专题10 有理数的乘方-2024年小升初数学无忧衔接（2024新教材通用版）

专题10.有理数的乘方 1. 理解并掌握有理数的乘方，幂，底数，指数的概念及意义； 2. 会求有理数的正整数指数幂； 3. 熟练掌握有理数混合运算（含乘方）顺序和法则； 4. 感受发现问题的过程中体会到从特殊到一般的思考方法，从而增进学好数学的自信心。 题型探究 题型1、有理数乘方的概念 3 题型2、有理数乘方的运算 5 题型3、乘方运算的符号规律 6 题型4、有理数乘方的逆运算（简算） 8 题型5、含乘方的混合运算 10 题型6、偶次方的非负性的运用 12 题型7、有理数乘方的实际应用 13 题型8、有理数乘方的新定义问题 16 培优精练 A组（能力提升） 20 B组（培优拓展） 26 【思考1】手工拉面是我国的传统面食，制作时，拉面师傅将一团和好的面，揉搓成1根长条后，手握两端用力拉长，然后将长条对折，再拉长，再对折（每次对折称为一扣），如此反复操作，连续拉扣若干次后，便成了许多细细|的面条.你能算出拉扣7次后共有多少根面条吗？ 【乘方的趣事】关于国际象棋的起源，有一个传说：在古时候， 在某个王国里有一位聪明的大臣，他发明了国际象棋，献给了国王，国王从此迷上了下棋。为了对聪明的大臣表示感谢，国王答应满足这个大臣的一个要求。大臣说：“第1格放1粒小麦，第2格放2粒小麦，第3格放4粒小麦，然后是8粒、16粒、32粒…，一直到第64格……即每一个次序在后的格子中放的小麦都必须是前一个格子麦粒数目的两倍，直到最后一个格子放满为止”。国王哈哈大笑，慷慨地答应了大臣的要求。然而，国王最终发现，按照与大臣的约定，全印度的麦子竟然连棋盘一小半格子数目都不够。大臣索要的麦粒数目实际上是天文数字，总数将是一个十九位数，折算重量约为2000多亿吨，即使现代，全球小麦的年产量也不过是数亿吨。 1. 有理数的乘方 乘方的概念：一般地，个相同的乘数相乘，即，记作，读作“的次方”； 在中，叫做底数，叫做指数；当看作的次方的结果时，读作的次幂。 求个相同因数的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂。 注意：①乘方运算中的“1次方”通常把“1”省略，但不代表没有； ②乘方运算，代表的是多个相同乘数相乘，要与乘法运算区分开来； ③在运算时要注意看清楚底数和指数到底是谁； ④带分数的乘方运算，一定要先化成假分数后再运算。 2．整数指数幂的符号规律： 1）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数，即“奇负偶正”； 2）正数的任何次幂都是正数；3）0的任何正整数次幂都是0。 注意：除0以外的任何数的“0次幂”结果为1。 题型1、有理数乘方的概念 【解题技巧】求n个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂，即：。 在中，叫做底数， n叫做指数。 例1．（23-24七年级上·陕西西安·阶段练习）在中，底数是 ，指数是 ，幂是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查有理数的乘方，中，叫做底数，叫做指数，乘方的结果叫做幂． 【详解】在中，底数是，指数是，幂是． 故答案为：；； 例2．（23-24七年级上·山西临汾·期末）（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查有理数的运算，分别根据乘方和乘法的意义求解．找到变化规律是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴．故选：B． 变式1．（23-24七年级上·安徽安庆·期末）下列说法正确的是（　　） A．的底数是 B．表示5个2相加 C．与意义相同 D．的底数是2 【答案】D 【分析】本题主要考查了有理数的乘方．根据乘方的意义，进行判断即可． 【详解】解：A、的底数是2，∴此选项的说法错误，故不符合题意； B、表示5个2相乘，∴此选项的说法错误，故不符合题意； C、表示3个相乘，表示3个3相乘的相反数，∴它们表示的意义不同，故不符合题意； D、的底数是2，∴此选项的说法正确，故此选项符合题意，故选：D． 变式2．（23-24七年级上·河北石家庄·阶段练习）对于式子，下列说法正确的是（    ） A．指数是 B．底数是3 C．幂为 D．表示3个相乘 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的乘方，解题的关键是掌握有理数的乘方．根据有理数乘方的定义即可判断． 【详解】解：的指数是3，底数是，表示3个相乘，则幂是， 故选：D 变式3．（23-24九年级·山东德州·阶段练习）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据乘法的定义：m个3相加表示为，根据乘方的定义：n个4相乘表示为，由此求解即可．本题考查有理数的运算，熟练掌握乘法、乘方的运算定义，准确计算是解题的关键． 【详解】m个3相加表示为，根据乘方的定义：n个4相乘表示为， 故的结果是，故选A． 题型2、有理数乘方的运算 【解题技巧】有理数乘方的运算：（1）正数的任何次幂都是正数；（2）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；（3）0的任何正整数次幂都是0；（4）有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样，首先应确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值。 例1．（23-24七年级·黑龙江哈尔滨·阶段练习）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了有理数的乘方计算，熟知有理数的乘方计算法则是解题的关键． 【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算错误，不符合题意； C、，原式计算错误，不符合题意； D、，原式计算正确，符合题意；故选：D． 例2．（2023秋·河北石家庄·七年级校考阶段练习）若，则（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】根据乘方的意义列出方程求解即可得出答案． 【详解】解：∵，∴，故选C． 【点睛】本题主要考查了乘方的意义，正确得出是解答本题的关键． 变式1．（2023春·浙江衢州·七年级校考阶段练习）已知在，，，这4个数中，最大的数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先把各数进行计算，再根据有理数大小比较的法则进行比较即可． 【详解】解：，，，， ∵，∴这四个数中，最大的数是．故选：B． 【点睛】本题考查了有理数乘方，熟练掌握有理数乘方运算及比较大小法则是解题关键． 变式2．（2023春·上海静安·七年级校考期中）下列各式中，正确的是       ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据有理数的乘方法则逐项判断即可得． 【详解】解：A、，则此项错误，不符合题意； B、，则此项错误，不符合题意；C、，则此项错误，不符合题意； D、，则此项正确，符合题意；故选：D． 【点睛】本题考查了有理数的乘方，熟练掌握运算法则是解题关键． 题型3、乘方运算的符号规律 【解题技巧】乘方的符号规律： 1）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数，即“奇负偶正”； 2）正数的任何次幂都是正数；3）0的任何正整数次幂都是0。 例1．（23-24七年级上·河南信阳·期中）在，，，0中，非负数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查有理数乘方中的符号问题，判断每个数的正负号即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴，，，0中，只有0是非负数．故选：A． 例2．（2023·广西·七年级校考阶段练习）已知为正整数，计算的结果是（　　） A．1 B．-1 C．0 D．2 【答案】D 【分析】根据有理数乘方运算法则进行计算即可． 【详解】解：，故选：D． 【点睛】本题考查了有理数的乘方，熟练掌握有理数的乘方运算法则以及乘方的符号规律是解本题的关键． 变式1．（23-24七年级上·广东揭阳·期末）计算： 【答案】0 【分析】本题考查了有理数的加法运算，有理数的乘方，根据有理数的乘方找到规律，计算即可． 【详解】解：原式 ， 故答案为：0． 变式2．（2023·广东·七年级期中）若非零数a，b互为相反数，下列四组数中，互为相反数的个数为（       ） ①与；②与；③与；④与 A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据相反数的定义逐一解答． 【详解】解：a，b互为相反数，则，即与不互为相反数； a，b互为相反数，则，故，即与互为相反数： a，b互为相反数，则，，即与互为相反数，与不互为相反数， 则互为相反数的有②③故选：C． 【点睛】本题考查相反数的意义，是基础考点，掌握相关知识是解题关键． 变式3．（22-23七年级上·安徽芜湖·期末）若是负数，则下列各式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据乘方的定义即可依次判断． 【详解】解：A、是负数，则，不符合题意； B、是负数，则，不符合题意； C、是负数，则，不符合题意； D、，不符合题意；故选：D． 【点睛】本题主要考查了有理数乘方，解题的关键是熟知乘方的运算法则． 题型4、有理数乘方的逆运算（简算） 【解题技巧】性质： 例1．（22-23七年级上·福建三明·期中）（1）计算下面两组算式： ①与；     ②与； （2）根据以上计算结果想开去：等于什么?（直接写出结果） （3）猜想与验证：当为正整数时，等于什么?请你利用乘方的意义说明理由． （4）利用上述结论，求的值． 【答案】（1）①见解析；②见解析；（2）；（3）；理由见解析；（4） 【分析】（1）前式先乘法再平方，后式先平方再乘法，据此即可计算求值； （2）根据（1）的结果即可得到答案； （3）根据乘方的意义写成n个数相乘，利用交换律转化为和的乘积即可证明猜想； （4）利用乘方的逆运算进行计算即可得到答案． 【详解】解：（1）①， ； ②， ； （2）； （3），理由如下： ； （4） ． 【点睛】本题考查了有理数乘法法则，乘方的意义，以及对师资普遍规律的猜想和验证，熟练运用乘方运算以及逆运算来简便运算是解题关键． 变式1．（2023七年级上·江苏·专题练习）计算：（    ） A． B．1 C．0 D．2023 【答案】B 【分析】根据有理数乘方的逆运算法则计算即可得． 【详解】解：原式 ． 故选：B． 【点睛】本题考查了有理数乘方的逆运算，熟练掌握有理数乘方的逆运算法则是解题关键． 变式2．（23-24七年级上·河北石家庄·期中）若，则的值可以表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的乘方，乘方的逆运算，等式的性质等知识点，根据有理数乘方的运算法则即可得解，熟练掌握有理数的乘方的意义是解题关键． 【详解】∵∴ ∴∴，故选：D． 题型5、含乘方的混合运算 【解题技巧】有理数混合运算的顺序：(1)先乘方，再乘除，最后加减；(2)同级运算，从左到右进行；(3)如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行． 例1．（2024·广西贺州·三模）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是掌握运算法则和运算顺序． 先计算乘方和括号内，然后计算乘除，最后计算加减． 【详解】 ． 例2．（23-24七年级·湖北·七年级期中）计算下列各题： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)(2)(3)(4) 【分析】本题主要考查含乘方的有理数混合运算，以及绝对值化简，熟练掌握有理数的混合运算法则是解题的关键．（1）先算乘方，然后再进行有理数的混合运算即可； （2）先算乘方和括号，然后再根据有理数的混合运算法则计算，即可解题； （3）先算乘方和括号，然后再根据有理数的混合运算法则计算，即可解题； （4）先算乘方、括号、以及绝对值化简，然后再根据有理数的混合运算法则计算，即可解题． 【详解】（1）解：， ， ； （2）解：， ， ； （3）解：， ， ， ； （4）解：， ， ， ． 变式1．（23-24七年级·上海·期中）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了含乘方的混合运算，先化简乘方和绝对值，再运算乘法，最后运算加减，即可作答． 【详解】解： ． 变式2．（2023春·上海徐汇·七年级校考阶段练习） 【答案】 【分析】先计算乘方，再进行加减运算． 【详解】解： 【点睛】本题考查含乘方的有理数的混合运算，解题的关键是掌握运算法则并正确计算． 题型6、偶次方的非负性的运用 例1．（23-24七年级上·广东韶关·阶段练习）若，则 ， ． 【答案】 / 【分析】本题考查了绝对值的非负性及乘方运算的符号规律，根据绝对值的非负性及乘方的非负性即可求解，熟练掌握绝对值的非负性及乘方运算的符号规律是解题的关键． 【详解】解：依题意得：，即：， ，即：， 故答案为：，2． 例2．（23-24七年级上·河南郑州·阶段练习）为有理数，下列说法中正确的是（　　） A．是正数 B．是正数 C．是负数 D．的值不小于 【答案】B 【分析】此题考查非负数的性质，正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数，，解题的关键是掌握偶次方的非负性． 【详解】解：、当时，，此选项说法错误，不符合题意； 、∵，∴，即是正数，此选项说法正确，符合题意； 、当时，，此选项说法错误，不符合题意； 、∵，则，∴，的值不大于，此选项说法错误，不符合题意；故选：． 变式1．（22-23七年级上·云南昆明·期中）若，则 ． 【答案】0 【分析】本题考查了绝对值非负数，平方数非负数的性质，根据几个非负数的和等于0，则每一个算式都等于0列式是解题的关键；根据非负数的性质列式求出a、b的值，然后再把a、b代入求值即可． 【详解】解：，，，，， ．故答案为：0 变式2．（23-24七年级·上海宝山·期中）若，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查了平方与绝对值的非负性，有理数的乘方．解题的关键在于正确的求解．由解出的值，代入求解即可． 【详解】解：由题意知解得 ∴故答案为：． 题型7、有理数乘方的实际应用 【解题技巧】此类题型的难点在于分析问题，建立乘方的数学模型。基本步骤为：首先从特殊情形入手，逐步分析、归纳，找出变化规律；然后根据规律写出乘方数学模型；最后根据题干要求计算结果。 例1．（23-24七年级上·江苏泰州·阶段练习）有一种细菌，经过1分钟分裂成2个，再过1分钟，又发生了分裂，变成4个．把这样一个细菌放在瓶子里繁殖，直至瓶子被细菌充满为止，用了1小时，如果开始时，就在瓶子里放入这样的细菌16个，那么细菌充满瓶子所需要的时间为（   ） A．44分钟 B．56分钟 C．半小时 D．1小时 【答案】B 【分析】本题考查了同底数幂的乘法的应用，列出等式是解此题的关键．先计算出装满一瓶的细菌，个，设将16个这种细菌放入同样的培养瓶中经过分钟就能分裂至满一瓶，则，再根据1小时分，求解即可． 【详解】解：一个细菌1分钟分裂成2个，2分钟分裂成4个，分钟分裂成个，一个细菌经过1小时的繁殖能使瓶子充满， 设将16个这种细菌放入同样的培养瓶中经过分钟就能分裂至满一瓶． ，， 小时分，，故选：B 例2．（23-24七年级上·河南郑州·阶段练习）你喜欢吃拉面吗？拉面馆的师傅，用一根很粗的面条，把两头捏合在一起拉伸，再拉伸，反复几次，如草图所示．这样捏合到第8次后可拉出 根细面条． 【答案】256 【分析】 此题考查了有理数乘方的应用，熟练掌握乘方的意义是解本题的关键．根据题意列出算式，计算即可得到结果． 【详解】 解：∵第1次后可拉出2根， 第2次后可拉出根， 第3次后可拉出根，… ∴第8次后可拉出根，， 故答案为：256． 例3．（23-24七年级·山东淄博·期中）在日常生活中，我们用十进制来表示数，如．计算机中采用的二进制，即只需要0和1两个数字就可以表示数，如二进制中的，可以表示十进制中的10，那么二进制中的表示十进制中的 ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．根据十进制中的数与二进制中的数的相互转化的方法进行计算，即可解答． 【详解】解： ；故答案为：． 变式1．（2024·四川达州·三模）在我国古书《易经》中有“上古结绳而治”的记载，它指“结绳记事”或“结绳记数”．如图，一远古牧人在从右到左依次排列的绳子上打结，满6进1，用来记录他所放牧的羊的只数，由图可知，他所放牧的羊的只数是（   ） A．1234 B．310 C．60 D．10 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的运算，根据计数规则可知，从右边第1位的计数单位为，右边第2位的计数单位为，右边第3位的计数单位为，右边第4位的计数单位为，……，依此类推，可求出结果． 【详解】解：根据题意得： （只）， 答：他所放牧的羊的只数是310只．故选：B． 变式2．（22-23七年级·浙江温州·期中）小明的文档中有一个如图1的实验中学，他想在这个文档中用1000个这种，设计出一幅如图2样式的图案．他使用“复制粘贴”（用鼠标选中，右键点击“复制”，然后在本文档中“粘贴” 的方式完成，则他需要使用“复制粘贴”的次数至少为（　　） A．9次 B．10次 C．11次 D．12次 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的乘方，理解题意是解题的关键．根据复制粘贴呈2倍的速度增加，所以求2的幂运算． 【详解】解：，，故选：B 变式3．（23-24七年级上·辽宁丹东·期中）一根1米长的木棒，第1次截去一半，第2次截去剩下部分的一半，如此截下去，第7次后截去的木棒长为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】A 【分析】本题主要考查有理数的乘方．根据有理数的乘方解决此题． 【详解】解：第一次截去一半，剩余的木棒的长度为； 第二次截去剩下部分的一半，剩余的木棒的长度为； 第三次截去剩下部分的一半，剩余的木棒的长度为； 以此类推，截完第七次，剩余的木棒的长度为． ∴截完第7次后，截去的木棒总长度为（米）．故选：A． 变式4．（2023·河南南阳·统考一模）观察下列等式：，，，，，，…，根据其中的规律可得的结果的个位数字是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由已知可得尾数，，，的规律是4个数一循环，则的结果的个位数字与的个位数字相同，即可求解． 【详解】解：∵，，，，，，…， ∴尾数，，，的规律是4个数一循环， ∵，∴的个位数字是， 又∵，∴的结果的个位数字与的个位数字相同， ∴的结果的个位数字是．故选：A． 【点睛】本题考查数的尾数特征，能够通过所给数的特点，确定尾数的循环规律是解题的关键． 题型8、有理数乘方的新定义问题 【解题技巧】“新定义”型问题是指在问题中定义了初中数学中没有学过的一些概念、新运算、新符号，要求学生读懂题意并结合已有知识进行理解，而后根据新定义进行运算、推理、迁移的一种题型.它一般分为三种类型：（1）定义新运算；（2）定义初、高中知识衔接“新知识”;（3）定义新概念.这类试题考查考生对“新定义”的理解和认识，以及灵活运用知识的能力，解题时需要将“新定义”的知识与已学知识联系起来，利用已有的知识经验来解决问题. 例1．（23-24七年级·黑龙江绥化·阶段练习）用“※”定义一种新运算，规定，如， (1)求的值；(2)求的值． 【答案】(1)(2) 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，新定义下的运算，解题的关键是掌握新定义的运算法则． （1）根据新定义计算即可； （2）根据新定义的运算法则求解即可． 【详解】（1）解：； （2）， ． 例2．（23-24七年级上·云南昆明·期中）【概念学习】 规定：若求若干个相同的有理数均不等于的除法运算叫做除方，如，，我们把记作，读作“的圈次方”，记作，读作“的圈次方”．一般的，我们把记作，读作“的圈次方”． 【初步探究】 （1）直接写出计算结果________， ________，________． 【深入思考】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算 （2）试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式： ________， ________，________． （3）想一想：将一个非零有理数的圈次方写成幂的形式是________． 【答案】（1），，；（2）,,;（3） 【分析】本题考查了有理数的乘方； （1）根据的圈次方的定义进行计算即可求解； （2）根据的圈次方的定义进行计算即可求解； （3）根据（2）的结论即可求解． 【详解】解：（1）； ； ； 故答案为：，，． （2）， ； 故答案为：,,； （3）由题意，根据（2）中规律可得， 故答案为：． 变式1．（2023·湖南·七年级校考期中）定义一种运算符号“★”：，如：，那么的结果是_______． 【答案】8 【分析】根据运算律，先算括号内，再算括号外即可 【详解】解：故答案为 【点睛】此题考查了有理数的混合运算、新定义，解决本题的关键是会用新定义解答问题 变式2．（2023·广东·七年级校考期中）定义一种对正整数n的“F运算”：①当n为奇数时，结果为3n＋5；②当n为偶数时，结果为（其中k是使为奇数的正整数），并且运算重复进行．例如，取n＝26，则： 若n＝449，则第2020次“F运算”的结果是______． 【答案】1 【分析】根据题意计算前几次结果，找到规律即可求解． 【详解】解：第一次：，第二次： ∵其中k是使为奇数的正整数，∴∴第二次运算：， 第三次：∵∴计算结果为 第五次：，第六次：，∵∴，计算结果为，…… 依次为与的循环，当计算次数为奇数时，结果为8；当计算次数为偶数时，结果为1， ∴第2020次“F运算”的结果是1．故答案为：1． 【点睛】本题考查了新定义运算，有理数的混合运算，找到规律是解题的关键． 变式3．（2023秋·湖南常德·七年级统考期末）已知，记作，已知，记作，已知，记作，那么：（1）______； （2）( )． 【答案】 【分析】根据乘方的性质，求解即可． 【详解】解：∵，∴， ∵，∴，设，则，故答案为：， 【点睛】此题考查了乘方的运算，解题的关键是理解题意，熟练掌握乘方运算规则． A组（能力提升） 1．（23-24七年级上·河南郑州·期末）一张纸的厚度大约为，如图，将其对折、压平，称作第1次操作，再将其对折、压平，称作第2次操作…假设这张纸足够大，每一次也能压得足够平整，如此重复，则第10次操作后的厚度最接近于（    ） A．数学课本的厚度 B．姚明的身高 C．一层楼房的高度 D．一支中性笔的长度 【答案】D 【分析】本题考查数字变化的规律，依次求出每次操作后纸张的厚度，发现规律即可解决问题． 【详解】解：由题知， 第1次操作后的厚度为：； 第2次操作后的厚度为：； 第3次操作后的厚度为：； ， 所以第次操作后的厚度为：； 当时， ， 所以第10次操作后的厚度最接近于一支中性笔的长度． 故选：D． 2．（2024·河北廊坊·二模）已知：，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了乘方的意义，相同因数和的意义，根据乘方的定义，加法的意义计算即可求解，掌握乘方的意义及相同因数和的意义是解题的关键． 【详解】解：，故选：． 3．（2024·山东淄博·模拟预测）的相反数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查乘方的意义，相反数的概念．掌握的奇次方是是关键．先求出的值，再确定相反数即可． 【详解】解：，的相反数是， 的相反数是．故选：B． 4．（23-24七年级·上海黄浦·期中）下列计算正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的运算，解题的关键是掌握有理数的相关运算法则．根据有理数得到加法法则、有理数的乘法和有理数的乘方，逐一判断即可． 【详解】解：A、，故选项A不符合题意； B、，故选项B不符合题意； C、，故选项C不符合题意； D、，故选项D符合题意；故选：D． 5．（2023·安徽合肥·校考模拟预测）式子与的正确判断是（    ） A．当为偶数时，这两个式子互为相反数 B．这两个式子是相等的 C．当为奇数时，它们互为相反数 D．为偶数时它们相等 【答案】A 【分析】分类讨论的奇偶性，结合乘方的意义化简即可． 【详解】解：当为偶数时，，即此时这两个式子互为相反数， 当为奇数时，，即此时这两个式子相等．故选A． 【点睛】本题考查有理数的乘方，相反数的定义．熟练掌握乘方的意义并利用分类讨论的思想是解题关键． 6．（2023·湖北恩施·统考二模）在算式中的“”里填入一个运算符号，使得它的结果最小（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据有理数的运算法则，逐项代入计算并比较即可． 【详解】解：A、；B、； C、；D、； ∵，∴结果最小的运算为C选项，故选：C． 【点睛】本题考查有理数的混合运算，掌握有理数混合运算法则是解题关键． 7．（2024·江苏南京·一模）计算的结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的乘方运算，先计算，同时根据乘方意义把改写成，然后利用乘法结合律计算即可． 【详解】解：原式 ， 故答案为：． 8．（2023·广东广州·七年级统考期末）在中，底数是______，指数是______.计算：______. 【答案】 3 4 【分析】根据幂的定义：形如中a是底数，n是指数，及乘方计算法则计算解答． 【详解】解：中，底数是3，指数是4，，故答案为：3，4，． 【点睛】此题考查了幂的定义，有理数的乘方计算法则，熟记定义及计算法则是解题的关键． 9．（23-24七年级上·江苏连云港·阶段练习）如下是张小琴同学的一张测试卷，她的得分应是 ． 姓名：张小琴 得分： 填空（每小题25分，共100分） ①的底数是；②的立方是；③若，则；④若，则． 【答案】25 【分析】本题考查了幂的定义，有理数的乘方运算，绝对值的非负性，解题的关键是掌握这些基础知识点． 【详解】解：①的底数是2，故错误； ②的立方是，故错误； ③∵， ∴，， ∴，， ∴，故正确； ④若，则，故错误； 则小琴同学的得分是． 故答案为：25． 10．（23-24七年级上·四川南充·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【答案】(1)(2)(3)(4)(5) 【分析】（）利用有理数加减法则计算即可；（）利用有理数乘除法则计算即可；； （）先算乘方，再算乘法，最后算加减即可；（）先算乘法，最后算加减即可； （）先计算乘方和化简绝对值，再计算除法，最后计算加减法； 本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是熟练掌握有理数的混合运算顺序和运算法则及其运算律． 【详解】（1）解：原式， ； （2）解：原式， ； （3）解：原式， ， ； （4）解：原式， ， ； （5）解：原式， ， ． 11．（22-23七年级上·江苏镇江·期末）已知第一个正方体纸盒的棱长为，第二个正方体纸盒的体积比第一个正方体纸盒的体积大． (1)求第二个正方体纸盒的棱长；(2)第二个正方体纸盒的表面积比第一个正方体纸盒的表面积多多少？ 【答案】(1)第二个正方体纸盒的棱长为 (2)第二个正方体纸盒的表面积比第一个正方体纸盒的表面积多 【分析】本题主要考查了有理数乘方运算的应用，解题的关键熟练掌握正方体的体积公式和表面积公式． （1）先求出第一个正方体的体积，再求出第二个正方体的体积，得出其棱长即可； （2）根据正方体的表面积公式列出算式进行计算即可． 【详解】（1）解：第一个正方体纸盒的体积为：， 第二个正方体纸盒的体积为：， ∵，∴第二个正方体纸盒的棱长为； （2）解：， 答：第二个正方体纸盒的表面积比第一个正方体纸盒的表面积多． 12．（23-24七年级上·福建福州·阶段练习）生活中常用的十进制是用这十个数字来表示数，满十进一， 例：； 计算机常用二进制来表示字符代码，它是用0和1两个数来表示数，满二进一， 例：二进制数10010转化为十进制数：； 其他进制也有类似的算法… (1)【发现】根据以上信息，将二进制数“10110”转化为十进制数是________； (2)【迁移】按照上面的格式将八进制数“4372”转化为十进制数； (3)【应用】在我国远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，如图所示是远古时期一位母亲记录孩子出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满五进一，根据图示，求孩子已经出生的天数． 【答案】(1)(2)(3)42天 【分析】本题考查了有理数乘方的应用；（1）根据题目信息直接进行计算即可； （2）根据二进制转十进制的方法列式计算即可； （3）根据满五进一可知，类似于五进制数，然后仿照二进制转十进制的方法列式计算即可． 【详解】（1）解：将二进制数“10110”转化为十进制数是， 故答案为：； （2）将八进制数“4372”转化为十进制数； （3）因为从右向左绳结的数量依次为2，3，1， 所以孩子已经出生的天数为天． B组（培优拓展） 1．（2023·山东枣庄·统考一模）定义运算：若，则，例如，则．运用以上定义，计算：（    ） A． B．2 C．1 D．4 【答案】A 【分析】先根据乘方确定，根据新定义求出，然后代入计算即可． 【详解】解：∵，∴ ∴，，．故选：A． 【点睛】本题考查新定义对数函数运算、乘方的逆运算等知识点，仔细阅读题目中的定义，找出新定义运算的实质是乘方的逆运算是解答本题的关键． 2．（2023·广东东莞·七年级期中），由此你能算出（    ） A．6 B．8 C． D．十分麻烦 【答案】B 【分析】先把原式变形为，从而得到，即可求解． 【详解】解：＝1×8＝8故选：B． 【点睛】本题主要考查了有理数乘方运算，掌握有理数乘方的意义是解题的关键． 3．（2023·福建厦门·七年级校考期中）七年级某班的学生共有49人，军训时排列成的方阵，做了一个游戏，起初全体学生站立，教官每次任意点n个不同学号的学生，被点到的学生，站立的蹲下，蹲下的站立，且学生都正确完成指令同一名学生可以多次被点，则m次点名后，（n，m为正整数）下列说法正确的是（    ） A．当n为偶数时，无论m何值，蹲下的学生人数不可能为奇数个 B．当n为偶数时，无论m何值，对下的学生人数不可能为偶数个 C．当n为奇数时，无论m何值，蹲下的学生人数不可能为偶数个 D．当n为奇数时，无论m何值，蹲下的学生人数不可能为奇数个 【答案】A 【分析】假设站立记为“”，则蹲下为“”，开始时49个“”，其乘积为“”，每次改变其中的个数，当为偶数时，每次的改变其中个数，都不改变上一次的符号，则m次点名后，乘积仍然是“”，故最后出现的“”的个数为偶数，即蹲下的人数为偶数；即可获解． 【详解】解：假设站立记为“”，则蹲下为“”，开始时49个“”，其乘积为“”． 每次改变其中的个数，经过m次点名， ①当为偶数时，若有偶数个“”偶数个“”，变为偶数个“”偶数个“”，其积的符号不变； 若有奇数个“”奇数个“”，变为奇数个“”奇数个“”，其积的符号不变； 故当为偶数时，每次改变其中的个数，其积的符号不变，那么m次点名后，乘积仍然是“”， 故最后出现的“”的个数为偶数，即蹲下的人数为偶数； ②当为奇数时，若有偶数个“”奇数个“”，变为偶数个“”奇数个“”，其积的符号改变； 若有奇数个“”偶数个“”，变为奇数个“”偶数个“”，其积的符号改变； 故当为奇数时，每次改变其中的个数，其积的符号改变，那么m次点名后， 若为偶数，乘积仍然是“”，故最后出现的“”的个数为偶数，即蹲下的人数为偶数； 若为奇数，乘积最后是“”，故最后出现的“”的个数为奇数，即蹲下的人数为奇数； 综上所述，选项A正确，选项B、C、D均错误；故选：A． 【点睛】此题考查了正负数的意义、有理数乘法中积的符号的判断，熟练掌握有理数乘法中符号法则与分类讨论的思想方法是解答此题的关键． 4．（2023·广东东莞·九年级校考期中）某公园将免费开放一天，早晨6时30分有2人进公园，第一个30min内有4人进去并出来1人，第二个30min内进去8人并出来2人，第三个30min内进去16人并出来3人，第四个30min内进去32人并出来4人，······按照这种规律进行下去，到上午11时30分公园内的人数是（  ） A． B．4039 C．8124 D．16304 【答案】B 【分析】由每个30分钟进去的人数可构成一列数，利用观察法求出这一列数的规律，由于从早晨6时30分到上午Il时30分共有10个30分钟，故求这一列数的前11个数的和，即可得上午11时30分公园内的人数． 【详解】解：根据题意知：早晨6时30分有2人进公园，则， 第一个30min内有4人进去并出来1人，则， 第二个30min内进去8人并出来2人，则， 第三个30min内进去16人并出来3人，则， 第四个30min内进去32人并出来4人，则，…… ∴第十个30min（即上午11时30分）内进去的人和出来的人数可表示为， ∴到上午11时30分公园内的人数为： 设， ∴，， ∴， ∴，， ∴ ．故选：B． 【点睛】本题考查数字的变化规律，有理数的混合运算，运用了归纳推理、转化的解题方法．解题时要善于将实际问题转化为数学问题，运用数学知识解决问题．解题的关键是归纳出题干所给式子的规律． 5．（2023秋·河南新乡·七年级统考期末）观察下列算式：21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，26=64，27=128，28=256，…，31=3，32=9，33=27，34=81，35=243，36=729，37=2187，38 =6561，…，根据上述算式中的规律，221+311的末位数字是（  ） A．3 B．5 C．7 D．9 【答案】D 【分析】通过观察发现：的个位数字是2，4，8，6四个一循环，所以根据，得出的个位数字与的个位数字相同；以3为底的幂的末位数字是3，9，7，1依次循环的．即可知的个位数字，从而得到221+311的末位数字． 【详解】解：由题意可知，，，，，，，，，， 即末位数字是每4个算式是一个周期，末位分别为2，4，8，6， ，的末位数字与的末位数字相同，为2； 由题意可知，，，，，，， 以3为底的幂的末位数字是3，9，7，1依次循环的，， 所以的个位数字是7，所以的个位数字是9，故选：D． 【点睛】本题考查的是尾数特征，规律型：数字的变化类，根据题意找出数字循环的规律是解答此题关键． 6．（2023·河南漯河·七年级校考阶段练习）计算的值，结果正确的是（    ） A．1 B． C．0 D．或0 【答案】B 【分析】由运算式中的加数一共个数，其中偶次方有个，奇次方有个，从而可得答案． 【详解】解： 故选B． 【点睛】本题考查的是有理数的混合运算，掌握“乘方运算的符号规律的确定”是解本题的关键． 7．（23-24七年级上·贵州六盘水·期末）如图，将面积为1的长方形纸片分割成8个部分，部分①的面积是原长方形纸片面积的一半，部分②的面积是部分①面积的一半，部分③的面积是部分②面积的一半，依次类推，阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查图形的变化类，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．根据题意和图形，可以得到阴影部分的面积． 【详解】解：由图可得，阴影部分的面积是，故选：C． 8．（2022·四川成都·七年级校考阶段练习）若a，b为有理数，下列判断正确的个数是（    ） （1）总是正数；（2）总是正数；（3）的最大值为5；（4）的最大值是3． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据绝对值，偶次方的非负性进行判断即可. 【详解】∵，∴>0，即总是正数，(1)正确； ∵， ，∴当即a=0时，，故是正数； 当时，则，即，故是正数；故（2）正确； 的最小值为5，故（3）错误；的最大值是2，故（4）错误．故选：B. 【点睛】此题考查绝对值的性质，偶次方的性质，最大值及最小值的确定是难点. 9．（23-24七年级上·浙江金华·阶段练习）红红有5张写着以下数字的卡片，请你按要求抽出卡片，完成下列各问题： (1)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字乘积最大，最大值是________ (2)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字相除的商最小，最小值是________ (3)从中取出除0以外的其他4张卡片，将这4个数字进行加、减、乘、除或乘方等混合运算，使运算结果为24（注：每个数字只能用一次，请写出两种符合要求的运算式子： ________________________________    ________________________________ 【答案】(1)6(2)(3)； 【分析】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．()根据题意列出算式，找出积最大值即可；()根据题意列出算式，找出商最小值即可；()利用“点”游戏规则列出算式即可． 【详解】（1）解：根据题意得：，故最大值为； （2）解：，故最小值为； （3）解：根据题意得：；， 即符合题意的式子为：；． 10．（2023·江苏·七年级专题练习）阅读计算： 阅读下列各式：（ab）2＝a2b2，（ab）3＝a3b3，（ab）4＝a4b4… 回答下列三个问题：(1)验证：（4×0.25）100＝　　；4100×0.25100＝　　． (2)通过上述验证，归纳得出：（ ）n＝　　；（ ）n＝　　． (3)请应用上述性质计算：（﹣0.125）2015×22014×42014． 【答案】(1)1，1；(2)ab，anbn，abc，anbncn；(3)﹣0.125 【分析】（1）先算括号内的，再算乘方；先乘方，再算乘法． （2）根据有理数乘方的定义求出即可； （3）根据根据阅读材料可得（﹣0.125×2×4）2014×（﹣0.125），再计算，即可得出答案． (1)解：（4×0.25）100＝1100＝1；4100×0.25100＝1， 故答案为：1，1． (2)解：（ab）n＝anbn，（abc）n＝anbncn， 故答案为：ab，anbn，abc，anbncn． (3)解：原式＝（﹣0.125）2014×22014×42014×（﹣0.125）＝（﹣0.125×2×4）2014×（﹣0.125） ＝（﹣1）2014×（﹣0.125）＝1×（﹣0.125）＝﹣0.125 【点睛】本题考查了有理数乘方的应用，主要考查学生的计算能力，理解阅读材料是解题的关键． 11．（2023·浙江绍兴·七年级校联考阶段练习）我们常用的数是十进制数，计算机程序使用的是二进制数（只有数码0和，它们两者之间可以互相换算，如将，换算成十进制数为： ；； 两个二进制数可以相加减，相加减时，将对应数位上的数相加减．与十进制中的“逢十进一”、“退一还十”相类似，应用“逢二进一”、“退一还二”的运算法则，如：；，用竖式运算如右侧所示．． (1)按此方式，将二进制换算成十进制数的结果是　 　．(2)计算：　 　（结果仍用二进制数表示）；　 　（结果用十进制数表示）． 【答案】(1)9 (2)；35 【分析】（1）根据例子可知：若二进制的数有位，那么换成十进制，等于每一个数位上的数乘以2的方，再相加即可；（2）关于二进制之间的运算，利用“逢二进一”、“退一还二”的运算法则计算即可． 【详解】（1）解：；故答案为：9； （2）解： ， ．故答案为：；35． 【点睛】本题考查了有理数的混合运算．关键是能根据范例，达到举一反三的目的． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 第 2 页 共 20 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题10.有理数的乘方 1. 理解并掌握有理数的乘方，幂，底数，指数的概念及意义； 2. 会求有理数的正整数指数幂； 3. 熟练掌握有理数混合运算（含乘方）顺序和法则； 4. 感受发现问题的过程中体会到从特殊到一般的思考方法，从而增进学好数学的自信心。 题型探究 题型1、有理数乘方的概念 3 题型2、有理数乘方的运算 5 题型3、乘方运算的符号规律 6 题型4、有理数乘方的逆运算（简算） 8 题型5、含乘方的混合运算 10 题型6、偶次方的非负性的运用 12 题型7、有理数乘方的实际应用 13 题型8、有理数乘方的新定义问题 16 培优精练 A组（能力提升） 20 B组（培优拓展） 26 【思考1】手工拉面是我国的传统面食，制作时，拉面师傅将一团和好的面，揉搓成1根长条后，手握两端用力拉长，然后将长条对折，再拉长，再对折（每次对折称为一扣），如此反复操作，连续拉扣若干次后，便成了许多细细|的面条.你能算出拉扣7次后共有多少根面条吗？ 【乘方的趣事】关于国际象棋的起源，有一个传说：在古时候， 在某个王国里有一位聪明的大臣，他发明了国际象棋，献给了国王，国王从此迷上了下棋。为了对聪明的大臣表示感谢，国王答应满足这个大臣的一个要求。大臣说：“第1格放1粒小麦，第2格放2粒小麦，第3格放4粒小麦，然后是8粒、16粒、32粒…，一直到第64格……即每一个次序在后的格子中放的小麦都必须是前一个格子麦粒数目的两倍，直到最后一个格子放满为止”。国王哈哈大笑，慷慨地答应了大臣的要求。然而，国王最终发现，按照与大臣的约定，全印度的麦子竟然连棋盘一小半格子数目都不够。大臣索要的麦粒数目实际上是天文数字，总数将是一个十九位数，折算重量约为2000多亿吨，即使现代，全球小麦的年产量也不过是数亿吨。 1. 有理数的乘方 乘方的概念：一般地，个相同的乘数相乘，即，记作，读作“的次方”； 在中，叫做底数，叫做指数；当看作的次方的结果时，读作的次幂。 求个相同因数的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂。 注意：①乘方运算中的“1次方”通常把“1”省略，但不代表没有； ②乘方运算，代表的是多个相同乘数相乘，要与乘法运算区分开来； ③在运算时要注意看清楚底数和指数到底是谁； ④带分数的乘方运算，一定要先化成假分数后再运算。 2．整数指数幂的符号规律： 1）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数，即“奇负偶正”； 2）正数的任何次幂都是正数；3）0的任何正整数次幂都是0。 注意：除0以外的任何数的“0次幂”结果为1。 题型1、有理数乘方的概念 【解题技巧】求n个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂，即：。 在中，叫做底数， n叫做指数。 例1．（23-24七年级上·陕西西安·阶段练习）在中，底数是 ，指数是 ，幂是 ． 例2．（23-24七年级上·山西临汾·期末）（    ） A． B． C． D． 变式1．（23-24七年级上·安徽安庆·期末）下列说法正确的是（　　） A．的底数是 B．表示5个2相加 C．与意义相同 D．的底数是2 变式2．（23-24七年级上·河北石家庄·阶段练习）对于式子，下列说法正确的是（    ） A．指数是 B．底数是3 C．幂为 D．表示3个相乘 变式3．（23-24九年级·山东德州·阶段练习）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 题型2、有理数乘方的运算 【解题技巧】有理数乘方的运算：（1）正数的任何次幂都是正数；（2）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；（3）0的任何正整数次幂都是0；（4）有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样，首先应确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值。 例1．（23-24七年级·黑龙江哈尔滨·阶段练习）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 例2．（2023秋·河北石家庄·七年级校考阶段练习）若，则（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 变式1．（2023春·浙江衢州·七年级校考阶段练习）已知在，，，这4个数中，最大的数是（   ） A． B． C． D． 变式2．（2023春·上海静安·七年级校考期中）下列各式中，正确的是       ） A． B． C． D． 题型3、乘方运算的符号规律 【解题技巧】乘方的符号规律： 1）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数，即“奇负偶正”； 2）正数的任何次幂都是正数；3）0的任何正整数次幂都是0。 例1．（23-24七年级上·河南信阳·期中）在，，，0中，非负数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 例2．（2023·广西·七年级校考阶段练习）已知为正整数，计算的结果是（　　） A．1 B．-1 C．0 D．2 变式1．（23-24七年级上·广东揭阳·期末）计算： 变式2．（2023·广东·七年级期中）若非零数a，b互为相反数，下列四组数中，互为相反数的个数为（       ） ①与；②与；③与；④与 A．0 B．1 C．2 D．3 变式3．（22-23七年级上·安徽芜湖·期末）若是负数，则下列各式正确的是（   ） A． B． C． D． 题型4、有理数乘方的逆运算（简算） 【解题技巧】性质： 例1．（22-23七年级上·福建三明·期中）（1）计算下面两组算式： ①与；    ②与； （2）根据以上计算结果想开去：等于什么?（直接写出结果） （3）猜想与验证：当为正整数时，等于什么?请你利用乘方的意义说明理由． （4）利用上述结论，求的值． 变式1．（2023七年级上·江苏·专题练习）计算：（    ） A． B．1 C．0 D．2023 变式2．（23-24七年级上·河北石家庄·期中）若，则的值可以表示为（    ） A． B． C． D． 题型5、含乘方的混合运算 【解题技巧】有理数混合运算的顺序：(1)先乘方，再乘除，最后加减；(2)同级运算，从左到右进行；(3)如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行． 例1．（2024·广西贺州·三模）计算：． 例2．（23-24七年级·湖北·七年级期中）计算下列各题： (1) (2) (3) (4) 变式1．（23-24七年级·上海·期中）计算：． 变式2．（2023春·上海徐汇·七年级校考阶段练习） 题型6、偶次方的非负性的运用 例1．（23-24七年级上·广东韶关·阶段练习）若，则 ， ． 例2．（23-24七年级上·河南郑州·阶段练习）为有理数，下列说法中正确的是（　　） A．是正数 B．是正数 C．是负数 D．的值不小于 变式1．（22-23七年级上·云南昆明·期中）若，则 ． 变式2．（23-24七年级·上海宝山·期中）若，那么 ． 题型7、有理数乘方的实际应用 【解题技巧】此类题型的难点在于分析问题，建立乘方的数学模型。基本步骤为：首先从特殊情形入手，逐步分析、归纳，找出变化规律；然后根据规律写出乘方数学模型；最后根据题干要求计算结果。 例1．（23-24七年级上·江苏泰州·阶段练习）有一种细菌，经过1分钟分裂成2个，再过1分钟，又发生了分裂，变成4个．把这样一个细菌放在瓶子里繁殖，直至瓶子被细菌充满为止，用了1小时，如果开始时，就在瓶子里放入这样的细菌16个，那么细菌充满瓶子所需要的时间为（   ） A．44分钟 B．56分钟 C．半小时 D．1小时 例2．（23-24七年级上·河南郑州·阶段练习）你喜欢吃拉面吗？拉面馆的师傅，用一根很粗的面条，把两头捏合在一起拉伸，再拉伸，反复几次，如草图所示．这样捏合到第8次后可拉出 根细面条． 例3．（23-24七年级·山东淄博·期中）在日常生活中，我们用十进制来表示数，如．计算机中采用的二进制，即只需要0和1两个数字就可以表示数，如二进制中的，可以表示十进制中的10，那么二进制中的表示十进制中的 ． 变式1．（2024·四川达州·三模）在我国古书《易经》中有“上古结绳而治”的记载，它指“结绳记事”或“结绳记数”．如图，一远古牧人在从右到左依次排列的绳子上打结，满6进1，用来记录他所放牧的羊的只数，由图可知，他所放牧的羊的只数是（   ） A．1234 B．310 C．60 D．10 变式2．（22-23七年级·浙江温州·期中）小明的文档中有一个如图1的实验中学，他想在这个文档中用1000个这种，设计出一幅如图2样式的图案．他使用“复制粘贴”（用鼠标选中，右键点击“复制”，然后在本文档中“粘贴” 的方式完成，则他需要使用“复制粘贴”的次数至少为（　　） A．9次 B．10次 C．11次 D．12次 变式3．（23-24七年级上·辽宁丹东·期中）一根1米长的木棒，第1次截去一半，第2次截去剩下部分的一半，如此截下去，第7次后截去的木棒长为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 变式4．（2023·河南南阳·统考一模）观察下列等式：，，，，，，…，根据其中的规律可得的结果的个位数字是（    ） A． B． C． D． 题型8、有理数乘方的新定义问题 【解题技巧】“新定义”型问题是指在问题中定义了初中数学中没有学过的一些概念、新运算、新符号，要求学生读懂题意并结合已有知识进行理解，而后根据新定义进行运算、推理、迁移的一种题型.它一般分为三种类型：（1）定义新运算；（2）定义初、高中知识衔接“新知识”;（3）定义新概念.这类试题考查考生对“新定义”的理解和认识，以及灵活运用知识的能力，解题时需要将“新定义”的知识与已学知识联系起来，利用已有的知识经验来解决问题. 例1．（23-24七年级·黑龙江绥化·阶段练习）用“※”定义一种新运算，规定，如， (1)求的值；(2)求的值． 例2．（23-24七年级上·云南昆明·期中）【概念学习】规定：若求若干个相同的有理数均不等于的除法运算叫做除方，如，，我们把记作，读作“的圈次方”，记作，读作“的圈次方”．一般的，我们把记作，读作“的圈次方”． 【初步探究】（1）直接写出计算结果________， ________，________． 【深入思考】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算 （2）试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式：___， ___，___． （3）想一想：将一个非零有理数的圈次方写成幂的形式是________． 变式1．（2023·湖南·七年级校考期中）定义一种运算符号“★”：，如：，那么的结果是_______． 变式2．（2023·广东·七年级校考期中）定义一种对正整数n的“F运算”：①当n为奇数时，结果为3n＋5；②当n为偶数时，结果为（其中k是使为奇数的正整数），并且运算重复进行．例如，取n＝26，则： 若n＝449，则第2020次“F运算”的结果是______． 变式3．（2023秋·湖南常德·七年级统考期末）已知，记作，已知，记作，已知，记作，那么：（1）______；（2）( )． A组（能力提升） 1．（23-24七年级上·河南郑州·期末）一张纸的厚度大约为，如图，将其对折、压平，称作第1次操作，再将其对折、压平，称作第2次操作…假设这张纸足够大，每一次也能压得足够平整，如此重复，则第10次操作后的厚度最接近于（    ） A．数学课本的厚度 B．姚明的身高 C．一层楼房的高度 D．一支中性笔的长度 2．（2024·河北廊坊·二模）已知：，则（    ） A． B． C． D． 3．（2024·山东淄博·模拟预测）的相反数是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24七年级·上海黄浦·期中）下列计算正确的是（  ） A． B． C． D． 5．（2023·安徽合肥·校考模拟预测）式子与的正确判断是（    ） A．当为偶数时，这两个式子互为相反数 B．这两个式子是相等的 C．当为奇数时，它们互为相反数 D．为偶数时它们相等 6．（2023·湖北恩施·统考二模）在算式中的“”里填入一个运算符号，使得它的结果最小（    ） A． B． C． D． 7．（2024·江苏南京·一模）计算的结果是 ． 8．（2023·广东广州·七年级统考期末）在中，底数是______，指数是______.计算：______. 9．（23-24七年级上·江苏连云港·阶段练习）如下是张小琴同学的一张测试卷，她的得分应是 ． 填空（每小题25分，共100分） 姓名：张小琴 得分： ①的底数是；②的立方是；③若，则；④若，则． 10．（23-24七年级上·四川南充·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 11．（22-23七年级上·江苏镇江·期末）已知第一个正方体纸盒的棱长为，第二个正方体纸盒的体积比第一个正方体纸盒的体积大．(1)求第二个正方体纸盒的棱长；(2)第二个正方体纸盒的表面积比第一个正方体纸盒的表面积多多少？ 12．（23-24七年级上·福建福州·阶段练习）生活中常用的十进制是用这十个数字来表示数，满十进一， 例：； 计算机常用二进制来表示字符代码，它是用0和1两个数来表示数，满二进一， 例：二进制数10010转化为十进制数：； 其他进制也有类似的算法… (1)【发现】根据以上信息，将二进制数“10110”转化为十进制数是________； (2)【迁移】按照上面的格式将八进制数“4372”转化为十进制数； (3)【应用】在我国远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，如图所示是远古时期一位母亲记录孩子出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满五进一，根据图示，求孩子已经出生的天数． B组（培优拓展） 1．（2023·山东枣庄·统考一模）定义运算：若，则，例如，则．运用以上定义，计算：（    ） A． B．2 C．1 D．4 2．（2023·广东东莞·七年级期中），由此你能算出（    ） A．6 B．8 C． D．十分麻烦 3．（2023·福建厦门·七年级校考期中）七年级某班的学生共有49人，军训时排列成的方阵，做了一个游戏，起初全体学生站立，教官每次任意点n个不同学号的学生，被点到的学生，站立的蹲下，蹲下的站立，且学生都正确完成指令同一名学生可以多次被点，则m次点名后，（n，m为正整数）下列说法正确的是（    ） A．当n为偶数时，无论m何值，蹲下的学生人数不可能为奇数个 B．当n为偶数时，无论m何值，对下的学生人数不可能为偶数个 C．当n为奇数时，无论m何值，蹲下的学生人数不可能为偶数个 D．当n为奇数时，无论m何值，蹲下的学生人数不可能为奇数个 4．（2023·广东东莞·九年级校考期中）某公园将免费开放一天，早晨6时30分有2人进公园，第一个30min内有4人进去并出来1人，第二个30min内进去8人并出来2人，第三个30min内进去16人并出来3人，第四个30min内进去32人并出来4人，······按照这种规律进行下去，到上午11时30分公园内的人数是（  ） A． B．4039 C．8124 D．16304 5．（2023秋·河南新乡·七年级统考期末）观察下列算式：21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，26=64，27=128，28=256，…，31=3，32=9，33=27，34=81，35=243，36=729，37=2187，38 =6561，…，根据上述算式中的规律，221+311的末位数字是（  ） A．3 B．5 C．7 D．9 6．（2023·河南漯河·七年级校考阶段练习）计算的值，结果正确的是（    ） A．1 B． C．0 D．或0 7．（23-24七年级上·贵州六盘水·期末）如图，将面积为1的长方形纸片分割成8个部分，部分①的面积是原长方形纸片面积的一半，部分②的面积是部分①面积的一半，部分③的面积是部分②面积的一半，依次类推，阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 8．（2022·四川成都·七年级校考阶段练习）若a，b为有理数，下列判断正确的个数是（    ） （1）总是正数；（2）总是正数；（3）的最大值为5；（4）的最大值是3． A．1 B．2 C．3 D．4 9．（23-24七年级上·浙江金华·阶段练习）红红有5张写着以下数字的卡片，请你按要求抽出卡片，完成下列各问题： (1)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字乘积最大，最大值是________ (2)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字相除的商最小，最小值是________ (3)从中取出除0以外的其他4张卡片，将这4个数字进行加、减、乘、除或乘方等混合运算，使运算结果为24（注：每个数字只能用一次，请写出两种符合要求的运算式子： ________________________________    ________________________________ 10．（2023·江苏·七年级专题练习）阅读计算： 阅读下列各式：（ab）2＝a2b2，（ab）3＝a3b3，（ab）4＝a4b4… 回答下列三个问题：(1)验证：（4×0.25）100＝　　；4100×0.25100＝　　． (2)通过上述验证，归纳得出：（ ）n＝　　；（ ）n＝　　． (3)请应用上述性质计算：（﹣0.125）2015×22014×42014． 11．（2023·浙江绍兴·七年级校联考阶段练习）我们常用的数是十进制数，计算机程序使用的是二进制数（只有数码0和，它们两者之间可以互相换算，如将，换算成十进制数为： ；； 两个二进制数可以相加减，相加减时，将对应数位上的数相加减．与十进制中的“逢十进一”、“退一还十”相类似，应用“逢二进一”、“退一还二”的运算法则，如：；，用竖式运算如右侧所示．． (1)按此方式，将二进制换算成十进制数的结果是　 　．(2)计算：　 　（结果仍用二进制数表示）；　 　（结果用十进制数表示）． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 第 2 页 共 20 页 学科网（北京）股份有限公司 $$