第2章 圆与方程综合测试-【暑假自学课】2024年新高二数学暑假提升精品讲义（苏教版2019）

第2章 圆与方程综合测试 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．在平面直角坐标系中，圆心为，半径为2的圆的方程是（    ） A． B． C． D． 2．若直线与圆相切，则圆的半径为（    ） A．2 B．4 C． D．8 3．已知圆与圆有4条公切线，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．直线被圆所截得的弦长为（    ） A． B． C．3 D．6 5．已知直线与圆和圆都相切，则实数的值为（   ） A． B． C． D．或 6．已知点在直线上运动，且，点在圆上，则的面积的最大值为（    ） A．8 B．5 C．2 D．1 7．已知圆的方程为，点，是圆内一点，设以为中点的弦所在的直线为，方程为的直线为，则（   ） A．，且与圆相交 B．，且与圆相离 C．，且与圆相交 D．，且与圆相离 8．已知点，动点满足，则取得最小值时，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知圆，直线．则以下几个结论正确的有（    ） A．直线l与圆C相交 B．圆C被y轴截得的弦长为 C．点C到直线l的距离的最大值是 D．直线l被圆C截得的弦长最短时，直线l的方程为 10．下列有关直线与圆的结论正确的是（    ） A．方程表示的直线必过点 B．过点且在，轴上的截距相等的直线方程为 C．圆和圆的公共弦所在的直线方程为 D．若圆上恰有个点到直线的距离等于，则 11．已知实数，满足，则（   ） A．当时，的最小值是 B．的最大值是 C．的最小值是 D．的最小值是1 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．求经过点且圆心在直线上的圆的标准方程为 . 13．若直线与曲线只有一个公共点，则实数b的取值范围是 . 14．已知点在圆上运动，若对任意点，在直线上均存在两点，，使得恒成立，则线段长度的最小值是 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） 已知两圆和. (1)当a为何值时，两圆外切？ (2)当时，试判断两圆的位置关系. 16．（15分） 已知圆C和直线，若圆C的圆心为(0,0)，且圆C经过直线和的交点． (1)求圆C的标准方程； (2)过定点(1,2)的直线l与圆C交于M，N两点，且，求直线l的方程． 17．（15分） 已知圆与y轴相切，O为坐标原点，动点P在圆外，过P作圆C的切线，切点为M． (1)求圆C的圆心坐标及半径； (2)求满足的点P的轨迹方程． 18．（17分） 已知圆C：． (1)若圆C与y轴相切，求圆C的方程； (2)若，圆C与x轴相交于M，N两点，且M的横坐标小于N的横坐标．过点M作一条直线与圆O：相交于两点A，B，若，求a的值． 19．（17分） 平面直角坐标系中，圆M经过点，，. (1)求圆M的标准方程； (2)设，过点D作直线，交圆M于PQ两点，PQ不在y轴上. ①过点D作与直线垂直的直线，交圆M于EF两点，记四边形的面积为S，求S的最大值； ②设直线OP，BQ相交于点N，试证明点N在定直线上，求出该直线方程. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第2章 圆与方程综合测试 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．在平面直角坐标系中，圆心为，半径为2的圆的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意可得方程为. 故选：C. 2．若直线与圆相切，则圆的半径为（    ） A．2 B．4 C． D．8 【答案】C 【解析】依题意，，解得（负值舍），所以圆的半径为. 故选:C. 3．已知圆与圆有4条公切线，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据题意可知，圆外离，，又． 故选：D 4．直线被圆所截得的弦长为（    ） A． B． C．3 D．6 【答案】B 【解析】圆化为标准方程为：,圆心为，； 圆心到直线的距离为，所以弦长为. 故选：B. 5．已知直线与圆和圆都相切，则实数的值为（   ） A． B． C． D．或 【答案】D 【解析】因为直线与圆相切，所以，解得， 由直线和圆相切， 所以或，解得或， 故实数的值为或. 故选：D. 6．已知点在直线上运动，且，点在圆上，则的面积的最大值为（    ） A．8 B．5 C．2 D．1 【答案】A 【解析】设圆心到直线的距离为到直线的距离为， 又圆心坐标为，则， 又半径为，则当最大时，， 此时面积也最大，． 故选：A． 7．已知圆的方程为，点，是圆内一点，设以为中点的弦所在的直线为，方程为的直线为，则（   ） A．，且与圆相交 B．，且与圆相离 C．，且与圆相交 D．，且与圆相离 【答案】B 【解析】如图： 直线的斜率为，由垂径定理可知，，所以，直线的方程为，即， 由于点是圆内一点，则， 又直线的方程为：， 所以，. 圆心到直线的距离为，因此，直线与圆相离. 故选：B 8．已知点，动点满足，则取得最小值时，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设，由，得，化简得， 由，得，所以， 故当且仅当三点共线，且点在之间时，取得最小值， 此时线段的方程为，由并结合， 解得故此时点的坐标为. 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知圆，直线．则以下几个结论正确的有（    ） A．直线l与圆C相交 B．圆C被y轴截得的弦长为 C．点C到直线l的距离的最大值是 D．直线l被圆C截得的弦长最短时，直线l的方程为 【答案】ACD 【解析】由， 则，得，即恒过定点， 由到圆心的距离，故定点在圆内，故直线与圆恒相交，故A正确； 令，则，可得，故圆被轴截得的弦长为，故B错误； 点C到直线l的距离的最大值为圆心到定点的距离，故最大值为，C正确， 要使直线被圆截得弦长最短，只需与圆心连线垂直于直线，则， 所以，可得，故直线为，故D正确． 故选：ACD． 10．下列有关直线与圆的结论正确的是（    ） A．方程表示的直线必过点 B．过点且在，轴上的截距相等的直线方程为 C．圆和圆的公共弦所在的直线方程为 D．若圆上恰有个点到直线的距离等于，则 【答案】ACD 【解析】对于，方程可化为， 直线过定点，故A正确； 对于B，当截距为时，直线方程为，故B错误； 对于C，圆的一般方程化为标准方程得，圆心为， 半径为，圆的圆心为，半径为， 因为，所以圆与圆相交． 圆的标准方程化为一般方程得， 与圆的一般方程作差，可得，即， 所以圆与圆的公共弦所在的直线方程为，故C正确； 对于D，若圆上恰有个点到直线的距离等于， 则圆心到直线的距离等于， 即，解得，故D正确． 故选：ACD 11．已知实数，满足，则（   ） A．当时，的最小值是 B．的最大值是 C．的最小值是 D．的最小值是1 【答案】BCD 【解析】由，得．该方程表示圆心为，半径的圆． 设，则表示圆上的点（除去点和）与原点连线的斜率， 由，则，解得或， 所以（可以为）， 即当时，无最小值，的最大值是，故A错误，B正确； 设，则，表示当直线与圆有公共点时直线在轴上的截距， 则，解得，即的最小值是，故C正确； 因为表示圆上的点到原点的距离的平方，又圆心在轴上， 所以当，时，取得最小值，且最小值为，故D正确． 故选：BCD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．求经过点且圆心在直线上的圆的标准方程为 . 【答案】 【解析】若经过点，，则圆心在直线上， 又在直线l：上，令，则， 故圆心坐标为，半径为， 故所求圆的标准方程为. 故答案为：. 13．若直线与曲线只有一个公共点，则实数b的取值范围是 . 【答案】 【解析】因为，所以，； 其图象是以为圆心，2为半径的下半个圆弧， 当直线与圆弧相切时，恰有一个公共点，此时由可求，（舍去）； 当直线过图中点时，由可得， 当直线过图中点时，由可得， 所以直线截距位于和3之间时也符合题意， 综上可得实数b的取值范围是. 故答案为： 14．已知点在圆上运动，若对任意点，在直线上均存在两点，，使得恒成立，则线段长度的最小值是 ． 【答案】． 【解析】如图， 由题可知，圆心为点，半径为， 若直线上存在两点，，使得恒成立， 则始终在以为直径的圆内或圆上. 如图： 设为直线上一点，延长交圆于. 当时，以为圆心，为半径做圆，交直线于、两点，此时. 也因为此时取得最小值，所以此时的长度取得最小值. 点到直线的距离为， 所以长度的最小值为． 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） 已知两圆和. (1)当a为何值时，两圆外切？ (2)当时，试判断两圆的位置关系. 【解析】（1）将两圆的方程写成标准方程为， ，所以两圆的圆心和半径分别为 ，， 两圆的圆心距为， 当两圆外切时，，即，解得或. （2）当时，，所以两圆相交. 16．（15分） 已知圆C和直线，若圆C的圆心为(0,0)，且圆C经过直线和的交点． (1)求圆C的标准方程； (2)过定点(1,2)的直线l与圆C交于M，N两点，且，求直线l的方程． 【解析】（1）首先由可得， 所以直线和相交于点， 所以圆C的半径， 所以圆C的标准方程为. （2）当直线l的斜率不存在时，方程为，代入圆C方程为可得， 此时，符合题意， 当直线l的斜率存在时，设直线方程为， 根据题意圆心到直线的距离为， 所以，解得，此时直线方程为， 所以直线l的方程为或. 17．（15分） 已知圆与y轴相切，O为坐标原点，动点P在圆外，过P作圆C的切线，切点为M． (1)求圆C的圆心坐标及半径； (2)求满足的点P的轨迹方程． 【解析】（1）圆C的标准方程为，所以圆C的圆心坐标为．又圆C与y轴相切，所以，即，故圆C的半径为1． （2）设，则，． 由于，则， 整理得点P的轨迹方程为：． 经检验，上的点都符合条件． 18．（17分） 已知圆C：． (1)若圆C与y轴相切，求圆C的方程； (2)若，圆C与x轴相交于M，N两点，且M的横坐标小于N的横坐标．过点M作一条直线与圆O：相交于两点A，B，若，求a的值． 【解析】（1）由得， 因为圆与轴相切，所以，解得或4， 故所求圆C的方程为或． （2）令得， 解得或，而，即，． 设，， 当直线AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为， 由得， ，， 又，即NA，NB的斜率互为相反数， ， 即， 整理得 所以，即，解得． 当直线AB与x轴垂直时，仍然满足， 即NA，NB的斜率互为相反数． 综上所述，． 19．（17分） 平面直角坐标系中，圆M经过点，，. (1)求圆M的标准方程； (2)设，过点D作直线，交圆M于PQ两点，PQ不在y轴上. ①过点D作与直线垂直的直线，交圆M于EF两点，记四边形的面积为S，求S的最大值； ②设直线OP，BQ相交于点N，试证明点N在定直线上，求出该直线方程. 【解析】（1）设圆M的方程为， 则，解得， 所以圆M的标准方程为； （2）设直线的方程为，即， 则圆心到直线的距离， 所以， ①若，则直线斜率不存在， 则，，则， 若，则直线得方程为，即， 则圆心到直线的距离， 所以， 则 ， 当且仅当，即时，取等号， 综上所述，因为，所以S的最大值为7； ②设， 联立，消得， 则， 直线的方程为， 直线的方程为， 联立，解得， 则， 所以， 所以点N在定直线上. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$