课时作业(2) 空间向量的数量积运算（配套练习）-【状元桥·优质课堂】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）

课时作业（二） 空间向量的数量积运算 答案见P I基础训练‖ 一、选择题 1.设a,b为空间中的非零向量，下列各式： ①a2=a: ②4·bb A.AB.A C=2a B.AB.ACi=a a C.AB.AO-Ta D.BC·DA=a ③(a·b)2=a2·b: 二、填空题 ④(a-b)2=a-2a·b+b: 6.已知a=13,|b=19,a+b=24,则a-b1= ⑤(a·b)·c=b·(a·c)=(b·c)·a: ⑥向量a在向量b上的投影向量为acos(a,b) b b 7.已知a=1,lb=2,且a一b与a垂直，则a与 b的夹角为 其中正确的个数为 8.已知非零向量m,n满足4m=3n,cos(m,n)= A.1 B.2 C.3 D.4 名，省都L(m十n,则实数1的值为 2.已知向量a,b是平面a内的两个不相等的非零 三、解答题 向量，非零向量c是直线！的一个方向向量，则 9.已知a+3b与7a-5b垂直，且a一4b与7a-2b 垂直，求a与b的夹角. “c·a=0且c·b=0”是“L⊥a”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.已知空间向量a,b,b1=4,a=2,(a,b)=2 3 则b在a上的投影向量的模为 A.1 B.-1 C.2 D.-2 4.(多这)在棱长为1的正方体ABCD-A1B,CD 中，下列结论正确的是 ( A.AB=-CD B.AB·BC=0 C.AA.BD=0 D.AC:.AC=0 5.(多选)如图，正方体ABCD-A:B1CD,的棱长 为a,体对角线AC与BD,相交于点O,则有 ·109· 10.如图，在平行六面体ABCD-AB'C'D中，AB= 14.已知等边△ABC中，P在线段AB上，且AP= 4,AD=3,AA'=5,∠BAD=90°，∠BAA' AA,若C护.A店=Pi·P,则实数入的值 ∠DAA'=60°.求： 为 (DAA'.AB: I拓展探究川 (2)AC的长. 15.如图，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱 柱，AB是一条侧棱，P(i=1,2,…,8)是上底面 上其余的八个点，则AB·AP(=1,2,…,8)的 不同值的个数为 16.如图，已知直三棱柱ABC-AB'C中，AC=BC= AA',∠ACB=90°，D,E分别为AB.BB的中点. (1)求证：CE⊥A'D: (2)求异面直线CE与AC所成角的余弦值， I能力提升Ⅱ 11,设平面上有四个互异的点A,B,C,D,已知(DB+ D元-2DA)·(AB-AC=0,则△ABC是( A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形D.等边三角形 12.(多选)在正方体ABCD-A:B,CD中，下列命 题正确的是 () A.(AA+AD+AB)*=3AB B.AC·(AB-AA)=0 C.AD,与AB的夹角为60 D.正方体的体积为AB·AA·AD 13.在平行六面体ABCD-A,B,CD中，底面ABCD 是边长为1的正方形，AA=2,∠AAD ∠AAB=120°，则对角线BD的长度为 ·110-课时作业答案 课时作业（一） 11.ci BD=BC+Ci=-5a+6b+7a-2b=2a十4b= 2(a十2b)=2AB,又AB与BD过同一点B,所以A,B,D 1.A解扬AB+BC+CD-AC+C市-AD.故选A项. 三点共线.故选C项。 2.B解桥如图，因为AB+BC+CD+Di=0,即a+b+CD 12.ABC 解扬由题可知单位向量有AA,AA,BB,BB. c=0,所以CD=c-a一b.故选B项 CC,CC,DDi,D,D,共8个，故A项正确：与AB相等的向 量有AB,D,C,D心，共3个，故B项正确：与向量AM相反 的向量有AA,BB.CC,DD,共4个，故C项正确：因为CC B A4,向量AD,A1B,AA有一个公共点A,而点A,B 3.C解析如图所示，由向量共面的定义知 D都在平面ABCD内，点A在平面ABCD外，所以 ①②中的向量一定共面：③中CD-BA, 向量AD,AB,CC不共面，故D项错误.故选ABC项. CD,可以平移到平面ABBA:中，故三向 13.ABD解析因为E,H分别是AB,AD的中点，所以AE 量共面：④中三向量不能平移到同一个平面 内，故不共而.故共有3组共面.故选C项 号A成，Ai=号A.所以EH是△ABD的中位线，则 4.D盛霸N=N0+O=-2心+2i+号0成=a+ Ei=励.元-心-C本=号D-号成=号(Cò b-c.故选D项。 =号航，故A项正确：E前=号动=合×号花 5.BD解析对于A项，其终点构成一个球面，故A项错误：对 于B项，由共线向量的概念知，长度不相等、方向相反的两向 足F心，故B项正确：直线EF和直线HG相交，故C项不正 量一定是共线向量，故B项正确：对于C项，规定0的方向是 确：因为F元=号BD,Ei=BD,所以FG∥BD,EH∥BD. 任意的，与任何向量平行，故C项错误：对于D项，由向量模 的性质知，对于任意向量a,b,有a一b≤a十b≤a十b, 所以FG∥EH,且FG≠EH,又EF与HG相交，所以四边 故D项正确.故选BD项. 形EFGH是梯形，故D项正确.故选ABD项， 6解损因为Aò+O店-Dò+元，所以A店-元，所以A店/∥D且 14.解析由题知OP=OA+AP,固为A,P,B,C四，点共面，根 AB=DC,所以四边形ABCD为平行四边形. 据平面向量基本定理，不妨设AP=xAB十yAC(x,y∈ 答案平行四边形 R),剥Op-Oi+xAi+yAC-OA+x(O店-OA)+y元 7.解折因为BD=CD-CB=e-4e,AB=2e十e,且A,B,D OA)=(1-x-y)0A+xOB+xOC. 1一x一y=m: 三点共线，由向量共线的充要条件得2=方，所以k=一8 因为O求=mOA+nO店+2O元，所以{x=, 答案一8 y=2, &.解ǖBM-B丽+BM=AM+2BD=AA+号BD 所以m十=1一x-y十x=1一y=一L 15.C解扬PM-PB+7BA+6AA-4AD=PB+BA+ A+之(-AB+D)=AM-号A店+号AD,所以x=1, 6BA:-4A,D,=PB.+BA:+6BA:-4A:D.=PA+ y=- 2=2,所以x十叶=1 6(PA-PB)-4(PD -PA)=11PA-6PB-4PD, 以PM-PA=6(PA-PB)+4(PA-PD),即AM 俗累1 9.解扬1)AB+B,C+CD=AC+CD=AD, 6BA十4DA,又AM,BA,DA有公共点A,所以 (2)AD+号A店-号AA=号(AD+A)-号AA AM.BA,DA共面，于是M,B,A1,D四点共面.故选 C项. 2A0-号AA=号AC+号AM=号Ac+号G 16.解析每一条体对角线对应两个向量，正方体共有4条体对 角线，共有8个向量 2Ad-A成 答案8 10.证朋因为A,B-A店-AA,AM=AD+D,M=AD- 课时作业（二） 合AMA=号衣号+. 1,C解丽由向量数量积的性质可知①正确：向量的数量积不 所以A衣=A衣-A-号(B+AD-AA=号( 满足消去律，故②不正确：(a·b)严=a··5(a,b)≤a· ,故③不正确：由向量数量积的运算律知④正确：数量积不 A+号(i-2AM)=号AB+号Ai, 满足结合律，故回不正确：alcos(a,b)合为向量a在向量b 所以AN与A1B,A,M共面 上的投影向量，故⑥正确.故选C项 ·225· 2.B解析当a与b不共线时，由c·a=0c·b=0.可推出l⊥ 所以A心=花+市+A)=A+A市+A+2A店. a:当a与b为共线向量时，由c·a=0,c·b=0,不能推出 AD+2AB.A+2AD·AA=16+9+25+0+2×4× 1⊥a.若l⊥a,则一定有c·a=0,c·b=0.故选B项. 5x2+2X3X5×号-8的， 3.C解析由题意可得b在a上的投影向量的模为bcos(a,b· 所以AC心1=85，即AC的长为85. =4Xms=2故选C项 b 11.B解析图为D成+元-2Di=(D-D亦+(D心-D 4ABC解初如图所示，由图形知，因为A店=一C市，C市 AB+AC,所以(A店+AC·(店-AO)=A:-C CD,所以A店=一CD,故A项正确：因为A店⊥B心，所以 0,所以AB=AC,即△ABC是等腰三角形.故选B项. AB.BC=0,故B项正确：因为AA⊥平面AB,CD,所以 12.AB解析如图所示，(AA十AD+ AB)-(AA+A D+DG)-AC- AA⊥BD,所以AA·BD=0,故C项正确：因为四边形 3A亦：AC.(AB-AA=(AB+ AACC是矩形，所以AC与A:C不垂直，则AC·AC≠ EO·AB-AB.AB+BC.AB= 0,故D项错误.故选ABC项】 0:AD与AB的夹角是DC与D,A夹角 的补角，而DC与D1A的夹角为60°，故AD与A1B的夹角为 120°：正方体的体积为AB11AA|ADL.故选AB项. 13.解析对BD-AD+AA-A店两边平方并化简得BD1: AD+AA+AB+2AD.AA-2 AD.AB- 5.BC解折A店.AC=AB.(AB+AD)=A=2,A店. 2A4·AB=1+2+1十2×1×V2c0s120°-0-2×V2X 1×c0s120°=4，所以BD=2.所以对角线BD的长度 AC=A店.(+AD+AM)=A亦=a,A店.Aò=A店. 为2. 是Ad=店.（店+A+A)=游=是，· 答系2 14.解如图，C市--Ad+A市=-AC+λA店. DA=BC.(BB+CB=-BC=一a2.故选BC项. 故C市.店=(aA店-AC·店= 6.解折1a+b2=a+2a·b+b=132+2a·b+192=24°，所 AB1 ACI cos A,Pi·PB=(-AAB)· 以2a·b=46,所以a-b1°=a2-2a·b+b=530-46= (1-)AB=(-1)1AB1,设|AB1= 484,故a-b=22. 俗累22 a(a>0),则入-是a2=A(a-1)d,解得入=1 7.解析因为a-b与a垂直，所以(a一b)·a=0,所以a·a一a· 号(a=1+竖会去)片 b=|a2-al|bcos(a,b)=1-1X2Xcos(a,b)=0,所以 sa,b-要周为0r≤a,b≤180，所以a,b=45 图号 15.解析由题意知AB⊥BP,所以AB·BP=0,所以AB· 答案45 AP,=AB.(AB+BP,)=ABI:+AB.BP,=AB*=1. 8.解析因为n⊥(m十n),所以n·(m十m)=0,即t·m·n十m= 所以AB·AP,(i=1,2,…,8)的不同值的个数为1， 0,所以1(m,m)十n2=0,由已知得X是nX 答1 16.解析(1)证明：设C=a.C=b.C己=c, 号十m=0,解得1=- 根据题意得a=b=c,且a·b=b·c=c·a=0. 答案一4 国为C2=b+7c,Ai=-c+2b之a, 9.解折由条件知(a+3h)·(7a-5b)=7a2-15b+16a·b= 所以正.Ai-(b+c）·(-c叶号。2)--c+ 0,(a-4b)·(7a-2b)=7a+81b1P-30a·b=0,两式相 减得46a·b=23b,所以a·b=号b2,代入上面两个式子中 5=0,所以C1Ai.即CE1AD, (2)因为AC=一a+c, 的任套-个，得1a=1,所以a6=日治-气6 所以1AC1=a.C-号1a, 2,所以《a,b》=60° 因为A.C=(-a+(b叶c)=c=a, 10.解折1)A.A店=A41·1AB1cos∠A'AB=5×4× x号a 10 3-10 (2)因为AC-AC+C元=AB+AD+A. 所以异面直线CE与AC'所成角的余弦值为四 10 ·226·