精品解析：2024年辽宁省鞍山市海城市西部联盟九年级中考三模数学试题

2024年海城市西部联盟九年级第三次中考模拟 数学试卷 （试卷满分120分，答题时间120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 3．考试结束后，本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 如果向东走10m记作，那么向西走记作（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据具有相反意义的量即可得． 【详解】解：因为向东与向西是一对具有相反意义的量， 所以如果向东走10m记作，那么向西走记作， 故选：C． 【点睛】本题考查了具有相反意义的量，熟练掌握具有相反意义的量是解题关键． 2. 如图所示，从正方体上切下一块三棱锥，则该三棱锥的俯视图可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了几何体的三视图；熟练掌握三视图的画法是解题的关键． 题目中注意是三棱锥的俯视图． 【详解】 将三棱锥如图所示放置，俯视图如B选项中所示； 故选：B． 3. 在中，D、E在边上， ，满足关系式，则下列关系中错误的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，平行线的判定，成比例的性质等，根据，可得，进而设，，通过分式运算可证选项C，D正确，再证，可证选项A正确． 【详解】解：，满足关系式， ， 设，， ，， 故选项C，D正确； ， ， 又， ， ， ， 故选项A正确； 故选项B错误， 故选B． 4. 若关于x的一元二次方程（m+1）x2-2x+1=0有实数根，则实数m的取值范围是（ ） A. m≥0 B. m≤0 C. m≠1 D. m≤0且m≠-1 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义可知，再由方程有实数根可得出△，联立关于的不等式组，求出的取值范围即可 【详解】解：关于的一元二次方程有实数根， ， 解得且． 故选：D． 【点睛】本题考查的是根的判别式，解题的关键是要注意这一隐含条件． 5. 若一次函数的图像经过第二、三、四象限，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由于一次函数图像经过第二、三、四象限，因此y随x的增大而减小，所以，且函数图像与y轴的负半轴相交，所以，由此即可得解． 本题主要考查了一次函数图像的性质，熟练掌握一次函数图像的性质是解题的关键． 【详解】∵一次函数的图像经过第二、三、四象限， ，， ． 故选：D 6. 在方格图中，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形．在如图所示的平面直角坐标系中，格点成位似关系，则位似中心的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意确定直线的解析式为：，由位似图形的性质得出所在直线与BE所在直线x轴的交点坐标即为位似中心，即可求解． 【详解】解：由图得：， 设直线的解析式为：，将点代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为：， 所在直线与BE所在直线x轴的交点坐标即为位似中心， ∴当时，， ∴位似中心的坐标为， 故选：A． 【点睛】题目主要考查位似图形的性质，求一次函数的解析式，理解题意，掌握位似图形的特点是解题关键． 7. 如图，是由智力玩具七巧板的七块板拼成的正方形，其中1，2，3，5，7号板是等腰直角三角形，4号板是正方形，6号板是平行四边形．若随机向正方形上投掷一个米粒，那么米粒刚好停在7号板区域的概率是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查几何概型概率的求法，勾股定理，正方形的性质；设号板正方形的边长为，则号板直角边长为，号板斜边长为，号板斜边长为，直角边长为，则大正方形边长为，据此知大正方形的面积为，号板的面积为，再根据概率公式求解可得． 【详解】解：设号板正方形的边长为，则号板直角边长为，号板斜边长为， 号板斜边长为，直角边长为，则大正方形边长为， 号板的面积为， 大正方形的面积为， 从这个正方形内任取一点，则刚好停在号板区域的概率是， 故选：C． 8. 下列说法正确的是（　　） A. 相等的角是对顶角 B. 对角线相等的四边形是矩形 C. 三角形的外心是它的三条角平分线的交点 D. 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等 【答案】D 【解析】 【分析】根据对顶角的概念、矩形的判定、三角形外心的定义和垂直平分线的性质逐项判定即可得出结论． 【详解】解：A、根据对顶角的概念可知，相等的角不一定是对顶角，故该选项不符合题意； B、根据矩形的判定“对角线相等的平行四边形是矩形”可知该选项不符合题意； C、根据三角形外心的定义，外心是三角形外接圆圆心，是三角形三条边中垂线的交点，故该选项不符合题意； D、根据线段垂直平分线的性质可知该选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查基本几何概念、图形判定及性质，涉及到对顶角的概念、矩形的判定、三角形外心的定义和垂直平分线的性质等知识点，熟练掌握相关几何图形的定义、判定及性质是解决问题的关键． 9. 如图，在正方形ABCD中，E是BC的中点，F是CD上一点，AE⊥EF．有下列结论：①∠BAE＝∠EAF；②射线FE是∠AFC的角平分线；③CF＝CD；④AF＝AB+CF．其中正确结论的个数为（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】①设正方形的边长为2,然后求出AE、FC、EF，然后比较正切函数值即可； ②由已知条件，可得∠AEB和∠CFE的正切值，从而可以得到射线FE是否为∠AFC的角平分线； ④结合②③的结论，确定CF和CD的关系，从而可以判断CF=CD是否成立； ④由已知条件和全等三角形的判定与性质以及线段的和差即可判定AF=AB+CF是否成立． 【详解】解：设正方形的边长为2 ∵在正方形ABCD中， E是BC的中点 ∴AB=BC=2，BE=EC=AB=1，∠C=∠B=90°， ∴AE=,tan∠BAE= ∵∠BAE+∠AEB=90°，∠AEB+∠BAE =90°， ∴∠BAE=∠BAE ∴tan∠FEC=,CE=1 ∴CF= ∴EF= ∴tan∠EAF = ∴∠BAE＝∠EAF，故①正确； ∴tan∠CFE=，tan∠AFE=， ∴∠AFE=∠CFE，即射线FE是∠AFC的角平分线，故②正确； ∵BC=CD，BC=2CE=4CF， ∴CF=CD，故③正确； 作EG⊥AF于点G， ∵FE平分∠AFC，∠C=90°， ∴EG=EC， ∴EG=EB， ∵∠B=∠AGE=90°， 在Rt△ABE和Rt△AGE中 AE=AE，EB=EG ∴Rt△ABE≌Rt△AGE（HL） ∴AB=AG， 又∵CF=GF，AF=AG+GF， ∴AF=AB+CF，故④正确； 综上共有4个正确结论． 故答案为D． 【点睛】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、锐角三角函数，明确题意并正确运用数形结合的思想是解答本题的关键． 10. 如图，矩形中，，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于长为半径画弧交于点P，作射线，过点C作的垂线分别交于点M，N，则的长为（ ） A. B. C. D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】由作图可知平分，设与交于点O，与交于点R，作于点Q，根据角平分线的性质可知，进而证明，推出，设，则，解求出．利用三角形面积法求出，再证，根据相似三角形对应边成比例即可求出． 【详解】解：如图，设与交于点O，与交于点R，作于点Q， 矩形中，， ， ． 由作图过程可知，平分， 四边形是矩形， ， 又， ， 在和中， ， ， ， ， 设，则， 在中，由勾股定理得， 即， 解得， ． ． ， ． ，， ， ，即， 解得． 故选A． 【点睛】本题考查角平分线的作图方法，矩形的性质，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质等，涉及知识点较多，有一定难度，解题的关键是根据作图过程判断出平分，通过勾股定理解直角三角形求出． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 因式分解：________． 【答案】 【解析】 【分析】将整式变形含有公因式，提取即可． 【详解】解： 故答案为：． 【点睛】本题考查了整式中的分解因式，提取公因式是常用的分解因式的方法，解题的关键是找到公因式． 12. 如图，在矩形中，对角线，相交于点，，则的度数是______． 【答案】##55度 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，等腰三角形的性质，掌握矩形的对角线互相平分且相等是解题的关键．根据矩形的性质可得，，进一步可得答案． 【详解】解：四边形是矩形， ，， ∵， ， 故答案为：． 13. 关于x的不等式，且，则该不等式的解集为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解一元一次不等式，由知结合得 再进一步求解即可，掌握解不等式的基本步骤是关键，需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变． 【详解】解： 则 解得： 故答案为：． 14. 如图，在平面直角坐标系中，点为轴正半轴上一点，过点的直线轴，且直线分别与反比例函数和图象交于，两点．若，则的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数比例系数的几何意义，根据反比例函数系数的几何意义，根据，即可得到一个关于的方程，进而求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵轴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 15. 如图，在中，，，点D为的中点，点P在上，且，将绕点C在平面内旋转，点P的对应点为点Q，连接、，当时，的长为___________． 【答案】5或 【解析】 【分析】连接，利用勾股定理得到，，再根据直角三角形斜边中线等于斜边一半得到，由旋转的性质可知，分两种情况讨论：①点在线段上；②点在的延长线上，利用勾股定理即可求得的长． 【详解】解：如图，连接， 在中，，， ， 点D为的中点， ，， 由旋转的性质可知，， ①点在线段上， ， ， 在中，； ②点在的延长线上， 在中，，， ， 综上可知，当时，的长为5或， 故答案为：5或． 【点睛】本题考查了旋转的性质，勾股定理，直角三角形斜边上中线的性质，等腰三角形的性质，运用分类讨论的思想解决问题是解题关键． 三、计算题（每题5分，共10分） 16. （1）计算：； （2）解不等式组： 【答案】（1）6 （2）﹣1≤x＜3 【解析】 【分析】本题考查实数的运算，不等式组的求解；掌握相关运算法则是解题的关键． （1）根据算术平方根性质、绝对值性质、负整数指数幂的运算法则化简，再运用有理数的加减法则运算； （2）分别求解组中的不等式，取公共部分得不等式组解集． 【详解】解：（1）原式 =6； （2）， 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴该不等式组的解集为； 四、解答题（每题8分，共40分） 17. 今年义乌市准备争创全国卫生城市，某小区积极响应，决定在小区内安装垃圾分类的温馨提示牌和垃圾箱，若购买2个温馨提示牌和3个垃圾箱共需550元，且垃圾箱的单价是温馨提示牌单价的3倍． （1）求温馨提示牌和垃圾箱的单价各是多少元？ （2）该小区至少需要安放48个垃圾箱，如果购买温馨提示牌和垃圾箱共100个，且费用不超过10000元，请你列举出所有购买方案，并指出哪种方案所需资金最少？最少是多少元？ 【答案】（1）温馨提示牌和垃圾箱的单价各是50元和150元； （2）有三种方案：①温馨提示牌50个，垃圾箱50个， ②温馨提示牌51个，垃圾箱49个， ③温馨提示牌52个，垃圾箱48个， 当温馨提示牌52个，垃圾箱48个时，所需资金最少，最少是9800元． 【解析】 【分析】（1）根据“购买2个温馨提示牌和3个垃圾箱共需550元”，建立方程求解即可得出结论； （2）根据“费用不超过10000元和至少需要安放48个垃圾箱”，建立不等式即可得出结论． 【详解】（1）设温情提示牌的单价为x元，则垃圾箱的单价为3x元， 根据题意得，2x+3×3x=550， ∴x=50， 经检验，符合题意， ∴3x=150元， 即：温馨提示牌和垃圾箱的单价各是50元和150元； （2）设购买温情提示牌y个（y为正整数），则垃圾箱为（100﹣y）个， 根据题意得，意， ∴ ∵y为正整数， ∴y为50，51，52，共3中方案； 有三种方案：①温馨提示牌50个，垃圾箱50个， ②温馨提示牌51个，垃圾箱49个， ③温馨提示牌52个，垃圾箱48个， 设总费用为w元 W=50y+150（100﹣y）=﹣100y+15000， ∵k=-100，∴w随y的增大而减小 ∴当y=52时，所需资金最少，最少是9800元． 【点睛】此题主要考查了一元一次不等式组，一元一次方程的应用，正确找出相等关系是解本题的关键． 18. A、B两地相距，甲、乙两人驾车沿同一条公路从A地出发到B地．甲、乙离开A地的路程与时间的函数关系如图所示． （1）分别求出甲、乙离开A地的路程与时间的函数解析式； （2）乙出发多少时间后追上甲？ 【答案】（1）， （2）1小时 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用，函数的图象，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． （1）利用待定系数法求出函数表达式； （2）当乙追上甲时，两人距离A地的路程相等，即，则有，解方程便可得求解． 【小问1详解】 解：设甲离开A地的路程与出发的时间函数表达式， 由图可知图象过点， ∴，解得：， ∴， 设乙离开A地的路程与甲出发的时间的函数表达式， 由图可知图象过点，， 则，解得：， ∴． 【小问2详解】 解：当乙追上甲时，两人距离A地的路程相等，即， 则， 解得：， 由图可知：乙比甲晚出发0.5小时， ∴乙追上甲的时间为：(小时)， 答：乙出发1小时后追上甲． 19. 如图，中，分别为的中点，连接． （1）尺规作图：在的延长线上确定点，使得．（保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的条件下，若，求证：四边形为菱形． 【答案】（1）如图，点为所求作的点．（作图方法不唯一） 点为所求作的点； ； 点为所求作的点； （2）证明：由（1）知，四边形为平行四边形， ，E为的中点． ． 四边形为菱形． 【解析】 【分析】（1）在的延长线上截取，根据三角形的中位线性质得到，再根据平行四边形的判定与性质证明四边形是平行四边形，进而可得，作图方法不唯一； （2）根据含30度角的直角三角形的性质和直角三角形斜边中线性质证得，然后根据菱形的判定可得结论． 【小问1详解】 解： 作图理由： 在的延长线上截取， 分别为的中点， 为的中位线， ，即 由（1）作图知， 四边形为平行四边形． ∴，即点为所求作的点； 作图方法不唯一，如图，作，则四边形为平行四边形，∴，则点为所求作的点； 如图，作，则，则点为所求作的点； 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查尺规作图、平行四边形的判定与性质、平行线的判定、三角形的中位线性质、含30度角的直角三角形的性质、直角三角形斜边中线性质、菱形的判定，熟练掌握相关知识的联系与运用，正确作出图形是解答的关键． 20. 习近平总书指出：广大青少年身心健康、体魄强健、意志坚强、充满活力，是一个民族旺盛生命力的体现，是社会文明进步的标志，是国家综合实力的重要方面．党中央、国务院历来高度重视青少年的健康成长．改革开放以来，我国青少年体育事业蓬勃发展，学校体育工作取得很大成绩，青少年营养水平和形态发育水平不断提高，极大地提升了全民健康素质．鉴于国家对中学生体育活动的重视，我市某初中为落实“阳光体育”工程，计划在七年级开设乒乓球、排球、篮球、足球四个体育活动项目供学生选择，为了解七年级学生对这个四个体育活动项目的选择情况，学校数学兴趣小组从七年级各班学生中随机抽取了部分学生（规定每人必须且只能选择其中的一个项目），并把调查结果绘制成如图所示的不完整的条形统计图和扇形统计图，请你根据图中信息解答下列问题： （1）学校在七年级各班共随机抽取了 名学生，在扇形统计图中，“乒乓球”项目对应的扇形圆心角的度数是 °； （2）被调查的学生中，选择“排球”的学生人数为 人，占总人数的百分比为 %； （3）请补全条形统计图； （4）若该校七年级共有1000名学生，请根据统计结果估计全校七年级选择“足球”项目的学生有多少人？ 【答案】（1）50；100.8； （2）18，36； （3） 补全条形统计图如下： （4）估计全校七年级选择“足球”项目的学生有160人 【解析】 【分析】本题考查了扇形统计图、条形统计图、用样本估计总体，根据扇形统计图、条形统计图获取数据是解题的关键． （1）根据选择乒乓球的人数和所占的百分比，求出抽取的总人数，根据乒乓球所占的百分比，求出“乒乓球”项目对应的扇形圆心角的度数即可； （2）用抽取的总人数减去乒乓球、篮球、足球的人数，即可求出选择“排球”的学生人数，根据选择“排球”的学生人数，计算求出所占百分比即可； （3）根据（2）求出的选择“排球”的学生人数，将条形统计图补充完整即可； （4）用总人数乘以选择“足球”项目的学生的占比即可． 【小问1详解】 学校在七年级共随机抽取的学生数是：（名）， 在扇形统计图中，“乒乓球”项目对应的扇形圆心角的度数是：； 故答案为：50；100.8； 【小问2详解】 选择“排球”的学生人数为：（人），占被调查学生总人数的百分比为：； 故答案为：18，36； 【小问3详解】 略 【小问4详解】 （人）， 答：估计全校七年级选择“足球”项目的学生有160人． 21. 小王同学学习了锐角三角函数后，通过观察广场的台阶与信号塔之间的相对位置，他认为利用台阶的可测数据与在点，处测出点的仰角度数，可以求出信号塔的高．如图，的长为，高为．他在点处测得点的仰角为，在点处测得点的仰角为，在同一平面内．你认为小王同学能求出信号塔的高吗？若能，请求出信号塔的高；若不能，请说明理由．（参考数据：，，，结果保留整数） 【答案】能求出信号塔的高，信号塔的高为； 【解析】 【分析】过作，垂足为，根据勾股定理及等腰直角三角形的性质，进而设根据锐角三角函数解答即可． 【详解】解：过作，垂足为， ∵，， ∴四边形是矩形， ∴，． ∵的长为，高为， ∴． ∴在中，()． ∵，， ∴． ∴． ∴设． ∴，． ∴． ∵，， ∴． ∴． ∴． 即信号塔的高为． ∴能求出信号塔的高，信号塔的高为． 【点睛】本题考查了勾股定理，等腰直角三角形性质，锐角三角函数，掌握锐角三角函数是解题的关键． 五、解答题（本题23分） 22. 如图1，已知线段，，线段绕点在直线上方旋转，连接，以为边在上方作，且． （1）若，以为边在上方作，且，，连接，用等式表示线段与的数量关系是 　 　； （2）如图2，在(1)的条件下，若，，，求的长； （3）如图3，若，，，当的值最大时，求此时的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）在中，，，且，，可得，根据相似三角形的性质得出，，进而证明，根据相似三角形的性质即可求解； （2）延长交于点，如图所示，在中，求得，进而求得的长，根据（1）的结论，得出，在中，勾股定理求得，进而根据，即可求解． （3）如图所示，以为边在上方作，且，，连接，，，同（1）可得，进而得出在以为圆心，为半径的圆上运动，当点三点共线时，的值最大，进而求得，，根据得出，过点作，于点，分别求得,然后求得，最后根据正切的定义即可求解． 【小问1详解】 解：在中，，，且，， ∴，， ∴，， ∴ ∴ ∴， 故答案为：． 【小问2详解】 ∵，且，， ∴，， 延长交于点，如图所示， ∵， ∴， ∴在中，，， ∴， 由（1）可得， ∴， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：如图所示，以为边在上方作，且，，连接，，， 同（1）可得 则， ∵，则， 在中，，， ∴在以为圆心，为半径的圆上运动， ∴当点三点共线时，的值最大，此时如图所示，则， 在中， ∴,， ∵， ∴， 过点作，于点， ∴，， ∵， ∴， ∴， 中，． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，勾股定理，解直角三角形，正切的定义，求圆外一点到圆的距离的最值问题，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 23. 定义：一般地，如果函数的图象经过点，（、），那么我们称函数为卡尔达诺函数，这对点叫做函数的一对最佳偏移点． （1）当对于函数，，时． ①求证：若为卡尔达诺函数，则； ②设函数为卡尔达诺函数，（）也为卡尔达诺函数，且、恒存在相同的一对最佳偏移点，求函数的函数解析式． （2）已知卡尔达诺函数的一个最佳偏移点为． ①当时，该函数的最大值与最小值之差为，求的值； ②已知点，，，当与的图象有两个公共点时，请直接写出的取值范围． 【答案】（1）①见解析；② （2）①或或；② 【解析】 【分析】（1）①设一对最佳偏移点为和，代入证明即可；②由①得，则函数，设、相同的一对最佳偏移点为和，分别代入和（），计算求出的值，即可得出函数的函数解析式； （2）①分“当”和“”两大类讨论，结合二次函数最值的情况，“”可细分“若”，“若”，“若”，结合函数的最大值与最小值之差为，多种情况讨论，最后得出答案即可；②求出当的图象经过点时，的值，结合函数图象，分析的不同取值范围，与的图象的公共点情况，得出答案即可． 【小问1详解】 解：①∵为卡尔达诺函数， ∴设一对最佳偏移点为和， ∴， 得：， ∴； ②∵函数为卡尔达诺函数，（）也为卡尔达诺函数，且、恒存在相同的一对最佳偏移点， 由①得：， ∴函数，设、相同的一对最佳偏移点为和， ∴把代入，得：， 把和代入（），得：， ∴得：，即， ∴， ∴函数的函数解析式为； 【小问2详解】 解：①∵卡尔达诺函数的一个最佳偏移点为，当时，该函数的最大值与最小值之差为， ∵对称轴是，，另一个最佳偏移点为，， ∴，， ∴把代入得：， ∴，则， ∴， 时，， 当时，则， ∴当时，“时，函数取得最大值”，“时，函数取得最小值”， ∵函数的最大值与最小值之差为， ∴，整理得：， 因式分解得：， ∴或， 解得：或； 当时，则， 若，即时，则“时，函数取得最大值”，“时，函数取得最小值”， ∴，整理得：， 因式分解得：， ∴或， 解得：（舍去）或（舍去）； 当时，则， 若，即时，则“时，函数取得最大值”，“时，函数取得最小值”， ∴，整理得：， ∴， 解得：（舍去）或； 当时，则， 若，即时，则“时，函数取得最大值”，“时，函数取得最小值”， ∴，整理得：， 解得：（舍去）或（舍去）． 综上所述，的值为或或； ②∵由①得：， ∴当的图象经过点时，， 整理得：， ， ， ∴， 解得：，， 如图，当时，与的图象没有公共点， ； 如图，当时，与的图象有一个公共点， ； 如图，当时，与的图象有两个公共点， ； 如图，当时，与的图象有一个公共点， ； 如图，当时，与的图象没有公共点， ； 综上所述，当与的图象有两个公共点时，． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的图象与性质、求一次函数解析式、新定义的理解、二次函数最值的讨论，熟练掌握知识点推理证明、分类讨论、数形结合是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年海城市西部联盟九年级第三次中考模拟 数学试卷 （试卷满分120分，答题时间120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 3．考试结束后，本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 如果向东走10m记作，那么向西走记作（ ） A. B. C. D. 2. 如图所示，从正方体上切下一块三棱锥，则该三棱锥的俯视图可能是（ ） A. B. C. D. 3. 在中，D、E在边上， ，满足关系式，则下列关系中错误的是（　　） A. B. C. D. 4. 若关于x的一元二次方程（m+1）x2-2x+1=0有实数根，则实数m的取值范围是（ ） A. m≥0 B. m≤0 C. m≠1 D. m≤0且m≠-1 5. 若一次函数的图像经过第二、三、四象限，则（ ） A. B. C. D. 6. 在方格图中，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形．在如图所示的平面直角坐标系中，格点成位似关系，则位似中心的坐标为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，是由智力玩具七巧板的七块板拼成的正方形，其中1，2，3，5，7号板是等腰直角三角形，4号板是正方形，6号板是平行四边形．若随机向正方形上投掷一个米粒，那么米粒刚好停在7号板区域的概率是( ) A. B. C. D. 8. 下列说法正确的是（　　） A. 相等的角是对顶角 B. 对角线相等的四边形是矩形 C. 三角形的外心是它的三条角平分线的交点 D. 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等 9. 如图，在正方形ABCD中，E是BC的中点，F是CD上一点，AE⊥EF．有下列结论：①∠BAE＝∠EAF；②射线FE是∠AFC的角平分线；③CF＝CD；④AF＝AB+CF．其中正确结论的个数为（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 10. 如图，矩形中，，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于长为半径画弧交于点P，作射线，过点C作的垂线分别交于点M，N，则的长为（ ） A. B. C. D. 4 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 因式分解：________． 12. 如图，在矩形中，对角线，相交于点，，则的度数是______． 13. 关于x的不等式，且，则该不等式的解集为______． 14. 如图，在平面直角坐标系中，点为轴正半轴上一点，过点的直线轴，且直线分别与反比例函数和图象交于，两点．若，则的值为_____． 15. 如图，在中，，，点D为的中点，点P在上，且，将绕点C在平面内旋转，点P的对应点为点Q，连接、，当时，的长为___________． 三、计算题（每题5分，共10分） 16. （1）计算：； （2）解不等式组： 四、解答题（每题8分，共40分） 17. 今年义乌市准备争创全国卫生城市，某小区积极响应，决定在小区内安装垃圾分类的温馨提示牌和垃圾箱，若购买2个温馨提示牌和3个垃圾箱共需550元，且垃圾箱的单价是温馨提示牌单价的3倍． （1）求温馨提示牌和垃圾箱的单价各是多少元？ （2）该小区至少需要安放48个垃圾箱，如果购买温馨提示牌和垃圾箱共100个，且费用不超过10000元，请你列举出所有购买方案，并指出哪种方案所需资金最少？最少是多少元？ 18. A、B两地相距，甲、乙两人驾车沿同一条公路从A地出发到B地．甲、乙离开A地的路程与时间的函数关系如图所示． （1）分别求出甲、乙离开A地的路程与时间的函数解析式； （2）乙出发多少时间后追上甲？ 19. 如图，中，分别为的中点，连接． （1）尺规作图：在的延长线上确定点，使得．（保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的条件下，若，求证：四边形为菱形． 20. 习近平总书指出：广大青少年身心健康、体魄强健、意志坚强、充满活力，是一个民族旺盛生命力的体现，是社会文明进步的标志，是国家综合实力的重要方面．党中央、国务院历来高度重视青少年的健康成长．改革开放以来，我国青少年体育事业蓬勃发展，学校体育工作取得很大成绩，青少年营养水平和形态发育水平不断提高，极大地提升了全民健康素质．鉴于国家对中学生体育活动的重视，我市某初中为落实“阳光体育”工程，计划在七年级开设乒乓球、排球、篮球、足球四个体育活动项目供学生选择，为了解七年级学生对这个四个体育活动项目的选择情况，学校数学兴趣小组从七年级各班学生中随机抽取了部分学生（规定每人必须且只能选择其中的一个项目），并把调查结果绘制成如图所示的不完整的条形统计图和扇形统计图，请你根据图中信息解答下列问题： （1）学校在七年级各班共随机抽取了 名学生，在扇形统计图中，“乒乓球”项目对应的扇形圆心角的度数是 °； （2）被调查的学生中，选择“排球”的学生人数为 人，占总人数的百分比为 %； （3）请补全条形统计图； （4）若该校七年级共有1000名学生，请根据统计结果估计全校七年级选择“足球”项目的学生有多少人？ 21. 小王同学学习了锐角三角函数后，通过观察广场的台阶与信号塔之间的相对位置，他认为利用台阶的可测数据与在点，处测出点的仰角度数，可以求出信号塔的高．如图，的长为，高为．他在点处测得点的仰角为，在点处测得点的仰角为，在同一平面内．你认为小王同学能求出信号塔的高吗？若能，请求出信号塔的高；若不能，请说明理由．（参考数据：，，，结果保留整数） 五、解答题（本题23分） 22. 如图1，已知线段，，线段绕点在直线上方旋转，连接，以为边在上方作，且． （1）若，以为边在上方作，且，，连接，用等式表示线段与的数量关系是 　 　； （2）如图2，在(1)的条件下，若，，，求的长； （3）如图3，若，，，当的值最大时，求此时的值． 23. 定义：一般地，如果函数的图象经过点，（、），那么我们称函数为卡尔达诺函数，这对点叫做函数的一对最佳偏移点． （1）当对于函数，，时． ①求证：若为卡尔达诺函数，则； ②设函数为卡尔达诺函数，（）也为卡尔达诺函数，且、恒存在相同的一对最佳偏移点，求函数的函数解析式． （2）已知卡尔达诺函数的一个最佳偏移点为． ①当时，该函数的最大值与最小值之差为，求的值； ②已知点，，，当与的图象有两个公共点时，请直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $