课时作业(9) 用空间向量研究距离问题（配套练习）-【状元桥·优质课堂】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）

课时作业(九) 用空间向量研究距离问题 答案见Ps II基础训练 二、填空题 一、选择题 6.已知直线/经过点A(2,3,1),且向量n= 1.已知平面a的一个法向量n=(-2,一2,1),点 A(-1,3,0)在a内,则平面外一点P(-2,1,4) 3.2)到/的距离为 到a的距离为 C D10 7.在空间直角坐标系Oxy:中,平面OAB的一个 A.10 B.3 C. 法向量为n=(2,-2,1).已知点P(-1,3,2),则 点P到平面OAB的距离d-__. 2.正方体ABCD-A.BCD 的校长为a,则点C 到 8.已知线段AB,BD在平面g内,BD AB,线段 ( 平面A.BD的距离是 ) AClg,若AB=a.BD-b.AC-c.则C,D间的 距离为。 三、解答题 C.③a 2# 9.如图,在长方体ABCD-ABCD 中,AA 3.已知正方体ABCD-AB.C.D. 的校长为2,点E AB=2,AD=1,点F,G分别是AB,CC 的中点; 是AB 的中点,则点A到直线BE的距离是 求点D 到直线GF的距离 ( _~ A.6 B45 3 C25 4.已知三校锥O-ABC中.OA OB.OB OC.OCl OA.且OA=1,OB=2.OC-2.则点A到直线BC 的距离为 ( ) A./2 B③ C.5 D.3 5.如图,正方体ABCD-ABCD的校长为1.O是底面 A.BCD的中心,则O到平面ABCD.的距离是 ( __~ #.# A .125. 10.如图所示,在直二面角D-AB-E中,四边形 13.在梭长为1的正方体ABCD-A.BCD 中,E,F ABCD是边长为2的正方形,△AEB是等腰直角 分别是BC,CD的中点,则BD到平面EFD.B 三角形,其中/AEB-90{,求点D到平面ACE 的距离为 的距离. 14.如图,在三校柱ABC-A.BC 4 中,底面ABC为正三角形,且 侧楼AA 底面ABC,底面边 长与侧校长都等于2.O,O分 别为AC.AC的中点,则平 面ABO与平面BCO间的距离为 lI拓展探究l 15.如图,已知正三校柱ABC-A.BC 的所有梭长 均为1,动点P在线段AB 上,则△PBC面积 的最小值为 16.如图,四校锥P-ABCD中,PA|底面ABCD,底 面ABCD是直角梯形,BAD- ABC-90{,PA AD-2.AB-BC-1,试问在线段PA上是否存 II能力提升I 若存 11.(参选)在梭长为3的正方体ABCD-A.B.CD 在,试确定点M的位置;若不存在,请说明理由 中,点P在校DC上运动(不与顶点重合),则点 ( B到平而AD.P的距离可以是 ) 去 1-7C A.2 B.③ C.2 D.5 12.如图,在三校柱ABC-A.B.C 中,所有校长均 为1.目AA 底面ABC,则点B 到平面ABC的 距离为 C .126.因为M为C中点，所以M(,0),所以瓜=(- 13.解析因为A(-3,一2,1)，B(-1,-1,-1),C(-5,x,0), 所以AB=(2,1,-2),BC=(-4,r+1,1),AC=(-2,x+ 原，}）成=100.所以不.A成=-}+0+寸 2、-1),分三种情况：①A为直角，A花.AC=0,所以-4+ O.所以M衣⊥AB,所以AB⊥MN x+2+2-0,所以x=0:②B为直角，A店·BC=0,所以 -8+x十1-2=0，所以x=9:③C为直角，AC·BC=0,所 以8+(x十1)(x十2)一1=0，即x2+3x十9=0，方程无解 综上，x的值为0或9. 答案0或9 14解析如图所示，建立空间直角坐标系，则A(1,0,0),C(0,1, 8 0.D0,00.M(1,l1,2),假设存在P(00,x)满足条件， 10.证明取BE的中点O,连接OC,又AB⊥平面BCE,所以以 则Pi=(1,0,-x).AC=(-1,1,0). O为原点建立空间直角坐标系Oxy,如图所示， 设平面PAC的法向量为n=(y, 则有C(1,0,0),B(0w3,0),E(0,-√3,0)，D(1,0,1),A(0, ),则 PA·n=0. 3,2). d.n=0. 得/-=0， 一x1十y=0. 令=1，得n=1=子脚n=(11,）, 由题意得M心∥n,Mò=（-1.-1，-之)），所以x=2. 于是AE=(0,-23,-2),DA=(-13,1). 因为正方体的枚长为1，而2>1， 设平面ADE的法向量为n=(a,b,c), 所以棱DD上不存在点P,使MDL平面PAC 则n·AE=(a,b,c)·(0,-23,-2)=-23b-2c=0, 15.BC解析由题意得OP⊥OQ,所以cosx·(2cosx十1) n·DA=(a,b.c)·(-1,w3,1)=-a+3b+c=0. (2c0s2x十2)=0，所以2cos2x-c0s:x=0,所以c0sx=0或 令b=1,则a=0,c=一√3，所以n=(0,1,一√3). 又AB⊥平面BCE,OCC平面BCE,所以AB⊥OC as=之，又re[0,,所以=受我=受故选C项 因为BE⊥OC,AB∩BE=B,AB,BEC平面ABE, 16.D解析如图，以D为原点，DA所在直线为x轴，DC所在 所以OC⊥平面ABE 直线为y轴，DD所在直线为x轴建立空间直角坐标系， 所以平面ABE的法向量可取为m=元=（☑，0,0）. 图为n·m=(0,1,一3)·(1,0,0)=0， 所以n⊥m,所以平面ADE⊥平面ABE 11,B解析因为AB⊥BC,所以AB·BC=0,即3+5-2=0， 解得=4，又BP⊥平面ABC,所以B亦⊥AB,B⊥BC,则 -9 则P(4,0,2),C(0,4,0),D1(0,0,4),B(4,4,0),设M(4,a 2o年 、5 故选B项， b)(a,b∈[0,4])，则D,M-(4,a,b-4),CP-(4,-4,2),因 7 为D,M1CP,所以DM.CP-16-4a+2b-8=0,得b= 12.ABC解扬由题意得，AC=AB+BC一2AB·BCcos60, 2a-4,所以M4,a,2a-4),所以BM2=(4-4)+(a-4)+ 所以ACV1+4-2X1X2X号-3，而AC+AB=,所 a-40=5(。-号)}'+9. 以AB⊥AC,A项正确：又PA⊥平面ABCD,故以A为原点 建立空间直角坐标系，如图所示， 当a号时，脑取得最小值√厚-4，易知C=4。 5 所以5w的最小值为×4X号-8，故选D项 5 5 课时作业（九） 1.D解扬由题意可得PA=(1,2,一4)，则点P到a的距离 设AP=a(a>0),则A(0,0,0),B(1,0,0),C(0,3,0), 或-常-号长选D现 n P(0,0,a),所以AB=(1,0,0),PC=(0,3,-a, 2.D解扬以A为原点，AB,AD,AA所 因为AB·PC=0,所以AB⊥PC,所以AB⊥PC,又AC∩ 在直线分别为x轴、y轴、：轴建立空间 PC=C,所以AB⊥平面PAC,B项正确：因为AB⊥PC, 直角坐标系，如图，则A(0,0,0),B(a,0, AE⊥PC,AB∩AE=A,所以PC⊥平面ABE,C项正确：由 0),C(a,a,a),所以AC=(a,aa) C项及BEC平面ABE,得PC⊥BE,即∠BEC-90°，D项错误. BC=(0,a,a),由于AC⊥平面ABD, 故选ABC项. ·235· 所以点G到平面ABD的距离d= IAC.2u 23 线为坐标轴建立如图所示的空间直角 3 坐标系，则D(0,0,2),F(1,1,0), 故选D项. G0,2,1),于是有GF=(1,-1,-1). 3.B解析建立空间直角坐标系如图所 示，则B(0,0,0),A(0,2,0),E(0,1, G成=0，-2,1，所以京G或 IGFI 2),所以B=(0,2,0),B证=(0,1,2)， 设∠ABE=A.则有cOs0= IBA.BE 得-得.面6 BAIIBE 后得所以血=碳0-5故点A到直线E的 所以点D到直线GF的距离为√子=平， 10.解析取AB的中点O,连接OE.以O为坐 距离d-应m02×25_45故选B项， 标原点，建立如图所示的空间直角坐标系 55 Oxyz(其中：轴平行于BC),则A(0,一1， 4.B解析以O为坐标原点，建立如图所示 0),E(1,0,0),D(0,-1,2),C(0,1,2),所 的空间直角坐标系Oxy.由题意可知 以AD=(0,0,2),AE-(1,1,0),AC-(0,2. A(1,0,0),B02,0).C(0,0.2),所以AB 2).设平面ACE的法向量为n=(x,y,),则 (-1.2.0),BC=(0,-2,2),取a=AB n·AE=0,/x+y=0, 即《 n.AC-0.年12y+2x=0. 令y=1,所以 (-1.2,0),u= BC BCI 点A到直线BC的距离为-(a·u)F=√5一2=√5.故选 n=(一1l,一1D故点D到平面ACE的距离d=花：n n B项. 2_28 3 3 5.B解析以D为坐标原点，DA,DC, DD所在直线分别为y,之轴建立空间 1山.CD解析以D为原点，DA,DC,DD分别为x,y,轴建 直角坐标系，则有D(0,0,1),D(0,0,0) 立如图所示的空间直角坐标系，则D(0,0,0),A(3,0,0), A1,0,0),B1,1,0),A(,0,1),C(0,1, B(3,3,0),D(0,0,3),设P(0,1,0)(0<1<3),所以AP= ,因为0为AC的中点，所以0(2， (-3,t.0),AD=(-3,0.3),AB=(0,3,0),设n=(xy, n·AP=-3x+ty=0, 2).C0-(分-0)d=(-1.0.1,Ai=01 )为平面ADP的法向量，则 n…ADi=-3x+3x=0.1 0).设平面ABCD的法向量为n=(x,y,z),则有 y=3,可得n=(1,3,1),则点B到平面AD1P的距离为d= n=0中=0可取x=1,则n=,0.1.所以 AB·n n2因为0<13，所以d的取值范围是 n·AB=0,y=0, (√，3).故选CD项。 O到年面AxD的距高为向n-享-票.故达 n B项 6照预由题意可得i=(-2.0-1,周为m=(号0，号）为1 的一个单位方向向量，所以点P到！的距离d √A-i·mV5-(一2)= 12.解析建立如图所示的空间直角坐标 图号 系，则A(停，安0小，B(0,1,0 7.醒团由题意可得，点P到平面OAB的距离d=n,O币 B(0.1,1),C(0,0,1),则CA n (停3-.c底=0,1.0.ci -2-6+2=2 4+4十1 (0,1,-1).设平面ABC的法向量为 答案2 n=(x,y,x),则有 Gim-号+-=0， 8.解扬1CD2=(CA+A店+BD)=CA?+1AP+ CB·n=y-=0, BD+2CA.AB+2C·BD+2AB·BD.因为AC⊥a, ABCa,BDCa,所以AC⊥BD,AC⊥AB,又因为AB⊥BD,所以 取y=1,则=（停1.小，别点岳到手面ABG的距高为 C.AB=Ai.BD=CA·BD=0,所以CD12=CA1+ CB·n 1 |AB+BD?=a2+B+2,所以CD1=√a+6+2 n √+1+ 答率√a++ 9.解析如图，以D为坐标原点，分别以DA,DC,DD所在的直 圈 ·236· 13.解析以D为原点，建立如图所示的 空间直角坐标系，则D(0,0,0),B(1, 积的最小值为2dC=×号xy2=四 10 1,0,E(分1,0，F(0.0） 图无 D(0,0,1),B(1,1,1D,所以E家 16.解析如图所示，以点A为原点，AB, (-合，-0小D萨=(o., AD,AP所在直线分别为x轴，y轴、 轴建立空间直角坐标系，则A(0,0,0), -1),D心=(0,0,1D.设平面EFD,B的法向量为n=(xy P(0,0,2),C(1,1,0),D(0,2,0),所以 P=(1,1,-2),Pi=(0,2,-2). n…序=0， 设直线PA上有一点M(0,0,0),平面 ),则 n…Di=0,告-0 令x=2,则y=-2.2 PCD的法向量为n=(xy,z), m.P心=0， 则 x+y-2x=0, 一1，则n=(2,一2，一1)，由题易知BD∥平面EFDB,所 即 n.PD=0." 12y-2x=0. 以BD到平面EFD1B,的距离即为点D到平面EFD1B 的据有：为可-吉 ◆=.得f以a-又-002-. 3 图子 故点M到平面PCD的距高d=立L-得2- n 14.解析如图，连接OO,根据题意， 令d号可解得品=3或=1 (OO⊥底面ABC,则以O为坐标原 点，分别以OB,C,(O)所在的直线 当=3时，M(0,0,3)在线段AP的延长线上，故舍去； 为x轴，y轴，：轴建立空间直角坐标 当=1时，M(0,0,1)是线段AP的中点. 系.由题意可知AO∥(OC,OB∥ 综上可知，当点M是线段AP的中，点时，点M到平面PCD OB,AO∩OB=O,0C∩OB= O,所以平面ABO∥平面BCO,所 的驱鼻为9 以平面ABO与平面BC1O间的距 课时作业（十） 离即为点O到平面BCO的距离.因为O(0,0,0),B(3, 0,0),C1(0,1,2),0(0,0,2),所以OB=(3,0,0),O= 1.C解扬不妨设直线I与平面a所成的角为0，则sin0= (0,1,2),0O=(0,0,2),设n=(xy,)为平面BCO的法向 1c0s1201=号，又因为0<长90，所以0=30：故选C项. 量，则 n0成0：即310所以可取1=(02，-》. n.0C=0.y+2x=0. 2A面南题老可mm一份滑以后号，中 点0到平面BC0的距离记为d,则d=n,Od 2 (m,n〉=45°，所以两平面的夹角为45°.故选A项. n 3.A解折由题意可得AB=(2,-2,一1)，CD=(-2,-3,一3)， 25,所以年面AB0与年面C0间的距离为5 5 所以ms.市=4店.或 5所以直线 AB1CD3×√22 图 AB与直线CD片成角的余孩值为黑故选A项 15.解析如图，以，点A为原点建立空间直角坐 4,A解析建立如图所示的空间直角坐 标系，则A(0,0,0),B(1,0,0),B(1,0,1), 标系，则P(0,0,1),C(1,W2,0),PC c(合号.)，所以诚=1a. (1W2,一1)，平面ABCD的一个法向量 （受)，周动点P在线段B上， 为n=(0,0,1),所以cos(PC,n) 则令A=tAB,=(,0,),0≤≤1，即点 =一合，所以（元，m》 PCInl P1.0,0,所以BP=(1-1,00,则1BPP=(1-1)2+f=2r 120°，所以斜线PC与平面ABCD的法向量所在直线所成的 角为60°，所以斜线PC与平面ABCD所成的角为30°.故选 2十1，从两面，园1十D.因此点P到充线比G的距离 A项. IBGI 22 5.B解析以B为坐标原点，分别以C, BA,BP所在直线为x,y,e轴，建立空间 d= 直角坐标系，则B(0,0,0),A(0,3,0), √g什居√得(-)+号≥5，当且仅 P(0.0,3),D(3.3,0),E(0,2,1),所以 B正=(0,2,1)，BD=(3,3,0).设平面 寻时取等号，所以线段AB上的动点P到直线C的距离的 BED的法向量为n=(x,y,x), n·Bi=2y+x=0. 最小值为号，又因为C=V+0C一厄，所以△P以面 则 n·BD=3.x+3y=0, ·237·