2.2.2 直线的两点式方程（word练习）-【状元桥·优质课堂】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）

一、选择题 1.直线－＝1在y轴上的截距是（　　） A.｜b｜ B.－b2 C. b2 D.±b 答案　B 解析　令x＝0，得y＝－b2，所以直线在y轴上的截距是－b2.故选B项. 2.过点A（3，2），B（4，3）的直线方程是（　　） A. x＋y＋1＝0 B. x＋y－1＝0 C. x－y＋1＝0 D. x－y－1＝0 答案　D 解析　由直线的两点式方程，得＝，化简得x－y－1＝0.故选D项. 3.直线ax＋by－1＝0（ab≠0）与两坐标轴围成的三角形的面积为（　　） A.ab B. C. D. 答案　D 解析　令x＝0，得y＝；令y＝0，得x＝.所以围成的三角形的面积S＝＝.故选D项. 4.已知△ABC的顶点坐标分别为A（1，2），B（3，6），C（5，2），M为AB的中点，N为AC的中点，则中位线MN所在直线的方程为（　　） A.2x＋y－8＝0 B.2x－y＋8＝0 C.2x＋y－12＝0 D.2x－y－12＝0 答案　A 解析　由中点坐标公式可得M（2，4），N（3，2），再由两点式可得直线MN的方程为＝，即2x＋y－8＝0.故选A项. 5.（多选）过点M（2，1）且在两坐标轴上截距相等的直线方程为（　　） A. y＝2x B. y＝x－1 C. y＝－x＋3 D. y＝x 答案　CD 解析　设直线在x，y轴上的截距分别为a，b，则a＝b，当a＝b＝0时，则直线过原点和点M（2，1），所以直线的斜率k＝，故直线方程为y＝x；当a＝b≠0时，设直线方程为＋＝1，由题意可得＋＝＋＝1，则a＝3，故直线方程为＋＝1，即y＝－x＋3.综上所述，直线方程为y＝x或y＝－x＋3.故选CD项. 二、填空题 6.已知直线l的两点式方程为＝，则l的斜率为　　　　. 解析　由题意知，直线l过点（－5，0），（3，－3），所以l的斜率为＝－. 答案　－ 7.已知直线l过点（－1，－1）和（2，5），点（1 012，b）在直线l上，则b＝　　　　. 解析　直线l的方程为＝，即y＝2x＋1，令x＝1 012，则有b＝2×1 012＋1＝2 025. 答案　2 025 8.若直线l经过点E（1，2），且与两坐标轴的正半轴围成的三角形的面积是4，则直线l的方程为　　　　. 解析　设直线l的方程为＋＝1.由题意得解得故直线l的方程为＋＝1，即2x＋y－4＝0. 答案　2x＋y－4＝0 三、解答题 9.已知直线l过（a，0），（0，b）和（1，3）三点，且a，b均为正整数，求直线l的方程. 解析　由题意可设直线l的方程为＋＝1， 把（1，3）代入得到＋＝1，因为a，b∈N*， 所以0＜＜1且0＜＜1， 所以a＞1且b＞3， 又由三点共线得＝，即a＝＝1＋∈N*，所以或 所以直线l的方程为＋＝1或＋＝1. 10.一条光线从点A（3，2）出发，经x轴反射，通过点B（－1，6），求入射光线和反射光线所在的直线方程. 解析　因为点A（3，2）关于x轴的对称点为A'（3，－2）， 所以由两点式可得直线A'B的方程为＝，即2x＋y－4＝0. 同理，点B关于x轴的对称点为B'（－1，－6）， 由两点式可得直线AB'的方程为＝，即2x－y－4＝0. 所以入射光线所在的直线方程为2x－y－4＝0，反射光线所在的直线方程为2x＋y－4＝0. 11.（多选）下列命题错误的是（　　） A.过任意两点A（x1，y1），B（x2，y2）的直线方程可以写成＝ B.直线在x轴和y轴上的截距相等，则直线的斜率为－1 C.若直线的斜率为1，则直线在x轴和y轴上的截距之和为0 D.若直线与坐标轴围成的三角形是等腰直角三角形，则直线的斜率为1 答案　ABD 解析　当x1＝x2或y1＝y2时，直线方程不能写成＝，故A项错误；当直线过原点时，在x轴和y轴上的截距相等，但斜率不一定为－1，故B项错误；设直线在y轴上的截距为b，则直线方程为y＝x＋b，令y＝0，得直线在x轴上的截距为x＝－b，于是b＋（－b）＝0，故C项正确；因为直线与坐标轴围成的三角形是等腰直角三角形，所以直线的斜率为±1，故D项错误.故选ABD项. 12.两条直线l1：－＝1和l2：－＝1在同一直角坐标系中的图象可以是（　　） 　　 A　　　　　　　B 　　 C　　　　　　　D 答案　A 解析　两条直线化为截距式分别为＋＝1，＋＝1.易知l1在x轴上的截距与l2在y轴上的截距异号，故排除B，D项；l1在y轴上的截距与l2在x轴上的截距异号，故排除C项.故选A项. 13.过点P（1，1）作直线l，与两坐标轴相交所得的三角形面积为1，则直线l有（　　） A.1条 B.2条 C.3条 D.4条 答案　B 解析　由题意可知，直线的斜率存在，则设直线的方程为y－1＝k（x－1）（k≠0），令x＝0，解得y＝1－k；令y＝0，解得x＝1－，所以｜（1－k）（1－）｜＝1，化简得k2－4k＋1＝0　①或k2＋1＝0　②，由于方程①中的判别式Δ＞0，方程②无解，所以两个方程共有2个不同的解.因此直线l共有2条.故选B项. 14.直线过点P且与x轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，O为坐标原点，求分别满足下列条件的直线方程. （1）△AOB的周长为12； （2）△AOB的面积为6. 解析　（1）设直线方程为＋＝1（a＞0，b＞0）， 由题意可知，a＋b＋＝12， ① 又因为直线过点P，所以＋＝1， ② 联立①②整理得5a2－32a＋48＝0， 解得或 所以所求直线方程为＋＝1或＋＝1， 即3x＋4y－12＝0或15x＋8y－36＝0. （2）设直线方程为＋＝1（a＞0，b＞0）， 由题意可知ab＝12，＋＝1，整理得a2－6a＋8＝0，解得或 所以所求直线方程为＋＝1或＋＝1， 即3x＋4y－12＝0或3x＋y－6＝0. 15.已知A（3，0），B（0，4），直线AB上有一动点P（x，y），则xy的最大值是　　　　. 解析　由题意可得直线AB的方程为＋＝1，设P（x，y），则x＝3－y，所以xy＝3y－y2＝（－y2＋4y）＝[－（y－2）2＋4]≤3.所以当点P的坐标为（，2）时，xy取得最大值3. 答案　3 16.已知直线l过点P（3，2），且与x轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，如图所示，求△ABO面积的最小值及此时直线l的方程. 解析　设A（a，0），B（0，b）（a＞3，b＞2），则直线l的方程为＋＝1. 因为直线l过点P（3，2）， 所以＋＝1，即b＝， 从而S△ABO＝a·b＝a·＝（a＞3）， 故S△ABO＝＝≥12，当且仅当＝，即a＝6时，等号成立. 所以当S△ABO最小时，b＝＝4， 故△ABO面积的最小值是12， 此时直线l的方程为＋＝1， 即2x＋3y－12＝0. 学科网（北京）股份有限公司 $$