高二开学模拟考试卷-【暑假自学课】2024年新高二数学暑假提升精品讲义（苏教版2019）

高二开学模拟考试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．小唐5月日每天的运动时长（单位：分钟）统计数据如图所示，则（    ） A．小唐这7天每天运动时长的平均数是72 B．小唐这7天每天运动时长的极差是42 C．小唐这7天每天运动时长的中位数是75 D．小唐这7天每天运动时长的第80百分位数是92 2．在复平面内，复数对应的点关于直线对称，若，则（    ） A． B．5 C． D．1 3．在正方形中，点E满足，点F满足，若，则（    ） A． B． C． D． 4．已知，，，，则（    ） A． B． C． D． 5．有一艘船以每小时25海里的速度向正东方向行驶，在处测得灯塔在该船的东北方向，该船行驶2小时后到达处，测得灯塔在该船的东偏北方向上，则（    ） A．海里 B．海里 C．50海里 D．海里 6．记“抛掷一颗骰子，向上的点数是4，5，6”为事件，“抛掷一颗骰子，向上的点数是1，2”为事件，“抛掷一颗骰子，向上的点数是1，2，3”为事件， “抛掷一颗骰子，向上的点数是1，2，3，4”为事件，下列判断正确的有 （    ）个 ①与互斥； ②与对立； ③与对立； ④与互斥； A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．在中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，若，，且，则（    ） A． B．4 C． D．5 8．《几何补编》是清代梅文鼎撰算书，其中卷一就给出了正四面体，正六面体（立方体）、正八面体、正十二面体、正二十面体这五种正多面体的体积求法.若正四面体的棱长为，为棱上的动点，则当三棱锥的外接球的体积最小时，三棱锥的体积为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．某品牌计算机售后保修期为1年，根据大量的维修记录资料，这种品牌的计算机在使用一年内需要维修1次的占15%，需要维修2次的占6%，需要维修3次的占4%.设 “一年内需要维修k次”，，则下列事件的概率正确的是（    ） A．在一年内需要维修的概率为0.25 B．在一年内不需要维修的概率为0.75 C．在一年内维修不超过1次的概率为0.90 D．在一年内最多需要维修2次的概率为0.94 10．已知函数则（    ） A．函数的图象关于点对称 B．将函数的图象向左平移个单位长度后所得到的图象关于轴对称 C．函数在区间上有2个零点 D．函数在区间上单调递增 11．已知锐角的内角的对边分别为若，则的值可能为（   ） A． B． C． D． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．在复平面内，复数和对应的点分别为，则 . 13．甲、乙两人下围棋，若甲执黑子先下，则甲胜的概率为；若乙执黑子先下，则乙胜的概率为.假定每局之间相互独立且无平局，第二局由上一局负者先下，若甲、乙比赛两局，第一局甲执黑子先下，则甲、乙各胜一局的概率为 . 14．在棱长为4的正方体中，分别为线段上的动点，点为侧面的中心，则的周长的最小值为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） 已知平面向量，． (1)求的值； (2)若向量与夹角为，求实数的值． 16．（15分） 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求的值； (2)若，的面积为，求的周长． 17．（15分） 2022年7月1日是中国共产党建党101周年，某党支部为了了解党员对党章党史的认知程度，针对党支部不同年龄和不同职业的人举办了一次“党章党史”知识竞赛，满分100分(95分及以上为认知程度高)，结果认知程度高的有人，按年龄分成5组，其中第一组：，第二组：，第三组：，第四组：，第五组：，得到如图所示的频率分布直方图． (1)根据频率分布直方图，估计这人的第80百分位数； (2)现从以上各组中用分层随机抽样的方法抽取20人，担任“党章党史”的宣传使者．若有甲（年龄36)，乙（年龄42)两人已确定入选宣传使者，现计划从第四组和第五组被抽到的使者中，再随机抽取2名作为组长，求甲、乙两人至少有一人被选上的概率． 18．（17分） 如图，在三棱柱中，是等边三角形，，，平面平面，点，，分别为棱，，的中点．    (1)求证：平面； (2)求证：平面； (3)求二面角的正切值． 19．（17分） 定义非零向量的“相伴函数”为，向量称为函数的“相伴向量”（其中为坐标原点）. (1)设，写出函数的相伴向量； (2)已知锐角的内角的对边分别为记向量的相伴函数，若且，求：①的取值范围；②的内切圆的半径的取值范围. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高二开学模拟考试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．小唐5月日每天的运动时长（单位：分钟）统计数据如图所示，则（    ） A．小唐这7天每天运动时长的平均数是72 B．小唐这7天每天运动时长的极差是42 C．小唐这7天每天运动时长的中位数是75 D．小唐这7天每天运动时长的第80百分位数是92 【答案】D 【解析】，A错误； B选项，小唐这7天每天运动时长的极差是，B错误； C选项，将小唐这7天每天运动时长从小到大排列为， 则小唐这7天每天运动时长的中位数是70，错误； D选项，因为，所以第80百分位数是第6个数，即92，D正确. 故选：D 2．在复平面内，复数对应的点关于直线对称，若，则（    ） A． B．5 C． D．1 【答案】C 【解析】因为，所以其对应点为， 关于直线对称的点为，则， 所以， 故选：C． 3．在正方形中，点E满足，点F满足，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】在正方形中，， 由，得，又， 因此 ， 而，且不共线，于是. 故选：D 4．已知，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，，所以， 又，，所以， 所以. 故选：B 5．有一艘船以每小时25海里的速度向正东方向行驶，在处测得灯塔在该船的东北方向，该船行驶2小时后到达处，测得灯塔在该船的东偏北方向上，则（    ） A．海里 B．海里 C．50海里 D．海里 【答案】A 【解析】由题可知, 海里，在中，由正弦定理可得， 则海里. 故选：A 6．记“抛掷一颗骰子，向上的点数是4，5，6”为事件，“抛掷一颗骰子，向上的点数是1，2”为事件，“抛掷一颗骰子，向上的点数是1，2，3”为事件， “抛掷一颗骰子，向上的点数是1，2，3，4”为事件，下列判断正确的有 （    ）个 ①与互斥； ②与对立； ③与对立； ④与互斥； A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【解析】抛掷一颗骰子，向上的点数可能为，，，，，， 对①②，则事件与不可能同时发生，也可以都不发生，故与互斥，但是不对立，故①正确，②错误； 对③，事件与不可能同时发生，但是与一定有一个会发生，故与对立，故③正确； 对④，事件与可以同时发生，如出现点，事件与事件均发生，故与不互斥，故④错误； 故正确只有①③共个. 故选：B 7．在中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，若，，且，则（    ） A． B．4 C． D．5 【答案】B 【解析】由正弦定理边角互化，可知，，且 则，，则， 则，① 由余弦定理，② 由①②得，，即. 故选：B 8．《几何补编》是清代梅文鼎撰算书，其中卷一就给出了正四面体，正六面体（立方体）、正八面体、正十二面体、正二十面体这五种正多面体的体积求法.若正四面体的棱长为，为棱上的动点，则当三棱锥的外接球的体积最小时，三棱锥的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】如图，在正四面体中，假设底面，则点为外心. 在上取一点，满足，则， 则为三棱锥的外接球球心， 当取得最小值时，最小，三棱锥的外接球体积最小， 此时点与点重合.作，垂足为，， 为三棱锥的高. 由正四面体的棱长为，知，， ，. 设，则，故，. 由，得， 解得.， . 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．某品牌计算机售后保修期为1年，根据大量的维修记录资料，这种品牌的计算机在使用一年内需要维修1次的占15%，需要维修2次的占6%，需要维修3次的占4%.设 “一年内需要维修k次”，，则下列事件的概率正确的是（    ） A．在一年内需要维修的概率为0.25 B．在一年内不需要维修的概率为0.75 C．在一年内维修不超过1次的概率为0.90 D．在一年内最多需要维修2次的概率为0.94 【答案】ABC 【解析】依题意得， 因为两两互斥，. 对于A：记事件为“一年内需要维修”，则， 所以，故A正确； 对于B：记事件为“一年内不需要维修”，则， 所以，故B正确； 对于C：记事件为“在一年内维修不超过1次”，则， 所以，故C正确； 对于D：记事件为“一年内最多需要维修2次”，则， 所以，故D错误． 故选：ABC. 10．已知函数则（    ） A．函数的图象关于点对称 B．将函数的图象向左平移个单位长度后所得到的图象关于轴对称 C．函数在区间上有2个零点 D．函数在区间上单调递增 【答案】ACD 【解析】 对于当时，而，故A正确； 对于将向左平移个单位后可得， 为奇函数，关于原点对称，故B错； 对于当时，， 因在上仅有2个零点，故在上也仅有2个零点，故C正确； 对于当时，因在上单调递增， 故在上单调递增，故D正确. 故选：ACD． 11．已知锐角的内角的对边分别为若，则的值可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【解析】因为， 由正弦定理得，即. 又因为是锐角三角形，即，可知. 由，解得， 则 ， 且，可知，则， 所以的取值范围为. 结合选项可知：AC错误，BD正确； 故选：BD. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．在复平面内，复数和对应的点分别为，则 . 【答案】/ 【解析】由题意可知，， 则， 故答案为：. 13．甲、乙两人下围棋，若甲执黑子先下，则甲胜的概率为；若乙执黑子先下，则乙胜的概率为.假定每局之间相互独立且无平局，第二局由上一局负者先下，若甲、乙比赛两局，第一局甲执黑子先下，则甲、乙各胜一局的概率为 . 【答案】 【解析】第一局甲胜，第二局乙胜：甲胜第一局的概率为，第二局乙执黑子先下，则乙胜的概率为， 因此第一局甲胜，第二局乙胜的概率为； 第一局乙胜，第二局甲胜：乙胜第一局的概率为，第二局甲执黑子先下，则甲胜的概率为， 因此第一局乙胜，第二局甲胜的概率为， 所以甲、乙各胜一局的概率为. 故答案为： 14．在棱长为4的正方体中，分别为线段上的动点，点为侧面的中心，则的周长的最小值为 . 【答案】 【解析】如图①，设侧面的中心为，根据正方体的结构特征可得， 则周长的最小值即的最小值. 将侧面绕着旋转至与平面在同一平面上， 将平面绕着旋转至与平面在同一平面上， 过点作⊥于点，则，其中， 如图②，则， 故的周长的最小值为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） 已知平面向量，． (1)求的值； (2)若向量与夹角为，求实数的值． 【解析】（1）因为，， 所以， 故． （2）因为，且， 所以， 于是有， 即， 则，其中，解得或． 16．（15分） 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求的值； (2)若，的面积为，求的周长． 【解析】（1）因为， 由正弦定理可得：， 且，可得， 且，可知，可得. （2）由（1）可知：，，则， 因为的面积为，可得， 由余弦定理可得， 即，可得， 所以的周长为. 17．（15分） 2022年7月1日是中国共产党建党101周年，某党支部为了了解党员对党章党史的认知程度，针对党支部不同年龄和不同职业的人举办了一次“党章党史”知识竞赛，满分100分(95分及以上为认知程度高)，结果认知程度高的有人，按年龄分成5组，其中第一组：，第二组：，第三组：，第四组：，第五组：，得到如图所示的频率分布直方图． (1)根据频率分布直方图，估计这人的第80百分位数； (2)现从以上各组中用分层随机抽样的方法抽取20人，担任“党章党史”的宣传使者．若有甲（年龄36)，乙（年龄42)两人已确定入选宣传使者，现计划从第四组和第五组被抽到的使者中，再随机抽取2名作为组长，求甲、乙两人至少有一人被选上的概率． 【解析】（1）因为前3组的频率和为，前4组的频率和为， 所以第80百分位数在内，设第80百分位数为， 由，解得：． （2）由样本频率估计总体频率，在和两区间内频率分别为0.2，0.1， 区间应抽取（人)，设为，，，甲， 区间应抽取（人)，设为，乙， 则从6人中随机抽取2人的样本空间为 ，，甲，乙，，，甲，乙，，甲，乙，，甲乙，甲，乙，共15个， 记 “甲、乙两人至少有一人被选上”， 则甲，乙，甲，乙，甲，乙，甲乙，甲，乙，共9个， 以， 故甲、乙两人至少有一人被选上的概率为． 18．（17分） 如图，在三棱柱中，是等边三角形，，，平面平面，点，，分别为棱，，的中点．    (1)求证：平面； (2)求证：平面； (3)求二面角的正切值． 【解析】（1）证明：如图所示，取的中点，连接，， 因为是棱的中点，是的中点，所以，， 又因为点，分别为棱，的中点，所以，， 因为，，所以，， 又因为平面，平面，所以平面， 在平行四边形中，是的中点，是的中点， 所以，，所以四边形是平行四边形，所以， 因为平面，平面，所以平面． 又因为，平面，所以平面平面， 因为平面，所以平面． （2）证明：如图所示，连接，因为是等边三角形，是的中点，所以，因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 又因为平面，所以， 因为，，所以， 又因为，平面，所以平面． （3）如图所示，在平面内，过点作直线的垂线，垂足为，连接， 由（2）易得平面，又平面，所以，， 因为，平面，所以平面， 又因为平面，所以， 因为，所以二面角的平面角为， 在中，，，，所以， 在中，，，，所以， 即二面角的正切值是． 19．（17分） 定义非零向量的“相伴函数”为，向量称为函数的“相伴向量”（其中为坐标原点）. (1)设，写出函数的相伴向量； (2)已知锐角的内角的对边分别为记向量的相伴函数，若且，求：①的取值范围；②的内切圆的半径的取值范围. 【解析】（1）， 所以函数的相伴向量. （2）①由题知， 由，得， 又，所以，即，所以， 又，由正弦定理，得，， 即， 因为，所以，即， 所以，即的取值范围为； ②由余弦定理得，即， 因为，所以， 所以， 由①知，所以， 所以内切圆半径的取值范围为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$