第三章 圆锥曲线的方程 综合测评（配套试卷）-【状元桥·优质课堂】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）

18.解析(1)由于AF=6,AE1= 3,|AF1=2|AE1,即机器人和 4.B服团抛物线=女的焦点为1,0)，到双尚线广-号 电子狗同时到达点A,故A是失 1的浙近线31一y=0的距离为XX-复.故选 败点. √/(w3)2+1 (2)建立以A点为坐标原点，AD B项 为x轴，AB为y轴的平面直角坐标系，如图所示，则E(0,3), 5.D解析由椭圆的定义知AF|+|BF|+|AB=4a=16, F(0,6). 设机器人的速度为U,则电子狗的速度为2，电子狗失败的 所以a=又一吾-号所以=25，所以后=f-2 区域内任意点Q(x,y) 4,所以精周的方程为后十号1故选D项 可得+(y-3)≤T+(y-62 2v 6.C解析直线y=kx+1过定点(0,1)，只需该，点落在椭间内 即x2+(y一2)≤4(0≤x≤2)， 即失败点组成的区城为以M(0,2)为圆心，2为半径的半國 或精圆上，所以号十品<1，解得m心1，且加5故选C项 及其内部， D霸不坊授双南线方载为号-苦=1(a>0b>0,尉可 所以电子药失戴的区城面积S-号×4m=2(平方来)， 令Fc,0),B0,),直线FB:a十cy-c=0与渐近线y= a (3)当线段FP与(2)中所得的圆相切时，m∠AFP-M丽 2 垂直，所以一么，么=-1，即忙=ac,所以c-a=ac,即e 合中∠AFP=30,所以1AP=6tan30°=25， 。一1=0，所以1或。1（会去.故选D项 因为电子狗在线段FP上都能递脱，所以AP∈(2√3,18]. 8.C解析A(0,a),设P(1,),则Q(,一)，则kn 又因为AD=18,所以品的取值花周是（停，门 ”-4,ka=二头-“，kw·k阳=当-a,二y4=f 1 19.解析(1)不能出现ACLBC的情况.理由如下： +-1制所以 4 设A(1,0),B(,0),则·满足十nx一2=0，所以 x=一2.又点C的坐标为(0,1)， 故AC的斜率与BC的斜率之积为1.二1-一 ，所以不 青=，所以国C的离心=后√=》 能出现AC⊥BC的情况， 故选C项. (2)证明：BC的中点坐标为（受，号）小，可得BC的中垂线方 9.BD 服颈当m>0时，原方程整理得千十士-1，若mm 1 程为y一号=(-号)》 同负或=，则方程不表示精圆，A项错误：当m<0时，】 由(1)可得十=一m,所以AB的中垂线方程为x= 与上异号，方程表示双曲线，B项正确：当m=0时，方程是 受联立 又x十m2一2=0，可得 y=1,当≤0时，方程无解，C项错误：无论，n为何值， 方程都不可能表示抛物线，D项正确.故选BD项， 10.ABD解析将A(一2,4)代入抛物线方程可得p=4,因此抛 2· 物线方程为=一8x,所以准线方程为x=2,焦点坐标为 所以过A,B,C三点的國的圆心坐标为 1 (一2,0)，故A,B项正确：易知AF⊥x轴，所以B(一2， y=- 2 -,故C项错误：又周为AB1=8,所以Sm=号X8X 2 2=8,故D项正确.故选ABD项. 11.BC解析由椭圆的定义可知，点P的轨迹是以M,N为焦 故圆在y轴上裁得的弦长为2√P-(受)=3， 点的精圆，其方程为千+号-1。由题高可知若直线为“精型 即过A,B,C三，点的圆在y轴上截得的弦长为定值 直线”，则直线与该椭国有变点，对于A项，联立 第三章综合测评 x-2y+6=0, 并整理得2y-9y+12=0,由△=(-9)”一 1.C解析抛物线的焦点到准线的距离为=4.故选C项。 2D照团方程化为标准方程为号-苦=1，所以d=3, 4×2×12=一15<0，得直线x一2y十6=0不是“椭型直 (y=x, 9.所以2=a十b=12,所以c=2√3，所以2=4√3.故选 线”：对于B项，联立 D项. +号=1.郎得=号所以直线 3C服霸设精国C的标准方程为行+若-1a>6>0》.候题 (2x-y+1=0, x一y=0是“椭型直线”：对于C项，联立 意得，2a=10,所以a=5,又c=3,所以B=a-2=16,即 +芳1，并 b=4,因此椭园的短轴长是2b=8.故选C项. 整理得19.x2十16.x一8=0，由△=16-4×19×（一8）>0， ·292· 得直线2x一y十1=0是“椭型直线”：对于D项，联立 并整理得9x2十6m.x十2m一18=0. ① x+y-3=0, 号+号=1.并禁现得江-2+2=0，由4=（一2r △=36m-36(2m-18)=-36(m-18). 因为直线（与椭圆有公共点， 所以△≥0，解得-3V2≤m≤3√2. 4×7×24<0,得直线x十y一3=0不是“椭型直线”.故选 BC项. 故所求实数m的取值范图为[一3√2,3√②]. 12.解析双曲线的焦点为（士4,0），顶点为（士2,0），故椭圆的焦 (2)设直线1与椭圆的交点为A(1,为)，B(,边)，由①得 点为（士2,0，顶点为（士4,0，所以精圆方程为后+造-1 9n=2m-18 西十=一6 9 圈后+造- 故|AB=√I十k·√(x+x)尸-4x 18照团抛物线=子y的方程化为标准形式为少=红，焦点 √+（受）√-驷)-4x。 坐标为(1,0)，则得a2+B-1,又e=￡-5，易求得a =.一m+18, 3 a 吉，心=合，所以藏双南线的方程为5-普=1，渐近线 当m=0时，直线1被椭圆截得的弦长的最大值为√26. 方程为y=士2x 18暖团（1号+号=1的焦点坐标为（一3,0.3,0， 图5r-y=1y=士2x 因为双向我C后-苦=1a>0,b6>0)与号+号=1有相 14.贸团设抛物线的焦点为R,则PM=PF一令，所以 同的焦点.所以题商线C号芳=1o>06>0约袋友坐标 PA+PM=PA|+PF-豆，所以当且仅当A,P,F 为（一V3,0),(3,0),故c=3,在双曲线中+=2=3，① 三点共线时，|PA|+|PF1最小，且为|AF|=5,所以 又双询线C经过点P区，一②，所以是-是=l, ② PA+PM的最小值是号 解得心=1,6=2，所以双曲线C的方程为2-苦=1。 俗围号 (2)由题知直线斜率存在且不为0. 设直线1的方程为y=kx十m, 16.器团1)由双曲线方程知，渐近线为y一士合，焦点F(一心 由直线I与双曲线C交于A,B两，点，设A(GM),B(”) 0),F(c,0), (y=kx十m, 联立 :号-=消去y些理得-27+2mr+m+2=0. 则焦，点到渐近线的距离为 =b=1. 2 Va+6 所以莉十粒= -2km>西十2=-kn 为e==√1+ k2一22 k2-2' 3 M十为=(kx十m)+(k2十m)=k(x十x2)十2m 所以双南线C的标准方程为号一了=1 =×(-)+2m=2 k2-2: (2)由(1)知F(-2,0),F2(2,0), 所以FR是圈r+y=4的直径，所以∠FPF:=受， 所以= 2m 2 k2-21 又AB的中点坐标为(1,2)， 所以PFF+PFF=(PF-PFI)+2PF·PF= 4+2PF|·|PF1=|FF2P=42, =0= 2 所以PF1·PF,=4C,4C=26=2. 所以 所以k=1. 2 2 22 所以S号PE·PE=是X2=L. 19.解析(1)因为点M在半圆上，所以？= )+() 16.解团1)由题知PF=次十号，所以4=3+号，解得p 1,又>0，所以b=1. 2,所以抛物线C的标准方程为x2=4y. 当半圆在点M处的切线与直线AG平行时，△AGP的而积 (2)证明：设切线AN的方程为y=k(x一a),k≠0，联立 最大，此时OM⊥AG. x=4y, 、消去y可得x2一4软x十4h如=0，由题意得 国为=号所以如=号一反，所以=反 y=k(x-a), △=16k2-16ka=0,即a=k,所以切点N(2a,a) 所以南线C的方程为苦+2=10>0和F+y=10<0. 又F(0,1),所以AF.AN=(-a,1)·(a,d2)=0. (2)证明：由题意得C(1,√2)，D(一1,2)，设P(,) 所以∠FAN=90°，故以FN为直径的圆过点A. 3 y=gx+m. 期线公方拉为是号◆ 17.解析(1)由 +号1 消去y, ·293· 直线伽价粒为是片◆心 10,AD盛团直线OP的斜幸为名，直线1的斜率为-合，直 得=②士业，即②士丛，0： 线l的方程为ax十by=d2十？，又P(a,b)在圆外，所以a十 √2-为 N2-% B>r2,故m∥1，圆心(0,0)到直线at十y=2的距离d= 又A(一1,0).B(1,0),+=1,所以6=1-， L<父=r,故m与圆相交.故选AD项. Va+r 以+-经++- 11.AC解析建立空间直角坐标系，如图 4 所示，设AB=2,平面CEF的法向量为 =2m-2%+2)+2+2y-2) n=(x,y,).图为E,F分别是AD, (w2-3)月 CD的中点，所以EF∥AC,又EFC -42+86-8②h+4= 平面CEF,A,C中平面CEF,所以 (W2-为)7 AC∥平面CEF,故A项正确：C(0, 故|AE+BF为定值. 2,0),E(1,0,2),F(0,1,2),B(2,2 2),D(0,0,0),所以DB=(2,2,2), 模块综合测评 E求=(-1,1,0)，C市=(0，-1,2)，所以 1.A贸a+b1.-1,2,由(a+b/e得子=码- 二4 n·EF=0, 解得m=2.故选A项. n.C示=0. 2.C解析因为直线3x十4y-12=0与直线6.x十8十5=0平 行，所以|PQ|的最小值就是两平行线间的距离，即d= 令=2则所以=，20周为丽=2,22，所 器-品发选C项 以DB与n不平行，所以BD不垂直于平面CEF,故B项错 3.B解析依题意可知，a=m+12,?=4一m2,所以c= 误：C正-+D元+D正-+D成+号AA=Di+ √G+序=√16=4.所以焦距2=8.故选B项. DD-元，故C项正确：DC-(0,2,0),设点D到平面CEF 4.D解析由椭圆定义知F,A十|FA=F,B1十FB= 2a=10,所以|FA|=10-|F2A|=4,|FB|=|AB1 n 南衣 的距离为d,则d=DC,n。4 FA=2.故F2B=10一FB=8.故选D项. (-2,0,一2)，设点B到平面(CEF的距离为d2,则d山 5.B解析由题意知点A(-1,0),B(1,0)为该圆一条直径的 两个端点，所以PA2+PB=4,图为(PA+PB)≤ BCm_40-2-2≠号，故D项辑误.故选AC项 n 3 2(|PA2+|PB1)=8,所以PA+PB≤2√2，当且仅当 12服团由题意可得，C的渐近线方程为y=士合，结合渐近 PA=|PB=√2时，等号成立，故|PA十PB的最大值是 2√2.故选B项. 线的特点知，只需0<合<2，即警<1可满足条件“直线y 6.D解析圆C的间心为(0,0)，半径r=2,所以圆心C到直线 1的距离d=a,因为圆C上的点到直线1的最小距离为2， 2x与C无公共点”所以e=台√什语<币=5， 又因为e>1,所以1<e≤5，故答案可填2（满足1<e≤⑤ 所以圆心到直线1的距离d=2+=4,所以a=4,所以a=士42 皆可) 故选D项， 答案2（答案不唯一） 7.C解桥C市P=1CA+A方+币=C4+Ai:+ 13.解扬圆的方程可化为(x一1)产+y=2,可知圆心为C(1, BD*+2CA.AB+2AB.BD+2CA.BD=1+1+1+ 0.设A(侵，1)，则以A为中点的孩所在的直线1即为经过 0+0+2×1×1·c0s120°=2，所以CD=√2.故选C项. 8.D解析由题意作出焦点三角形及渐近 点A且垂直于AC的直线.又知k 0-1 1- 一2，所以 线，如图所示。由双曲线的渐近线方程为 y=士台，得直线PR:=号十e k=日，所以直线1的方程为y-1=2(x一)，即2红 4y+3=0. 原点O到直线PE的距离d=a a+ 答案2x-4y十3=0 a,因此OM=a,又因为OF,|=c,所以|FM=b,则根据 14.解析如图，以O为原，点建立空间 几何图形的性质可得|F,P|=2h,FP|=2a,根据双曲线的 直角坐标系Oxy%.设OD=OS= 定义得1F1P1-FP1=2a=2h-2a,因此可得b=2a,即？ OA=OB=OC=a,A(a.0,0), 4址=-d,所以f-后=5，即一后.故选D项 B(0,a,0),C(-a,0,0),P(0, 9.ACD解析(x,y)关于x轴的对称点为(x,一y),关于y轴的 对称点为（一Ty),(x,y).(x,一y),(一x,y)同时满足方程 受，号），从而Ci=(2a,0.0, 若-文=0,4x+91y=1,+=2,A,C,D项正确2y A泸=(-a,一号，号)，C成=(a,a,0.设平面PAC的法向 上=0，脚y=号2，是开口向上的抛物线，关于y轴对称，不 关于，x轴对称，B项错误.故选ACD项. 量为n=(,由nC=0 n.AP=0 可以求得n=(0,1,1),则 ·294·第三章综合测评 答案见P (时间：120分钟满分：150分) 四 题号 二 三 总分 15 16 17 18 19 得分 裂 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1.抛物线y=8x的焦点到准线的距离是 如 A.1 B.2 C.4 D.8 2.双曲线3.x2-y2=9的焦距为 ( A.6 B.26 C.23 D.43 3.已知椭圆C的两个焦点分别为F(一3,0)，F2(3,0),点P为椭圆C上一点，且PF,|十|PF:|=10,那么 椭圆C的短轴长是 A.6 B.7 C.8 D.9 4.抛物线y=4x的焦点到双曲线x2一 =1的渐近线的距离是 3 长 热 A号 B 2 C.1 D.3 5已知R,R为椭圆后+芳-1。>6>0)的两个焦点，过R作椭圆的弦AB,若△AF,B的周长为16，新 圆的离心率为，则椭圆的方程是 ( A若+芳- B后+1 爱 毁 n后+号-1 6直线)广：十1与椭圆号+片-1总有公共点，侧m的取值范围是 布 A.(1,+∞) B.(0,1)U(1,+∞) C.[1,5)U(5,+∞) D.(0,1)U(1,5) 7.设双曲线的一个焦点为F,虚轴的一个端点为B,如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双 原 曲线的离心率为 () A.√② B.√3 C1+3 2 D1+5 2 &椭圆C:兰+后=1o>6>0的上顶点为A,点P-.Q均在C上，且关于x轴对称，若直线AP,AQ的斜率 之积为号，则C的离心率为 2 c ·281* 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9.已知方程m.x2+y2=1(m,n∈R),则 (） A.当mn>0时，方程表示椭圆 B.当mn<0时，方程表示双曲线 C.当n=0时，方程表示两条直线 D.方程表示的曲线不可能为抛物线 10.已知点A(一2,4)在抛物线y=一2x(p>0)上，抛物线的焦点为F,延长AF与抛物线相交于另一点 B,O为坐标原点，则下列结论中正确的是 () A.抛物线的准线方程为x=2 B.抛物线的焦点坐标为（一2,0） C.点B的坐标为(-2，一2) D.△OAB的面积为8 11.已知点M(一1,0)和N(1,0),若某直线上存在点P,使得PM+|PN=4,则称该直线为“椭型直线” 下列直线中是“椭型直线”的是 () A.x-2y+6=0 B.x-y=0 C.2x-y+1=0 D.x+y-3=0 选择题 题号 2 6 10 11 答题卡 答案 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中横线上） 12以双前线等一益一1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为 13已知双售线- =1(。>0.6>0)的一个焦点与抛物线x=子y的焦点重合，且双曲线的离心率等于5，则 该双曲线的方程为 ,渐近线方程为 14.已知点P是抛物线子=2x上的动点，点P在y轴上的射影是M,点A的坐标是（号，4），则PA十PM的最 小值是 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.13分已知双曲线C的方程为号-若-1。>0,6>0)，其左，右熊点分别为R,R,离心率。=2，双 曲线C的一个焦点到渐近线的距离为1. (1)求双曲线C的标准方程： (2)设P是双曲线C与圆x+y=4在第一象限的交点，求△PFF:的面积. ·282+ 16.(15分)已知抛物线C:x=2py(p>0)的焦点为F,点P(xa,3)为抛物线C上一点，且点P到焦点F 的距离为4，过A(a,0)作抛物线C的切线AV(斜率不为0)，切.点为V. (1)求抛物线C的标准方程； (2)求证：以FVN为直径的圆过点A. 17.(15分)尼知椭厨+号-1及直线4一号十m (1)当直线1与该椭圆有公共点时，求实数m的取值范围： (2)求直线（被此椭圆截得的弦长的最大值. ·283+ 18（17分)已知双曲线C话一苦=1。>0,6>0)与+号-1有相同的焦点，且经过点P区.一②. (1)求双曲线C的方程： (2)若直线1与双曲线C交于A,B两点，且AB的中点坐标为(1,2)，求直线1的斜率. 19.(17分)尼知半椭圆号+芹=1(>0>6>0)和半圆r+了=公(g<0)组成曲线C如图所示，半椭圆 内切于矩形ABCD,CD与y轴交于点G,点P是半圆上异于A,B的任意一点当点P位于点M写 )处时，△GP的面积最大 (1)求曲线C的方程： (2)连接PC,PD分别交AB于点E,F,求证：|AE+|BF2为定值. ·284*