第3章 圆锥曲线与方程综合测试-【暑假自学课】2024年新高二数学暑假提升精品讲义（苏教版2019）

第3章 圆锥曲线与方程综合测试 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．设是双曲线上一点，分别是双曲线左右两个焦点，若，则等于（    ） A．1 B．17 C．1或17 D．5或13 2．已知方程表示焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．中心在原点，焦点在坐标轴上，离心率为，且过点的椭圆方程是（    ） A． B．或 C． D．或 4．如果动点满足，则点的轨迹是（   ） A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．线段 5．已知抛物线的焦点为，点，若点为抛物线上任意一点，当取最小值时，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 6．若双曲线的右焦点为，且点到双曲线的一条渐近线的距离为，则双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 7．已知椭圆：的左焦点为，离心率为为椭圆上关于轴对称的两点，，若，则椭圆方程为（    ） A． B． C． D． 8．若，分别是双曲线：的右支和圆：上的动点，且是双曲线的右焦点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知方程，则（    ） A．存在实数，使得该方程对应的图形是圆 B．存在实数，使得该方程对应的图形是平行于轴的两条直线 C．存在实数，使得该方程对应的图形是焦点在轴上的双曲线 D．存在实数，使得该方程对应的图形是焦点在轴上的椭圆 10．双曲线的左，右顶点分别为，右焦点到渐近线的距离为为双曲线在第一象限上的点，则下列结论正确的有（    ） A．双曲线的渐近线方程为 B．双曲线的离心率为 C．设直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，则为定值 D．若直线与双曲线的两条渐近线分别交于两点，且，则 11．已知椭圆：的左、右焦点分别为，，长轴长为4，点在椭圆外，点在椭圆上，则（    ） A．的取值范围是 B．当椭圆的离心率为时，的取值范围是 C．存在点使得 D．的最小值为1 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．该椭圆的左右焦点为，点是上一点，满足，则的面积为 ． 13．以抛物线的焦点为圆心，且与的渐近线相切的圆的标准方程为 . 14．已知双曲线的焦点分别为为双曲线上一点，若，则双曲线的渐近线方程为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） （1）求与椭圆有相同的焦点，且经过点的椭圆标准方程； （2）求焦点在轴上，虚轴长为8，离心率为的双曲线标准方程； 16．（15分） 已知、，若动点满足． (1)求动点的轨迹的方程； (2)若斜率为1的直线与曲线交于，两点，且，求直线的方程． 17．（15分） 已知点在双曲线：（）上. (1)求双曲线的方程； (2)是否存在过点的直线与双曲线相交于，两点，且满足是线段的中点？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由. 18．（17分） 已知动圆（为圆心）过定点，且与定直线相切． (1)求动圆圆心的轨迹方程； (2)设过点且斜率为的直线与（1）中的曲线交于、两点，求； (3)设点是轴上一定点，求、两点间距离的最小值． 19．（17分） 在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C：（，）的左、右焦点分别为、，是双曲线C上一点，且. (1)求双曲线C的方程； (2)过点P作直线l与双曲线C的两条渐近线分别交于R、S两点.若点P恰为线段RS的中点，求直线l的方程； (3)设斜率为-2的直线l与双曲线C交于A、B两点，点B关于坐标原点的对称点为D.若直线PA、PD的斜率均存在且分别为、，求证：为定值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第3章 圆锥曲线与方程综合测试 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．设是双曲线上一点，分别是双曲线左右两个焦点，若，则等于（    ） A．1 B．17 C．1或17 D．5或13 【答案】B 【解析】双曲线的， 由双曲线的定义可得． 因为，所以，得或17， 若，则在右支上，应有，不成立； 若，则在左支上，应有，成立． 故选：B． 2．已知方程表示焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据题意,要使方程表示焦点在轴上的椭圆, 需满足，解得. 故选：B. 3．中心在原点，焦点在坐标轴上，离心率为，且过点的椭圆方程是（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【解析】当椭圆的焦点在轴上时，设椭圆的方程为， 由离心率为，可得. ∵椭圆过点∴，，∴椭圆的标准方程为； 当椭圆的焦点在轴上时，，，得， 可得椭圆的标准方程为，整理为. 故选：D 4．如果动点满足，则点的轨迹是（   ） A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．线段 【答案】D 【解析】方程表示动点到定点的距离与它到定点的距离之和为3， 即， 所以点M的轨迹是线段． 故选：D 5．已知抛物线的焦点为，点，若点为抛物线上任意一点，当取最小值时，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】抛物线的焦点为，准线为， 设点在准线上的射影为，如图， 则根据抛物线的定义可知， 求的最小值，即求的最小值， 显然当，，三点共线时取得最小值， 此时点的横坐标为，则，解得，即. 故选：D. 6．若双曲线的右焦点为，且点到双曲线的一条渐近线的距离为，则双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为双曲线的右焦点为，则，即， 双曲线的渐近线方程为， 不妨取， 又点到双曲线的一条渐近线的距离为， 可得， 所以， 所以双曲线的离心率． 故选：C． 7．已知椭圆：的左焦点为，离心率为为椭圆上关于轴对称的两点，，若，则椭圆方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据为椭圆上关于轴对称的两点，，设，则， 因为，，所以， 所以，根据点在椭圆上得， 所以，又椭圆的离心率为，所以，， 所以，解得，则，所以椭圆方程为. 故选：B 8．若，分别是双曲线：的右支和圆：上的动点，且是双曲线的右焦点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】圆：的圆心，半径， 双曲线：则，，， 设左焦点为，则，即， 所以， 当且仅当、在线段与双曲线右支、圆的交点时取等号. 故选：A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知方程，则（    ） A．存在实数，使得该方程对应的图形是圆 B．存在实数，使得该方程对应的图形是平行于轴的两条直线 C．存在实数，使得该方程对应的图形是焦点在轴上的双曲线 D．存在实数，使得该方程对应的图形是焦点在轴上的椭圆 【答案】ACD 【解析】对A，取，此时方程为，表示的图形为圆，故A正确； 对B，，若要该方程对应的图形是平行于轴的两条直线， 则必须满足为一个定值，显然不成立，故B错误； 对C，取，则方程为，其对应的图形是焦点在轴上的双曲线，故C正确； 对D，取，此时方程为，其对应的图形是焦点在轴上的椭圆，故D正确. 故选：ACD. 10．双曲线的左，右顶点分别为，右焦点到渐近线的距离为为双曲线在第一象限上的点，则下列结论正确的有（    ） A．双曲线的渐近线方程为 B．双曲线的离心率为 C．设直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，则为定值 D．若直线与双曲线的两条渐近线分别交于两点，且，则 【答案】ACD 【解析】依题意，设，而双曲线的渐近线为， 则点到渐近线的距离为，因此，， 对于A，双曲线的渐近线方程为，A正确； 对于B，双曲线的离心率为，B错误； 对于C，显然，设，则，即， 所以为定值，C正确； 对于D，由，得是的中点，则，D正确. 故选：ACD 11．已知椭圆：的左、右焦点分别为，，长轴长为4，点在椭圆外，点在椭圆上，则（    ） A．的取值范围是 B．当椭圆的离心率为时，的取值范围是 C．存在点使得 D．的最小值为1 【答案】BCD 【解析】由题意得，又点在椭圆外，则，又，解得，故A不正确； 当时，，则， 所以的取值范围是，即，故B正确； 设椭圆的上顶点为，，， 由于，所以存在点使得，故C正确； 因为， 当且仅当时，等号成立， 又，所以，故D正确. 故选：BCD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．该椭圆的左右焦点为，点是上一点，满足，则的面积为 ． 【答案】9 【解析】解法一：由，得，则， 设，则由题意得 ， 由，得， 所以，得， 所以的面积为 解法二：由，得， 因为 所以由焦点三角形的面积公式得． 故答案为：9 13．以抛物线的焦点为圆心，且与的渐近线相切的圆的标准方程为 . 【答案】 【解析】由题意知，抛物线的焦点为，的渐近线为， 因为相切，所以圆的半径为，所以圆的标准方程为. 故答案为：. 14．已知双曲线的焦点分别为为双曲线上一点，若，则双曲线的渐近线方程为 . 【答案】 【解析】由双曲线的对称性，不妨设在第一象限， 设，又， 所以 ，所以， 因为为的中点，所以，即， 所以两边平方得 ， 所以，即，即， 所以双曲线的渐近线方程为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） （1）求与椭圆有相同的焦点，且经过点的椭圆标准方程； （2）求焦点在轴上，虚轴长为8，离心率为的双曲线标准方程； 【解析】（1）椭圆中，所以， 又经过点，设椭圆方程为， 则，解得, 所以椭圆标准方程为. （2）由题意可知， 设双曲线标准方程， 则 解得， 所以双曲线标准方程. 16．（15分） 已知、，若动点满足． (1)求动点的轨迹的方程； (2)若斜率为1的直线与曲线交于，两点，且，求直线的方程． 【解析】（1）设，则结合已知条件得：，，, ， . 平方整理得：，即， 的轨迹为的方程为. （2）根据已知条件可设直线l：，将代入方程， 整理得：， 设，，则，解得， 所以有：，， 则， 整理得：，满足，所以， 即直线l方程为或. 17．（15分） 已知点在双曲线：（）上. (1)求双曲线的方程； (2)是否存在过点的直线与双曲线相交于，两点，且满足是线段的中点？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由. 【解析】（1）已知点在双曲线：（）上， 所以，整理得，解得，则， 所以双曲线方程为； （2）由题可知若直线存在，则直线的斜率存在，故设直线的方程为， 且设交点，， 则，两式相减得， 由于为中点，则，， 则， 即有直线的方程为，即， 由，可得， 检验判别式为，方程有实根， 故存在过点的直线与该双曲线相交于，两点，且满足是线段的中点. 此时的方程为. 18．（17分） 已知动圆（为圆心）过定点，且与定直线相切． (1)求动圆圆心的轨迹方程； (2)设过点且斜率为的直线与（1）中的曲线交于、两点，求； (3)设点是轴上一定点，求、两点间距离的最小值． 【解析】（1）因为动圆（为圆心）过定点，且与定直线相切， 即点到定点的距离与到直线的距离相等，且点不在直线上， 所以由抛物线定义知：圆心的轨迹是以定点为焦点，定直线为准线的抛物线， 抛物线方程形如，又，则， 故圆心的轨迹方程为． （2）如图，由题知，直线的方程为， 由，解得或，所以，， 所以. （3）设，则，又， 则， 因二次函数的对称轴为， 故当，即时，，此时； 当，即时，，此时. 所以. 19．（17分） 在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C：（，）的左、右焦点分别为、，是双曲线C上一点，且. (1)求双曲线C的方程； (2)过点P作直线l与双曲线C的两条渐近线分别交于R、S两点.若点P恰为线段RS的中点，求直线l的方程； (3)设斜率为-2的直线l与双曲线C交于A、B两点，点B关于坐标原点的对称点为D.若直线PA、PD的斜率均存在且分别为、，求证：为定值. 【解析】（1）因为是双曲线C上一点，所以， 由，所以， 因为，所以， 即，联立解得：， 所以双曲线的方程为：. （2）由（1）知：双曲线的渐近线方程为，由图象可知直线的斜率存在并大于1， 不妨设，，由的方程为：， 将代入得：， 同理，由为中点，则， 所以，解得， 所以直线l的方程为. （3）设，点与点关于原点对称，所以， 设直线的方程为， 由，得， 由可知或， 则， 所以 ， 由题意知：， 所以， 所以为定值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$