第11讲 圆与圆的位置关系（七大考点）-【暑假自学课】2024年新高二数学暑假提升精品讲义（苏教版2019）

第11讲 圆与圆的位置关系 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1、了解圆与圆的位置关系. 2、掌握圆与圆的位置关系的判断方法. 3、能用圆与圆的位置关系解决一些简单问题． 知识点一：圆与圆的位置关系 1、圆与圆的位置关系： （1）圆与圆相交，有两个公共点； （2）圆与圆相切（内切或外切），有一个公共点； （3）圆与圆相离（内含或外离），没有公共点． 2、圆与圆的位置关系的判定： （1）代数法： 判断两圆的方程组成的方程组是否有解． 有两组不同的实数解时，两圆相交； 有一组实数解时，两圆相切； 方程组无解时，两圆相离． （2）几何法： 设的半径为，的半径为，两圆的圆心距为． 当时，两圆相交； 当时，两圆外切； 当时，两圆外离； 当时，两圆内切； 当时，两圆内含． 知识点诠释： 判定圆与圆的位置关系主要是利用几何法，通过比较两圆的圆心距和两圆的半径的关系来确定，这种方法运算量小．也可利用代数法，但是利用代数法解决时，一是运算量大，二是方程组仅有一解或无解时，两圆的位置关系不明确，还要比较两圆的圆心距和两圆半径的关系来确定．因此，在处理圆与圆的位置关系时，一般不用代数法． 3、两圆公共弦长的求法有两种： 方法一：将两圆的方程联立，解出两交点的坐标，利用两点间的距离公式求其长． 方法二：求出公共弦所在直线的方程，利用勾股定理解直角三角形，求出弦长． 4、两圆公切线的条数 与两个圆都相切的直线叫做两圆的公切线，圆的公切线包括外公切线和内公切线两种． （1）两圆外离时，有2条外公切线和2条内公切线，共4条； （2）两圆外切时，有2条外公切线和1条内公切线，共3条； （3）两圆相交时，只有2条外公切线； （4）两圆内切时，只有1条外公切线； （5）两圆内含时，无公切线． 考点一：判断圆与圆的位置关系 【典例1-1】（2024·高二·北京·期中）已知圆，圆，那么两圆的位置关系是（   ） A．相交 B．外离 C．外切 D．内含 【典例1-2】（2024·高二·甘肃庆阳·期末）圆：与圆的位置关系为（    ） A．相交 B．内切 C．外切 D．相离 【变式1-1】（2024·高二·上海·期中）圆与圆的位置关系是（    ） A．相交 B．外切 C．外离 D．内含 【变式1-2】（2024·高二·安徽芜湖·阶段练习）设圆：，圆：，则圆，的位置关系是（    ） A．内切 B．外切 C．相交 D．相离 【变式1-3】（2024·高二·四川遂宁·阶段练习）已知圆，圆，则两圆的位置关系（    ） A．内切 B．外切 C．相交 D．相离 考点二：求两圆的交点 【典例2-1】（2024·高二·全国·课后作业）圆与的交点坐标为 . 【典例2-2】（2024·高二·江苏无锡·期末）设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，若，则点的坐标为 ． 【变式2-1】（2024·高二·江苏南京·期中）平面直角坐标系xOy中，P为圆C1：上的动点，过点P引圆：的切线，切点为T，则满足的点P有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 考点三：由圆的位置关系确定参数 【典例3-1】（2024·高二·青海西宁·期中）已知圆与圆有4条公切线，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【典例3-2】（2024·全国·二模）已知直线与直线相交于点，且点到点的距离等于1，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（2024·湖南常德·二模）已知圆和两点，若圆C上存在点P，使得，则a的最小值为（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 【变式3-2】（2024·高二·河南洛阳·期末）若圆上总存在两个点到点的距离为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】（2024·高二·浙江·开学考试）若圆与圆只有一个交点，则实数的值可以是（    ） A．1 B．2 C．1 D．2 考点四：求两圆的公共弦方程、公共弦长 【典例4-1】（2024·高二·广东·期中）已知圆：和圆：，则两圆公共弦所在直线的方程为 . 【典例4-2】（2024·高二·山东枣庄·期末）圆与圆的公共弦所在直线的方程为 . 【变式4-1】（2024·高二·贵州铜仁·期末）圆与圆的公共弦长为 . 【变式4-2】（2024·高二·广东深圳·期末）圆与圆的公共弦的长为 ． 【变式4-3】（2024·高二·福建福州·期末）圆与圆的公共弦长为 . 考点五：圆的公切线条数 【典例5-1】（2024·高二·江苏盐城·期末）两圆与的公切线有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【典例5-2】（2024·高二·四川成都·期末）平面直角坐标系内，与点的距离为且与圆相切的直线有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【变式5-1】（2024·高二·河北唐山·期末）已知圆与圆，则两圆公切线的条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式5-2】（2024·高二·安徽滁州·期末）圆与圆公切线的条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 考点六：圆的公切线方程 【典例6-1】（2024·高二·浙江杭州·期末）已知直线l同时与圆和圆相切，请写出两条直线l的方程 和 ． 【典例6-2】（2024·高二·河南郑州·期末）写出圆：与圆：的一条公切线方程 ． 【变式6-1】（2024·高二·广东深圳·期末）写出与圆和都相切的一条直线的方程 . 【变式6-2】（2024·高二·北京昌平·期末）已知圆，则圆的半径为 ；与圆和圆都相切的直线的方程为 .（只需写出一条直线的方程） 考点七：圆系问题 【典例7-1】（2024·高二·全国·专题练习）圆心在直线上，且经过圆与圆的交点的圆的方程为 . 【典例7-2】（2024·高二·云南玉溪·期中）已知圆C：． (1)求过点且与圆C相切的直线方程； (2)求圆心在直线上，并且经过圆C与圆Q：的交点的圆的方程． 【变式7-1】已知圆与圆相交于A、B两点． （1）求公共弦AB所在直线方程； （2）求过两圆交点A、B，且过原点的圆的方程． 【变式7-2】已知圆和圆． （1）求证：两圆相交； （2）求过点，且过两圆交点的圆的方程． 1．（2024·高二·黑龙江哈尔滨·期末）已知圆的面积被直线平分，圆，则圆与圆的位置关系是（    ） A．外离 B．相交 C．内切 D．外切 2．（2024·高二·河南·阶段练习）已知点关于直线的对称点Q落在圆上，则（    ） A．1 B． C． D．0 3．（2024·高二·辽宁丹东·期末）已知圆与圆交于A，B两点，则四边形的面积为（    ） A．12 B．6 C．24 D． 4．（2024·高二·江苏泰州·期末）设，若圆与圆有公共点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．（2024·高二·福建福州·期末）已知圆上动弦的长为，若圆上存在点P恰为线段的中点，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（2024·高二·江苏连云港·阶段练习）两圆与的公切线有（    ）条 A．1 B．2 C．3 D．0 7．（2024·高二·全国·专题练习）已知圆和圆，则圆与圆的公切线有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 8．（2024·高二·上海杨浦·期中）已知圆与圆相交于两点，则公共弦的长度是 ． 9．（2024·高三·广东汕尾·期末）过点作圆的两条切线，切点分别为A，B，则 10．（2024·高二·广东佛山·阶段练习）写出与圆和圆都相切的一条直线的方程： . 11．（2024·高三·湖南衡阳·阶段练习）写出与圆和圆都相切的一条直线的方程 . 12．（2024·高二·上海·期中）已知圆． (1)求直线被圆截得弦长； (2)已知圆过点且与圆相切于原点，求圆的方程． 13．（2024·高二·广东中山·期中）已知圆过点，圆. (1)求圆的方程； (2)判断圆和圆的位置关系并说明理由；若相交，则求两圆公共弦的长. 14．（2024·高二·江西南昌·阶段练习）已知圆，直线是圆与圆的公共弦所在直线方程，且圆的圆心在直线上． (1)求圆的方程； (2)过点分别作直线，交圆于四点，且，求四边形面积的最大值与最小值． 15．（2024·高二·江西南昌·阶段练习）已知中，点，边上中线所在直线的方程为，边上的高线所在直线的方程为． (1)求边所在直线方程； (2)以为圆心作一个圆，使得三点中的一个点在圆内，一个点在圆上，一个点在圆外，并记该圆为圆，过直线上一点作圆的切线，切点为，当四边形面积最小时，求直线的方程. 16．（2024·高二·云南昆明·期中）已知圆C：和直线l：相切． (1)求圆C半径； (2)若动点M在直线上，过点M引圆C的两条切线MA、MB，切点分别为A、B． ①记四边形MACB的面积为S，求S的最小值； ②证明直线AB恒过定点． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第11讲 圆与圆的位置关系 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1、了解圆与圆的位置关系. 2、掌握圆与圆的位置关系的判断方法. 3、能用圆与圆的位置关系解决一些简单问题． 知识点一：圆与圆的位置关系 1、圆与圆的位置关系： （1）圆与圆相交，有两个公共点； （2）圆与圆相切（内切或外切），有一个公共点； （3）圆与圆相离（内含或外离），没有公共点． 2、圆与圆的位置关系的判定： （1）代数法： 判断两圆的方程组成的方程组是否有解． 有两组不同的实数解时，两圆相交； 有一组实数解时，两圆相切； 方程组无解时，两圆相离． （2）几何法： 设的半径为，的半径为，两圆的圆心距为． 当时，两圆相交； 当时，两圆外切； 当时，两圆外离； 当时，两圆内切； 当时，两圆内含． 知识点诠释： 判定圆与圆的位置关系主要是利用几何法，通过比较两圆的圆心距和两圆的半径的关系来确定，这种方法运算量小．也可利用代数法，但是利用代数法解决时，一是运算量大，二是方程组仅有一解或无解时，两圆的位置关系不明确，还要比较两圆的圆心距和两圆半径的关系来确定．因此，在处理圆与圆的位置关系时，一般不用代数法． 3、两圆公共弦长的求法有两种： 方法一：将两圆的方程联立，解出两交点的坐标，利用两点间的距离公式求其长． 方法二：求出公共弦所在直线的方程，利用勾股定理解直角三角形，求出弦长． 4、两圆公切线的条数 与两个圆都相切的直线叫做两圆的公切线，圆的公切线包括外公切线和内公切线两种． （1）两圆外离时，有2条外公切线和2条内公切线，共4条； （2）两圆外切时，有2条外公切线和1条内公切线，共3条； （3）两圆相交时，只有2条外公切线； （4）两圆内切时，只有1条外公切线； （5）两圆内含时，无公切线． 考点一：判断圆与圆的位置关系 【典例1-1】（2024·高二·北京·期中）已知圆，圆，那么两圆的位置关系是（   ） A．相交 B．外离 C．外切 D．内含 【答案】A 【解析】由于点和都在圆上，而在圆内部， 在圆外部，故两圆一定相交. 故选：A. 【典例1-2】（2024·高二·甘肃庆阳·期末）圆：与圆的位置关系为（    ） A．相交 B．内切 C．外切 D．相离 【答案】A 【解析】圆的圆心为，半径为；， 则圆的圆心为，半径为. 两圆心之间的距离， 且满足，可知两圆相交. 故选：A. 【变式1-1】（2024·高二·上海·期中）圆与圆的位置关系是（    ） A．相交 B．外切 C．外离 D．内含 【答案】B 【解析】的圆心为，半径为1， 的圆心为，半径为1， 可知两圆圆心距为2，恰好等于两圆半径之和，所以两圆是外切. 故选：B 【变式1-2】（2024·高二·安徽芜湖·阶段练习）设圆：，圆：，则圆，的位置关系是（    ） A．内切 B．外切 C．相交 D．相离 【答案】B 【解析】由题可知圆的半径为，圆心；圆的半径为，圆心， 所以，，所以，故两圆外切， 故选B. 【变式1-3】（2024·高二·四川遂宁·阶段练习）已知圆，圆，则两圆的位置关系（    ） A．内切 B．外切 C．相交 D．相离 【答案】B 【解析】易知圆的圆心为，半径为； 圆可化为，圆心，半径为； 圆心距，所以两圆外切. 故选：B 考点二：求两圆的交点 【典例2-1】（2024·高二·全国·课后作业）圆与的交点坐标为 . 【答案】和 【解析】联立，两式相减得，将其代入中得或，进而得或， 所以交点坐标为 故答案为：和 【典例2-2】（2024·高二·江苏无锡·期末）设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，若，则点的坐标为 ． 【答案】 【解析】 ，且两动直线相互垂直，即 所以 即点的坐标为 【变式2-1】（2024·高二·江苏南京·期中）平面直角坐标系xOy中，P为圆C1：上的动点，过点P引圆：的切线，切点为T，则满足的点P有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【解析】设点的坐标为，则①， 由已知圆的圆心的坐标为，半径为1， 所以，， 因为， 所以， 化简可得②， 联立①②可得，或， 所以点的坐标为或， 故满足的点P有2个， 故选：C. 考点三：由圆的位置关系确定参数 【典例3-1】（2024·高二·青海西宁·期中）已知圆与圆有4条公切线，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据题意可知，圆外离，，又． 故选：D 【典例3-2】（2024·全国·二模）已知直线与直线相交于点，且点到点的距离等于1，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】直线过定点，直线过定点，又直线， 因此点的轨迹是以线段为直径的圆（除点外），圆心，半径， 圆的方程为且，又，显然点与的距离大于1， 则点在圆：上，依题意，圆与圆有公共点， 于是，即， 解得或， 所以实数的取值范围是. 故选：D 【变式3-1】（2024·湖南常德·二模）已知圆和两点，若圆C上存在点P，使得，则a的最小值为（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】C 【解析】由，故点 P在圆上，又点P在圆C上，所以两圆有交点， 因为圆的圆心为原点O，半径为a，圆C的圆心为，半径为1， 所以，又，故有， 解得，所以a的最小值为4. 故选：C. 【变式3-2】（2024·高二·河南洛阳·期末）若圆上总存在两个点到点的距离为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为圆上总存在两个点到点的距离为， 所以圆与以为圆心，为半径的圆有个公共点， 则圆与圆相交， 所以，即， 解得：且， 所以实数的取值范围是． 故选：D． 【变式3-3】（2024·高二·浙江·开学考试）若圆与圆只有一个交点，则实数的值可以是（    ） A．1 B．2 C．1 D．2 【答案】D 【解析】易知圆的圆心为，半径， 圆的圆心为，半径， 由题意得圆与圆只有一个交点， 可得两圆内切或外切，易得圆心距，半径差与和分别为或， 当两圆内切时，解得或， 当两圆外切时，无解，结合选项 故选：D 考点四：求两圆的公共弦方程、公共弦长 【典例4-1】（2024·高二·广东·期中）已知圆：和圆：，则两圆公共弦所在直线的方程为 . 【答案】 【解析】圆：和圆：， 两圆作差相减，得直线方程为， 经检验，直线方程满足题意. 故答案为：. 【典例4-2】（2024·高二·山东枣庄·期末）圆与圆的公共弦所在直线的方程为 . 【答案】 【解析】将两圆方程作差可得，即. 因此，圆和圆的公共弦所在直线的方程为. 故答案为：. 【变式4-1】（2024·高二·贵州铜仁·期末）圆与圆的公共弦长为 . 【答案】 【解析】联立方程组，， 两式相减，得，为公共弦长所在直线的方程， 又圆的圆心为，， 圆心到直线的距离为， 所以两圆公共弦长. 故答案为：. 【变式4-2】（2024·高二·广东深圳·期末）圆与圆的公共弦的长为 ． 【答案】 【解析】由，得， 即两圆公共弦所在直线的方程为， 圆，圆心为，半径为， 则圆心到直线的距离为， 所以公共弦长为. 故答案为： 【变式4-3】（2024·高二·福建福州·期末）圆与圆的公共弦长为 . 【答案】 【解析】因为圆与圆， 两圆方程相减得， 因为圆的圆心为，半径为， 则到此直线距离为， 所以两圆相交，直线为两圆的公共弦所在直线， 则所求公共弦长为． 故答案为：． 考点五：圆的公切线条数 【典例5-1】（2024·高二·江苏盐城·期末）两圆与的公切线有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】B 【解析】圆的圆心为，半径为2， 圆的圆心为，半径为4， ∴圆心距． 由，可得两圆相交， ∴两圆公切线有2条． 故选：B. 【典例5-2】（2024·高二·四川成都·期末）平面直角坐标系内，与点的距离为且与圆相切的直线有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】C 【解析】根据题意可知与点的距离为的直线始终与以点为圆心，为半径的圆相切， 而此直线又与圆相切，因此该直线是圆与圆的公切线， 又两圆圆心距离等于两圆半径和， 所以两圆外切，它们有3条公切线，即所求切线条数为3， 故选：C 【变式5-1】（2024·高二·河北唐山·期末）已知圆与圆，则两圆公切线的条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】两圆圆心分别为，半径分别为2和3，而圆心距为5，故两圆外切，所以两圆的公切线共有3条， 故选：C 【变式5-2】（2024·高二·安徽滁州·期末）圆与圆公切线的条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【解析】根据题意： 圆，， 其圆心为，半径； 圆，， 其圆心为，半径； 两圆的圆心距，所以两圆外离， 所以公切线条数有4条. 故选：D. 考点六：圆的公切线方程 【典例6-1】（2024·高二·浙江杭州·期末）已知直线l同时与圆和圆相切，请写出两条直线l的方程 和 ． 【答案】 （答案不唯一） （答案不唯一） 【解析】由，设圆心为，半径为， 由，设圆心为，半径为1， 设直线l不存在斜率，此时方程设为：， 因为直线l同时与圆和圆相切， 所以有，此时直线l的方程为， 当直线l存在斜率，此时方程设为：， 因为直线l同时与圆和圆相切， 所以或， 所以此时切线方程为，或，即 ，或， 故答案为： ； 【典例6-2】（2024·高二·河南郑州·期末）写出圆：与圆：的一条公切线方程 ． 【答案】（答案不唯一） 【解析】圆的圆心，半径为，圆的圆心为，半径为， 故，故圆与圆外切， 将与相减得， 即两圆内公切线方程为， 两圆圆心所在直线方程为，即， 由于两圆半径相等，故两圆的外公切线所在直线方程与平行， 设为，圆心到的距离为，解得， 故两圆的外公切线所在直线方程为和. 故答案为：（或之一也可以） 【变式6-1】（2024·高二·广东深圳·期末）写出与圆和都相切的一条直线的方程 . 【答案】或（写一条即可） 【解析】圆的圆心为，半径， 化为标准方程得，圆心为，半径， 如图，易知两圆的公切线有两条，其中一条为， 直线的斜率为，直线方程为， 联立解得， 易知另一条公切线的斜率存在，设方程为，即， 则，解得， 则公切线的方程为，即. 故答案为：或（写一条即可） 【变式6-2】（2024·高二·北京昌平·期末）已知圆，则圆的半径为 ；与圆和圆都相切的直线的方程为 .（只需写出一条直线的方程） 【答案】 （答案不唯一，或亦可） 【解析】由，即， 故圆的半径为，圆心坐标为， 设直线与圆和圆都相切， 若直线斜率不存在，设直线为， 需有，解得，故符合要求； 若直线斜率存在，设直线为，即， 需有，两式相除得， 故或， 化简得或， 由可得， 故有或， 化简得或， 即或， 则或， 故该直线为或， 即或， 综上所述，与圆和圆都相切的直线的方程有： 、、. 故答案为：；（答案不唯一，或亦可） 考点七：圆系问题 【典例7-1】（2024·高二·全国·专题练习）圆心在直线上，且经过圆与圆的交点的圆的方程为 . 【答案】（或） 【解析】法一：由， 解得或者， 所以圆与圆的交点分别为， 则线段AB的垂直平分线的方程为. 由，解得， 所以所求圆的圆心坐标为，半径为， 所以所求圆的方程为. 法二：同法一求得， 设所求圆的方程为， 由，解得， 所以所求圆的方程为. 法三：设所求圆的方程为，其中， 化简可得，圆心坐标为. 又圆心在直线上， 所以，解得， 所以所求圆的方程为. 故答案为：（或） 【典例7-2】（2024·高二·云南玉溪·期中）已知圆C：． (1)求过点且与圆C相切的直线方程； (2)求圆心在直线上，并且经过圆C与圆Q：的交点的圆的方程． 【解析】（1）当直线有斜率时，设切线的斜率为k，则切线方程为， 即 ∵圆心到切线的距离等于半径2， ∴ 解得或． 因此，所求切线方程为，或． 当直线无斜率时，则，此时直线与圆不相切，不满足题意， 故切线方程为，或． （2）法一： 联立，解得或． ∴圆C与圆Q的交点为，， 线段AB的垂直平分线为，设所求圆的圆心为，半径为r． 由，解得，所以圆心为，． 因此，所求圆的方程为 法二：设经过圆C与圆Q交点的圆为：．（） 即 即 圆心代入直线，得． 因此，所求圆的方程为． 【变式7-1】已知圆与圆相交于A、B两点． （1）求公共弦AB所在直线方程； （2）求过两圆交点A、B，且过原点的圆的方程． 【解析】（1），① ，② ①-②得 即公共弦AB所在直线方程为． （2）设圆的方程为 即 因为圆过原点，所以， 所以圆的方程为 【变式7-2】已知圆和圆． （1）求证：两圆相交； （2）求过点，且过两圆交点的圆的方程． 【解析】（1）证明：∵圆，即，表示以为圆心，半径等于2的圆，圆，即，表示以为圆心，半径等于1的圆，所以两圆的圆心距，大于两圆的半径之差且小于两圆的半径之和，故两圆相交． （2）设过两圆交点的圆的方程为． 把点代入，求得． 故所求圆的方程为， 即． 1．（2024·高二·黑龙江哈尔滨·期末）已知圆的面积被直线平分，圆，则圆与圆的位置关系是（    ） A．外离 B．相交 C．内切 D．外切 【答案】D 【解析】由圆的面积被直线平分， 得圆的圆心在直线上，即，解得， 因此圆的圆心，半径， 而圆的圆心，半径， 显然，所以圆与圆外切. 故选：D 2．（2024·高二·河南·阶段练习）已知点关于直线的对称点Q落在圆上，则（    ） A．1 B． C． D．0 【答案】A 【解析】由题可知，直线l经过坐标原点O，所以， 则Q在圆上． 联立方程组，两式相减得， 代入得，则， 即，则， 而关于直线对称， 则， 故选：A 3．（2024·高二·辽宁丹东·期末）已知圆与圆交于A，B两点，则四边形的面积为（    ） A．12 B．6 C．24 D． 【答案】A 【解析】圆，圆心坐标为，半径， 圆化成标准方程为，圆心坐标为，半径， 圆与圆都过点，则，如图所示， 又，∴，由对称性可知，， ，，则四边形的面积. 故选：A 4．（2024·高二·江苏泰州·期末）设，若圆与圆有公共点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】圆，圆心为，半径为， 圆，圆心为，半径为， 若圆与圆有公共点， 则，又，所以. 故选：D 5．（2024·高二·福建福州·期末）已知圆上动弦的长为，若圆上存在点P恰为线段的中点，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由圆的弦长为可知中点P到的距离即为， 所以动点P的轨迹为以为圆心，半径为1的圆，其轨迹方程为， 又圆上存在点P，则圆与圆有公共点， 圆的圆心为，半径为3，则，即， 解得或，即. 故选：C 6．（2024·高二·江苏连云港·阶段练习）两圆与的公切线有（    ）条 A．1 B．2 C．3 D．0 【答案】C 【解析】的圆心为，半径为1， 的圆心为，半径为2， 则圆心距，故两圆外切， 故公切线有3条. 故选：C 7．（2024·高二·全国·专题练习）已知圆和圆，则圆与圆的公切线有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】C 【解析】根据题意，圆，即， 其圆心，半径， 圆，其圆心，半径， 两圆的圆心距， 因此两圆外切； 则圆与圆的公切线有3条． 故选：C． 8．（2024·高二·上海杨浦·期中）已知圆与圆相交于两点，则公共弦的长度是 ． 【答案】 【解析】由题意所在的直线方程为：，即. 将圆转化为标准方程得，即圆心，半径为， 所以圆心到直线的距离为1， 由圆的几何性质可得． 故答案为：. 9．（2024·高三·广东汕尾·期末）过点作圆的两条切线，切点分别为A，B，则 【答案】/ 【解析】圆即， 所以圆心为，半径为，，所以在圆外. 线段中点坐标为，， 以为直径的圆的方程为， 即， 由、两式相减并化简得：， 到直线的距离为， 所以. 故答案为： 10．（2024·高二·广东佛山·阶段练习）写出与圆和圆都相切的一条直线的方程： . 【答案】（或，填一条即可） 【解析】由已知得到两圆的圆心分别为,半径分别为. 因为，所以5，圆与圆相交， 则圆与圆的公切线有两条， 如图所示： 根据图象可以直接观察出一条公切线方程为， 直线的方程为， 根据图形的对称性知另一条公切线与直线关于直线对称. 易知直线与直线的交点为， 设另一条公切线的方程为， 即，原点到其距离为， 所以，则另一条公切线的方程为. 故答案为：（或，填一条即可） 11．（2024·高三·湖南衡阳·阶段练习）写出与圆和圆都相切的一条直线的方程 . 【答案】或或（答案不唯一） 【解析】由题设知，圆的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为， 所以，即两圆外离，故共有4条公切线； 又易知关于原点对称，且两圆半径相等，则有过原点的两条公切线和与平行的两条公切线. 设过原点的公切线为，则，即，解得或， 所以公切线为或； 设与平行的公切线为，且M，N与公切线距离都为1， 则，即， 所以公切线为. 故答案为：或或 12．（2024·高二·上海·期中）已知圆． (1)求直线被圆截得弦长； (2)已知圆过点且与圆相切于原点，求圆的方程． 【解析】（1）由可得，圆心为，半径为， 圆心到直线的距离为， 所以直线被圆截得弦长为. （2）设， 则，解得，； 因为圆与圆相切于原点，且圆过点， 所以，， 两边平方整理可得，平方可求， 代入可得，所以圆的方程为. 13．（2024·高二·广东中山·期中）已知圆过点，圆. (1)求圆的方程； (2)判断圆和圆的位置关系并说明理由；若相交，则求两圆公共弦的长. 【解析】（1）设圆的一般方程为：，把已知点代入得： ， 所以圆的方程为： （2）由（1）得圆的标准方程为：. ∴，，， ∵ 所以圆和圆相交， 设交点为A，B，直线AB方程为即： ， 所以到直线AB的距离所以. 两圆公共弦的长. 14．（2024·高二·江西南昌·阶段练习）已知圆，直线是圆与圆的公共弦所在直线方程，且圆的圆心在直线上． (1)求圆的方程； (2)过点分别作直线，交圆于四点，且，求四边形面积的最大值与最小值． 【解析】（1）由，可得其圆心为，半径， 点到的距离为， 故， 圆的圆心在直线上，设圆心， 由题意得，所以，解得，即， 到的距离， 所以的半径， 所以圆的方程：； （2）假设点到的距离为，到的距离为， 则， 因为，所以， 所以， 所以，所以四边形面积的最大值14，最小值． 15．（2024·高二·江西南昌·阶段练习）已知中，点，边上中线所在直线的方程为，边上的高线所在直线的方程为． (1)求边所在直线方程； (2)以为圆心作一个圆，使得三点中的一个点在圆内，一个点在圆上，一个点在圆外，并记该圆为圆，过直线上一点作圆的切线，切点为，当四边形面积最小时，求直线的方程. 【解析】（1）因为边上的高线所在直线的方程为， 且直线的斜率为，则，故直线的方程为，即， 联立直线和直线的方程可得，解得，即点， 设点，则线段的中点为， 由题意可得，解得， 即点，则，即； （2）因为， ， ， 则， 故圆的半径为， 所以，圆的方程为， 由与圆相切，故, 又，故取最小值，四边形面积最小， 则当为点到直线的距离时， 即时，四边形面积最小， 设，有， 解得，故，由与圆相切，故、、、四点共圆， 切该圆以为直径，圆心为，即，半径为， 即该圆方程为，即， 又圆的方程为，即， 两圆方程作差得， 即直线为. 16．（2024·高二·云南昆明·期中）已知圆C：和直线l：相切． (1)求圆C半径； (2)若动点M在直线上，过点M引圆C的两条切线MA、MB，切点分别为A、B． ①记四边形MACB的面积为S，求S的最小值； ②证明直线AB恒过定点． 【解析】（1）圆心到直线的距离， 所以圆C半径. （2）①由（1）知，圆C的方程为：，圆心，， 由MA、MB是的两条切线，得，，设， 则， 因此，当且仅当时取等号， 所以的最小值为. ②由①知，点，，，则四点共圆且以MC为直径， 此圆的方程为，整理得， 而圆C的方程为，，两圆方程相减得， 因此直线的方程为，对任意实数，当时，， 所以直线过定点. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$