截距为2，所以直线l的方程为y＝kx＋2，即kx－y＋2＝0.由点A（1，1）与B（－3，1）到直线l的距离相等，得＝，解得k＝0或k＝1.所以直线l的方程是y＝2或x－y＋2＝0. 10.已知直线l经过直线2x＋y－5＝0与x－2y＝0的交点. （1）若点A（5，0）到l的距离为3，求l的方程； （2）求点A（5，0）到l的距离的最大值. 解析　（1）经过两已知直线交点的直线系方程为（2x＋y－5）＋λ（x－2y）＝0，即（2＋λ）x＋（1－2λ）y－5＝0，因为点A（5，0）到l的距离为3，所以＝3，即2λ2－5λ＋2＝0，所以λ＝2或λ＝，所以l的方程为x＝2或4x－3y－5＝0. （2）由解得所以交点P的坐标为（2，1），设d为点A到l的距离，则d≤｜PA｜，当且仅当l⊥PA时，等号成立.所以dmax＝｜PA｜＝. 11.已知点A（0，2），B（2，0），若点C在函数y＝x2的图象上，则使得△ABC的面积为2的点C的个数为（　　） A.4 B.3 C.2 D.1 答案　A 解析　设点C（t，t2）.由题意知直线AB的方程是x＋y－2＝0，｜AB｜＝2.由于△ABC的面积为2，则这个三角形中AB边上的高h满足方程×2h＝2，即h＝.由点到直线的距离公式，得＝，即｜t2＋t－2｜＝2，所以t2＋t－2＝2或t2＋t－2＝－2，这两个方程各自有两个不相等的实数根，故这样的点C有4个.故选A项. 12.（多选）已知在△ABC中，A（3，2），B（－1，5），点C在直线3x－y＋3＝0上.若△ABC的面积为10，则点C的坐标可以为（　　） A.（－1，0） B. C.（1，6） D. 答案　AB 解析　由｜AB｜＝5，△ABC的面积为10，得点C到直线AB的距离为4.由题易知直线AB的方程为3x＋4y－17＝0，设C（x，3x＋3），利用点到直线的距离公式可得＝4，解得x＝－1或x＝.故点C的坐标为（－1，0）或（，8）.故选AB项. 13.点A（1，1）到直线xcos θ＋ysin θ－2＝0的距离的最大值是　　　　. 解析　因为点（1，1）到直线的距离d＝＝｜cos θ＋sin θ－2｜＝｜sin（θ＋）－2｜，所以当sin（θ＋）＝－1时，dmax＝｜－－2｜＝2＋. 答案　2＋ 14.已知m，n，a，b∈R，且满足3m＋4n＝6，3a＋4b＝1，则的最小值为　　　　. 解析　设点A（m，n），B（a，b），直线l1：3x＋4y＝6，直线l2：3x＋4y＝1.由题意知点A（m，n）在直线l1：3x＋4y＝6上，点B（a，b）在直线l2：3x＋4y＝1上，所以｜AB｜＝，由l1∥l2，得｜AB｜min＝＝1. 答案　1 15.唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为A（1，1），若将军从山脚下的点B（4，4）处出发，河岸线所在直线l的方程为x－y＋1＝0，则“将军饮马”的最短总路程是（　　） A.3 B. C. D.2 答案　D 解析　如图，设B（4，4）关于直线x－y＋1＝0对称的点为C（a，b）， 则有可得可得C（3，5），依题意可得“将军饮马”的最短总路程为｜AC｜，此时｜AC｜＝＝2.故选D项. 16.已知△ABC的内角平分线CD所在直线的方程为2x＋y－1＝0，两个顶点为A（1，2），B（－1，－1）. （1）求点A到直线CD的距离； （2）求点C的坐标. 解析　（1）点A到直线CD的距离d＝＝. （2）依题意，点A关于直线CD的对称点A'在BC边上，设A'（x0，y0）， 则 解得即A'（－，）. 所以直线BC的方程为9x＋2y＋11＝0. 联立直线BC与CD的方程，解得点C的坐标为（－，）. 学科网（北京）股份有限公司 $$