第10讲 直线与圆的位置关系（十三大考点）-【暑假自学课】2024年新高二数学暑假提升精品讲义（苏教版2019）

第10讲 直线与圆的位置关系 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1、理解并掌握直线与圆的位置关系的判断． 2、理解并掌握直线与圆相切的问题． 3、理解并掌握直线与圆的相交问题． 4、理解并掌握直线与圆的综合应用问题. 知识点一：直线与圆的位置关系 1、直线与圆的位置关系： （1）直线与圆相交，有两个公共点； （2）直线与圆相切，只有一个公共点； （3）直线与圆相离，没有公共点． 2、直线与圆的位置关系的判定： （1）代数法： 判断直线与圆C的方程组成的方程组是否有解．如果有解，直线与圆C有公共点． 有两组实数解时，直线与圆C相交； 有一组实数解时，直线与圆C相切； 无实数解时，直线与圆C相离． （2）几何法： 由圆C的圆心到直线的距离与圆的半径的关系判断： 当时，直线与圆C相交； 当时，直线与圆C相切； 当时，直线与圆C相离． 知识点诠释： （1）当直线和圆相切时，求切线方程，一般要用到圆心到直线的距离等于半径，记住常见切线方程，可提高解题速度；求切线长，一般要用到切线长、圆的半径、圆外点与圆心连线构成的直角三角形，由勾股定理解得． （2）当直线和圆相交时，有关弦长的问题，要用到弦心距、半径和半弦构成的直角三角形，也是通过勾股定理解得，有时还用到垂径定理． （3）当直线和圆相离时，常讨论圆上的点到直线的距离问题，通常画图，利用数形结合来解决． 知识点二：圆的切线方程的求法 1、点在圆上，如图． 法一：利用切线的斜率与圆心和该点连线的斜率 的乘积等于，即． 法二：圆心到直线的距离等于半径． 2、点在圆外，则设切线方程：，变成一般式：，因为与圆相切，利用圆心到直线的距离等于半径，解出． 知识点诠释： 因为此时点在圆外，所以切线一定有两条，即方程一般是两个根，若方程只有一个根，则还有一条切线的斜率不存在，务必要把这条切线补上． 常见圆的切线方程： （1）过圆上一点的切线方程是； （2）过圆上一点的切线方程是 ． 知识点三：求直线被圆截得的弦长的方法 1、应用圆中直角三角形：半径，圆心到直线的距离，弦长具有的关系，这也是求弦长最常用的方法． 2、利用交点坐标：若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间的距离公式计算弦长． 考点一：不含参数的直线与圆的位置关系 【典例1-1】（2024·高二·陕西渭南·期末）已知直线和圆，则直线l与圆C（    ） A．相切 B．相离 C．相交 D．相交且过圆心 【典例1-2】（2024·高二·广西南宁·阶段练习）直线与圆的位置关系为（ ） A．相交且过圆心 B．相交且不过圆心 C．相切 D．相离 【变式1-1】（2024·高二·浙江绍兴·期末）已知直线，圆，则直线与圆的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．以上都有可能 【变式1-2】（2024·高二·福建南平·期中）直线与圆的位置关系是（    ） A．相交且过圆心 B．相切 C．相离 D．相交但不过圆心 考点二：含参数的直线与圆的位置关系 【典例2-1】（2024·高二·浙江·期中）已知直线，圆.则直线与圆的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．与a有关 【典例2-2】（2024·高二·广东惠州·阶段练习）直线与圆的位置关系是（    ） A．相离 B．相交 C．相切 D．无法确定 【变式2-1】（2024·高二·广东梅州·阶段练习）已知圆，则直线与圆C（   ） A．相交 B．相切 C．相离 D．相交或相切 【变式2-2】（2024·高二·上海·阶段练习）已知实数满足，则直线与圆的位置关系是（    ） A．相离 B．相切 C．相交但直线不过圆心 D．相交且直线过圆心 【变式2-3】（2024·高二·湖南长沙·期末）已知在圆外，则直线与圆的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．以上皆有可能 考点三：由直线与圆的位置关系求参数 【典例3-1】（2024·高二·河南·阶段练习）若直线与圆相切，则圆的半径为（    ） A．2 B．4 C． D．8 【典例3-2】（2024·高二·河南濮阳·阶段练习）已知直线与圆和圆都相切，则实数的值为（   ） A． B． C． D．或 【变式3-1】（2024·高二·四川达州·期中）“”是直线和圆相交的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式3-2】（2024·高二·湖北孝感·期中）已知直线：和圆：，圆上恰有三个点到直线的距离为1，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】（2024·全国·模拟预测）已知直线，圆上恰有3个点到直线的距离都等于1，则（    ） A．1或 B．－1或 C．或－1 D．1或－1 【变式3-4】（2024·高二·湖南长沙·开学考试）若直线与曲线有且仅有两个不同的交点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 考点四：求直线与圆的交点坐标 【典例4-1】（2024·高二·浙江嘉兴·期末）直线与曲线的交点个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【典例4-2】（2024·江苏宿迁·高二统考期中）直线与曲线的交点个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式4-1】（2024·高二课时练习）给定四条曲线：①，②，③，④，其中与直线仅有一个交点的曲线是（    ） A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 考点五：求过圆上一点的切线方程 【典例5-1】（2024·高二·福建漳州·期末）圆在点处的切线方程为 . 【典例5-2】（2024·高三·湖北武汉·期末）若点在圆上，则过的圆的切线方程为 . 【变式5-1】（2024·高二·北京延庆·期末）已知圆，求经过点的圆的切线方程 ． 【变式5-2】（2024·高二·重庆·阶段练习）已知过点的直线与圆相切，则直线l的方程为 . 考点六：求过圆外一点的切线方程 【典例6-1】（2024·高二·河北张家口·期中）已知和点，则过点的的所有切线方程为 . 【典例6-2】（2024·高二·上海·期末）过点作圆的切线，则切线方程为 . 【变式6-1】（2024·全国·模拟预测）对于任意的，且，均有定直线与圆相切，则直线的方程为 ． 【变式6-2】（2024·高二·海南省直辖县级单位·期末）过点作圆的切线，则切线的斜率为 . 【变式6-3】（2024·高二·四川成都·阶段练习）一束光线从射出，经x轴反射后，与圆相切线，则反射后光线所在直线方程 . 【变式6-4】（2024·高二·广东·阶段练习）从点发出的光线，经轴反射后与圆：相切，则反射光线所在直线的一般式方程为 ． 考点七：求切线长 【典例7-1】（2024·高二·北京·期中）已知点，点在圆上，则的取值范围是 ；若与圆相切，则 . 【典例7-2】（2024·高二·山西朔州·期末）已知圆，，过点向圆引两条切线、，、为切点，则 . 【变式7-1】（2024·高二·福建厦门·期末）已知圆和圆，过动点分别作圆，圆的切线，（A，为切点），且，则的最大值为 . 【变式7-2】（2024·高二·内蒙古锡林郭勒盟·期末）过点作圆O：的两条切线，则两条切线夹角的正弦值为 ． 【变式7-3】（2024·高二·广东广州·期末）已知圆：，过点作圆的切线，切点为，则 . 考点八：已知切线求参数 【典例8-1】（2024·高二·天津津南·期末）点P是直线上的动点，过点P作圆的两条切线PA和PB，A和B是切点，的最大值是，则r的值 ． 【典例8-2】（2024·高二·上海徐汇·期中）已知圆与直线相切，则 . 【变式8-1】（2024·高二·浙江杭州·期中）若直线与曲线有且只有一个公共点，则实数m的取值范围是 ． 【变式8-2】（2024·天津南开·二模）若直线与圆相切，则 . 考点九：求弦长问题 【典例9-1】（2024·高二·上海黄浦·阶段练习）已知直线l：，圆C：，则直线l被圆C所截得的线段的长为 ． 【典例9-2】（2024·高二·北京·阶段练习）直线被圆截得的弦长为 . 【变式9-1】（2024·高二·江苏泰州·期末）直线被圆截得的弦长为 【变式9-2】（2024·高二·陕西西安·期末）直线被圆截得的弦长为 . 【变式9-3】（2024·高二·山东济南·期末）已知圆，直线，直线l被圆C截得的最短弦长为 ． 考点十：已知弦长求参数 【典例10-1】（2024·高二·四川眉山·阶段练习）直线与圆相交于两点，且，则实数的值等于 ． 【典例10-2】（2024·高二·上海松江·阶段练习）已知直线与圆相交于两点，且，则实数 . 【变式10-1】（2024·高二·天津和平·期末）已知直线和圆相交于两点；弦长，则 ． 【变式10-2】（2024·高二·云南昆明·阶段练习）设直线与圆相交于A，B两点，且弦AB的长为2，则实数m的值是 ． 【变式10-3】（2024·高二·贵州贵阳·阶段练习）若直线：与圆：相交于两点，，则的取值范围为 . 考点十一：切点弦问题 【典例11-1】（2024·高二·云南昆明·期末）过点作圆的切线，，则切线长为 ；过切点A，B的直线方程为 ． 【典例11-2】（2024·高二·广东广州·期中）过点作圆的两条切线，设两切点分别为A、B，则直线的方程为 . 【变式11-1】（2024·全国·模拟预测）是直线上的一个动点，是圆上的两点，若均与圆相切，则弦长的最小值为 ． 【变式11-2】（2024·高二·四川南充·阶段练习）已知圆，点为轴上一个动点，过点作圆的两条切线，切点分别为，则的最小值为 . 考点十二：最值问题 【典例12-1】（2024·河南·模拟预测）圆上的点到直线距离的取值范围是（    ）. A． B． C． D． 【典例12-2】（2024·高二·浙江杭州·阶段练习）点在圆上运动，则的取值范围（    ） A． B． C． D． 【变式12-1】（2024·高二·天津·期末）圆上的点到直线的最大距离是（    ）． A．36 B． C．18 D． 【变式12-2】（2024·高二·湖北武汉·期末）直线分别与轴，轴交于两点，点在圆上运动，则面积的最大值为（    ） A．8 B． C．14 D． 【变式12-3】（多选题）（2024·高二·全国·专题练习）已知圆，点在直线上运动，直线与圆相切，切点为，则下列说法错误的是（ ） A．的最小值为2 B．最小时，弦长为 C．最小时，弦所在直线的斜率为 D．四边形的面积最小值为 【变式12-4】（多选题）（2024·高二·湖南常德·阶段练习）已知实数，满足方程，则下列说法错误的是（    ） A．的最大值为 B．的最大值为 C．的最大值为 D．的最大值为 考点十三：三角形面积问题 【典例13-1】（2024·高二·福建厦门·期中）已知直线与交于，两点，写出满足“面积为”的的一个值 . 【典例13-2】（2024·高二·天津武清·期中）已知直线与 交于A，B两点，写出满足的面积为的实数m的一个值 . 【变式13-1】（2024·江西·模拟预测）已知圆的方程为，若直线与圆相交于两点，则的面积为 . 【变式13-2】（2024·四川成都·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知直线与圆交于A，B两点，若钝角的面积为，则实数a的值是 ． 【变式13-3】（2024·全国·模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，过点的直线l与圆相交于M，N两点，若，则直线l的斜率为 . 1．（2024·高二·安徽宿州·期中）已知圆C：，直线：，则直线与圆C的位置关系为（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定 2．（2024·高二·广东·期末）直线与圆的位置关系为（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 3．（2024·高二·江苏扬州·期末）已知k为实数，则直线与圆的位置关系为（   ） A．相交 B．相离 C．相切 D．无法确定 4．（2024·高二·重庆·阶段练习）设为直线上的动点，若圆上存在两点A，B，使，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（2024·高二·湖南长沙·开学考试）若圆上恒有4个点到直线的距离为1，则实数r的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（2024·广东·一模）已知直线与直线相交于点M，若恰有3个不同的点M到直线的距离为1，则（    ） A． B． C． D． 7．（2024·高二·福建泉州·阶段练习）若直线与圆相切，则实数的值为（    ） A．或 B．1或 C．或3 D．或 8．（2024·高二·上海青浦·期中）在平面直角坐标系中，点，若点满足，则的最小值为（    ） A．4 B． C． D． 9．（2024·高二·广东深圳·阶段练习）已知为圆上两点，且，点在直线上，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 10．（2024·高二·北京·期中）已知点是圆上一点，则点到直线的距离的最小值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 11．（2024·高二·北京东城·期中）已知圆，直线为上的动点，过点作圆的切线，，且切点为，，最小值为（    ） A．2 B． C．3 D．4 12．（2024·北京西城·模拟预测）已知动点在直线上，过点作圆的一条切线，切点为，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D．2 13．（2024·高二·河南·阶段练习）已知圆经过，两点，且圆心在直线上，若圆上的点到直线的最大距离为，则＝（    ） A．－4或－1 B．4或－1 C．－4或1 D．4或1 14．（多选题）（2024·高二·海南省直辖县级单位·期中）已知实数x和y满足，则下列说法正确的是（ ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最小值为 D．的最大值为 15．（2024·高三·江苏南通·开学考试）在平面直角坐标系中，已知圆过点，为圆上一点，且弧的中点为，则点的坐标为 . 16．（2024·高二·重庆永川·期中）经过圆上一点且与圆相切的直线的一般方程为 ． 17．（2024·高二·江苏盐城·期中）圆在点处切线的一般式方程为 ． 18．（2024·高二·新疆·期中）经过点且与圆相切的直线的一般方程为 . 19．（2024·高二·广东东莞·期末）一条光线从点射出，经直线反射后与圆C：相切，则反射光线所在直线的方程可以为 ．（写出满足条件的一条直线方程即可） 20．（2024·高二·重庆黔江·阶段练习）已知直线经过点，圆，若直线与圆C相切，则直线的方程为 21．（2024·高二·天津·期末）已知圆，直线，过直线上一点作圆的两条切线，切点分别为，则四边形面积的最小值为 . 22．（2024·高二·北京·期中）已知圆C：，直线m的倾斜角为且与圆C相切，则切线m的方程为 ． 23．（2024·高二·福建泉州·期中）已知圆（）与轴相切，则 . 24．（2024·高二·四川凉山·阶段练习）瑞士著名数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上，这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”.在非等边中，，点坐标为，点坐标为，且其“欧拉线”与圆：（）相切，则圆的半径 . 25．（2024·高三·四川成都·期末）写出经过坐标原点，且被圆截得的弦长为的直线的方程 . 26．（2024·高二·四川成都·阶段练习）直线被圆C：截得的弦长为 . 27．（2024·高二·四川成都·期中）已知为直线上一动点，过点作圆的两条切线，切点分别为，则点到直线的距离的最大值为 ． 28．（2024·高二·河北·期中）过点作圆：的两条切线，切点分别为，，则直线的方程为 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第10讲 直线与圆的位置关系 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1、理解并掌握直线与圆的位置关系的判断． 2、理解并掌握直线与圆相切的问题． 3、理解并掌握直线与圆的相交问题． 4、理解并掌握直线与圆的综合应用问题. 知识点一：直线与圆的位置关系 1、直线与圆的位置关系： （1）直线与圆相交，有两个公共点； （2）直线与圆相切，只有一个公共点； （3）直线与圆相离，没有公共点． 2、直线与圆的位置关系的判定： （1）代数法： 判断直线与圆C的方程组成的方程组是否有解．如果有解，直线与圆C有公共点． 有两组实数解时，直线与圆C相交； 有一组实数解时，直线与圆C相切； 无实数解时，直线与圆C相离． （2）几何法： 由圆C的圆心到直线的距离与圆的半径的关系判断： 当时，直线与圆C相交； 当时，直线与圆C相切； 当时，直线与圆C相离． 知识点诠释： （1）当直线和圆相切时，求切线方程，一般要用到圆心到直线的距离等于半径，记住常见切线方程，可提高解题速度；求切线长，一般要用到切线长、圆的半径、圆外点与圆心连线构成的直角三角形，由勾股定理解得． （2）当直线和圆相交时，有关弦长的问题，要用到弦心距、半径和半弦构成的直角三角形，也是通过勾股定理解得，有时还用到垂径定理． （3）当直线和圆相离时，常讨论圆上的点到直线的距离问题，通常画图，利用数形结合来解决． 知识点二：圆的切线方程的求法 1、点在圆上，如图． 法一：利用切线的斜率与圆心和该点连线的斜率 的乘积等于，即． 法二：圆心到直线的距离等于半径． 2、点在圆外，则设切线方程：，变成一般式：，因为与圆相切，利用圆心到直线的距离等于半径，解出． 知识点诠释： 因为此时点在圆外，所以切线一定有两条，即方程一般是两个根，若方程只有一个根，则还有一条切线的斜率不存在，务必要把这条切线补上． 常见圆的切线方程： （1）过圆上一点的切线方程是； （2）过圆上一点的切线方程是 ． 知识点三：求直线被圆截得的弦长的方法 1、应用圆中直角三角形：半径，圆心到直线的距离，弦长具有的关系，这也是求弦长最常用的方法． 2、利用交点坐标：若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间的距离公式计算弦长． 考点一：不含参数的直线与圆的位置关系 【典例1-1】（2024·高二·陕西渭南·期末）已知直线和圆，则直线l与圆C（    ） A．相切 B．相离 C．相交 D．相交且过圆心 【答案】A 【解析】由圆，可得圆心，半径， 则圆心到直线的距离为，即， 所以直线与圆相切. 故选：A. 【典例1-2】（2024·高二·广西南宁·阶段练习）直线与圆的位置关系为（ ） A．相交且过圆心 B．相交且不过圆心 C．相切 D．相离 【答案】C 【解析】圆，即， 其圆心坐标为，半径为， 圆心到直线的距离， 直线与圆的位置关系为相切. 故选：C 【变式1-1】（2024·高二·浙江绍兴·期末）已知直线，圆，则直线与圆的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．以上都有可能 【答案】C 【解析】因为圆，所以， 半径，因为点到直线的距离， 所以直线与圆的位置关系是相离. 故选：C. 【变式1-2】（2024·高二·福建南平·期中）直线与圆的位置关系是（    ） A．相交且过圆心 B．相切 C．相离 D．相交但不过圆心 【答案】D 【解析】圆的圆心为，半径， 则圆心到直线的距离， 因为，所以直线与圆相交但不过圆心， 故选：D. 考点二：含参数的直线与圆的位置关系 【典例2-1】（2024·高二·浙江·期中）已知直线，圆.则直线与圆的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．与a有关 【答案】A 【解析】因为圆的圆心为，半径为， 则圆心到直线的距离为， 所以直线与圆的位置关系是相交. 故选：A 【典例2-2】（2024·高二·广东惠州·阶段练习）直线与圆的位置关系是（    ） A．相离 B．相交 C．相切 D．无法确定 【答案】B 【解析】由，所以直线恒过定点， 因为，所以点在圆的内部， 所以直线与圆相交. 故选：B. 【变式2-1】（2024·高二·广东梅州·阶段练习）已知圆，则直线与圆C（   ） A．相交 B．相切 C．相离 D．相交或相切 【答案】A 【解析】可化为， 即该圆圆心为，半径为， 由可得该直线过定点， 有，即该定点必在圆内， 故两者位置关系为相交. 故选：A. 【变式2-2】（2024·高二·上海·阶段练习）已知实数满足，则直线与圆的位置关系是（    ） A．相离 B．相切 C．相交但直线不过圆心 D．相交且直线过圆心 【答案】C 【解析】圆心到直线的距离为 ，即 故直线与圆相交，圆心代入直线方程得到，不符合题意. 故选：C 【变式2-3】（2024·高二·湖南长沙·期末）已知在圆外，则直线与圆的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．以上皆有可能 【答案】A 【解析】由题意圆的圆心，半径， 由在圆外，得， 则圆心到直线的距离， 故直线与圆相交. 故选：A. 考点三：由直线与圆的位置关系求参数 【典例3-1】（2024·高二·河南·阶段练习）若直线与圆相切，则圆的半径为（    ） A．2 B．4 C． D．8 【答案】C 【解析】依题意，，解得（负值舍），所以圆的半径为. 故选:C. 【典例3-2】（2024·高二·河南濮阳·阶段练习）已知直线与圆和圆都相切，则实数的值为（   ） A． B． C． D．或 【答案】D 【解析】因为直线与圆相切，所以，解得， 由直线和圆相切， 所以或，解得或， 故实数的值为或. 故选：D. 【变式3-1】（2024·高二·四川达州·期中）“”是直线和圆相交的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】圆的圆心，半径为， 若直线和圆相交， 则，解得， 所以“”是直线和圆相交的必要不充分条件. 故选：B. 【变式3-2】（2024·高二·湖北孝感·期中）已知直线：和圆：，圆上恰有三个点到直线的距离为1，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为圆：上恰有三个点到直线：的距离为1， 所以与直线距离为1的两条平行线中一条与圆相交，一条与圆相切， 又因为圆的半径为3，所以圆心到直线距离为2，即，解得. 故选：B. 【变式3-3】（2024·全国·模拟预测）已知直线，圆上恰有3个点到直线的距离都等于1，则（    ） A．1或 B．－1或 C．或－1 D．1或－1 【答案】D 【解析】如图所示，圆的半径为2.设点在圆上运动. 圆心到直线的距离，令，则. ①当时，与直线平行且距离等于1的直线是，， 与圆的三个交点是，，，满足题意. ②当时，与直线平行且距离等于1的直线是，，与圆的三个交点是，，，满足题意. 综上，. 故选：D. 【变式3-4】（2024·高二·湖南长沙·开学考试）若直线与曲线有且仅有两个不同的交点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】直线过定点， 又曲线可化为：，， 画出直线与曲线图象如图所示： 数形结合可得直线在，，，处产生临界条件， 设直线，，，的斜率分别为 则 设直线的方程为， 圆心到直线的距离为，解得舍去或， 要使两图象有个不同交点，则 故选：A． 考点四：求直线与圆的交点坐标 【典例4-1】（2024·高二·浙江嘉兴·期末）直线与曲线的交点个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【解析】因为曲线就是或，表示一条直线与一个圆， 联立，解得，即直线与直线有一个交点；此时，没有意义. 联立，解得或，所以直线与有两个交点. 所以直线与曲线的交点个数为2个. 故选：B 【典例4-2】（2024·江苏宿迁·高二统考期中）直线与曲线的交点个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【解析】联立直线方程和曲线方程可得可得， 即，解得或，故方程组的解为或. 故选：C 【变式4-1】（2024·高二课时练习）给定四条曲线：①，②，③，④，其中与直线仅有一个交点的曲线是（    ） A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 【答案】D 【解析】圆心到直线的距离为等于半径，故①满足题意． 联立方程，整理得，．△，故②不满足题意． 联立方程．整理得，．△，故③满足题意． 联立方程，整理得，，△．故④满足题意． 故选：D． 考点五：求过圆上一点的切线方程 【典例5-1】（2024·高二·福建漳州·期末）圆在点处的切线方程为 . 【答案】 【解析】由题意可知：圆的圆心为， 因为点在圆上，故切线必垂直于切点与圆心连线， 而切点与圆心连线的斜率为，故切线的斜率为， 故切线方程为：，即. 故答案为： 【典例5-2】（2024·高三·湖北武汉·期末）若点在圆上，则过的圆的切线方程为 . 【答案】 【解析】因为点在圆上， 所以过的圆的切线方程和垂直， 因为，，所以，所以切线方程斜率为， 所以切线方程为，即. 故答案为： 【变式5-1】（2024·高二·北京延庆·期末）已知圆，求经过点的圆的切线方程 ． 【答案】 【解析】由题可知切线的斜率存在，设切线方程为，即， ，解得，所以切线方程为. 故答案为：. 【变式5-2】（2024·高二·重庆·阶段练习）已知过点的直线与圆相切，则直线l的方程为 . 【答案】 【解析】由圆的方程知：，即， 将代入方程可知，点在圆上，且， 所以，因为直线与圆相切，所以直线与直线垂直， 所以直线的斜率， 所以直线的方程为，即. 故答案为： 考点六：求过圆外一点的切线方程 【典例6-1】（2024·高二·河北张家口·期中）已知和点，则过点的的所有切线方程为 . 【答案】或 【解析】由圆的方程可得圆心，半径， 由题意可得圆心到切线的距离等于半径， 由点代入圆的方程可得，所以点在圆外， 所以当切线的斜率不存在时，满足题意的直线方程为； 当斜率存在时，设为， 则过点的切线方程为，即 所以，解得， 此时，切线方程为， 综上，过点的的所有切线方程为或. 故答案为：或. 【典例6-2】（2024·高二·上海·期末）过点作圆的切线，则切线方程为 . 【答案】或 【解析】当直线斜率存在时，设切线的点斜式方程为：，圆心到直线的距离为， 化简得到，故； 另一条应为不存在的情况，即满足题意. 故答案为：或. 【变式6-1】（2024·全国·模拟预测）对于任意的，且，均有定直线与圆相切，则直线的方程为 ． 【答案】或 【解析】由得， 圆心，半径，显然直线与圆相切， 注意到圆心在定直线上，设直线的倾斜角为， 则另一条定直线的倾斜角为，且该直线过定点， 故该直线为，即．综上，直线为或． 故答案为：或 【变式6-2】（2024·高二·海南省直辖县级单位·期末）过点作圆的切线，则切线的斜率为 . 【答案】或 【解析】当直线斜率不存在时，直线为， 此时圆心到的距离，故不符， 当直线斜率存在时，设直线为， 即， 此时圆心到的距离， 即，即或. 故答案为：或. 【变式6-3】（2024·高二·四川成都·阶段练习）一束光线从射出，经x轴反射后，与圆相切线，则反射后光线所在直线方程 . 【答案】或 【解析】由关于x轴对称点为，若反射光线斜率不存在，即显然满足相切关系； 若反射光线斜率存在，令反射光线为，即， 圆心且半径为1，根据相切关系，则，即， 所以，将参数代入整理得反射光线为. 综上，所求直线方程为或. 故答案为：或 【变式6-4】（2024·高二·广东·阶段练习）从点发出的光线，经轴反射后与圆：相切，则反射光线所在直线的一般式方程为 ． 【答案】 【解析】点关于轴的对称点为， 由题可知反射光线所在的直线斜率存在且小于0， 设过与圆：相切的直线方程为， 由题意得，得， 所以或（舍）， 故反射光线所在直线方程为． 故答案为： 考点七：求切线长 【典例7-1】（2024·高二·北京·期中）已知点，点在圆上，则的取值范围是 ；若与圆相切，则 . 【答案】 【解析】圆标准化为，圆心，半径，， 则，所以的取值范围是， 当与圆相切时，可知. 故答案为：； 【典例7-2】（2024·高二·山西朔州·期末）已知圆，，过点向圆引两条切线、，、为切点，则 . 【答案】 【解析】圆的圆心为坐标原点，半径长为，由已知可得， 由圆的几何性质可得，由勾股定理可得. 故答案为：. 【变式7-1】（2024·高二·福建厦门·期末）已知圆和圆，过动点分别作圆，圆的切线，（A，为切点），且，则的最大值为 . 【答案】 【解析】 如图，连接，因为，与圆相切， 所以， 设，所以， 整理得，所以在以为圆心，3为半径的圆上运动， ，当且仅当在时等号成立， 所以答案为：. 【变式7-2】（2024·高二·内蒙古锡林郭勒盟·期末）过点作圆O：的两条切线，则两条切线夹角的正弦值为 ． 【答案】/0.8 【解析】圆O：的圆心为，半径， 设切点为，， ，， 则， 两条切线的夹角为，则． 即两条切线夹角的正弦值为． 故答案为：． 【变式7-3】（2024·高二·广东广州·期末）已知圆：，过点作圆的切线，切点为，则 . 【答案】 【解析】点到圆心的距离为， 则切线长为. 故答案为：. 考点八：已知切线求参数 【典例8-1】（2024·高二·天津津南·期末）点P是直线上的动点，过点P作圆的两条切线PA和PB，A和B是切点，的最大值是，则r的值 ． 【答案】2 【解析】如图，设圆心为，，当圆固定时，取最小值时，最大，是锐角，从而最大， 由已知，， 由题意最大值为，此时，， 故答案为：2． 【典例8-2】（2024·高二·上海徐汇·期中）已知圆与直线相切，则 . 【答案】4 【解析】圆的圆心坐标为，半径， 因为圆与直线相切， 所以圆心C到直线的距离， 所以，解得. 故答案为：4. 【变式8-1】（2024·高二·浙江杭州·期中）若直线与曲线有且只有一个公共点，则实数m的取值范围是 ． 【答案】 或 【解析】因为曲线，所以， 解得，，曲线可化为， 两边同时平方有：，即， 所以曲线是以为圆心，为半径的圆的一部分， 而直线，所以是斜率为1的直线，画图象如下： 由于直线与曲线只有一个公共点，当直线过时，即，解得：， 当直线过时，即，解得：，由图象可知， 当直线与圆相切时：，解得或， 而即为在轴上的截距，由图象可知， 综上：或. 故答案为：或 【变式8-2】（2024·天津南开·二模）若直线与圆相切，则 . 【答案】/0.75 【解析】由题意圆心为，半径为2， 所以，解得． 故答案为：． 考点九：求弦长问题 【典例9-1】（2024·高二·上海黄浦·阶段练习）已知直线l：，圆C：，则直线l被圆C所截得的线段的长为 ． 【答案】 【解析】由已知可得，圆C：的圆心为，半径， 圆心到直线的距离为， 所以，直线与圆相交. 根据垂径定理可得，直线l被圆C所截得的线段的长为. 故答案为：. 【典例9-2】（2024·高二·北京·阶段练习）直线被圆截得的弦长为 . 【答案】 【解析】圆的圆心，半径， 点到直线的距离， 所以所求弦长为. 故答案为： 【变式9-1】（2024·高二·江苏泰州·期末）直线被圆截得的弦长为 【答案】 【解析】由圆，可得圆心为，半径为， 又由圆心到直线，可得， 所以直线截圆所得的弦长为. 故答案为：. 【变式9-2】（2024·高二·陕西西安·期末）直线被圆截得的弦长为 . 【答案】6 【解析】由圆，可得圆心，半径. 所以圆心到直线的距离， 所以直线被圆截得的弦长为. 故答案为：6. 【变式9-3】（2024·高二·山东济南·期末）已知圆，直线，直线l被圆C截得的最短弦长为 ． 【答案】 【解析】变形为，故直线过定点， 故当与故直线垂直时，直线l被圆C截得的弦长最短， 其中的圆心为，半径为2， 此时弦长为. 故答案为： 考点十：已知弦长求参数 【典例10-1】（2024·高二·四川眉山·阶段练习）直线与圆相交于两点，且，则实数的值等于 ． 【答案】 【解析】由题知，圆的圆心为，半径为1， 因为，所以圆心到直线的距离， 因为直线，所以， 解得， 故答案为： 【典例10-2】（2024·高二·上海松江·阶段练习）已知直线与圆相交于两点，且，则实数 . 【答案】 【解析】根据题意，圆， 即，其圆心为，半径， 若，则圆心到直线即的距离， 又由圆心到直线的距离， 则有， 解可得：； 故答案为：. 【变式10-1】（2024·高二·天津和平·期末）已知直线和圆相交于两点；弦长，则 ． 【答案】1 【解析】圆的圆心为，半径为 则由题意可得， 则. 故答案为：. 【变式10-2】（2024·高二·云南昆明·阶段练习）设直线与圆相交于A，B两点，且弦AB的长为2，则实数m的值是 ． 【答案】 【解析】圆的圆心，半径， 圆心到直线的距离， 由题意弦的长为， 则，则，解得． 故答案为：. 【变式10-3】（2024·高二·贵州贵阳·阶段练习）若直线：与圆：相交于两点，，则的取值范围为 . 【答案】 【解析】圆的标准方程为，圆心为，半径为, 设到直线的距离为，则. 由垂径定理可得， 因为，所以， 即，即， 化简得，解得. 则的取值范围为. 故答案为:. 考点十一：切点弦问题 【典例11-1】（2024·高二·云南昆明·期末）过点作圆的切线，，则切线长为 ；过切点A，B的直线方程为 ． 【答案】 【解析】圆，则圆心，半径， 在中，，， ，． 以为直径的圆的方程，即以为圆心， 以为半径的圆的方程为：， 又圆，两圆方程相减可得． 故答案为：； 【典例11-2】（2024·高二·广东广州·期中）过点作圆的两条切线，设两切点分别为A、B，则直线的方程为 . 【答案】 【解析】根据题意，过点作圆的两条切线，设两切点分别为、， 则， 则以为圆心，为半径为圆为，即圆， 为两圆的公共弦所在的直线，则有， 变形可得：； 即直线的方程为， 故答案为： 【变式11-1】（2024·全国·模拟预测）是直线上的一个动点，是圆上的两点，若均与圆相切，则弦长的最小值为 ． 【答案】 【解析】因为，所以， 当的长最小时，弦长最小， 而的最小值为圆心（即原点）到直线的距离， 所以，所以． 故答案为：. 【变式11-2】（2024·高二·四川南充·阶段练习）已知圆，点为轴上一个动点，过点作圆的两条切线，切点分别为，则的最小值为 . 【答案】 【解析】易知圆的圆心为，半径为，如图所示： 易知，设，则 由图可得，又， 可得，因为， 所以当时，的最小值为. 故答案为： 考点十二：最值问题 【典例12-1】（2024·河南·模拟预测）圆上的点到直线距离的取值范围是（    ）. A． B． C． D． 【答案】A 【解析】圆的标准方程为， 所以圆心坐标为，半径， 圆心到直线的距离为 ， 所以圆上的点到该直线的距离的取值范围是，即， 故选：A.. 【典例12-2】（2024·高二·浙江杭州·阶段练习）点在圆上运动，则的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】令，则，可得该直线方程为： 或， 设到直线和的距离为和，得 或，解得或，又因为， 所以，. 故选B 【变式12-1】（2024·高二·天津·期末）圆上的点到直线的最大距离是（    ）． A．36 B． C．18 D． 【答案】B 【解析】因为圆，即， 所以圆心坐标为，半径， 因为圆心到直线的距离， 所以直线与圆相离， 所以圆上的点到直线的最大距离为 . 故选：B. 【变式12-2】（2024·高二·湖北武汉·期末）直线分别与轴，轴交于两点，点在圆上运动，则面积的最大值为（    ） A．8 B． C．14 D． 【答案】C 【解析】令解得，所以, 令解得，所以,所以, 又因为圆心到直线的距离 所以点到直线的最大距离为， 所以面积的最大值为， 故选:C. 【变式12-3】（多选题）（2024·高二·全国·专题练习）已知圆，点在直线上运动，直线与圆相切，切点为，则下列说法错误的是（ ） A．的最小值为2 B．最小时，弦长为 C．最小时，弦所在直线的斜率为 D．四边形的面积最小值为 【答案】ACD 【解析】由圆的方程可知，圆心，半径. ， 当时，最小，此时最小. 对于选项A，，所以，故A错误； 对于选项B，，即，解得，故B正确； 对于选项C，因为，，所以，所以，故C错误； 对于选项D，四边形的面积， 所以当最小时，四边形的面积最小，，故D错误. 故选：ACD. 【变式12-4】（多选题）（2024·高二·湖南常德·阶段练习）已知实数，满足方程，则下列说法错误的是（    ） A．的最大值为 B．的最大值为 C．的最大值为 D．的最大值为 【答案】ACD 【解析】A选项，变形为， 圆心为，半径为， 设， 故， 故当时，取得最大值，最大值为，A错误； B选项，， 故当时，取得最大值，最大值为，B正确； C选项，设，即， 联立与得， 令，解得， 故的最大值为，C错误； D选项，， 故当时，取得最大值，最大值为 故选：ACD 考点十三：三角形面积问题 【典例13-1】（2024·高二·福建厦门·期中）已知直线与交于，两点，写出满足“面积为”的的一个值 . 【答案】（中任意一个皆可以，答案不唯一） 【解析】的圆心为，半径， 设点到直线的距离为，由弦长公式得， 所以，解得或， 由，所以或， 解得或． 故答案为：（中任意一个皆可以，答案不唯一）． 【典例13-2】（2024·高二·天津武清·期中）已知直线与 交于A，B两点，写出满足的面积为的实数m的一个值 . 【答案】（任意一个也对） 【解析】的圆心为，半径为， 则圆心到的距离为， 则， 故，解得或， 当时，，解得， 当时，，解得， 故或 故答案为：（任意一个也对） 【变式13-1】（2024·江西·模拟预测）已知圆的方程为，若直线与圆相交于两点，则的面积为 . 【答案】12 【解析】圆：，得圆心为，半径为， 圆心到直线的距离，因此， 所以. 故答案为：. 【变式13-2】（2024·四川成都·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知直线与圆交于A，B两点，若钝角的面积为，则实数a的值是 ． 【答案】/ 【解析】由圆，即， 可得圆心坐标为，半径为， 因为钝角的面积为，可得， 解得，因为，所以， 可得， 设圆心到直线的距离为，又由圆的弦长公式，可得，解得， 根据点到直线的距离公式，解得． 故答案为：． 【变式13-3】（2024·全国·模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，过点的直线l与圆相交于M，N两点，若，则直线l的斜率为 . 【答案】 【解析】由题意得，直线的斜率存在，设，，直线MN的方程为，与联立，得，，得，，.因为，所以，则，于是，（由点A及C在y轴上可判断出，同号） 所以，两式消去，得，满足，所以. 故答案为： 1．（2024·高二·安徽宿州·期中）已知圆C：，直线：，则直线与圆C的位置关系为（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定 【答案】A 【解析】由直线，可得，所以直线过定点， 又，所以点在圆内部，所以直线与圆相交. 故选：A. 2．（2024·高二·广东·期末）直线与圆的位置关系为（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 【答案】A 【解析】由题意知，圆心，半径， 所以圆心到直线的距离，故圆与直线相离. 故选：A. 3．（2024·高二·江苏扬州·期末）已知k为实数，则直线与圆的位置关系为（   ） A．相交 B．相离 C．相切 D．无法确定 【答案】A 【解析】易知恒过定点， 且易知点在点内， 所以直线与圆相交； 故选：A 4．（2024·高二·重庆·阶段练习）设为直线上的动点，若圆上存在两点A，B，使，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】圆的圆心到直线的距离， 即直线与圆相交，当点在圆及内部时， 该圆上存在两点A，B，使， 当点在圆外时，过点作圆的切线，为切点，显然是最大的， 则只需即可，此时，，而也符合要求， 因此，即，又，则，解得， 所以的取值范围是. 故选：C 5．（2024·高二·湖南长沙·开学考试）若圆上恒有4个点到直线的距离为1，则实数r的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意得圆的圆心到直线的距离为， 要使得圆上恒有4个点到直线的距离为1， 需满足直线与圆相交，且与l平行且距离为1的两平行直线与圆也相交，如图示： 结合图示可知，圆的半径应大于圆心到直线的距离， 即实数r的取值范围是， 故选：A 6．（2024·广东·一模）已知直线与直线相交于点M，若恰有3个不同的点M到直线的距离为1，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由可得， 即过定点， 由可得， 即过定点， 又，所以的轨迹是以为直径的圆（不含点）， 其中圆心为，半径为， 所以圆上恰有3个不同的点M到直线的距离为1， 只需圆心到直线的距离等于1，即，解得， 此时 到直线的距离不为1，故符合. 故选：B 7．（2024·高二·福建泉州·阶段练习）若直线与圆相切，则实数的值为（    ） A．或 B．1或 C．或3 D．或 【答案】C 【解析】由圆心为，半径为， 即， 则， 解得或. 故选：C. 8．（2024·高二·上海青浦·期中）在平面直角坐标系中，点，若点满足，则的最小值为（    ） A．4 B． C． D． 【答案】C 【解析】设， 由，得，化简整理得， 故的轨迹是以为圆心，2为半径的圆， ， 设，则, 所以， 当且仅当三点共线时取等号， 所以的最小值为. 故选：C. 9．（2024·高二·广东深圳·阶段练习）已知为圆上两点，且，点在直线上，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设线段的中点为，圆：的圆心为，半径为， 则圆心到直线的距离为，所以， 故点的轨迹是以为圆心，半径为1的圆， 设点的轨迹为圆，圆上的点到直线的最短距离为． 所以． 故选:A. 10．（2024·高二·北京·期中）已知点是圆上一点，则点到直线的距离的最小值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【解析】圆的圆心为，半径为1， 圆心到直线的距离为， 所以点到直线的距离的最小值为. 故选：C. 11．（2024·高二·北京东城·期中）已知圆，直线为上的动点，过点作圆的切线，，且切点为，，最小值为（    ） A．2 B． C．3 D．4 【答案】D 【解析】圆， ，即圆心为，半径为2， 如图所示， 连接，，四边形的面积为， 要使最小， 则只需四边形的面积最小，即只需的面积最小， ，只需最小， ， 所以只需直线上的动点到点的距离最小，其最小值是圆心到直线的距离， 此时，， 则此时四边形的面积为2，即的最小值为4． 故选：D． 12．（2024·北京西城·模拟预测）已知动点在直线上，过点作圆的一条切线，切点为，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【解析】由题可知圆的圆心为，半径为， 设，则，有， 得， 当时，. 故选：C. 13．（2024·高二·河南·阶段练习）已知圆经过，两点，且圆心在直线上，若圆上的点到直线的最大距离为，则＝（    ） A．－4或－1 B．4或－1 C．－4或1 D．4或1 【答案】C 【解析】圆心在直线上，设圆的圆心坐标为，由题意得：，解得， 所以圆心为，半径， 所以圆的方程为. 因为圆上的点到直线的最大距离为，所以圆心到直线的距离为，即，解得或. 故选：C. 14．（多选题）（2024·高二·海南省直辖县级单位·期中）已知实数x和y满足，则下列说法正确的是（ ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最小值为 D．的最大值为 【答案】AD 【解析】设，变形为，此式表示圆上一点 与点 连线的斜率， 由 ，可得，此直线与圆有公共点，则 ， 解得，故 的最大值为，最小值为.故A正确，B错误， 令并将其变形为， 问题可转化为斜率为的直线在经过圆上的点时在轴上的截距的最值. 当直线和圆相切时在轴上的截距取得最大值和最小值， 所以，解得 ， 所以的最大值为，最小值为. 故C错误； 表示圆 上的点到坐标原点的距离， 原点到圆心的距离， 故圆上的点到坐标原点的最大距离为 ，故D正确， 故选：AD. 15．（2024·高三·江苏南通·开学考试）在平面直角坐标系中，已知圆过点，为圆上一点，且弧的中点为，则点的坐标为 . 【答案】 【解析】设的中点为，即，所以，又， 所以， 所以直线为，又圆：， 所以，解得或， 所以. 故答案为： 16．（2024·高二·重庆永川·期中）经过圆上一点且与圆相切的直线的一般方程为 ． 【答案】 【解析】由，可得， 则圆心坐标为，且点在直线上，所以， 则切线的斜率为， 所以切线方程为，即 故答案为： 17．（2024·高二·江苏盐城·期中）圆在点处切线的一般式方程为 ． 【答案】2 【解析】圆心坐标为，圆心与切点连线斜率为，所以切线的斜率为2， 切线方程为，即． 故答案为：． 18．（2024·高二·新疆·期中）经过点且与圆相切的直线的一般方程为 . 【答案】 【解析】由，可得，则圆心， 且点在该圆上，， 则切线的斜率为， 故所求的切线方程为，即. 故答案为：. 19．（2024·高二·广东东莞·期末）一条光线从点射出，经直线反射后与圆C：相切，则反射光线所在直线的方程可以为 ．（写出满足条件的一条直线方程即可） 【答案】或（一个方程即给满分） 【解析】设关于直线对称的点为， 所以，解得， 当反射光线斜率存在时，设其所在直线的方程为即 因为反射光线与圆C：相切， 所以圆心到反射光线的距离，即，解得，所以反射光线所在直线的方程为； 当反射光线斜率不存在时，设其所在直线的方程为，满足反射光线与圆相切， 故反射光线所在直线的方程为或. 故答案为：或（一个方程即给满分） 20．（2024·高二·重庆黔江·阶段练习）已知直线经过点，圆，若直线与圆C相切，则直线的方程为 【答案】或 【解析】将圆的方程化为标准方程为， 所以圆心坐标为，半径， 因为，所以点在圆外， 当直线的斜率不存在时，即直线为， 圆心到直线的距离为2，符合题意； 当直线的斜率存在时，设直线方程为，即， 所以圆心到直线的距离， 整理：，解得， 所以直线为，即， 综上所述：直线的方程为或. 21．（2024·高二·天津·期末）已知圆，直线，过直线上一点作圆的两条切线，切点分别为，则四边形面积的最小值为 . 【答案】 【解析】如图所示，由圆，可得圆心，半径为， 则四边形面积， 要使得四边形面积的最小值，只需最小， 由圆心到直线的距离为， 所以四边形面积的最小值为. 故答案为：. 22．（2024·高二·北京·期中）已知圆C：，直线m的倾斜角为且与圆C相切，则切线m的方程为 ． 【答案】或 【解析】由直线m的倾斜角为，设直线m的方程为，即， 而圆C：的圆心，半径， 由直线m与圆C相切，得，解得或， 所以切线m的方程为或. 故答案为：或. 23．（2024·高二·福建泉州·期中）已知圆（）与轴相切，则 . 【答案】 【解析】根据题意可知圆心到轴的距离等于半径， 又，解得. 故答案为： 24．（2024·高二·四川凉山·阶段练习）瑞士著名数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上，这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”.在非等边中，，点坐标为，点坐标为，且其“欧拉线”与圆：（）相切，则圆的半径 . 【答案】/ 【解析】因为在非等边中，， 所以的外心、重心、垂心都在线段的中垂线上，即的“欧拉线”为线段的中垂线， 因为点坐标为，点坐标为， 所以线段的中点坐标为，直线的斜率， 因为线段的中垂线与线段垂直，所以线段的中垂线的斜率， 所以线段的中垂线的方程为，即， 又因为的“欧拉线”与圆：（）相切， 所以. 故答案为：. 25．（2024·高三·四川成都·期末）写出经过坐标原点，且被圆截得的弦长为的直线的方程 . 【答案】或 【解析】由题意可知圆心，半径，显然横轴与圆相切， 不妨设，由点到直线的距离公式可知C到l的距离为或， 所以的方程为：或. 故答案为：或. 26．（2024·高二·四川成都·阶段练习）直线被圆C：截得的弦长为 . 【答案】 【解析】圆，圆心为，半径为， 圆心到直线的距离， 所以弦长为. 故答案为： 27．（2024·高二·四川成都·期中）已知为直线上一动点，过点作圆的两条切线，切点分别为，则点到直线的距离的最大值为 ． 【答案】 【解析】设， 过点引圆的两条切线，切点分别为， 则切点在以为直径的圆上， 圆心，半径，则圆的方程是， 整理为：， 又点在圆上， 两圆方程相减得到， 即直线的方程是，因为， 代入得，则直线恒过定点， 所以点到直线的距离， 所以点到直线的距离的最大值为. 故答案为：. 28．（2024·高二·河北·期中）过点作圆：的两条切线，切点分别为，，则直线的方程为 ． 【答案】 【解析】 由图可知，其中一条切线为轴，切点为坐标原点． 因为,， 则， 所以直线的方程为． 故答案为：. 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