2.3.1 2.3.2 两条直线的交点坐标、两点间的距离公式（word练习）-【状元桥·优质课堂】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）

一、选择题 1.直线x＝1和直线y＝2的交点坐标是（　　） A.（2，2） B.（1，1） C.（1，2） D.（2，1） 答案　C 解析　由得交点坐标为（1，2）.故选C项. 2.已知点A（4，0），B（0，－2），则｜AB｜＝（　　） A.5 B.4 C.2 D.2 答案　C 解析　由两点间的距离公式可得｜AB｜＝＝2.故选C项. 3.（多选）直线x＋y－1＝0上与点P（－2，3）的距离等于的点的坐标是（　　） A.（－4，5） B.（－3，4） C.（－1，2） D.（0，1） 答案　BC 解析　设所求点的坐标为（a，1－a），则＝，解得a＝－3或a＝－1，所以所求点的坐标为（－3，4）或（－1，2）.故选BC项. 4.已知直线mx－y＋1＝0和x－y－1＝0的交点在x轴上，则m的值为（　　） A.1 B.2 C.－1 D.－2 答案　C 解析　由题意设交点为（a，0），所以解得故选C项. 5.当a取不同实数时，直线（a－1）x－y＋2a＋1＝0恒过一个定点，这个定点是（　　） A.（2，3） B.（－2，3） C. D.（－2，0） 答案　B 解析　直线化为a（x＋2）－x－y＋1＝0.由得即直线过定点（－2，3）.故选B项. 二、填空题 6.已知A（－1，0），B（5，6），C（3，4），则＝　　　　. 解析　由两点间的距离公式可得｜AC｜＝＝4，｜CB｜＝＝2，故＝2. 答案　2 7.已知直线ax＋2y－1＝0与直线2x－5y＋c＝0垂直相交于点（1，m），则a＝　　　　，c＝　　　　，m＝　　　　. 解析　由两直线垂直得2a－10＝0，即a＝5.又由点（1，m）在两直线上得a＋2m－1＝0，2－5m＋c＝0，所以m＝－2，c＝－12. 答案　5　－12　－2 8.已知直线l：y＝－2x＋6和点A（1，－1），过点A作直线l1与直线l相交于点B，且｜AB｜＝5，则直线l的方程是　　　　. 解析　由于点B在l上，可设点B的坐标为（x0，－2x0＋6）.由｜AB｜2＝（x0－1）2＋（－2x0＋7）2＝25，化简得－6x0＋5＝0，解得x0＝1或x0＝5.当x0＝1时，直线l1的方程为x＝1；当x0＝5时，点B的坐标为（5，－4），则直线l1的方程为＝⇒3x＋4y＋1＝0.综上，直线l1的方程为x＝1或3x＋4y＋1＝0. 答案　x＝1或3x＋4y＋1＝0 三、解答题 9.求过两直线l1：x－3y＋4＝0和l2：2x＋y＋5＝0的交点和原点的直线方程. 解析　由方程组解得所以两直线的交点为，所以所求直线的斜率为＝－，所以所求直线的方程为y＝－x，即3x＋19y＝0. 10.已知等腰梯形ABCD中，AB∥DC，对角线为AC和BD.求证：｜AC｜＝｜BD｜. 证明：如图所示，建立平面直角坐标系，设A（0，0），B（a，0），C（b，c），则点D的坐标是（a－b，c）. 所以｜AC｜＝＝， 且｜BD｜＝＝. 故｜AC｜＝｜BD｜. 11.若两直线3ax－y－2＝0和（2a－1）x＋5ay－1＝0分别过定点A，B，则｜AB｜的值为（　　） A. B. C. D. 答案　C 解析　易知直线3ax－y－2＝0过定点A（0，－2），直线（2a－1）x＋5ay－1＝0过定点B，由两点间的距离公式，得｜AB｜＝.故选C项. 12.以点A（－3，0），B（3，－2），C（－1，2）为顶点的三角形是（　　） A.等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.以上都不正确 答案　C 解析　由题意得｜AB｜＝＝＝＝2， ｜BC｜＝＝＝＝4，｜AC｜＝＝＝2，因为｜AC｜2＋｜BC｜2＝｜AB｜2，所以△ABC为直角三角形.故选C项. 13.（多选）已知三条直线2x＋3y＋1＝0，4x－3y＋5＝0，x＋my－1＝0不能构成三角形，则实数m的取值为（　　） A.－ B. C. D.6 答案　ACD 解析　由于三条直线2x＋3y＋1＝0，4x－3y＋5＝0，x＋my－1＝0不能构成三角形，则直线存在三种情况； ①当2x＋3y＋1＝0与x＋my－1＝0平行时，－＝－，解得m＝； ②当4x－3y＋5＝0与x＋my－1＝0平行时，＝－，解得m＝－； ③当三条直线交于同一点时，联立解得代入x＋my－1＝0，解得m＝6.故选ACD项. 14.若直线l：y＝kx－与直线2x＋3y－6＝0的交点位于第一象限，则k的取值范围是　　　　. 解析　解方程组得由题意知x＝＞0且y＝＞0，所以3k＋2＞0，且6k－2＞0，解得k＞.所以k的取值范围是（，＋∞）. 答案　（，＋∞） 15.在平面直角坐标系xOy中，过坐标原点的一条直线与函数f（x）＝的图象交于P，Q两点，则线段PQ长的最小值是　　　　. 解析　因为函数f（x）＝的图象关于原点对称，所以点P，Q关于原点对称，即可得｜PQ｜＝2｜OP｜.设点P的坐标为，则｜PQ｜＝2｜OP｜＝2≥2＝4，当且仅当x＝±时，线段PQ的长取得最小值4. 答案　4 16.已知0＜k＜4，直线l1：kx－2y－2k＋8＝0和直线l2：2x＋k2y－4k2－4＝0与两坐标轴围成一个四边形，求使得这个四边形的面积最小的k值. 解析　由题意知直线l1的方程可化为k（x－2）－2（y－4）＝0， l2的方程可化为2（x－2）＋k2（y－4）＝0，所以直线l1，l2恒过定点P（2，4），直线l1的纵截距为 4－k，直线l2的横截距为2k2＋2，如图，所以四边形的面积S＝×（2k2＋2－2）×4＋（4－k＋4）×2×＝4k2－k＋8＝＋（0＜k＜4），故四边形的面积最小时，k＝. 学科网（北京）股份有限公司 $$