课时作业(17) 点到直线的距离公式两条平行直线间的距离（配套练习）-【状元桥·优质课堂】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）

课时作业（十七） 点到直线的距离公式 两条平行直线间的距离 答案见P 基础训练 8.在直角坐标平面内，与点(1,2)的距离为1，且与点 一、选择题 B(3,1)的距离为2的直线共有 条 1.原点到直线x十2y-5=0的距离为 三、解答题 A.1 B.5 C.2 D.5 9.求过点P(0,2)且与点A(1,1),B(一3,1)等距离 2.两条平行线41：3x十4y一2=0，l2:9.x+12y-10=0 的直线（的方程. 间的距离为 ( A号 a君 c n号 3.已知点(a,2)(a>0)到直线l:x一y十3=0的距 离为1，则a= ( A.2 B.√2-1 C.√2+1 D.2-√2 4.(多选)到直线3.x一4y一1=0的距离为2的直线 方程为 A.3x-4y-11=0 B.3x-4y+9=0 C.3.x-4y+11=0 D.3.x-4y-9=0 5.若点P(2,3)到直线1：ax+y一2a=0的距离为 d,则d的最大值为 A.3 B.4 C.5 D.7 二、填空题 6.直线x一2y十1=0关于直线x=1对称的直线方程 是 7.已知点P在直线3x+y-5=0上，且点P到直 线x一y一1=0的距离为√2，则点P的坐标为 ·145· 10.已知直线1经过直线2x+y一5=0与x一2y=0的 14.已知m,,a,b∈R,且满足3m十4n=6,3a十4b= 交点 1,则√(m一a)十(m一b)的最小值为 (1)若点A(5,0)到1的距离为3，求1的方程： ‖拓展探究 (2)求点A(5,0)到1的距离的最大值. 15.唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白 日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着 一个有趣的数学问题一“将军饮马”问题，即 将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到 河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程 最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位 置为A(1,1),若将军从山脚下的点B(4,4)处出 发，河岸线所在直线1的方程为x一y十1=0，则 “将军饮马”的最短总路程是 () A.36 B.√34 C.5 D.25 16.已知△ABC的内角平分线CD所在直线的方程为 2x+y-1=0,两个顶点为A(1,2),B(-1,-1). I能力提升Ⅱ (1)求点A到直线CD的距离： 11.已知点A(0,2),B(2,0),若点C在函数y=x (2)求点C的坐标 的图象上，则使得△ABC的面积为2的点C的 个数为 A.4 B.3 C.2 D.1 12.(多选)已知在△ABC中，A(3,2),B(一1,5)，点 C在直线3.x一y+3=0上.若△ABC的面积为 10,则点C的坐标可以为 A.(-1,0) B(停8) C.(1,6) n(-号-2 13.点A(1,1)到直线xcos0十ysin0-2=0的距离 的最大值是 ·146.(2c+3十1-0解得 7.解析设点P的坐标为(a,5一3a),由点到直线的距离公式得 ③当三条直线交于同一点时,联立 14.r-3y+5-0. la-(5-3a)-1-2,解得a-1或2,所以点P的坐标为 [-1. 1*+(-1 代入x+ny-1=0,解得m-6.故选ACD$ (1,2)或(2.-1). 智(1.2)或(2.-1) 33+6 3十2 8.由题意可知,所求直线显然不与y轴平行,所以可设直 (y-x-③. 14.解析解方程组 得{ 由题意知 线方程为y-kxr十b,即x-y+b-0.所以可以得到d 12x+3y-6-0.* #_62③ 1261.d-13-1+2,两式联立,解得6-3,k-0 32: 士1 -330且-6230,所以3+2>0,且6- 十1 3+2 3十2 3.故所求直线共有2条. 20.解得 答朗2 圈(^,) 9.解因为点A(1,1)与B(-3.1)到y轴的距离不相等,所以直 线l的斜率存在,设为人.又直线/在y轴上的截距为2.所以直 15.因为函数f(x)-2的图象关于原点对称,所以点P.Q关 线/的方程为y-kr+2,即kr-y+2-0.由点A(1,1)与B(-3 十T 于原点对称,即可得PQl-2OP.设点P的坐标为(c.2) 十1 -0或k-1.所以直线/的方程是y=2或x-y+2-0. 则]PQ-210P{ +#2 -4.当且仅当 10.解(1)经过两已知直线交点的直线系方程为(2x十y-5) (-2y)-0,即(2+a)x+(1-2a)y-5-0,因为点A(5,0) 110+5-51 到/的距离为3,所以一 r-士/②时,线段PQ的长取得最小值4. -3.即2-5十 答案4 (2+)+(1-2)* 16.解析由题意知直线/,的方程可化 p(2.4) 为 (r-2)-2(-4)-0. 5-0. 1.的方程可化为2(x-2)十(y 4)-0,所以直线/,/恒过定点 (2由 r-2y-0. -1, P(2,4),直线L的纵截距为4- 1),设d为点A到/的距离,则dPA,当且仅当/PA时, 人,直线的横截距为2{}十2,如图,所以四边形的面积$ 1×(2^+2-2)×4+(4-+4)×2×1 等号成立.所以dm-lPAl-v10. -4*-十8- 11.A 解析设点C(t,*).由题意知直线AB的方程是x十-2 0.|AB一2/2.由于△ABC的面积为2,则这个三角形中 AB边上的高h满足方程X2v2h-2,即h-2.由点到 直线的距离公式,得/②十2,即^*+1-2-2,所以 课时作业(士七) 2 1.D 解由题意和点到直线的距离公式可得,原点到直线 r*十t-2-2或r*+1-2--2,这两个方程各自有两个不相 等的实数根,故这样的点C有4个.故选A项. 1+2 12.AB 解析由lAB-5.△ABC的面积为10.得点C到直线AB的 2.C 解析1的方程可化为9x十12y-6-0,由平行线间的距 距离为4.由题易知直线AB的方程为3r+4y-17-0.设Cx,3r 离公式得-1-6+10]-4 3),利用点到直线的距离公式可得13.r+4(3r+3)-171-4. 92一,故选C. 5 3.B 由点到直线的距离公式,得1-la-2+31 解得x一-1或x一 11 ,即十1= ②.因为a0,所以a-2-1.故选B项 8).故选AB项. 4.AB 设所求直线方程为3x-4y+-0(-1),由题 13.因为点(1,1)到直线的距离d-lcos0+sin0-21 -2,所以| +1|-10,所以 -9或 ③十(-4){ Vcos0+sin0 lcoso+sin-2= -11.故所求直线方程为3x-4y+9-0或3x-4y-11-0.故 sn(o+)-2.,所以当sin(o+ 选AB项. 5.A 直线方程可变形为y--a(z-2),据此可知直线 于)--1时,dnx-1-2-21-2-十V② 恒过定点M(2,0),当直线/ |PM时,d有最大值,结合两点 翻2十/2 间的距离公式可得d的最大值为 (2-2){十(3-0)^{}-3 14.解设点A(m,n),B(a,b),直线l:3r+4y-6,直线l:3r十 故选A项. 4y-1.由题意知点A(m,n)在直线l:3x十4y-6上,点 “得交点A(1,1),且所求直线斜率为 B(a,b)在直线l:3x+4y-1上,所以|AB|= -,所以直线方程为y-1-- 9十16 答案x十2y-3-0 1 ·248· 15.D 解如图,设B(4,4)关于直线x-y十1-0对称的点 {2--1-0.得交点坐标为(-.), [+4b+4+1-0. 7.解析由方程组 {a-3,可得 2-2 2++2-0. 为C(a,b),则有 可得 -5. 因为所求直线垂直于直线3x一y+3一0,故所求直线的斜率 一一 #,由点斜式得所求直线方程为y十3--(十# C(3.5),依题意可得“将军饮马”的最短总路程为|AC,此 时 AC-(1-3)*+(1-5)-2.故选D项 ),即4x+12y+19-0. 寸分))) 智4x+12y+19-0 8.解析设点P的坐标为(t,4r),则点P到直线y-4x-5的距 离为- 4--4()#-4()}4 #1+23& /17 17 /17 16.(1)点A到直线CD的距离d-12+2-11-3、5 当(-时,d取最小值,因此,点P的坐标为(1). 41 (2)依题意,点A关于直线CD的对称点A'在BC边上,设 (,1) A'(r,w). 2.2+1+-1-0. {- 9.解析(1)因为A(5,-3),B(1,1),所以中点为(3,-1),且 则 2 解得 5-1 即A(一-4).所以直线BC的方程为9r+2y+11-0. 由直线方程的点斜式可得线段AB的中垂线所在直线方程 为y-(-1)-x-3,即r-y-4-0. (-13321). 联立直线BC与CD的方程,解得点C的坐标为( (2)因为A(5,一3)关于y轴的对称点为A'(-5.一3),所以 培优训练(三) 1),即反射光线所在的直线方程为2x-3y+1-0. 1.C 霸直线6x-2y+10-0可化为3x-y+5-0,所以直 10.(1)因为1与1:相交于点P(3,1). 线3x-y+5-0与直线6x-2y+10-0的位置关系是重合. 故选C项. (3m++8-0. 所以 “解得m--5,n-7. 2.A 解因为直线的方向向量为(1,2),所以直线的斜率 1n+6-1-0. 2.所以直线的方程为y-1-2(r-1),即2x-y-1-0.故选 (2)因为/l,所以m}-2×8-0,解得n-士4,经过检验 A项. 3.AD翻要使直线/与线段AB有公共点,则需二k或 可得,当m-4,n士-2时,两条直线平行或当n=-4,n2 时,两条直线平行 3-1 (3)当m-0时,两条直线分别化为8y+n-0,2x-1-0,此 或-2,所以k的取值可以为一2或4.故选AD项。 时两条直线相互垂直,且此时n-8;当m-0时,k=-m 8 4.D 若点A,B在1:3x-4y+1-0的同侧,则k== --1,两直线不可能垂直.所以 侧,则A(-2,0),B(4,a)的中点(1,)在直线l:3x-4y十 m-0.n-8. 11.B 解因为1×m十+(-m)×1-0,所以直线l.与直线 1-0上,所以4-2a-0,解得a-2.故选D项. 互相垂直且垂足为点P,又因为直线l:x-my+1-0过定 点A(-1.0),直线l;mr+y-m+3-0,即m(x-1)+y 1-0,则l/AB,所以△ABC的边AB上的高为两平行线之 3-0过定点B(1,一3),所以在Rt△APB中,|PA[}+ PB-|AB-1-(-1)+(-3-0) -13.故选B项 又因为|AB|-(1-3){*+(0-1)-,所以S- 12.AD 将点(0.-3)代入直线t:mx-y-3-0中可得 mX0-(一3)一3-0成立,所以直线1恒过点(0.-3),故 A项正确;当n一0时,直线l。的斜率不存在,故B项错误; 6.m=0时,直线斜率不存在,倾斜角为吾;0<m /3时, 当l /l时,mx(-m)--1×4,解得m-2或n--2,当 ##-(# n=-2时,直线l:-2x-y-3-0,即2x+y+3-0与直线 1:4.r+2y+6-0重合,故m去-2.所以m-2,故C项错 -1<n<0时,-- [吾,),综上,斜角的取值范围是[.5]. 正确,故选AD项 智霜[] 13.由题意直线x+my=0过定点A(0.0),直线mx-y- m+3-0可变为m(x-1)-y+3-0,所以该直线过定点 . 249·