课时作业(6) 空间向量运算的坐标表示（配套练习）-【状元桥·优质课堂】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）

课时作业（六） 空间向量运算的坐标表示 答案见P I基础训练川 7.已知a=(1,2,-y),b=(x,1,2),且(a+2b)∥(2a 一、选择题 b),则x= 一y 1.已知两个非零向量a=(a,da2,),b=(b,b2, 8.若A(x,5-x,2x-1).B(1.x十2,2-x),则当 6),它们平行的充要条件是 ( AB取最小值时，x= A.laje- 三、解答题 9.已知空间三点A1,2,3),B(2,-1,5),C(3,2, B.a1·bh=ag·b=ag·b -5),求： C.ab+azb+ab=0 (1)向量AB,AC的模： D.存在非零实数k,使a=b (2)向量AB,AC夹角0的余弦值. 2.(选)已知向量a=(4,一2，一4)，b=(6,一3， 2),则下列结论正确的是 () A.a+b=(10,-5,-2) B.a-b=(2,-1,6) C.a·b=10 D.a=6 3.已知a=(x,3,1),b=(2,y,4),若a=b且c (x,y,),则c= A(-212,4) B(-2-12,) c(212,】 n.(-212.-) 10.已知向量a=(x,4,1),b=(-2,y,-1),c=(3, 4.已知向量a=(2,-1,3),b=(-4,2,x),c=(1, -2,x),且a∥b,b⊥c -x,2),若(a十b)⊥c.则x- (1)求向量a,b,c A.4 B.-4 (2)求向量a十c与向量b十c夹角0的余弦值. ci D.-6 5.(梦选)已知空间向量a=(一2，一1,1)，b=(3,4, 5),则下列结论正确的是 A.(2a+b)∥a B.5a=31b C.a⊥(5a+6b) Da与b夹角的余弦值为号 二、填空题 6.已知a=(-2,0,1),b=(1,0,2),若a⊥(a十 b),则k= ·117· I能力提升Ⅱ I拓展探究川 11.已知a=(1-1,1一1,1)，b=(2,t,10,则1b-a的 15.设Ai=(cosa十sina,0,-sina),b=(0,cosa, 最小值为 0),则AC的最大值为 A.② 瓜 16.如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD 为矩形，侧棱PA⊥底面ABCD,AB=√3，BC=1, c D.1 PA=2,E为PD的中点 12.若A(1,-2,1),B(4,2,3),C(6,-1,4),则△ABC (1)求AC与PB所成角的余弦值： 的形状是 () (2)在侧面PAB内找一点N,使NE⊥平面 A.不等边锐角三角形 PAC,求点N的坐标. B.直角三角形 C钝角三角形 D.等边三角形 13.(9选)已知向量a·b=b·c=a·c,b=(3,0, 一1)，c=(一1,5，一3)，下列等式中正确的是 A.(a·b)·c=b·c B.(a+十b)·c=a·(b+c) C.(a+b+c)*=a2+b2+c D.a+b+cl=a-b-cl 14.已知a=(3,-2,-3),b=(-1,x-1,1),且a 与b的夹角为钝角，求x的取值范围。 ·118.14.解由题设知OA-(-1.3,0)=-i+3,OB-j+k,故 6.由ba+b-(-2k+1,0,k+2),可得a·(ha+b)= A =(-3)=10.OBl=+k=2.A -2(-2+1)++2-5k-0,解得 -0 答案0 10X/2 7.析因为a+2b-(1+2x,4,4-y),2a-b-(2-x,3. 智# -2y-2),且(a+2b)/(2a-b),所以3(1+2x)-4(2-x)且 3(4-y)-4(-2y-2),所以x- 2,--4. 15.B 设p在基底{a十b,a一b,c)下的坐标为(x,y,z),则 智# 一4 p=a+2b+3c=x(a+b)+y(a-b)+sc=(x+y)a+(x 8.因为AB-(1-x,2x-3.3-3c),所以[AB| [十-1, y)b+sc,所以{x-y-2,解得 1-3. -3. 故当x-时,AB[有最小值. b,a-b.c)下的坐标为(3.一,3).故选B项. 智 16.解析因为正方体ABCD-A.BCD 的校长为1,根据题意知 9.(1)由于A(1,2.3),B(2,-1.5),C(3,2.-5),所以AB DA.DC.DD)为单位正交基底,设DA-1.D-j.DD-k,所 (1.-3,2),故AB=1+(-3)+2-14; 以向量EF可用单位正交基底(i.j,k)表示,因为EF一ED+ AC-(2.0.-8),故AC-2(-8)-2v17. +C.ED与DA共线,C与CA共线,所以设ED-DA 2-16 238 CF=A.则EF=aDA+DC+CA-(DA+DD)+DC+ IAC||AB 114×217 34 (D-D-+D+(1-)·DC+DD=+) -,且y-0,解得x-2. (1-)j+*,因为EF IAD,EFIAC,即EF 1AD.EF1 y--4,此时a-(2,4,1),b-(-2,-4.-1).又由b|c得 AC所以F·AD-o.FF·AC-0.AD--DA-DD b· -0,故(-2,-4,-1)·(3,-2,)--6+8--0 -1-k,A-D-DA--i+). 得z-2,此时c-(3,-2,2). [十)i十(1-)j+]·(-i-k)=0, (2)由(1)得a+c-(5,2,3),b十c-(1.-6.1),因此向量a+c 所以 [十)i+(1-)j+]·(-i十j)-0, 与向量b十c夹角o的余弦值为cos-(a十e).(b十e) aclbcl 2#解得 5-12+3 -一 -(十)--0, 整理得 所 38X38 -++1--0. 十2-1. 11.B 嗣由已知得b-a=(2,t,t)-(1-1.1-1.t)-(1+ ##EF-#k,所以EF的坐标是(,-) 2t-1,0),所以|b-al= (1+t){}+(2t-1)+o=$ 课时作业(六) 的小值为{3{{,故选B_项。 1.D 空间向量平行的充要条件是“存在非零实数k,使a 5 ”,故选D项. 12.A 由已知得AB-(3,4,2),AC-(5,1,3),BC-(2. 2.AD 因为向量a-(4,-2,-4),b-(6,-3,2),所以a十 -3.1).所以AB·AC0.得A为锐角;CA·CB一0.得C b-(10,-5.-2),故A项正确;a-b-(-2.1.-6),故B项错 为锐角:BA·BC0,得B为锐角.所以△ABC为锐角三角 误;a·b-24+6-8-22,故C项错误;lal- 16+4+16 形,且ABBCACl.故选A项. 6,故D项正确,故选AD项. $3.BCD 易得a·b-a·c-b·c=-3+0+3-0.(a·b· .-2~. 3.C由题意可得(x,3.1)-c(2,y.4),即3-y, c-.b·c-0,所以A项错误;(a十b)·c-a·(b十c)-a· cb·c-a·b-a·c-0,所以(a+b)·c-a·(b十c),所以B .1-42. 项正确;(a+b+c){}=a{}+b+c^}+2a·b+2b·c+2a·c 解得文-,y-12,-,所以c-(,12,).故选C项。 a+b+c^{,所以C项正确;(a-b-c)}一a^+b+^-2a$$ $+2b·c-2a·c-^+b+c,即(a+b+c)=(a-b-c),即 4.B 解由已知得a十b-(一2,1,3十x).又(a+b) |c.所以 a+b+cl一a-b-cl,所以D项正确,故选BCD项。 -2-x十2(3十x)-0,解得x--4.故选B项$ 14.因为(a.b)为钝角,所以cos(a,b)<0且(a,b). 5.BC因为2a+b-(-1,2.7),a=(-2.-1.1),而2子 若cos(a,b)<0,则a·b0,即3x(-1)+(-2)x(x-1)+ (-3)×1<0,解得x-2 若(a,b)一π,则a与b反向,则b-a(<0). (3--. ③b,故B项正确;a·(5a+6b)-5a^{}+6a·b-5x(4+ $+1)+6x(-6-4+5)-0,故C项正确;又a·b--5. -3-. 则cos(a.b)--5 因为(a.b7≠,所以x,即文→一2且x ×5V2 ·230· 故x的取值范围是(-2)U(.+。). 5.A 解析根据堵的几何性质知AB1AC,AA 1AB,AA上 AC因为AC-AC+A,B=B+BCA+ 15.解因为AC-AB+BC-(cos a+sina.cos a.-sina),所 以ACl?=(cos a十sin a)?+cos{}a十(-sina)?-2十 ##CA,所以AC·-(AC+A)#[A+(A- sin23,所以AC|的最大值为③ AB-AA+A-A·AB+AA+AC. 警3 16.解析(1)由题意,建立如图所示的空间直角坐标系, A-A·AB-2十4-6.故选A项. 则A(0.0.0),B(3.0.0).C(3,1.0),D(0,1,0),P(0.0 2).E(o.,1),从而AC-(V3,1.0),PB=(V3,0.-2). 6.解析由题意知,AB-(3,4.12),则AB-9+16+144-13. 黑(-3.-4.-12) 7.解AG-AB+BG-AB+AA+BC-AB+AD+ (2)由于点N在侧面PAB内,故可设点N的坐标为(x,0 ),则NE-(-,,1-). N.Ap-0. 因为AG-AG-(AB+AD+AA)-AB+A+ 由NE平面PAC可得 .AC-0. AA+AB·AD+2AB·AA+AD·AA-2*+x2*+ [(-,1-~)·(0.0,2)-0. 即 (-1-~)·(v3,1.0)-0. 2+2×2cos60+2×2×2cos 60*+2×2cos60*-17. 所以AG-V17,即AG-V17. 智17 1~-1-0. _# 化简得 #1#以{# 6'即当点N的坐标为 一1. 8.对于①.O·BC-o,即O·(0-0B)-0.0:AC 0.即O(0-0)-0,两式相减得O·0-O.- 0.即OC·BA-0.正确;对于②,连接MN.NP,PQ.QM,如 培优训练(一) 图,M,N.P.Q四点分别为校OA,AB,BC.OC的中点,则 MN/OB/PQ,且MN-OB-PQ,则四边形MNPQ为 1.A 由题知,点F是侧面CDDC。的中心,所以F为 DC的中点,则A-AD+D-AD+DC-AD+ 平行四边形,故M-QP,正确;对于③,由OB一AC|可 知,平行四边形MNPQ为菱形,故MP·NQ-0,正确;对于 #(DD DC)#-AD+(AA+AB)-a+b+.故 ④.AM-AP-PM,AN-AQ-QV,两向量所在直线为平行 选A项. 四边形MNPQ的对角线所在直线,两向量不共线,故PM 2.C 翻因为空间向量a-(-1,2.x),b-(3,-6,-3),且a/ QV.错误,故正确表述的序号是①②③. 3.B 由6OP-OA+2OB+3OC,得OP-0A-2(OB- OP)+3(OC-OP),即AP-2PB+3PC.所以AP.PB.P 共面,又它们有公共点P,所以P,A,B.C四点共面.故选 B项. 4.AB 因为a=(1,1,1),b=(-1,0,2),所以a+b=(1. 答①②③ 1,1)+(-1,0,2)-(0,1,3),故A项正确;|a| 9.(1)AN-AO+ON--a+OB+BN--a+OB+ 1+1+1-3,故B项正确;a·b-(1,1,1)·(-1,0. 2)=-1+0十2-1-0,所以a,b不垂直,故C项错误; cos(a,b)-a.b Ta b ③x/5 15 (2)由(1)知O·A-1a.(-a+寸b+3) 故选AB项. ·231·