第07讲 两条直线的交点（六大考点）-【暑假自学课】2024年新高二数学暑假提升精品讲义（苏教版2019）

第07讲 两条直线的交点 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1、会用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标． 2、会根据方程解的个数判定两条直线的位置关系． 知识点一：直线的交点 求两直线与的交点坐标，只需求两直线方程联立所得方程组的解即可.若有，则方程组有无穷多个解，此时两直线重合；若有，则方程组无解，此时两直线平行；若有，则方程组有唯一解，此时两直线相交，此解即两直线交点的坐标. 知识点诠释： 求两直线的交点坐标实际上就是解方程组，看方程组解的个数. 知识点二：过两条直线交点的直线系方程 一般地，具有某种共同属性的一类直线的集合称为直线系，它的方程叫做直线系方程，直线系方程中除含有以外，还有根据具体条件取不同值的变量，称为参变量，简称参数．由于参数取法不同，从而得到不同的直线系． 过两直线的交点的直线系方程：经过两直线，交点的直线方程为，其中是待定系数．在这个方程中，无论取什么实数，都得不到，因此它不能表示直线． 考点一：求直线的交点 【典例1-1】（2024·高二·重庆长寿·期末）直线与直线的交点坐标是（   ） A． B． C． D． 【典例1-2】（2024·高二·内蒙古呼伦贝尔·阶段练习）直线与的交点坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2024·高二·上海·阶段练习）两直线和的交点为 ． 【变式1-2】（2024·高二·全国·课后作业）已知直线和，则直线和的交点为 . 考点二：由方程组解的个数判断直线的位置关系 【典例2-1】（2024·高二·湖北武汉·期中）写出使得关于的方程组无解的一个的值为 .（写出一个即可） 【典例2-2】（2024·高三·上海杨浦·阶段练习）若关于，的方程组有无穷多组解，则的值为 【变式2-1】（2024·高二·湖南·期中）已知，是直线（为常数）上两个不同的点，则关于和的方程组的解的情况，下列说法正确的是（    ） A．无论，，如何，总是无解 B．无论，，如何，总有唯一解 C．存在，，，使是方程组的一组解 D．存在，，，使之有无穷多解 【变式2-2】（2024·上海奉贤·二模）若关于，的方程组有唯一解，则实数a满足的条件是 . 考点三：由直线交点的个数求参数 【典例3-1】（2024·高二·全国·专题练习）曲线与的交点的情况是（    ） A．最多有两个交点 B．两个交点 C．一个交点 D．无交点 【典例3-2】（2024·高二·安徽宿州·阶段练习）若的图象与直线有两个不同的交点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（2024·高二·全国·课后作业）若三条直线，与共有两个交点，则实数的值为（    ） A．1 B．-2 C．1或-2 D．-1 【变式3-2】（2024·高二·安徽·阶段练习）已知三条直线交于一点，则实数=（    ） A． B．1 C． D． 考点四：由直线交点坐标求参数 【典例4-1】（2024·高二·海南·期中）已知直线：与直线：的交点在轴上，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【典例4-2】（2024·高二·北京朝阳·阶段练习）若直线l：与直线的交点位于第一象限，则直线l的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（2024·高二·全国·课后作业）已知两直线和，相交于点，则的值分别是（    ） A．7，1 B．1，7 C． D． 【变式4-2】（2024·高二·四川泸州·阶段练习）若直线与直线的交点在第一象限，则实数的取值范围 （    ） A． B． C． D． 【变式4-3】（2024·高二·全国·课后作业）若直线与直线的交点位于第一象限，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 考点五：三线能否围成三角形问题 【典例5-1】（2024·高二·湖南·期末）若三条不同的直线，，不能围成一个三角形，则a的取值集合为（    ） A． B． C． D． 【典例5-2】（2024·高二·全国·课后作业）若三条直线能构成三角形，则a应满足的条件是（    ） A．或 B． C．且 D．且 【变式5-1】（2024·高二·江西·课后作业）若三条直线，，构成三角形，则的取值范围是(　　) A． B．， C． D．， 【变式5-2】（2024·高二·福建莆田·期末）已知直线，若直线不能围成三角形，写出一个符合要求的实数的值 ． 【变式5-3】（2024·高一·陕西渭南·阶段练习）已知三条直线，，不能构成三角形，则实数m的取值集合为 ． 考点六：直线交点系方程 【典例6-1】（2024·江苏·高二假期作业）设直线经过和的交点，且与两坐标轴围成等腰直角三角形，则直线的方程为___________. 【典例6-2】（2024·安徽六安·高二校考期中）已知两直线和的交点为，则过两点的直线方程为_________ . 【变式6-1】（2024·全国·高二专题练习）求过两条直线与的交点，且分别满足下列条件的直线方程： (1)斜率为； (2)过点； (3)平行于直线． 【变式6-2】（2024·高二·全国·假期作业）求过直线和的交点，且斜率为3的直线方程． 【变式6-3】（2024·高二·全国·专题练习）求过两条直线与的交点，且分别满足下列条件的直线方程： (1)斜率为； (2)过点； (3)平行于直线． 1．（2024·高二·北京·期中）已知直线与互相垂直，垂足为，则的值是（   ） A．24 B．0 C．20 D． 2．（2024·高二·全国·单元测试）已知直线，是直线l外一点，那么直线（    ） A．过点P且与直线l斜交 B．过点P且与直线l重合 C．过点P且与直线l平行 D．过点P且与直线l垂直 3．（2024·高二·上海·阶段练习）若点既是的中点，又是直线与的交点，则线段的垂直平分线的方程是（    ） A． B． C． D． 4．（2024·高二·辽宁·阶段练习）已知点，，，若A是直线：和：的公共点，则直线BC的方程为（    ） A． B． C． D． 5．（2024·高一·全国·单元测试）若直线与直线的交点在第一象限，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（2024·高二·全国·课后作业）直线与直线相交，则m的取值范围为 ． 7．（2024·高二·浙江宁波·期末）若三条直线与能围成一个直角三角形，则 ． 8．（2024·高二·全国·课后作业）已知三条直线、、不能围成一个三角形，则实数的值为 ． 9．（2024·高二·上海·假期作业）若三条直线不能围成三角形，求实数的值． 10．（2024·高二·浙江杭州·期中）在平面直角坐标系中，己知两直线和，定点 (1)若直线恰好为的角平分线BD所在的直线，直线是中线CM所在的直线，求的边BC所在直线的方程： (2)若直线l过点A与直线在第一象限交于点P，与x正半轴交于点Q，求当的面积最小时直线I的方程 11．（2024·高二·河北保定·期中）已知三条直线：，：，：． (1)若，且过点，求a、b的值； (2)若，且、、三条直线能围成三角形，求a的取值范围． 12．（2024·高二·北京顺义·阶段练习）已知两点，，直线为线段AB的垂直平分线：直线：，求 (1)直线的方程 (2)直线与的交点坐标 (3)直线，与坐标轴所围成的三角形的面积 13．（2024·高二·江苏·假期作业）若三条直线，，能构成三角形，求a应满足的条件．    14．（2024·高二·河南郑州·期末）已知直线． (1)求证：直线过定点； (2)过点作直线使直线与两负半轴围成的三角形的面积等于4，求直线的方程． 15．（2024·高二·全国·期末）已知直线：（）．求证：直线恒过定点，并求点的坐标． 16．（2024·高二·内蒙古包头·阶段练习）直线经过直线的交点，且与坐标轴围成的三角形是等腰直角三角形，求直线的方程. 17．（2024·高二·四川绵阳·阶段练习）在平面直角坐标系中，为坐标原点，已知直线：和：， (1)求直线与的交点坐标； (2)过点作直线与直线，分别交于点A、B，且满足，求直线的方程． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第07讲 两条直线的交点 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1、会用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标． 2、会根据方程解的个数判定两条直线的位置关系． 知识点一：直线的交点 求两直线与的交点坐标，只需求两直线方程联立所得方程组的解即可.若有，则方程组有无穷多个解，此时两直线重合；若有，则方程组无解，此时两直线平行；若有，则方程组有唯一解，此时两直线相交，此解即两直线交点的坐标. 知识点诠释： 求两直线的交点坐标实际上就是解方程组，看方程组解的个数. 知识点二：过两条直线交点的直线系方程 一般地，具有某种共同属性的一类直线的集合称为直线系，它的方程叫做直线系方程，直线系方程中除含有以外，还有根据具体条件取不同值的变量，称为参变量，简称参数．由于参数取法不同，从而得到不同的直线系． 过两直线的交点的直线系方程：经过两直线，交点的直线方程为，其中是待定系数．在这个方程中，无论取什么实数，都得不到，因此它不能表示直线． 考点一：求直线的交点 【典例1-1】（2024·高二·重庆长寿·期末）直线与直线的交点坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】……① ……② ①+②得：……③ ③代入②有：……④ 由③④得交点坐标为：. 故选：B. 【典例1-2】（2024·高二·内蒙古呼伦贝尔·阶段练习）直线与的交点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】联立方程组，解得， 所以两直线的交点坐标为. 故选：B. 【变式1-1】（2024·高二·上海·阶段练习）两直线和的交点为 ． 【答案】 【解析】由题意可得，解得， 交点坐标为. 故答案为： 【变式1-2】（2024·高二·全国·课后作业）已知直线和，则直线和的交点为 . 【答案】 【解析】联立，解得. 直线和的交点为. 故答案为： 考点二：由方程组解的个数判断直线的位置关系 【典例2-1】（2024·高二·湖北武汉·期中）写出使得关于的方程组无解的一个的值为 .（写出一个即可） 【答案】，3，（写出一个即可） 【解析】显然，当时，不表示直线，无解，故方程组无解； 当时，由方程组可看作求两直线（）与的交点，则方程组无解，即直线无交点， 若两直线平行，则，解得. 若两直线不平行时，过点，即，解得或， 此时，不过点，方程组无解. 综上，的取值为. 故答案为：，3，（写出一个即可） 【典例2-2】（2024·高三·上海杨浦·阶段练习）若关于，的方程组有无穷多组解，则的值为 【答案】4 【解析】若方程组有无穷多组解， 即两条直线重合,即 , 则 故答案为：4 【变式2-1】（2024·高二·湖南·期中）已知，是直线（为常数）上两个不同的点，则关于和的方程组的解的情况，下列说法正确的是（    ） A．无论，，如何，总是无解 B．无论，，如何，总有唯一解 C．存在，，，使是方程组的一组解 D．存在，，，使之有无穷多解 【答案】B 【解析】直线的斜率存在， ∴， 由题意， 则， 故：与：相交， ∴方程组总有唯一解，A，D错误，B正确； 若是方程组的一组解，则， 则点，在直线，即上， 但已知这两个点在直线上，而这两条直线不是同一条直线， ∴不可能是方程组的一组解，C错误. 故选：B. 【变式2-2】（2024·上海奉贤·二模）若关于，的方程组有唯一解，则实数a满足的条件是 . 【答案】/ 【解析】由，可得， 由关于，的方程组有唯一解， 可得方程有唯一解，则 故答案为： 考点三：由直线交点的个数求参数 【典例3-1】（2024·高二·全国·专题练习）曲线与的交点的情况是（    ） A．最多有两个交点 B．两个交点 C．一个交点 D．无交点 【答案】A 【解析】联立两条直线方程得：得到，两边平方得：，当即时，，得到方程有两个不相等的实数解，所以曲线与直线有两个交点．当时，得到，与曲线只有一个交点．所以曲线与的最多有两个交点． 故选：A 【典例3-2】（2024·高二·安徽宿州·阶段练习）若的图象与直线有两个不同的交点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】当时，由可得，，当时，解得； 当时，由可得，，由可知，方程的解是， 又的图象与直线有两个不同的交点， 所以，其中，解得； 综上所述，. 故选：B 【变式3-1】（2024·高二·全国·课后作业）若三条直线，与共有两个交点，则实数的值为（    ） A．1 B．-2 C．1或-2 D．-1 【答案】C 【解析】由题意可得三条直线中，有两条直线互相平行， ∵直线和直线不平行， ∴直线和直线平行或直线和直线平行， ∵直线的斜率为1，直线的斜率为，直线的斜率为， ∴或. 故选：C. 【变式3-2】（2024·高二·安徽·阶段练习）已知三条直线交于一点，则实数=（    ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【解析】由，即两直线交点坐标为， 代入得：. 故选：C 考点四：由直线交点坐标求参数 【典例4-1】（2024·高二·海南·期中）已知直线：与直线：的交点在轴上，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】在直线方程中，令，得， 即直线与轴的交点为， 因为点在直线上，所以，即， 所以：，即，所以直线的斜率为. 故选：D. 【典例4-2】（2024·高二·北京朝阳·阶段练习）若直线l：与直线的交点位于第一象限，则直线l的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】联立得，所以，解得， 所以直线的倾斜角的范围为. 故选：B. 【变式4-1】（2024·高二·全国·课后作业）已知两直线和，相交于点，则的值分别是（    ） A．7，1 B．1，7 C． D． 【答案】B 【解析】将点代入直线的方程可得，解得； 将代入直线的方程可得，解得； 故选：B 【变式4-2】（2024·高二·四川泸州·阶段练习）若直线与直线的交点在第一象限，则实数的取值范围 （    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】联立，解得，故两直线的交点为. 因为交点在第一象限，所以，解得. 故选：A 【变式4-3】（2024·高二·全国·课后作业）若直线与直线的交点位于第一象限，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】当时，，此时，不满足题意； 当时，解方程组得， 由题知，解得， 即实数a的取值范围为. 故选：A 考点五：三线能否围成三角形问题 【典例5-1】（2024·高二·湖南·期末）若三条不同的直线，，不能围成一个三角形，则a的取值集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】若，则，解得．若，则，解得． 若，，交于一点，联立方程组，解得得， 代入，得，解得，故a的取值集合为． 故选：D. 【典例5-2】（2024·高二·全国·课后作业）若三条直线能构成三角形，则a应满足的条件是（    ） A．或 B． C．且 D．且 【答案】D 【解析】为使三条直线能构成三角形，需三条直线两两相交且不共点. ①若，则由，得. ②若，则由，得. ③若，则由，得. 当时，与三线重合，当时，平行. ④若三条直线交于一点，由解得 将的交点的坐标代入的方程， 解得（舍去）或. 所以要使三条直线能构成三角形，需且. 故选：D. 【变式5-1】（2024·高二·江西·课后作业）若三条直线，，构成三角形，则的取值范围是(　　) A． B．， C． D．， 【答案】A 【解析】三条直线，，构成三角形， 故三条直线中任意两条不平行，且三条直线不共点． 而直线和交于原点，无论为何值，直线总不经过原点， 因此，要满足三条直线构成三角形，只需直线与另两条直线不平行， 所以， 故选：A． 【变式5-2】（2024·高二·福建莆田·期末）已知直线，若直线不能围成三角形，写出一个符合要求的实数的值 ． 【答案】 【解析】由解得，所以的交点坐标为， 过定点， 若直线不能围成三角形，只需经过点，或与平行，或与平行， 当经过点时，，解得； 当与平行时，，解得； 当与平行时，，解得. 故的值为. 故答案为：（只需写出其中一个即可）. 【变式5-3】（2024·高一·陕西渭南·阶段练习）已知三条直线，，不能构成三角形，则实数m的取值集合为 ． 【答案】 【解析】三条直线不能围成三角形，则有以下情况： (1) 直线与直线平行， 则有； (2) 直线与直线平行， 则有； (3) 三条直线，，相交于同一点， 联立解得，代入可得， 综上，实数m的取值集合为， 故答案为: . 考点六：直线交点系方程 【典例6-1】（2024·江苏·高二假期作业）设直线经过和的交点，且与两坐标轴围成等腰直角三角形，则直线的方程为___________. 【答案】或 【解析】方法一：由，得， 所以两条直线的交点坐标为（14，10）, 由题意可得直线的斜率为1或-1， 所以直线的方程为或， 即或. 方法二：设直线的方程为，整理得， 由题意，得，解得或， 所以直线的方程为或. 故答案为：或. 【典例6-2】（2024·安徽六安·高二校考期中）已知两直线和的交点为，则过两点的直线方程为_________ . 【答案】 【解析】依题意两直线和的交点为， 所以在直线上， 所以过两点所在直线方程为. 故答案为： 【变式6-1】（2024·全国·高二专题练习）求过两条直线与的交点，且分别满足下列条件的直线方程： (1)斜率为； (2)过点； (3)平行于直线． 【解析】（1）法一:直线与的交点为， 当斜率为时，由直线的点斜式方程得：直线方程为． 直线方程为． 法二:由题意，直线不符合题意， 所以由直线系方程可设所求直线为 ， 当直线的斜率为时，，解得， 故所求直线方程为； （2）法一：过点时，由两点式得：即为． 直线方程为． 法二：由题意，直线不符合题意， 过点时，代入（1）中直线系方程得， 故所求直线方程为． （3）法一：平行于直线时，得直线斜率为，直线方程为， 直线方程为． 法二：由题意，直线不符合题意， 平行于直线时，由（1）中直线系方程，解得, 故所求直线方程为． 【变式6-2】（2024·高二·全国·假期作业）求过直线和的交点，且斜率为3的直线方程． 【解析】法一：解方程组得 所以两条直线的交点坐标为． 又所求直线的斜率为3，故所求直线的方程为，即． 法二：设所求直线为，因为过已知两条直线的交点，所以直线的方程可设为（其中为常数），即①， 又直线的斜率为3，所以，解得，将代入①，整理得． 【变式6-3】（2024·高二·全国·专题练习）求过两条直线与的交点，且分别满足下列条件的直线方程： (1)斜率为； (2)过点； (3)平行于直线． 【解析】（1）法一:直线与的交点为， 当斜率为时，由直线的点斜式方程得：直线方程为． 直线方程为． 法二:由题意，直线不符合题意， 所以由直线系方程可设所求直线为 ， 当直线的斜率为时，，解得， 故所求直线方程为； （2）法一：过点时，由两点式得：即为． 直线方程为． 法二：由题意，直线不符合题意， 过点时，代入（1）中直线系方程得， 故所求直线方程为． （3）法一：平行于直线时，得直线斜率为，直线方程为， 直线方程为． 法二：由题意，直线不符合题意， 平行于直线时，由（1）中直线系方程，解得, 故所求直线方程为． 1．（2024·高二·北京·期中）已知直线与互相垂直，垂足为，则的值是（   ） A．24 B．0 C．20 D． 【答案】C 【解析】因为直线与互相垂直， 所以，解得； 垂足在直线上，所以， 垂足在直线上，所以， 所以. 故选：C 2．（2024·高二·全国·单元测试）已知直线，是直线l外一点，那么直线（    ） A．过点P且与直线l斜交 B．过点P且与直线l重合 C．过点P且与直线l平行 D．过点P且与直线l垂直 【答案】C 【解析】在直线外，所以， 方程与两变量的系数完全相同，而，即常数项不同， 它们的方程组成的方程组无解，所以两直线的位置关系是平行， 又，所以直线必过点，所以直线过点且与直线平行. 故选：C 3．（2024·高二·上海·阶段练习）若点既是的中点，又是直线与的交点，则线段的垂直平分线的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】直线与直线的方程相减可得，， 把点代入可得， 所以， 所以线段的垂直平分线的方程是，即， 故选：C 4．（2024·高二·辽宁·阶段练习）已知点，，，若A是直线：和：的公共点，则直线BC的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由点在：上可知，， 同理由点在：上可知， 故点与均满足方程， 由于两点确定一条直线，因此直线BC的方程为， 故选：B 5．（2024·高一·全国·单元测试）若直线与直线的交点在第一象限，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】，即交点为. 因为交点在第一象限，所以. 故选：A 6．（2024·高二·全国·课后作业）直线与直线相交，则m的取值范围为 ． 【答案】 【解析】因为直线与直线，即相交， 所以，解得. 所以m的取值范围为. 故答案为： 7．（2024·高二·浙江宁波·期末）若三条直线与能围成一个直角三角形，则 ． 【答案】或1 【解析】显然，3x-y+1=0，x+y+3=0有交点， 若与垂直，则； 若与垂直，则．所以或1． 故答案为：或1 8．（2024·高二·全国·课后作业）已知三条直线、、不能围成一个三角形，则实数的值为 ． 【答案】6或-4或 【解析】由题知，当直线与平行，即，时，三条直线无法围成三角形； 当与平行，即，时，三条直线无法围成三角形； 由解得，当直线过点，即，即时，三条直线无法围成三角形. 综上，当或或时，三条直线无法围成三角形. 故答案为：6或-4或 9．（2024·高二·上海·假期作业）若三条直线不能围成三角形，求实数的值． 【解析】依题意，任意两条直线不重合，若三条直线不能围成三角形，则至少有两条直线平行或三线共点． 当有两条直线平行时，，则三条直线的斜率为， 若，则. 若，则.. 若三线共点，由解得，设， 将代入， 得， 综上所述，或或. 10．（2024·高二·浙江杭州·期中）在平面直角坐标系中，己知两直线和，定点 (1)若直线恰好为的角平分线BD所在的直线，直线是中线CM所在的直线，求的边BC所在直线的方程： (2)若直线l过点A与直线在第一象限交于点P，与x正半轴交于点Q，求当的面积最小时直线I的方程 【解析】（1）设点关于直线的对称点为， 则线段的中点在直线上，且直线与直线垂直， ，解得， 故 设点，则的中点， 把点B、点M分别代入直线，得， ，解得，故， 因为是角B的平分线，所以点在直线BC上， 所以的方程即为BC方程：； （2）①直线l的斜率不存在时，，，，此时， ②当直线l的斜率存在时，显然斜率不为0（此时与x无交点）， 设，则联立直线l与直线得， ，解得， 故， 中，令得， 故， 故， 由点P在第一象限、点Q在x轴的正半轴，故， 解得：或， 所以， 综合①②可知：的最小值为1，此时 11．（2024·高二·河北保定·期中）已知三条直线：，：，：． (1)若，且过点，求a、b的值； (2)若，且、、三条直线能围成三角形，求a的取值范围． 【解析】（1）因为：，：，且，所以， 又直线过点，所以，所以， 即，即，解得或 所以或； （2）因为，则：，：， ①当时，由得， 此时为，为，为，都与相交，不能构成三角形； ②当时，由得，此时为，为，为，都与相交，不能构成三角形； ③当时，由得，此时为，为，为，都与相交，不能构成三角形； ④当，，交于一点时，，则由,解得 所以与的交点，将M代入到方程得，解得； 综上所述：时，，，三条直线能围成三角形时a的取值范围为． 12．（2024·高二·北京顺义·阶段练习）已知两点，，直线为线段AB的垂直平分线：直线：，求 (1)直线的方程 (2)直线与的交点坐标 (3)直线，与坐标轴所围成的三角形的面积 【解析】（1）因为，的中点为 ，， 所以直线的斜率为，则其方程为，即. （2）联立直线与的方程，，解得， 所以直线与的交点坐标为，不妨记为. （3）对于直线，它在轴的截距为； 对于直线：，它在轴的截距分别为； 结合图象可知，线，与坐标轴所围成的三角形为，其中，， 所以. 13．（2024·高二·江苏·假期作业）若三条直线，，能构成三角形，求a应满足的条件．    【解析】为使三条直线能构成三角形，需三条直线两两相交且不共点． ①若，则由，得； ②若，则由，得； ③若，则由，得， 当时，与三线重合，当时，平行． ④若三条直线交于一点，由，解得， 将的交点的坐标代入的方程， 解得 (舍去)，或， 所以要使三条直线能构成三角形，需且． 14．（2024·高二·河南郑州·期末）已知直线． (1)求证：直线过定点； (2)过点作直线使直线与两负半轴围成的三角形的面积等于4，求直线的方程． 【解析】（1）证明：方程化为： ， 由直线系方程的性质有：，解得， 故直线恒过点 （2）设直线， 则由题意得：，解得， 所以直线，即， 所以所求直线方程为：. 15．（2024·高二·全国·期末）已知直线：（）．求证：直线恒过定点，并求点的坐标． 【解析】证明：原方程整理为，则由得 所以点坐标为． 16．（2024·高二·内蒙古包头·阶段练习）直线经过直线的交点，且与坐标轴围成的三角形是等腰直角三角形，求直线的方程. 【解析】设直线方程为， 化简得, 直线与坐标轴围成的三角形是等腰直角三角形， 直线的斜率为, 或，解得或. 代入并化简得直线的方程为或. 所以所求的直线方程为或. 17．（2024·高二·四川绵阳·阶段练习）在平面直角坐标系中，为坐标原点，已知直线：和：， (1)求直线与的交点坐标； (2)过点作直线与直线，分别交于点A、B，且满足，求直线的方程． 【解析】（1）由，得，， 所以直线与的交点坐标为； （2）由可知，点是线段的中点， 在直线上任取一点， 所以点关于的对称点, 点在直线上， 把点代入 方程， ，解得 所以，， 即直线方程为：，即. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$