第06讲 两条直线的平行与垂直（七大考点）-【暑假自学课】2024年新高二数学暑假提升精品讲义（苏教版2019）

第06讲 两条直线的平行与垂直 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1、理解并掌握两条直线平行与垂直的条件． 2、会运用条件判定两直线是否平行或垂直． 3、运用两直线平行或垂直时的斜率关系求直线方程，解决相应的几何问题． 知识点一：两条直线相交、平行与重合 1、代数方法判断 两条直线的位置关系，可以用方程组 的解进行判断（如下表所示） 方程组的解 位置关系 交点个数 代数条件 无解 平行 无交点 而或 或 有唯一解 相交 有一个交点 或 有无数个解 重合 无数个交点 或 2、几何方法判断 （1）若两直线的斜率均不存在，则两条直线平行． （2）若两直线的斜率均存在，我们可以利用斜率和在轴上的截距判断两直线的位置关系，其方法如下： 设， （1）与相交； （2）且； （3）与重合且． 简记表： 类型 斜率存在 斜率不存在 条件 对应关系 两直线斜率都不存在 图示 知识点二：两条直线的垂直 1、两条直线垂直的几何方法判断 对应关系 与的斜率都存在，分别为，则 与中的一条斜率不存在，另一条斜率为零，则与的位置关系是 图示 2、两条直线垂直的代数方法判断 已知直线的方程分别是（不同时为0），（不同时为0） （1）若 （2）若 考点一：由斜率可以判断两条直线是否平行 【典例1-1】（2024·河南新乡·三模）已知直线，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】当时，直线，则， 当时，，解得， 所以“”是“”的充要条件. 故选：C 【典例1-2】（2024·高二·福建泉州·期末）记平面直角坐标系内的直线、与x轴正半轴方向所成的角的正切值分别为、，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．既不充分也不必要条件 D．充要条件 【答案】A 【解析】由题意可知：已经存在， 若∥，则，即充分性成立； 若，则可能重合，即必要性均不成立； 综上所述：“”是“”的充分不必要条件. 故选：A． 【变式1-1】（2024·高二·全国·课后作业）已知不重合的两直线与对应的斜率分别为与，则“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不是充分也不是必要条件 【答案】C 【解析】不重合的两直线与对应的斜率分别为与， 当时，可得，当时，可得， 故“”是“”的充分必要条件， 故选：C． 【变式1-2】（2024·高二·山西临汾·阶段练习）下列各对直线互相平行的是（    ） A．直线经过点，，直线经过点， B．直线经过点，，直线经过点， C．直线经过点，，直线经过点， D．直线经过点，，直线经过点， 【答案】A 【解析】对于A，因为， 所以； 对于B，因为， 所以直线不平行； 对于C，由直线经过点，，直线经过点，， 得直线的斜率都不存在，且两直线重合； 对于D，因为直线经过点，，所以直线直线的斜率不存在， 而，所以直线不平行. 故选：A. 【变式1-3】（2024·高二·河南·期中）“”是“直线和直线平行”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】当时，，，两直线斜率都为且不重合，所以两直线平行； 当两直线平行时，由，即，解得， 经检验时，两直线平行，故. 综上可知，“”是“直线和直线平行”的充要条件. 故选：C 考点二：两条直线相交、平行、重合的判定 【典例2-1】（2024·高二·山东潍坊·阶段练习）已知直线：，直线：，则直线与的位置关系是（    ） A．平行 B．相交 C．重合 D．相交或重合 【答案】D 【解析】直线可化为， 所以当时，两直线重合； 当时，两直线相交. 故选：D 【典例2-2】（2024·高二·山东潍坊·期末）已知两直线的斜率分别为，且是方程的两根，则与的位置关系为（    ） A．平行 B．相交且垂直 C．重合 D．相交且不垂直 【答案】B 【解析】由题意，因此两直线垂直．平面上的两直线垂直时当然相交． 故选：B． 【变式2-1】（2024·高二·全国·课后作业）过点和点的直线与直线的位置关系是（    ） A．相交 B．平行 C．重合 D．以上都不对 【答案】B 【解析】过点和点的直线方程为，斜率为0， 又因为直线斜率为0，所以两直线平行. 故选：B 【变式2-2】（2024·高二·山东济南·期末）直线与直线的位置关系是（    ） A．垂直 B．相交且不垂直 C．平行 D．平行或重合 【答案】A 【解析】当时，直线，直线，此时两直线垂直， 当时，直线的斜率，直线的斜率， 因为，则两直线垂直， 综上两直线位置关系是垂直， 故选：A. 【变式2-3】（2024·高二·全国·单元测试）已知直线与直线．当t为何值时， (1)与相交？ (2)与平行？ (3)与重合？ (4)与垂直． 【解析】（1）若直线与直线相交， 则，解得且； （2）若直线与直线平行， 则，解得； （3）若直线与直线重合， 则，解得； （4）若直线与直线垂直， 则，解得或. 考点三：两条直线垂直的判定 【典例3-1】（2024·高二·江苏·专题练习）判断下列各组中的直线与是否平行或垂直： (1)，； (2)，； (3)，. 【解析】（1）由题意得：，故即不平行也不垂直； （2）由题意得：且，故平行； （3）因为，所以重合，即即不平行也不垂直. 【典例3-2】（2024·高二·全国·课堂例题）解答下列各题： (1)已知四点，，，，求证：； (2)已知直线，，求证：． 【解析】（1）由斜率公式，得，， 则，所以． （2）由，的方程可知，它们的斜率，， 从而，所以． 【变式3-1】（2024·高二·全国·课堂例题）判断下列各对直线是否垂直． (1)； (2)． 【解析】（1）将的方程化为斜截式为．因此的斜率为， 又因为的斜率为2， 而且， 从而可知与不垂直． （2）显然，的倾斜角为，的倾斜角为，从而可知与垂直． 【变式3-2】（2024·高二·江苏·课后作业）判断下列各组直线是否垂直，并说明理由： (1)，； (2)，； 【解析】（1）直线的斜率为，直线的斜率为， 因为，所以与垂直； （2）直线的斜率为，直线的斜率为， 因为，所以与垂直. 考点四：直线平行与垂直的综合应用 【典例4-1】（2024·高二·福建厦门·期中）如图，已知平行四边形的三个顶点的坐标为，，.    (1)求平行四边形的顶点的坐标； (2)在中，求边上的高线所在直线方程. 【解析】（1）设线段中点为，则点坐标为， 设点坐标为，由平行四边形性质得为线段中点，有， 解得，所以； （2）因为直线的斜率为， 所以边上的高线所在直线的斜率为， 又，故边上的高线所在直线的方程为， 即为. 【典例4-2】（2024·高二·广东东莞·阶段练习）已知四边形的四个顶点坐标分别为，，，． (1)试判断四边形的形状，并给出证明； (2)求平分线所在直线的方程． 【解析】（1）由已知可判断四边形是直角梯形， 证明如下：因为，，，． 由斜率公式得，，，， 所以，，即且不平行， 所以四边形是梯形， 又因为，所以， 综上，四边形是直角梯形； （2）根据题意，设的内角平分线所在直线的斜率为k， 则有，即， 整理得，，解得或， 又由的内角平分线所在直线的斜率k应在、的斜率之间， 所以， 则的平分线所在的直线方程为， 即． 【变式4-1】（2024·高二·北京大兴·期中）已知中，点，点，点． (1)求边上的高所在直线的方程； (2)求角平分线所在直线的方程． 【解析】（1）因为点，点，所以边所在直线斜率， 所以边上的高所在直线的斜率，且过点． 所以边上的高所在直线的方程为． （2）由得，所以角平分线的倾斜角为， 所以角平分线所在直线的斜率． 又因为角平分线过点， 所以角平分线所在直线的方程为． 【变式4-2】（2024·高二·江苏·课后作业）已知点，，，，求证：四边形ABCD是梯形． 【解析】由点，，，， 可得 , 而 , , 故,但 , 所以四边形ABCD是梯形． 考点五：两直线的夹角 【典例5-1】（2024·高三·浙江·阶段练习）直线与直线所成夹角大小为 ． 【答案】 【解析】设直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，两条直线夹角为， 则，， 则，， 所以. 故答案为：. 【典例5-2】（2024·高二·上海奉贤·期中）直线与直线的夹角，则a的取值范围是 ． 【答案】 【解析】由题知直线的斜率为，直线的斜率为， 因为直线与直线的夹角， 所以，即， 解得. 故答案为：. 【变式5-1】（2024·高二·上海·课后作业）若直线与直线的夹角为，求的值. 【解析】由题意，直线的斜率为，故的倾斜角为， 又直线与直线的夹角为，故直线的倾斜角为或. 当直线的倾斜角为时不成立； 当直线的倾斜角为时有. 综上有. 【变式5-2】（2024·高二·江苏·课后作业）已知两条直线，的斜率分别为，，设，的夹角（锐角）为． (1)求证：； (2)求直线与直线的夹角． 【解析】（1）由题设，令分别为直线，的倾斜角且，则且， 所以，得证. （2）由题设，直线的斜率为，直线的斜率， 所以，根据（1）的结论有，且，故. 考点六：已知直线平行求参数 【典例6-1】（2024·高二·上海·阶段练习）设，若直线和直线平行，则 . 【答案】4 【解析】若直线和直线平行， 可得，解得， 则直线为，直线为， 显然两直线平行，故符合题意. 故答案为：4. 【典例6-2】（2024·高二·上海·期中）若直线，平行，则实数的值为 . 【答案】或 【解析】由已知直线，平行， 则， 解得或， 故答案为：或. 【变式6-1】（2024·高二·上海·期中）若直线与平行，则 . 【答案】 【解析】因为直线与平行， 所以，解得，经检验符合题意. 故答案为： 【变式6-2】（2024·陕西西安·二模）已知直线过点和点，直线：，若，则 . 【答案】 【解析】直线的斜率，所以直线方程为，即， 因为，所以， 故答案为：. 【变式6-3】（2024·高二·上海·阶段练习）已知，设直线，，若，则 . 【答案】 【解析】由题意得 当时，直线重合，舍去，故. 故答案为：. 考点七：已知直线垂直求参数 【典例7-1】（2024·高二·青海西宁·期中）已知直线和互相垂直，则 ． 【答案】 【解析】直线和互相垂直， 则，解之得. 故答案为：. 【典例7-2】（2024·高二·安徽马鞍山·阶段练习）直线与直线相互垂直， ． 【答案】 【解析】因为直线与直线垂直， 所以. 故答案为： 【变式7-1】（2024·高二·广东惠州·阶段练习）已知直线与直线垂直，则 ． 【答案】2 【解析】当时，， 由知，斜率为2， 所以直线与不垂直，不符合题意； 当时，， 因为直线与直线垂直， 所以，解得． 故答案为：2． 【变式7-2】（2024·高一·北京顺义·阶段练习）若两条直线，垂直，则 . 【答案】 【解析】因为两条直线，垂直， 所以，所以，解得：. 故答案为：. 1．（2024·高二·山东潍坊·期中）已知直线：，：，则下列结论正确的是（    ） A．若与相交，则 B．若与平行，则 C．若与垂直，则 D．若与重合，则 【答案】C 【解析】当时，，解得或， 若，则，此时， 若，则，此时， 由上可知：不可能重合，故D错误； 若与相交，则且，故A错误； 若，则或，故B错误； 若，则有，则，故C正确； 故选：C. 2．（2024·高二·江西·阶段练习）已知直线：和：平行，则 ． 【答案】1 【解析】因为，所以，解得． 故答案为：1 3．（2024·陕西商洛·模拟预测）已知直线与直线，若，则的最大值为 . 【答案】/0.25 【解析】因为， 即，当且仅当时取等号， ，即的最大值为. 故答案为：. 4．（2024·高二·四川绵阳·期末）已知直线：与直线：.若，则 . 【答案】2 【解析】因为，所以，解得. 故答案为：2. 5．（2024·高二·江苏淮安·阶段练习）设m为实数，已知两直线分别求下列条件下的m的值（范围） (1)平行 (2)垂直 (3)相交 【解析】（1）因为，所以，解得或7（舍去）， 所以. （2）因为，所以，解得. （3）和相交，即两直线既不平行也不重合，由（1）可知，当时，， 当时，两直线重合， 所以和相交时，且. 6．（2024·高三·全国·专题练习）已知两点． (1)是否存在整数，使直线与直线相交？ (2)是否存在整数，使直线与线段相交？ (3)是否存在正整数，使点分别位于直线的两侧？ 【解析】（1）直线的斜率，直线的斜率， 因为两条直线相交，则，即，故可以取外的所有整数． （2）位于直线上的点，其坐标代入后，其值必为0． 位于直线同侧的点，其坐标代入后，其值必同号． 而位于直线两侧的点，其坐标代入后，其值必异号． 直线与线段相交，则点和或位于该直线的两侧，或其中一点在该直线上． 于是将点、的坐标代入后，其值的乘积必小于或等于0， 即，解得．因此符合条件的整数可以是或1． （3）由问题（2）的分析知，当位于直线的两侧，将点的坐标分别代入后，其值必异号， 则乘积必小于0，即，解得，因此符合条件的正整数不存在． 7．（2024·高二·江苏·专题练习）判断下列各组中的直线与是否平行或垂直： (1)； (2) ； (3)的斜率为，经过点； (4)经过点，经过点. 【解析】（1）因为，而，所以. （2）因为，而，所以重合. （3）直线的斜率，直线的斜率，，故. （4）的倾斜角为90°，则轴.直线的斜率，则轴，故. 8．（2024·高二·全国·课后作业）根据下列给定的条件，用多种方法判断直线与直线的位置关系： (1)经过点，，经过点，； (2)经过点，，经过点，． 【解析】（1）方法1:：因，，则直线AB方程为： ； 因，，则直线CD方程为：. 因两直线斜率相同，纵截距不同，则两直线平行； 方法2：由题可得，因，则与共线，又注意到，其与，均不共线，可知不共线，则直线AB与直线CD平行； （2）方法1：由题可得直线AB方程为： ； 直线MN方程为：.因两直线斜率乘积为，则两直线垂直； 方法2：由题可得，因，则两直线垂直； 9．（2024·高二·全国·专题练习）已知，A，B，C，D四点构成的四边形是平行四边形，求点D的坐标. 【解析】由题，， 所以kAC=2，，kBC=－3， 设D的坐标为（x，y），分以下三种情况： ①当BC为对角线时，有kCD=kAB，kBD=kAC， 所以，，， 得x=7，y=5，即 ②当AC为对角线时，有kCD=kAB，kAD=kBC， 所以，， 得x=－1，y=9，即 ③当AB为对角线时，有kBD=kAC，kAD=kBC 所以， 得x=3，y=－3，即 所以D的坐标为或或. 10．（2024·高二·全国·课后作业）在平面直角坐标系中，四边形的顶点坐标分别为，，，，其中且.试判断四边形的形状. 【解析】由斜率公式，得， ， ， ， ， . ∴，， ∴，， ∴四边形为平行四边形. 又，∴. 又，∴与不垂直， ∴四边形为矩形. 11．（2024·高二·全国·课后作业）在平面直角坐标系中，设三角形的顶点分别为，，，点是线段上的一点（异于端点），设均为非零实数，直线分别交于点，若，求证： .    【解析】由点和点，知直线的斜率为， 由点和点，知直线的斜率为， 因为，所以，即； 由点和点，知直线的斜率为， 由点和点，知直线的斜率为， 则直线与的斜率之积为， 所以. 12．（2024·高二·上海·课后作业）如图，设，与轴的夹角，试求直线、的倾斜角和斜率．    【解析】由直线的倾斜角的范围是， 由图知：的倾斜角为，则斜率为； 又，则的斜率为，故对应倾斜角为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第06讲 两条直线的平行与垂直 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1、理解并掌握两条直线平行与垂直的条件． 2、会运用条件判定两直线是否平行或垂直． 3、运用两直线平行或垂直时的斜率关系求直线方程，解决相应的几何问题． 知识点一：两条直线相交、平行与重合 1、代数方法判断 两条直线的位置关系，可以用方程组 的解进行判断（如下表所示） 方程组的解 位置关系 交点个数 代数条件 无解 平行 无交点 而或 或 有唯一解 相交 有一个交点 或 有无数个解 重合 无数个交点 或 2、几何方法判断 （1）若两直线的斜率均不存在，则两条直线平行． （2）若两直线的斜率均存在，我们可以利用斜率和在轴上的截距判断两直线的位置关系，其方法如下： 设， （1）与相交； （2）且； （3）与重合且． 简记表： 类型 斜率存在 斜率不存在 条件 对应关系 两直线斜率都不存在 图示 知识点二：两条直线的垂直 1、两条直线垂直的几何方法判断 对应关系 与的斜率都存在，分别为，则 与中的一条斜率不存在，另一条斜率为零，则与的位置关系是 图示 2、两条直线垂直的代数方法判断 已知直线的方程分别是（不同时为0），（不同时为0） （1）若 （2）若 考点一：由斜率可以判断两条直线是否平行 【典例1-1】（2024·河南新乡·三模）已知直线，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【典例1-2】（2024·高二·福建泉州·期末）记平面直角坐标系内的直线、与x轴正半轴方向所成的角的正切值分别为、，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．既不充分也不必要条件 D．充要条件 【变式1-1】（2024·高二·全国·课后作业）已知不重合的两直线与对应的斜率分别为与，则“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不是充分也不是必要条件 【变式1-2】（2024·高二·山西临汾·阶段练习）下列各对直线互相平行的是（    ） A．直线经过点，，直线经过点， B．直线经过点，，直线经过点， C．直线经过点，，直线经过点， D．直线经过点，，直线经过点， 【变式1-3】（2024·高二·河南·期中）“”是“直线和直线平行”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 考点二：两条直线相交、平行、重合的判定 【典例2-1】（2024·高二·山东潍坊·阶段练习）已知直线：，直线：，则直线与的位置关系是（    ） A．平行 B．相交 C．重合 D．相交或重合 【典例2-2】（2024·高二·山东潍坊·期末）已知两直线的斜率分别为，且是方程的两根，则与的位置关系为（    ） A．平行 B．相交且垂直 C．重合 D．相交且不垂直 【变式2-1】（2024·高二·全国·课后作业）过点和点的直线与直线的位置关系是（    ） A．相交 B．平行 C．重合 D．以上都不对 【变式2-2】（2024·高二·山东济南·期末）直线与直线的位置关系是（    ） A．垂直 B．相交且不垂直 C．平行 D．平行或重合 【变式2-3】（2024·高二·全国·单元测试）已知直线与直线．当t为何值时， (1)与相交？ (2)与平行？ (3)与重合？ (4)与垂直． 考点三：两条直线垂直的判定 【典例3-1】（2024·高二·江苏·专题练习）判断下列各组中的直线与是否平行或垂直： (1)，； (2)，； (3)，. 【典例3-2】（2024·高二·全国·课堂例题）解答下列各题： (1)已知四点，，，，求证：； (2)已知直线，，求证：． 【变式3-1】（2024·高二·全国·课堂例题）判断下列各对直线是否垂直． (1)； (2)． 【变式3-2】（2024·高二·江苏·课后作业）判断下列各组直线是否垂直，并说明理由： (1)，； (2)，； 考点四：直线平行与垂直的综合应用 【典例4-1】（2024·高二·福建厦门·期中）如图，已知平行四边形的三个顶点的坐标为，，.    (1)求平行四边形的顶点的坐标； (2)在中，求边上的高线所在直线方程. 【典例4-2】（2024·高二·广东东莞·阶段练习）已知四边形的四个顶点坐标分别为，，，． (1)试判断四边形的形状，并给出证明； (2)求平分线所在直线的方程． 【变式4-1】（2024·高二·北京大兴·期中）已知中，点，点，点． (1)求边上的高所在直线的方程； (2)求角平分线所在直线的方程． 【变式4-2】（2024·高二·江苏·课后作业）已知点，，，，求证：四边形ABCD是梯形． 考点五：两直线的夹角 【典例5-1】（2024·高三·浙江·阶段练习）直线与直线所成夹角大小为 ． 【典例5-2】（2024·高二·上海奉贤·期中）直线与直线的夹角，则a的取值范围是 ． 【变式5-1】（2024·高二·上海·课后作业）若直线与直线的夹角为，求的值. 【变式5-2】（2024·高二·江苏·课后作业）已知两条直线，的斜率分别为，，设，的夹角（锐角）为． (1)求证：； (2)求直线与直线的夹角． 考点六：已知直线平行求参数 【典例6-1】（2024·高二·上海·阶段练习）设，若直线和直线平行，则 . 【典例6-2】（2024·高二·上海·期中）若直线，平行，则实数的值为 . 【变式6-1】（2024·高二·上海·期中）若直线与平行，则 . 【变式6-2】（2024·陕西西安·二模）已知直线过点和点，直线：，若，则 . 【变式6-3】（2024·高二·上海·阶段练习）已知，设直线，，若，则 . 考点七：已知直线垂直求参数 【典例7-1】（2024·高二·青海西宁·期中）已知直线和互相垂直，则 ． 【典例7-2】（2024·高二·安徽马鞍山·阶段练习）直线与直线相互垂直， ． 【变式7-1】（2024·高二·广东惠州·阶段练习）已知直线与直线垂直，则 ． 【变式7-2】（2024·高一·北京顺义·阶段练习）若两条直线，垂直，则 . 1．（2024·高二·山东潍坊·期中）已知直线：，：，则下列结论正确的是（    ） A．若与相交，则 B．若与平行，则 C．若与垂直，则 D．若与重合，则 2．（2024·高二·江西·阶段练习）已知直线：和：平行，则 ． 3．（2024·陕西商洛·模拟预测）已知直线与直线，若，则的最大值为 . 4．（2024·高二·四川绵阳·期末）已知直线：与直线：.若，则 . 5．（2024·高二·江苏淮安·阶段练习）设m为实数，已知两直线分别求下列条件下的m的值（范围） (1)平行 (2)垂直 (3)相交 6．（2024·高三·全国·专题练习）已知两点． (1)是否存在整数，使直线与直线相交？ (2)是否存在整数，使直线与线段相交？ (3)是否存在正整数，使点分别位于直线的两侧？ 7．（2024·高二·江苏·专题练习）判断下列各组中的直线与是否平行或垂直： (1)； (2) ； (3)的斜率为，经过点； (4)经过点，经过点. 8．（2024·高二·全国·课后作业）根据下列给定的条件，用多种方法判断直线与直线的位置关系： (1)经过点，，经过点，； (2)经过点，，经过点，． 9．（2024·高二·全国·专题练习）已知，A，B，C，D四点构成的四边形是平行四边形，求点D的坐标. 10．（2024·高二·全国·课后作业）在平面直角坐标系中，四边形的顶点坐标分别为，，，，其中且.试判断四边形的形状. 11．（2024·高二·全国·课后作业）在平面直角坐标系中，设三角形的顶点分别为，，，点是线段上的一点（异于端点），设均为非零实数，直线分别交于点，若，求证： .    12．（2024·高二·上海·课后作业）如图，设，与轴的夹角，试求直线、的倾斜角和斜率．    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