课时作业(10) 用空间向量研究夹角问题（配套练习）-【状元桥·优质课堂】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）

课时作业（十） 用空间向量研究夹角问题 答案见Pa I基础训练 7.在正方体ABCD-AB,CD中，直线BC,与平 一、选择题 面ABD所成角的余弦值是 1.若直线！的方向向量与平面α的法向量的夹角等 8.已知三棱锥S-ABC中，底面ABC为边长等于2 于120°，则直线1与平面a所成的角为() 的等边三角形，SA垂直于底面ABC,SA=3,那么 A.120 B.60 直线AB与平面SBC所成角的正弦值 C.30° D.以上均错误 为 2.已知两平面的法向量分别为m=(0,1,0),n= 三、解答题 (0,1,1),则两平面的夹角为 ( 9.在直三棱柱ABC-A1B,C中，∠ACB=90°，AC A.45 B.135 2BC,AB⊥BC,求B,C与侧面A,ABB,所成角 C.45或135 D.90° 的正弦值， 3.已知A(0,1,1),B(2,-1,0),C(3,5,7),D(1,2, 4),则直线AB与直线CD所成角的余弦值为 A5暖 B-5v②2 66 C.522 22 D-522 22 4.在矩形ABCD中，AB=1,BC=2,PA⊥平面 ABCD,PA=1,则PC与平面ABCD所成的角为 ( ) A.30° B.45 C.60 D.90° 5.如图，在四棱锥P-ABCD中，PB⊥平面ABCD,底 面ABCD为直角梯形，AD∥BC,AB⊥BC,AB= AD=PB=3,点E在棱PA上，且PE=2EA,则 平面ABE与平面BED夹角的余弦值为() 号 c 二、填空题 6.在正方体ABCD-ABCD,中，E,F分别为 AB,CC的中点，则异面直线EF与A,C夹角 的大小为 ·127. 10.如图所示，在几何体S-ABCD中，AD⊥平面13.已知菱形ABCD中，∠ABC=60,沿对角线AC SCD,BC⊥平面SCD,AD=DC=2,BC=1,又 折叠之后，使得平面BAC⊥平面DAC,则平面 SD=2,∠SDC=120°，求平面SAD与平面 BCD和平面ACD的夹角的余弦值为 SAB夹角的余弦值. 第13题图 第14题图 14.如图所示，四棱锥P-ABCD中，PD⊥底面 ABCD,底面ABCD是边长为2的正方形，PD= 2,E是棱PB的中点，M是棱PC上的动点，当 直线PA与直线EM所成的角为60°时，线段 PM的长度是 Ⅱ拓展探究 15.如图，在直三棱柱ABC-ABC 中，∠ACB=90°，AC=A4=2BC 2,D为AA1上一点.若平面 BDC和平面DCC:的夹角为 30°，则AD的长为 16.在长方体ABCD-ABCD中，AB=4,AD=3, AA1=2,在线段AB上是否存在一点E,使平面 I能力提升川 11.(选)已知AB=(0,1,1),BE=(2,-1,2), CDE与平面C,DE的夹角的余弦值为？若 BE⊥平面BCD,则 存在，求出AE的长：若不存在，说明理由. A点A到平面BCD的距离为号 RAB与BE所成角的正弦值为号 C点A到平面BD的距离为号 DAB与平面BCD所成角的正弦值为2 6 12.已知正四棱柱ABCD-A1B,CD中，AA1= 2AB,建立如图所示的空间直角坐标系，则平面 BDC的一个法向量为 (答案不唯一， 写出一个坐标即可)，直线CB:与平面BDC所 成角的正弦值为 ·128-13.解析以D为原点，建立如图所示的 空间直角坐标系，则D(0,0,0),B(1, 积的最小值为2dC=×号xy2=四 10 1,0,E(分1,0，F(0.0） 图无 D(0,0,1),B(1,1,1D,所以E家 16.解析如图所示，以点A为原点，AB, (-合，-0小D萨=(o., AD,AP所在直线分别为x轴，y轴、 轴建立空间直角坐标系，则A(0,0,0), -1),D心=(0,0,1D.设平面EFD,B的法向量为n=(xy P(0,0,2),C(1,1,0),D(0,2,0),所以 P=(1,1,-2),Pi=(0,2,-2). n…序=0， 设直线PA上有一点M(0,0,0),平面 ),则 n…Di=0,告-0 令x=2,则y=-2.2 PCD的法向量为n=(xy,z), m.P心=0， 则 x+y-2x=0, 一1，则n=(2,一2，一1)，由题易知BD∥平面EFDB,所 即 n.PD=0." 12y-2x=0. 以BD到平面EFD1B,的距离即为点D到平面EFD1B 的据有：为可-吉 ◆=.得f以a-又-002-. 3 图子 故点M到平面PCD的距高d=立L-得2- n 14.解析如图，连接OO,根据题意， 令d号可解得品=3或=1 (OO⊥底面ABC,则以O为坐标原 点，分别以OB,C,(O)所在的直线 当=3时，M(0,0,3)在线段AP的延长线上，故舍去； 为x轴，y轴，：轴建立空间直角坐标 当=1时，M(0,0,1)是线段AP的中点. 系.由题意可知AO∥(OC,OB∥ 综上可知，当点M是线段AP的中，点时，点M到平面PCD OB,AO∩OB=O,0C∩OB= O,所以平面ABO∥平面BCO,所 的驱鼻为9 以平面ABO与平面BC1O间的距 课时作业（十） 离即为点O到平面BCO的距离.因为O(0,0,0),B(3, 0,0),C1(0,1,2),0(0,0,2),所以OB=(3,0,0),O= 1.C解扬不妨设直线I与平面a所成的角为0，则sin0= (0,1,2),0O=(0,0,2),设n=(xy,)为平面BCO的法向 1c0s1201=号，又因为0<长90，所以0=30：故选C项. 量，则 n0成0：即310所以可取1=(02，-》. n.0C=0.y+2x=0. 2A面南题老可mm一份滑以后号，中 点0到平面BC0的距离记为d,则d=n,Od 2 (m,n〉=45°，所以两平面的夹角为45°.故选A项. n 3.A解折由题意可得AB=(2,-2,一1)，CD=(-2,-3,一3)， 25,所以年面AB0与年面C0间的距离为5 5 所以ms.市=4店.或 5所以直线 AB1CD3×√22 图 AB与直线CD片成角的余孩值为黑故选A项 15.解析如图，以，点A为原点建立空间直角坐 4,A解析建立如图所示的空间直角坐 标系，则A(0,0,0),B(1,0,0),B(1,0,1), 标系，则P(0,0,1),C(1,W2,0),PC c(合号.)，所以诚=1a. (1W2,一1)，平面ABCD的一个法向量 （受)，周动点P在线段B上， 为n=(0,0,1),所以cos(PC,n) 则令A=tAB,=(,0,),0≤≤1，即点 =一合，所以（元，m》 PCInl P1.0,0,所以BP=(1-1,00,则1BPP=(1-1)2+f=2r 120°，所以斜线PC与平面ABCD的法向量所在直线所成的 角为60°，所以斜线PC与平面ABCD所成的角为30°.故选 2十1，从两面，园1十D.因此点P到充线比G的距离 A项. IBGI 22 5.B解析以B为坐标原点，分别以C, BA,BP所在直线为x,y,e轴，建立空间 d= 直角坐标系，则B(0,0,0),A(0,3,0), √g什居√得(-)+号≥5，当且仅 P(0.0,3),D(3.3,0),E(0,2,1),所以 B正=(0,2,1)，BD=(3,3,0).设平面 寻时取等号，所以线段AB上的动点P到直线C的距离的 BED的法向量为n=(x,y,x), n·Bi=2y+x=0. 最小值为号，又因为C=V+0C一厄，所以△P以面 则 n·BD=3.x+3y=0, ·237· 取=1，得n= (，，1).又平面ABE的一个法向量为 则sim0=cos(BC.m1=BC·n= 2,所以BC与侧 BCln 5 2 m=(1.0,0),所以cos〈n,m) .所以平面ABE 6 面AAB,所成角的正孩值为 10.解析如图，过点D作DC的垂线交SC于E,以D为原，点， 与平西BED夫角的余院值为怎数选B须， 以DC,DE,DA所在直线分别为t,y,:轴建立空间直角坐 标系 6解析建立如图所示的空间直角坐标 系，设正方体的棱长为2，则E(0,1, 2),F(2,2,1),A(0,0,0),C(2,2,0) 所以E亦-(2,1.-1)，ACG=(2,2.0),所 以os床，4G)= E乎·AC 因为∠SDC=120°，所以∠SDE=30°，又SD=2,所以点S 以(EF,A,C)=30°.所以异面直线EF与A1C夹角的大小 到y轴的距离为1，到x轴的距离为√3，则有D(0,0,0), 为30° 答案30 S(-13,0),A(0.0,2).C(2.0,0).B(2.0,1). 7.解析建立如图所示的空间直角坐标系， 设平面SAD的法向量为m=(x,y,2), 设正方体的校长为1，则B(1,1,0), 因为AD=(0,0,-2),A5=(-1,3,-2) C(0,1,1),A(1,0.1),D(0,0,0),所以 -2x=0, 所以 取x=V3,得平面SAD的一个法 B=(-1.0,1)AD=(-1,0.-1). -x十3y-2x=0, BD=(-1,-1,0).设平面ABD的法向 向量为m=(3,1,0). 量为n=(,y,),BC与平面ABD所 又AB=(2,0,-1),设平面SAB的法向量为n=(a,b,e), 1n⊥AD. 一x2=0, n·AB=0,nf2a-c=0, 成的角为A.由 n成.有 取x=1,则n=(1,一1， 则 即 -x-y=0, n.A5=0,-a+3b-2c=0, -1),则cs(B,n C·n= 零所以可得血所 令a=3,则n=(w3,5,23), BC:In 所以m=沿 8 =10 210×2 5 图 故手面SD与半西SB夫角的余孩值是严 11.CD解析因为BE⊥平面BCD,所以BE是平面BCD的一 8解析建立如图所示的空间直角坐标系，则 S(0,0,3),A(0,0,0),B5.1,0),C(0,2,0).所以 个法向量，所以点A到平面BCD的距离为A成：应 IBE A亦=(3,1,0)，S3=(3,1,-3).SC=(0,2, 寻，故A项错误，C项正确：店与眩所度角的会弦值为 一3).设平面SBC的法向量为n=(x,y,), 则n·i=3+y3x=0 n.SC=2y-3x=0. 令y=3,则x :高方教(= 2,x=√3，所以n=(W3,3,2).设AB与平面SBC所成的角为 项错误：AB与平面BCD所成角的正弦值为 A.正 a.则sm0=ln,4的-3+33 AB·BE AB 4X24 品得D项三瑰优选①项 图子 12.解析不妨设AB=1,则AA=2,由题图可知D(0,0.2), 9.解析如图，建立空间直角坐标系Cxy%.设 C(0,1,0),B(1,1,2),C(0,1,2),B(1,1,0),所以DB BC=1.CC=a,则A(2,0,0),A(2,0. (1,1,0),DC=(0,1,-2),CB=(1,0,-2).设平面BDC a),B(0,1,0).B1(0,1,a),所以A1B= n·DB=0, (-2,1,-a),BC=(0.-1,-a),AB 的法向量为n=(x,y,),则可得 n.DC=0, (-2,1,0),AA1=(0,0,a). 即T十0令=1，则y=2,x=一2.故平面BC的-个 图为AB⊥BC,所以AB·BC=0,即-1+ y-2:=0, a2=0,所以a=1,所以BC=(0,-1,-1) 法向量为n=(-2,2,1),设CB与平面BC所成角为A,则 设平面A1ABB1的法向量为n=(x,y,:), sin 0- n·CB _45 nlCB 151 0.…即/0， 1nLAA,n·AA=0, ,得n·西=0.2+y=0 由 3(-2,2,1) 15 令x=1,则有y=2,可取n=(1,2,0). 13.解析设菱形ABCD的边长为1，取AC的中点O,连接BO, 设B:C与侧面A1ABB,所成角为0， D),因为∠ABC=60°，所以BO⊥AC,又平面BAC⊥平面 ·238· DAC,平面B4C门平面DAC-AC,所以BO⊥平面ACD,如图 建系，则0x0.00.C(20.0）.B(0.0,号）D(o,号o小 昏園2， 3 所以0i=(0.0,)c=(30,-).Ci=(-2 16.解析假设存在点E,设AE=a(0≤a≤4). 号.o).设平面BCD的法向量为n=,.时有 BC.n=0. 2=0. 即 CD.n=0. 令=1，得x=3,y=1,别 2 2y=0, 如图，以D为原点，DA,DC,DD分别为x轴、y轴、e轴的正方 n=(5,1D,易知平面CDA的-个法向量为0亦=(o,0.号）： 向建立空间直角坐标系Dx,则有E3,a,0),C(0,4,2),D0, 0,0).设平面DC的法向量为n=(x,y,),又DCi=(0.4,2), nLDG. n·DC=0, 2 所以c0s(OB,n>= 5 所以两平面夹角的余弦值 D求=(3，a,0),故 nDE. 所以 n.DE=0. 2 即/y+2=0, 13.x十ay=0. y=1,得x=一号=一2，即n= （一号l,一2)，又易知平面DC的一个法向量为m=(0, 图 0,1),所以c0s(m,n〉= m·n -2 m n ，由题意知 14.解析以D为坐标原点，直线DA为x √g+ 轴，直线DC为y抽，直线DP为x轴，建 2 立如图所示的空间直角坐标系Dx心依 3 ,解得a=3,所以在线段AB上存在点E, 题意知A(2,0,0),P(0,0,2),B(2,2,0),所 以AP-(一2,0,2).因为E是棱PB的中 A 点，所以点E的坐标为(1,1,1).设M0, 使手西CDE与平面GDE的夫角的余孩维为写，此时AB-3 2-m,m(0≤≤2)，则5M=(-1,1一m,m-1), 培优训练（二） 所以cos(A,E成1=A正· 1=12+2(m-1) APEM22√1+2m-1T2' 1.C解折A项，因为a=(1,一3,4).b=(一1,3，一4)，即a= 一b,所以a∥b,所以4∥l或，l重合，故A项错误；B 解得m=是，所以M(0,是，是），所以可以得到成 项，因为a·n=1×2十(-3)×2十4×1=0，所以a⊥n,所以 1∥α或I在平面a内，故B项错误：C项，因为a=(0,一3， √+（只-）+（层-2可√=+票-所以线段 4),n=(0,一3,4)，即a=n,所以a∥n,所以1⊥a,故C项正 确：D项，因为a·n=1×1十（一3）×3+4×2=0，所以a1 PM的长度是5平 n,所以l∥a或L在平而a内，故D项错误，故选C项. i·1: 圈华 2D解由已知可得0s(nm)=m,n一兰，所 15.解折如图，以C为坐标原点，CA,CB,(CC所在直线分别为x 以二西角A-BD-C的大小为吾或语故选AD项 轴y轴，z轴建立空间直角坐标系Cyz,则C(0,0.0),B(0,1, 3.A解析如图，建立空间直角坐标系，则A(2,0,0),O(1,1, 2.B0,1.0),所以C=(0,1,2),CB=(0,1,0).设AD=a(0≤ 0N(2,号，2，设M0,0aa∈[0,21，则Ai=(-2.0, 4≤2)，期，点D的坐标为(2,0，a),C市-(2,0，a).设平面B,CD m·CB=0,y+2=0, a.O=(1,-号2)，调为0N1AM所以0成：=-2+ 的法向量为m=(x,y,),则 m.CD=02x+as=0. 2a=0,解得a=1.故选A项. 令=-1，得m=(号，2，-1，又平面CDC的一个法向 B 量为C市=(0,1,0)，记为n,则由0s30°=m:m mn 2一号解得a=2(负位合去长AD2 √++ 3 /A B 4,B解析如图，以D为原点，以DA,DC,DD,所在的直线分 ·239·