课时作业(5) 空间直角坐标系（配套练习）-【状元桥·优质课堂】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）

课时作业（五） 空间直角坐标系 答案见P I基础训练川 二，填空题 一、选择题 6.在空间直角坐标系中，点（一2,1,4）关于x轴对 1.如图所示，正方体ABCD-A1B,CD的棱长为 称的点的坐标是 1,则点B的坐标是 7.若点P(1,2,一1)在坐标平面Ozx内的射影为 B(x,y,z),则x十y十= 8.设{i,j,k}是空间向量的一个单位正交基底，则 向量a=3i+2j-k,b=一2i+4j+2k的坐标分 别是 三、解答题 A.(1,0,0) B.(1,0,1) 9.建立如图所示的空间直角坐标系，正方体DABC C.(1.1,1) D.(1,1,0) DAB'C的棱长为a,E,F,G,H,I,J分别是棱 2.在空间直角坐标系中，P(2,3,4),Q(一2，一3，一4) C'D',DA',A'A,AB,BC,CC的中点，写出正六 两点的位置关系是 ( 边形EFGHIJ各顶点的坐标. A.关于x轴对称 B.关于坐标平面Oyx对称 C.关于坐标原点对称 D.以上都不正确 3.如图，在长方体OABC-O1ABC1中，OA=3, OC=5,OO=4,点P是BC的中点，则点P的 坐标为 A.(3,5,4) B(3,4) c(3,4) n(6,2 4.已知空间向量a=(1,2,一3)，则向量a在坐标平 面Oyx上的投影向量是 A.(0,2,3) B.(0,2,-3) C.(1,2,0) D.(1,2,-3) 5.已知OA=8a+6b+4c,其中a=i+j,b=j+k, c=k十i,{i,j,k}是空间向量的一个单位正交基 底，则OA的坐标为 ( A.(12,14,10) B.(10,12,14) C.(14,10,12) D.(4,2,3) ·115. 10.已知PA垂直于正方形ABCD所在的平面，M, 13.设i,j,k是空间向量的一个单位正交基底，已知 N分别是AB,PC的中点，并且PA=AD=L.在如 a=(3,4,5),e=(2,-1,1),e2=(1,1,-1),e3 图所示的空间直角坐标系中，求向量MN的坐标 (0.3.3),若a=xe1十3eg十e1,则x= y 14.设{i,j,k)是空间向量的一个单位正交基底，若点 A的坐标为（一1,3,0），点B的坐标为(0,1,1)，则 oos(OA.OB》 I拓展探究川 15.若p=x0十3b十℃，则称(x,y,)为p在基底 {a,b,c}下的坐标.若一向量p在基底{a,b,c 下的坐标为(1,2,3)，则向量p在基底{a+b, a一b,c)下的坐标为 () A(侵3) B(受-23) c3-2别 n(23) 16.已知正方体ABCD-A:BCD的棱长为1，点 E,F分别在线段AD,AC上，且EF⊥AD,EF⊥ AC,以点D为坐标原点，DA,DC,DD分别作 为x轴、y轴、之轴建立空间直角坐标系，如图所 示，试求向量EF的坐标 能力提升Ⅱ 1L.如图所示，在正方体ABCD-A,B,CD中，M 是AD的中点，AB=1,则向量CM的坐标 为」 12.如图所示，正四面体ABCD的棱长为1，G是 △BCD的中心，建立如图所示的空间直角坐标 系，则AG的坐标为 ·116.图为萨=亦-A花=号a+b)-号c,所以E萨.A亦=号+ PP,P,它们在坐标轴上的坐标分别是号5,4，故点P的 2ab2ac=0,函√(3a叶2b2-9. 坐标是（受，5,4小故选C项 4.B解析根据空间中点的坐标确定方法知，空间中点(1,2， 所以cos(E亦，A》= 成A店 一3)在坐标平面Oy上的投影坐标的横坐标为0，纵坐标与 EFIIABI 2 ,所以异面 竖坐标不变，所以空间向量a=(1,2,一3)在坐标平面Oy 上的投影向量是(0,2，一3).故选B项. 直线EF与AB所成的角为 5.A解析OA=8(i+)+6(U+k)+4(k十i)=12+14j+10k 图子。 (12,14,10).故选A项. 6.解析在空间直角坐标系中，点（一2,1,4）关于x轴对称的点 15.AB解粉因为以顶点A为端点的三条棱长均为6，且它们 的坐标为（一2，一1，一4）. 彼此的夹角都是60°，所以AA·A店=AA.A=A市： 答案(-2，-1，-4) AB=6X6×cos60°=18，(AA+A店+AD)2-AA+A话+ 7.解析点P(1,2,一1)在坐标平面Okx内的射影为B(1,0, 一1)，所以x=1,y=0,2=-1,所以x十y十x=1+0-1=0. AD+2A4.AB+2Ai·AD+2A4·Ai=36+36+ 答累0 36+3×2X18=216,则1AC1=A4+AB+AD1=66. 8解析因为i,j,k是单位正交基底，所以根据空间向量坐标的 所以A项正确：A.D亦=(AA+A店+AD)·(A站-A)= 概念知a=(3,2,一1)，b=(-2,4,2). M·店-AA·AD+A亦-A店·AD+AD.A店- 答3(3,2.-1)，(-2,4,2) 9.解析正方体DABC-D'A'B'C的棱长为a,且E,F,G,H, AD=0,所以B项正确：显然△AAD为等边三角形，则 I,J分别是棱CD',DA',A'A,AB,BC,CC的中点，所以 ∠A4D60,因为BC-AD,且向量AD与AA的夹角是 正六边形EFGHIJ各顶点的坐标为E(O,号，a),F(受， 120°，所以BC与A41的夹角是120°，所以C项不正确：因为 BD=AD+AA-A店AC=A店+AD.所以1B1 0,aG(a,0,号)，H(a,号，0)，1（号a,0)J(o,a,号） √AD+A4-ABF=62,AC=√AB+AD2=63. 10.解扬因为PA=AD-AB-1,所以可设A店=i,AD=j,A市 BD.AC-(AD+AA-AB).(AB+AD)=36. k.图为M-Mi+Ap+p=Mi+A护+P心-Mi+ 所以os(BD,A=四·Ad 36 6 IBD,1AC6√2X636 A+号(Pi+AD+DC=-号A店+A市+(-A 所以D项不正确.故选AB项. A亦+A店)=号泸+号办=司j+号k,所以成= 16.解折设AB=CE-1,CD=a,CB=b,CE=c. 则a=|b=c=1.(a.c)=(b,c)=90°，(a,b》=120° (o2) 1)证明：因为D流-ca,C亦=号b叶c,=a+b,所以D元 11,解扬由题意可知，A店，AD,AA是一个单位正交基底.因 2CF-CA,即DE.CF,CA共面，又DE过平面ACF,CF, 为CM-CC+Ci+AM=-C元-A心+2Ai=-AM CAC平面ACF,所以DE∥平面ACF A店-A市+号心=-店-号市-M,所以CM=(-1, (2因为i=i-2=号(a+b)-c,亦=-C -: b叶c)-(a+b)=-a-2zc 瞪图(-1，-，-1) 所以ò：求-子，ò-5=1， 12霸由题意可知，BG=号BE=号×号-得，所以AG 7 所以o(成，A府=面·正 -8 75 VAB--5,所以aG=(0,0-） EOAFI 20 2 因为两异面直线所成的角不大于90°，所以异面直线0与 圈(60.-) AF所成角的余弦值为识 13.解析由题设知a=3i+4j+5k,e=2i-j+k,e=i+j一k, e=3j+3k,又a=e1+3e十es,所以3i+4j+5k=,x(2i-j+ k)+y(i+j-k)+x(3j+3k)=(2x+y)i+(-x+y+3z)j+ 课时作业（五） /2+y=3, (x一y十3)k,所以 二十3=4，解得红=名y=号 2 1.C解析点B到三个坐标平面的距离都为1，易知其坐标为 (1,1,1).故选C项. x-y+3z=5, 2.C解析当三个坐标均相反时，两点关于坐标原点对称故 x2 选C项. 3.C解析由题图知，点P在x抽、y轴，之轴上的射影分别为 图号是 ·229· 14.解折由题设知0A=(一1,3,0)=-i+3,OB=j+k,故 6.解析由加十b=(一2k+1,0,k十2)，可得a·(加+b)= OA=√-+3j)=√0，OB=√G+k=2,OA· -2(-2k+1)十k+2=5k=0,解得k=0. 答率0 335 成-(-+G+=8所以i.d市B 7.解折因为a十2b=(1十2.x,4,4-y),2a-b=(2-x,3, -2y-2),且(a+2b)∥(2a-b),所以3(1+2x)=4(2-x)且 图调 34-0=4(-2一2》，所以x=7y=-4 15.B解析设p在基底{a十b,a一b,c下的坐标为(x,y,之)，则 图分 -4 p=a+2b+3c=x(a+b)+y(a-b)+sc=(x+y)a+(x- 8.解折固为AB=(1-x,2x-3,3-3x),所以|AB1 x+y=1, y)b+C,所以x一y=2,解得 一，故p在基底1a十 √-)+(2x-3)+(3-3r)=√14(x-)+。 x=3, 2x=3, 故当=号时，A有最小位 a-b,e下的坐标为（号，一司，3）.故选B项 俗图号 16.解析因为正方体ABCD-ABCD的棱长为1，根据题意知 9.解析(1)由于A(1,2,3),B(2,-1,5),C(3,2,-5),所以AB DA,元，DD/为单位正交基底，设DA=i,C=j,DD=k,所 (1,-3,2),故AB=√+(-3)+2=√14： 以向量E萨可用单位正交基底，小，k表示，国为E亦=市+ AC=(2,0,-8),故1AC=√2+(-8)严=2√17 D亡+C下，ED与DA共线，C下与CA共线，所以设ED=DA, (2)由(1)得cos0= AC.AB 2-16 238 C亦=，则E亦=DA+心+CA=DA+DD)+D心+ |ACAB14×217 34 (DA-DC)=(+DA+(1-DC+ADD=(+i+ 10图团①因为a/所以气号-马且0，解特=2。 1-)j+从，因为EF⊥AD,EF⊥AC,即EF⊥AD,EF⊥ y=-4,此时a=(2,4,1),b=(-2,-4,-1).又由b⊥c得 AC,所以E萨.AD=0.E萨.AC=0,又AD=-Di-DD b·c=0,故(-2，-4，-1)·(3，-2，)=-6十8-x=0, -i-k,AC-元-Di=-计j, 得x=2,此时c=(3,一2,2) 所以A+r1+1-j+].(-i-k)=0. (2)由(1)得a十c=(5,2,3),b十c=(1,-6,1),因此向量a十c [(a+)i+(1-)j+从]·(-i+j)=0, 与向量b+c夹角0的余弦值为s0=a十c):h+e a+c b+cl 整理得 -(+)-1=0, 1=一3 12 墙品 1-+)+1-4=0,”la+2=1, 11.B解析由已知得b-a=(2,,)-(1一t,1-t,1)=(1十 以亦=吉计吉k所以亦的坐标是（合号，一吉）》 21-1,0),所以|b-a=√(1十t)+(21-1)+0= 5r-2+2=5(-号)+号，所以当=号时b-a 课时作业（六） 1,D解析空间向量平行的充要条件是“存在非零实数k,使a= 的最小值为3故造B项 庙”故选D项 12.A 解标由已知得AB=(3,4,2),AC=(5,1,3),BC=(2. 2.AD解析因为向量a=(4,一2，一4)，b=(6,-3,2),所以a十 -3,1),所以AB·AC>0,得A为锐角：CA·CB>0.得C b=(10,一5，一2)，故A项正确：a-b=(-2,1,一6)，故B项错 为锐角：BA·BC0,得B为锐角.所以△ABC为锐角三角 误：a·b=24十6-8=22，故C项错误：a=√16+4十16 形，且AB≠BC≠AC.故选A项. 6,故D项正确，故选AD项. 13.BCD解析易得a·b=a·c=b·c=一3十0十3=0，(a·b)· r=2x, c=0,b·c=0,所以A项错误：(a十b)·c-a·(b+c)=a· 3.C解析由题意可得(x,3,1)=(2,y,4),即3=y2, c+b·c一a·b-a·c=0,所以(a十b)·c=a·(b十c),所以B 1=4z 项正确：(a+b+c)2=a2+b+c2+2a·b+2b·c十2a·c= 解得=司y=12=子，所以c=(号，12，）.故选C项 a2+b+c2,所以C项正确：(a-b-c)2=m+b+e-2a· b+2b·c-2a·c-++c,即(a+b+c)=(a-b-c)2,即 4.B解析由已知得a十b=(-2,1,3十x).又(a十b)⊥c,所以 a+b十c=a一b一c,所以D项正确.故选PCD项. 一2-x十2(3十x)=0,解得x=-4.故选B项. 14.解析因为(a,b)为纯角，所以cos(a,b)<0且(a,b)≠元 580解团因为2a+b=(-12,7,a=(-2。-1,.而号≠ 若cos(a,b》<0,则a·b<0,即3×(-1)+(-2)×(x-1)+ (-3)×1<0,解得x>-2. 号≠子，故A项不正确：周为a-6.b=52,所以5a 若(a,b)=r,则a与b反向，则b=a(a<0) 3=-λ 3b,故B项正确：a·(5a+6b)=5a2+6a·b=5×(4+ 所以 1+1)+6×(-6-4+5)=0,故C项正确：又a·b=-5, -2=Xx一0.解得X=-3,x=子 -3=λ， 则c0s(a.b)= X后停故D项不运角：故链C须 因为a,b》≠，所以x≠号，即>-2且x≠号 ·230·