第08讲 平面上的距离（十二大考点）-【暑假自学课】2024年新高二数学暑假提升精品讲义（苏教版2019）

第08讲 平面上的距离 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1、掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式、平行直线间的距离公式并会应用. 2、会用坐标法证明简单的平面几何问题． 知识点一：中点坐标公式 若两点、，且线段的中点坐标为，则，，则此公式为线段的中点坐标公式． 知识点二：两点间的距离公式 两点间的距离公式为． 知识点诠释： 此公式可以用来求解平面上任意两点之间的距离，它是所有求距离问题的基础，点到直线的距离和两平行直线之间的距离均可转化为两点之间的距离来解决．另外在下一章圆的标准方程的推导、直线与圆、圆与圆的位置关系的判断等内容中都有广泛应用，需熟练掌握． 知识点三：点到直线的距离公式 点到直线的距离为． 知识点诠释： （1）点到直线的距离为直线上所有的点到已知点的距离中最小距离； （2）使用点到直线的距离公式的前提条件是：把直线方程先化为一般式方程； （3）此公式常用于求三角形的高、两平行线间的距离及下一章中直线与圆的位置关系的判断等． 知识点四：两平行线间的距离 本类问题常见的有两种解法：①转化为点到直线的距离问题，在任一条直线上任取一点，此点到另一条直线的距离即为两直线之间的距离；②距离公式：直线与直线的距离为． 知识点诠释： （1）两条平行线间的距离，可以看作在其中一条直线上任取一点，这个点到另一条直线的距离，此点一般可以取直线上的特殊点，也可以看作是两条直线上各取一点，这两点间的最短距离； （2）利用两条平行直线间的距离公式时，一定先将两直线方程化为一般形式，且两条直线中，的系数分别是相同的以后，才能使用此公式． 考点一：中点公式 【典例1-1】（2024·浙江·丽水外国语实验学校高一阶段练习）已知点，则线段AB的中点坐标为________． 【答案】 【解析】由题意知：中点坐标为，即． 故答案为：． 【典例1-2】（2024·全国·高二课时练习）直线l经过已知点，且被两条已知直线截得的线段恰以P为中点，求直线l的方程． 【解析】当斜率不存在时，直线，代入直线得：；代入直线得：，所以中点不是点P，当斜率存在时， 设直线，联立 得： ； 联立得：，因为截得的线段恰以P为中点， 所以，解得：，所以直线，即： 【变式1-1】（2024·江苏·高二课时练习）已知点在轴上，点在轴上，线段的中点的坐标是，求线段的长． 【解析】在平面直角坐标系中，，则为直角三角形，且为斜边， 故． 考点二：两点距离公式 【典例2-1】（2024·高二·天津·期末）三角形的三个顶点为，D为中点，则的长为（   ） A．3 B．5 C．9 D．25 【答案】B 【解析】由题设，则. 故选：B 【典例2-2】（2024·高二·新疆乌鲁木齐·期中）三角形的三个顶点为，则的中线的长为（    ） A．3 B．5 C．9 D．25 【答案】B 【解析】设边的中点为D，则D点坐标为，即， 故的中线的长为， 故选：B 【变式2-1】（2024·高二·内蒙古呼伦贝尔·阶段练习）已知，则A，B两点间的距离为（    ） A．5 B． C．3 D． 【答案】B 【解析】A，B两点间的距离为. 故选：B 【变式2-2】（2024·高二·江苏徐州·期中）已知过两点的直线的倾斜角是，则两点间的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题知，， 解得，故， 则两点间的距离为. 故选：C 考点三：由顶点判断三角形的形状 【典例3-1】（2024·高二·全国·课后作业）以点A(－3，0)，B(3，－2)，C(－1，2)为顶点的三角形是（    ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．以上都不是 【答案】C 【解析】， ， ， ， 所以三角形是直角三角形. 故选：C 【典例3-2】（2024·高二·全国·课后作业）以为顶点的的形状是（    ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰非等边三角形 D．等腰直角三角形 【答案】C 【解析】根据两点间的距离公式， 得， ， ，所以，且|， 故是等腰非等边三角形. 答案：C. 【变式3-1】（2024·高二·全国·专题练习）已知点，，，若，，是的三个顶点，则是（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 【答案】B 【解析】， ，故，且， 故为等腰三角形. 故选：B. 【变式3-2】（2024·高二·全国·课后作业）已知的三个顶点坐标是，，．则的形状为 ；的面积为 . 【答案】 直角三角形 5 【解析】因为， ，， 所以，即是以A为直角顶点的直角三角形． 由于是以A为直角顶点的直角三角形，所以. 故答案为：直角三角形； 考点四：由两点距离公式求最值 【典例4-1】（2024·高二·江苏宿迁·期末）我国著名数学家华罗庚曾经说过：“数形结合百般好，隔离分家万事休.”事实上有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，根据上述观点，当取得最小值时，实数的值为（    ） A． B．3 C． D．4 【答案】C 【解析】， 表示平面上点与点，的距离和， 连接，与轴交于，此时直线方程为， 令，则 的最小值为，此时 故选：C． 【典例4-2】（2024·高二·四川南充·期末）设，其中.则的最小值为（    ） A．8 B．9 C． D． 【答案】B 【解析】设，则表示：， ，则直线的方程为，令，则， 所以直线与轴相交于点， 所以， 所以，当点P为时，等号成立，故的最小值为9. 故选：B. 【变式4-1】（2024·高二·重庆·期末）的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意知， ， 设， 则的几何意义为的值， 如图，作点关于x轴的对称点，连接， 与x轴的交点即为所求点P，此时取得最小值，为. 而， 即的最小值为， 所以的最小值为. 故选：D 【变式4-2】（2024·高二·山东济宁·期中）已知，，，为四个实数，且，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D．5 【答案】D 【解析】设，则， 所以 ， 而可看做轴上动点与两定点的距离和，如图， 由图可知当运动到时，最小，最小值为， 所以的最小值为. 故选：D 考点五：点线距离公式 【典例5-1】（2024·高二·湖北·期中）已知直线恒过定点，则点到直线的距离为 . 【答案】 【解析】直线可化为， 令，解得，于是此直线恒过点. 由点到直线的距离公式得到直线的距离. 故答案为： 【典例5-2】（2024·高二·上海·期中）点到直线的距离为 . 【答案】 【解析】点到直线的距离. 故答案为： 【变式5-1】（2024·高二·上海·期中）点到直线的距离是 . 【答案】 【解析】由题意可知：到直线的距离是. 故答案为：. 【变式5-2】（2024·高二·上海·期中）点到直线的距离是 . 【答案】2 【解析】点到直线的距离. 故答案为：2. 【变式5-3】（2024·高二·湖北·期末）点到直线的距离最大值是 ． 【答案】 【解析】由题意得，直线过定点，则， 如图所示，当直线与直线垂直时， 此时点到直线的距离最大值，且最大值为. 故答案为：. 考点六：面积问题 【典例6-1】（2024·高二·全国·课后作业）以，，为顶点的三角形的面积等于（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】A 【解析】由题意知：，直线的方程为，即，则到直线的距离为， 故三角形的面积为. 故选：A. 【典例6-2】（2024·高二·云南昆明·期中）在△ABC中，点，，，则的面积为 ． 【答案】/ 【解析】由两点式可得直线的方程为，即为， 再由点到直线的距离公式可得， 点到直线的距离， 且两点间的距离为， 所以的面积为. 故答案为： 【变式6-1】（2024·高二·北京·阶段练习）已知的三个顶点的坐标为、、，则边上的高所在的直线方程是 ；的面积是 . 【答案】 24 【解析】由，则边上的高的斜率3， 又经过点，故方程为，化简为； 又， 直线的方程为，整理为， 而点到的距离为， 则的面积为. 故答案为：，24 【变式6-2】（2024·高一·全国·课后作业）已知点，则的面积等于 (　 　) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意得： 设边上的高为，则， 其中， 边上的高就是点到直线的距离．AB边所在的直线方程为，即. 点到直线的距离为 因此，. 故选：C 考点七：由点线距离求参数 【典例7-1】（2024·高二·上海·阶段练习）已知直线，点到直线的距离等于，则 【答案】 【解析】依题意，，所以. 故答案为： 【典例7-2】（2024·高二·广西南宁·阶段练习）已知到直线的距离等于3，则a的值为 . 【答案】或 【解析】由距离公式可得，， 即，解得或. 故答案为：或. 【变式7-1】（2024·高二·全国·专题练习）垂直于直线且与点的距离是的直线l的方程是 ． 【答案】或 【解析】设与直线垂直的直线方程为， 则由点到直线的距离公式知，． 所以，即，得或， 故所求直线l的方程为或. 故答案为：或 【变式7-2】（2024·高二·全国·专题练习）已知点到直线的距离等于，则实数等于 . 【答案】/ 【解析】因为点到直线的距离等于， 所以有， 解得， 故答案为：. 考点八：点关于直线对称 【典例8-1】（2024·高二·四川雅安·开学考试）点关于直线对称的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设所求对称点的坐标为， 则，解得， 故点关于直线对称的点的坐标为. 故选：D. 【典例8-2】（2024·高二·山东泰安·期末）点关于直线的对称点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意， 在直线中，斜率为， 垂直于直线且过点的直线方程为，即， 设两直线交点为， 由，解得：， ∴, ∴点关于直线的对称点的坐标为， 即， 故选：C. 【变式8-1】（2024·高二·浙江·阶段练习）一条光线从点射出，经直线反射后经过点，则反射光线所在直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设点关于直线的对称点为， 则，化简得，解得， 故反射光线过点， 则反射光线所在直线的方程为. 故选：B. 【变式8-2】（2024·高二·广东佛山·期中）点关于直线对称的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设点关于直线对称的点的坐标为， 则，解得， 故点关于直线对称的点的坐标为， 故选：B 考点九：直线关于直线对称 【典例9-1】（2024·高三·全国·专题练习）已知直线，直线，若直线关于直线l的对称直线为，则直线的方程为 ． 【答案】. 【解析】由题意知，设直线，在直线上取点， 设点关于直线的对称点为， 则， 解得，即， 将代入的方程得， 所以直线的方程为. 故答案为： 【典例9-2】（2024·福建厦门·模拟预测）已知直线：关于直线的对称直线为轴，则的方程为 . 【答案】或 【解析】 直线交轴于点，交轴于点， 设直线的方程为，则关于直线的对称点在轴上， 所以，则的中点在直线上，所以①， 又②，联立①②可得或， 所以直线的方程为或. 故答案为：或. 【变式9-1】（2024·高二·江苏南京·阶段练习）直线关于直线的对称直线方程为 ． 【答案】 【解析】设直线关于直线对称的直线为， 由得：，则点在直线上； 在直线上取一点，设其关于直线对称的点为， 则，解得：，即； 直线的方程为：，即. 故答案为：. 【变式9-2】（2024·高二·全国·课后作业）如果直线与直线关于直线对称，那么 ， ． 【答案】 6 【解析】直线上的点关于的对称点在上， 所以，解得， 直线上的点关于的对称点在上， 所以，解得. 故答案为：； 考点十：平行线间距离公式 【典例10-1】（2024·高二·上海·期中）设，若直线与直线之间的距离为，则的值为 ． 【答案】2或 【解析】由题意可得，解得或， 故答案为：2或 【典例10-2】（2024·高二·上海·期末）已知直线与直线互相平行，则它们之间的距离是 . 【答案】 【解析】由直线与直线互相平行，得， 则直线与直线的距离为：. 故答案为： 【变式10-1】（2024·高二·浙江·期中）若直线与直线平行，则 ，它们之间的距离为 . 【答案】 【解析】因为直线与直线平行， 所以，解得， 所以直线的方程可化简， 而直线，即直线， 它们之间的距离为， 故答案为：；. 【变式10-2】（2024·高二·上海·阶段练习）直线与直线之间的距离为 ． 【答案】/ 【解析】的方程可化为，由平行直线之间的距离公式可得 . 故答案为：. 【变式10-3】（2024·高二·云南临沧·阶段练习）设，已知直线，过点作直线，且，则直线与之间距离的最大值是 . 【答案】5 【解析】由于直线，整理得：， 故，解得， 即直线恒过点，则过点作直线， 且，则最大距离为点与点的距离， 即. 故答案为：5 考点十一：直线关于点对称 【典例11-1】（2024·高二·山东·阶段练习）直线关于点对称的直线方程为 ． 【答案】 【解析】在直线上取点、， 点关于点的对称点为，点关于点的对称点为， 直线的斜率为， 所以，所求直线方程为，即. 故答案为：. 【典例11-2】（2024·高二·福建福州·期中）已知点，直线：，则点到直线的距离为 ，直线关于点对称的直线方程为 ． 【答案】 / 【解析】点，直线：， 则点到直线的距离为， 设直线关于点的对称直线为， 则直线上任一点关于点的对称点一定在直线上， ，解得， 将代入直线的方程可得，． 所以直线关于点对称的直线方程为. 故答案为：；. 【变式11-1】（2024·高二·河北石家庄·阶段练习）与直线关于点对称的直线方程是 ． 【答案】 【解析】设直线关于点对称的直线上任意一点， 则关于对称点为， 又因为在上， 所以，即， 故答案为：. 【变式11-2】（2024·高二·江苏苏州·周测）直线恒过定点，则直线关于点对称的直线方程为 ． 【答案】 【解析】由得：，当时，，； 设直线关于点对称的直线方程为， ，解得：或（舍）， 直线关于点对称的直线方程为. 故答案为：. 考点十二：将军饮马问题 【典例12-1】（2024·高二·贵州安顺·期末）“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”这是唐代边塞诗人李颀的《古从军行》中的诗句，诗句中隐含着一个著名的数学问题——“将军饮马”问题，即将军白天察看烽火台之后，从山脚下的某处返回军营，途中须到河边饮马然后再赶回军营，将军怎样走才能使返回总路程最短？已知在平面直角坐标系中，军营所在位置为坐标原点，将军从山脚下的点处出发返回军营，河岸线所在直线方程为．则返回总路程最短为 ． 【答案】 【解析】过作关于直线对称的点， 设，所以，解得， 所以，故最短距离为. 故答案为： 【典例12-2】（2024·高二·江苏·单元测试）已知点，点分别是x轴和直线上的两个动点，则的最小值等于 ． 【答案】 【解析】如图，作点关于轴的对称点，则， 此时最小值即为到直线的距离，即， 所以的最小值为， 故答案为：. 【变式12-1】（2024·高二·吉林长春·期末）唐代诗人李颀的《古从军行》中两句诗为：“白日登山望烽火,黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题,即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发,怎样走才能使总路程最短?在平面角坐标系中,设军营所在位置为,若将军从处出发,河岸线所在直线方程为.则“将军饮马”的最短总路程为 . 【答案】 【解析】设军营所在位置为， 若将军从处出发，河岸线所在直线方程为， 故点关于对称点的坐标， 所以，解得；即． 设直线上任一点N，，即当且仅当Q，N，三点共线时取最小值， 即． 即“将军饮马”的最短总路程为. 故答案为：. 【变式12-2】（2024·高二·福建三明·阶段练习）2023年暑期档动画电影《长安三万里》重新点燃了人们对唐诗的热情，唐诗中边塞诗又称出塞诗，是唐代汉族诗歌的主要题材，是唐诗当中思想性最深刻，想象力最丰富，艺术性最强的一部分．唐代诗人李颀的边塞诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”．诗中隐含着一个有趣的数学问题一“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设将军的出发点是，军营所在位置为，河岸线所在直线的方程为，若将军从出发点到河边饮马，再回到军营（“将军饮马”）的总路程最短，则将军在河边饮马地点的坐标为 ． 【答案】 【解析】 由题可知在的同侧， 设点关于直线的对称点为， 则，解得即． 将军从出发点到河边的路线所在直线即为，又， 所以直线的方程为， 设将军在河边饮马的地点为， 则即为与的交点， ，解得， 所以． 故答案为： 【变式12-3】（2024·高二·重庆九龙坡·阶段练习）直线分别交轴和于点，，为直线上一点，则的最大值是 ． 【答案】. 【解析】由直线分别交轴和于点，可得， 如图所示，设点关于直线的对称点为， 则，解得，即， 又由，即，则， 当且仅当三点共线时，等号成立， 即的最大值为，即的最大值为. 故答案为：. 1．（2024·高二·新疆喀什·期中）已知，则（    ） A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【解析】因为， 则, 故选： 2．（2024·高二·海南·期中）在平面直角坐标系中，原点到直线：与：的交点的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，所以，所以交点坐标为， 所以原点到交点的距离为， 故选：C. 3．（2024·高二·黑龙江·期中）著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休．”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点与点的距离．结合上述观点，可得的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】， 则y可看作x轴上一点到点与点的距离之和， 即，则可知当A，P，B三点共线时，取得最小值， 即． 故选：A. 4．（2024·高二·陕西西安·阶段练习）可以转化为平面上点与点之间的距离．结合上述观点，可得的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】， 设，，， 故表示的几何意义为的长， 如图所示，取点关于轴的对称点，连接， 则的长即为的最小值，即最小值为. 故选：B 5．（2024·高二·浙江宁波·期中）如图，一束光线从出发，经直线反射后又经过点，则光线从A到B走过的路程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 一束光线从出发，经直线反射,与交于点P, 由题意可得，点关于直线的对称点在反射光线上， 设,则,, 故光线从A到B所经过的最短路程是. 故选：C. 6．（2024·高二·四川达州·期中）已知直线：和点，点，点P是直线上一动点，当最小时，点P的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】依题意，设关于直线的对称点， 所以，解得，所以， 由直线的对称性知，，则， 当且仅当三点共线时，等号成立，即取到最小， 由及知直线的方程为， 联立，解得，即. 所以最小时，点P的坐标是. 故选：C 7．（2024·高二·广东广州·期末）若点在直线上，则的最小值为 . 【答案】/0.8 【解析】表示点到点距离的平方，又点在直线上， 问题转化为求直线上点到定点距离的平方的最小值， ， 所以得最小值为. 故答案为：. 8．（2024·高二·北京·期中）到直线的距离不超过，则实数的取值范围是 . 【答案】 【解析】因为到直线的距离不超过， 所以，解得， 即实数的取值范围是. 故答案为： 9．（2024·高二·天津西青·阶段练习）已知点到直线的距离等于1，则实数等于 ． 【答案】/ 【解析】由题意，， 解得. 故答案为：. 10．（2024·高二·广东梅州·阶段练习）已知直线，它关于直线对称的直线方程为 . 【答案】 【解析】设对称的直线方程的点为，对称点为， 直线斜率为1， 则有，消去得， 故答案为： 11．（2024·高三·全国·课后作业）若直线与关于直线对称，则实数a= . 【答案】 【解析】直线过点， 点关于直线对称点为， 依题意可知点在直线上， 所以. 故答案为： 12．（2024·高二·全国·课后作业）直线关于点对称的直线的方程是 ． 【答案】 【解析】记直线l关于点P对称的直线为，则由题意可知， 所以设的方程为，即 又点点P到两直线的距离相等，所以 整理可得，解得或 当时，即为直线l，故 所以所求方程为：. 故答案为： 13．（2024·高二·河北邢台·期末）已知直线与互相平行，则 ，与之间的距离为 . 【答案】 【解析】因为直线与互相平行， 所以，解得， 则， 所以与之间的距离. 故答案为：；. 14．（2024·高二·江苏泰州·阶段练习）已知点，，点在直线上，则的最小值为 . 【答案】 【解析】如图所示， 设点关于直线的对称点为，则， 解得，即， 所以，等号成立当且仅当点与点重合，其中点为与直线的交点. 故答案为：. 15．（2024·高二·天津北辰·阶段练习）已知，点在直线，圆：，则最小值是 . 【答案】 【解析】因为可转化为：，则圆心为，半径为. 设A关于直线的对称点B的坐标为， 则：，解得，即， 所以的最小值是， 故答案为：. 16．（2024·高二·上海·阶段练习）已知的三个顶点的坐标分别是点与，直线. (1)求边AC所在直线的倾斜角和边AC上的高所在直线的方程; (2)记为点到直线的距离，试问:是否存在最大值?若存在，求出的最大值:若不存在，说明理由; 【解析】（1）因为，所以， 所以直线的倾斜角为， 因为，所以， 所以直线的方程为：，化简得：. （2）将直线变形可得：， 对于取任何实数时，此方程恒成立，则 得， 即直线恒过两直线及的交点， 由图象可知，对于任何一条过点的直线，点到它的距离不超过，即． 又因为过点且垂直于的直线方程是， 但无论时，直线表示为， 此时距离最大．所以，存在最大值． 17．（2024·高二·山西大同·阶段练习）已知直线，点．求： (1)点关于直线的对称点的坐标； (2)直线关于直线的对称直线的方程； (3)直线关于点对称的直线的方程． 【解析】（1）设，由得， 则，解得，故. （2）在直线上取一点，如，则关于直线的对称点必在上， 设对称点为，则，解得，即， 设与的交点为，则由，解得，即， 又经过点，故， 所以直线的方程为，即. （3）设为上任意一点， 则关于点的对称点为， 因为在直线上，所以， 即直线的方程为. 18．（2024·高二·浙江温州·期中）已知三条直线和，且与的距离是． (1)求的值； (2)能否找到一点，使同时满足下列三个条件：①点是第一象限的点；②点到的距离是点到的距离的；③点到的距离与点到的距离之比是，若能，求点的坐标；若不能，请说明理由． 【解析】（1） 因为可化为，所以与的距离为． 因为，所以． （2）设存在点满足，则点在与，平行直线上． 且，即或． 所以满足条件②的点满足或． 若点满足条件③，由点到直线的距离公式，有，即， 所以或，因为点在第一象限，所以不成立． 联立方程和，解得（舍去）， 联立方程和，解得， 所以即为同时满足条件的点. 19．（2024·高二·上海·阶段练习）已知直线，试求： (1)点关于直线的对称点的坐标； (2)直线关于直线对称的直线方程； (3)直线关于点对称的直线方程． 【解析】（1） 设点关于直线 的对称点的坐标为， 则有题意可得，解得， 故点关于直线的对称点的坐标为． （2）由可得， 直线与直线的交点为， 再在直线上取一点， 设点关于直线的对称点为， 则由解得， 即． 由题意可得、两点是所求直线上的两个点，则直线斜率为， 则直线方程为， 化简为． （3）在直线上任意取出两个点， 求出这两个点关于点对称点分别为 由题意可得，是所求直线上的两个点， 则直线斜率为3， 则所求直线方程为， 即． 20．（2024·高二·浙江杭州·期中）已知光线经过点，在直线上反射，且反射光线经过点，求： (1)入射光线与直线l的交点． (2)入射光线与反射光线所在直线的方程． 【解析】（1）设点关于直线的对称点为， 则，解得，即， 则反射光线所在的直线的方程，即， 又由，解得， 即直线与直线的交点为. （2）由点，可得， 所以入射光线所在的直线的方程为，即， 反射光线所在直线的的方程，即. 21．（2024·高二·浙江宁波·期末）已知的三个顶点，，． (1)求边上中线所在直线的方程； (2)已知点满足，且点在线段的中垂线上，求点的坐标． 【解析】（1）由题意中点， 所以所在直线的斜率， 所以所在直线的方程为， 即边中线所在直线的方程； （2）因为，，所以， ，所以直线的方程为，即， 设点到直线的距离，则由题意， 所以点到直线的距离， 则点所在直线方程为或， 因为，， 所以，线段中点坐标为， 所以线段的中垂线为，即， 所以联立或， 所以点的坐标为：或. 22．（2024·高二·湖北·开学考试）已知的顶点，边上的中线所在的直线方程为，的内角平分线所在的直线方程为，求： (1)顶点的坐标； (2)直线的方程． 【解析】（1）设，由中点在上可得 ，即， 又，联立，解得．即顶点的坐标为． （2）设关于直线的对称点为， 则有，解得，即， 所以边所在的方程为：，即直线的方程为：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第08讲 平面上的距离 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1、掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式、平行直线间的距离公式并会应用. 2、会用坐标法证明简单的平面几何问题． 知识点一：中点坐标公式 若两点、，且线段的中点坐标为，则，，则此公式为线段的中点坐标公式． 知识点二：两点间的距离公式 两点间的距离公式为． 知识点诠释： 此公式可以用来求解平面上任意两点之间的距离，它是所有求距离问题的基础，点到直线的距离和两平行直线之间的距离均可转化为两点之间的距离来解决．另外在下一章圆的标准方程的推导、直线与圆、圆与圆的位置关系的判断等内容中都有广泛应用，需熟练掌握． 知识点三：点到直线的距离公式 点到直线的距离为． 知识点诠释： （1）点到直线的距离为直线上所有的点到已知点的距离中最小距离； （2）使用点到直线的距离公式的前提条件是：把直线方程先化为一般式方程； （3）此公式常用于求三角形的高、两平行线间的距离及下一章中直线与圆的位置关系的判断等． 知识点四：两平行线间的距离 本类问题常见的有两种解法：①转化为点到直线的距离问题，在任一条直线上任取一点，此点到另一条直线的距离即为两直线之间的距离；②距离公式：直线与直线的距离为． 知识点诠释： （1）两条平行线间的距离，可以看作在其中一条直线上任取一点，这个点到另一条直线的距离，此点一般可以取直线上的特殊点，也可以看作是两条直线上各取一点，这两点间的最短距离； （2）利用两条平行直线间的距离公式时，一定先将两直线方程化为一般形式，且两条直线中，的系数分别是相同的以后，才能使用此公式． 考点一：中点公式 【典例1-1】（2024·浙江·丽水外国语实验学校高一阶段练习）已知点，则线段AB的中点坐标为________． 【典例1-2】（2024·全国·高二课时练习）直线l经过已知点，且被两条已知直线截得的线段恰以P为中点，求直线l的方程． 【变式1-1】（2024·江苏·高二课时练习）已知点在轴上，点在轴上，线段的中点的坐标是，求线段的长． 考点二：两点距离公式 【典例2-1】（2024·高二·天津·期末）三角形的三个顶点为，D为中点，则的长为（   ） A．3 B．5 C．9 D．25 【典例2-2】（2024·高二·新疆乌鲁木齐·期中）三角形的三个顶点为，则的中线的长为（    ） A．3 B．5 C．9 D．25 【变式2-1】（2024·高二·内蒙古呼伦贝尔·阶段练习）已知，则A，B两点间的距离为（    ） A．5 B． C．3 D． 【变式2-2】（2024·高二·江苏徐州·期中）已知过两点的直线的倾斜角是，则两点间的距离为（    ） A． B． C． D． 考点三：由顶点判断三角形的形状 【典例3-1】（2024·高二·全国·课后作业）以点A(－3，0)，B(3，－2)，C(－1，2)为顶点的三角形是（    ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．以上都不是 【典例3-2】（2024·高二·全国·课后作业）以为顶点的的形状是（    ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰非等边三角形 D．等腰直角三角形 【变式3-1】（2024·高二·全国·专题练习）已知点，，，若，，是的三个顶点，则是（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 【变式3-2】（2024·高二·全国·课后作业）已知的三个顶点坐标是，，．则的形状为 ；的面积为 . 考点四：由两点距离公式求最值 【典例4-1】（2024·高二·江苏宿迁·期末）我国著名数学家华罗庚曾经说过：“数形结合百般好，隔离分家万事休.”事实上有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，根据上述观点，当取得最小值时，实数的值为（    ） A． B．3 C． D．4 【典例4-2】（2024·高二·四川南充·期末）设，其中.则的最小值为（    ） A．8 B．9 C． D． 【变式4-1】（2024·高二·重庆·期末）的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（2024·高二·山东济宁·期中）已知，，，为四个实数，且，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D．5 考点五：点线距离公式 【典例5-1】（2024·高二·湖北·期中）已知直线恒过定点，则点到直线的距离为 . 【典例5-2】（2024·高二·上海·期中）点到直线的距离为 . 【变式5-1】（2024·高二·上海·期中）点到直线的距离是 . 【变式5-2】（2024·高二·上海·期中）点到直线的距离是 . 【变式5-3】（2024·高二·湖北·期末）点到直线的距离最大值是 ． 考点六：面积问题 【典例6-1】（2024·高二·全国·课后作业）以，，为顶点的三角形的面积等于（    ） A．1 B． C． D．2 【典例6-2】（2024·高二·云南昆明·期中）在△ABC中，点，，，则的面积为 ． 【变式6-1】（2024·高二·北京·阶段练习）已知的三个顶点的坐标为、、，则边上的高所在的直线方程是 ；的面积是 . 【变式6-2】（2024·高一·全国·课后作业）已知点，则的面积等于 (　 　) A． B． C． D． 考点七：由点线距离求参数 【典例7-1】（2024·高二·上海·阶段练习）已知直线，点到直线的距离等于，则 【典例7-2】（2024·高二·广西南宁·阶段练习）已知到直线的距离等于3，则a的值为 . 【变式7-1】（2024·高二·全国·专题练习）垂直于直线且与点的距离是的直线l的方程是 ． 【变式7-2】（2024·高二·全国·专题练习）已知点到直线的距离等于，则实数等于 . 考点八：点关于直线对称 【典例8-1】（2024·高二·四川雅安·开学考试）点关于直线对称的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【典例8-2】（2024·高二·山东泰安·期末）点关于直线的对称点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式8-1】（2024·高二·浙江·阶段练习）一条光线从点射出，经直线反射后经过点，则反射光线所在直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式8-2】（2024·高二·广东佛山·期中）点关于直线对称的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 考点九：直线关于直线对称 【典例9-1】（2024·高三·全国·专题练习）已知直线，直线，若直线关于直线l的对称直线为，则直线的方程为 ． 【典例9-2】（2024·福建厦门·模拟预测）已知直线：关于直线的对称直线为轴，则的方程为 . 【变式9-1】（2024·高二·江苏南京·阶段练习）直线关于直线的对称直线方程为 ． 【变式9-2】（2024·高二·全国·课后作业）如果直线与直线关于直线对称，那么 ， ． 考点十：平行线间距离公式 【典例10-1】（2024·高二·上海·期中）设，若直线与直线之间的距离为，则的值为 ． 【典例10-2】（2024·高二·上海·期末）已知直线与直线互相平行，则它们之间的距离是 . 【变式10-1】（2024·高二·浙江·期中）若直线与直线平行，则 ，它们之间的距离为 . 【变式10-2】（2024·高二·上海·阶段练习）直线与直线之间的距离为 ． 【变式10-3】（2024·高二·云南临沧·阶段练习）设，已知直线，过点作直线，且，则直线与之间距离的最大值是 . 考点十一：直线关于点对称 【典例11-1】（2024·高二·山东·阶段练习）直线关于点对称的直线方程为 ． 【典例11-2】（2024·高二·福建福州·期中）已知点，直线：，则点到直线的距离为 ，直线关于点对称的直线方程为 ． 【变式11-1】（2024·高二·河北石家庄·阶段练习）与直线关于点对称的直线方程是 ． 【变式11-2】（2024·高二·江苏苏州·周测）直线恒过定点，则直线关于点对称的直线方程为 ． 考点十二：将军饮马问题 【典例12-1】（2024·高二·贵州安顺·期末）“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”这是唐代边塞诗人李颀的《古从军行》中的诗句，诗句中隐含着一个著名的数学问题——“将军饮马”问题，即将军白天察看烽火台之后，从山脚下的某处返回军营，途中须到河边饮马然后再赶回军营，将军怎样走才能使返回总路程最短？已知在平面直角坐标系中，军营所在位置为坐标原点，将军从山脚下的点处出发返回军营，河岸线所在直线方程为．则返回总路程最短为 ． 【典例12-2】（2024·高二·江苏·单元测试）已知点，点分别是x轴和直线上的两个动点，则的最小值等于 ． 【变式12-1】（2024·高二·吉林长春·期末）唐代诗人李颀的《古从军行》中两句诗为：“白日登山望烽火,黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题,即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发,怎样走才能使总路程最短?在平面角坐标系中,设军营所在位置为,若将军从处出发,河岸线所在直线方程为.则“将军饮马”的最短总路程为 . 【变式12-2】（2024·高二·福建三明·阶段练习）2023年暑期档动画电影《长安三万里》重新点燃了人们对唐诗的热情，唐诗中边塞诗又称出塞诗，是唐代汉族诗歌的主要题材，是唐诗当中思想性最深刻，想象力最丰富，艺术性最强的一部分．唐代诗人李颀的边塞诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”．诗中隐含着一个有趣的数学问题一“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设将军的出发点是，军营所在位置为，河岸线所在直线的方程为，若将军从出发点到河边饮马，再回到军营（“将军饮马”）的总路程最短，则将军在河边饮马地点的坐标为 ． 【变式12-3】（2024·高二·重庆九龙坡·阶段练习）直线分别交轴和于点，，为直线上一点，则的最大值是 ． 1．（2024·高二·新疆喀什·期中）已知，则（    ） A．3 B．4 C．6 D．8 2．（2024·高二·海南·期中）在平面直角坐标系中，原点到直线：与：的交点的距离为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·高二·黑龙江·期中）著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休．”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点与点的距离．结合上述观点，可得的最小值为（    ） A． B． C． D． 4．（2024·高二·陕西西安·阶段练习）可以转化为平面上点与点之间的距离．结合上述观点，可得的最小值为（    ） A． B． C． D． 5．（2024·高二·浙江宁波·期中）如图，一束光线从出发，经直线反射后又经过点，则光线从A到B走过的路程为（    ） A． B． C． D． 6．（2024·高二·四川达州·期中）已知直线：和点，点，点P是直线上一动点，当最小时，点P的坐标是（     ） A． B． C． D． 7．（2024·高二·广东广州·期末）若点在直线上，则的最小值为 . 8．（2024·高二·北京·期中）到直线的距离不超过，则实数的取值范围是 . 9．（2024·高二·天津西青·阶段练习）已知点到直线的距离等于1，则实数等于 ． 10．（2024·高二·广东梅州·阶段练习）已知直线，它关于直线对称的直线方程为 . 11．（2024·高三·全国·课后作业）若直线与关于直线对称，则实数a= . 12．（2024·高二·全国·课后作业）直线关于点对称的直线的方程是 ． 13．（2024·高二·河北邢台·期末）已知直线与互相平行，则 ，与之间的距离为 . 14．（2024·高二·江苏泰州·阶段练习）已知点，，点在直线上，则的最小值为 . 15．（2024·高二·天津北辰·阶段练习）已知，点在直线，圆：，则最小值是 . 16．（2024·高二·上海·阶段练习）已知的三个顶点的坐标分别是点与，直线. (1)求边AC所在直线的倾斜角和边AC上的高所在直线的方程; (2)记为点到直线的距离，试问:是否存在最大值?若存在，求出的最大值:若不存在，说明理由; 17．（2024·高二·山西大同·阶段练习）已知直线，点．求： (1)点关于直线的对称点的坐标； (2)直线关于直线的对称直线的方程； (3)直线关于点对称的直线的方程． 18．（2024·高二·浙江温州·期中）已知三条直线和，且与的距离是． (1)求的值； (2)能否找到一点，使同时满足下列三个条件：①点是第一象限的点；②点到的距离是点到的距离的；③点到的距离与点到的距离之比是，若能，求点的坐标；若不能，请说明理由． 19．（2024·高二·上海·阶段练习）已知直线，试求： (1)点关于直线的对称点的坐标； (2)直线关于直线对称的直线方程； (3)直线关于点对称的直线方程． 20．（2024·高二·浙江杭州·期中）已知光线经过点，在直线上反射，且反射光线经过点，求： (1)入射光线与直线l的交点． (2)入射光线与反射光线所在直线的方程． 21．（2024·高二·浙江宁波·期末）已知的三个顶点，，． (1)求边上中线所在直线的方程； (2)已知点满足，且点在线段的中垂线上，求点的坐标． 22．（2024·高二·湖北·开学考试）已知的顶点，边上的中线所在的直线方程为，的内角平分线所在的直线方程为，求： (1)顶点的坐标； (2)直线的方程． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$