第09讲 圆的方程（七大考点）-【暑假自学课】2024年新高二数学暑假提升精品讲义（苏教版2019）

第09讲 圆的方程 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1、理解并掌握确定圆的几何要素． 2、理解并探求圆的标准方程和一般方程． 3、理解并掌握圆的标准方程和一般方程的求法． 4、理解并掌握点与圆的位置关系. 知识点一：圆的标准方程 ，其中为圆心，为半径． 知识点诠释： （1）如果圆心在坐标原点，这时，圆的方程就是．有关图形特征与方程的转化：如：圆心在x轴上：b=0；圆与y轴相切时：；圆与x轴相切时：；与坐标轴相切时：；过原点： （2）圆的标准方程圆心为，半径为，它显现了圆的几何特点． （3）标准方程的优点在于明确指出了圆心和半径．由圆的标准方程可知，确定一个圆的方程，只需要a、b、r这三个独立参数，因此，求圆的标准方程常用定义法和待定系数法． 知识点二：点和圆的位置关系 如果圆的标准方程为，圆心为，半径为，则有 （1）若点在圆上 （2）若点在圆外 （3）若点在圆内 知识点三：圆的一般方程 当时，方程叫做圆的一般方程．为圆心，为半径． 知识点诠释： 由方程得 （1）当时，方程只有实数解．它表示一个点． （2）当时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形． （3）当时，可以看出方程表示以为圆心，为半径的圆． 知识点四：用待定系数法求圆的方程的步骤 求圆的方程常用“待定系数法”．用“待定系数法”求圆的方程的大致步骤是： （1）根据题意，选择标准方程或一般方程． （2）根据已知条件，建立关于或的方程组． （3）解方程组，求出或的值，并把它们代入所设的方程中去，就得到所求圆的方程． 知识点五：轨迹方程 求符合某种条件的动点的轨迹方程，实质上就是利用题设中的几何条件，通过“坐标法”将其转化为关于变量之间的方程． 1、当动点满足的几何条件易于“坐标化”时，常采用直接法；当动点满足的条件符合某一基本曲线的定义（如圆）时，常采用定义法；当动点随着另一个在已知曲线上的动点运动时，可采用代入法（或称相关点法）． 2、求轨迹方程时，一要区分“轨迹”与“轨迹方程”；二要注意检验，去掉不合题设条件的点或线等． 3、求轨迹方程的步骤： （1）建立适当的直角坐标系，用表示轨迹（曲线）上任一点的坐标； （2）列出关于的方程； （3）把方程化为最简形式； （4）除去方程中的瑕点（即不符合题意的点）； （5）作答． 考点一：圆的标准方程 【典例1-1】（2024·高二·安徽·阶段练习）已知，，圆M经过A，B两点，且圆的周长被x轴平分，则圆M的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【典例1-2】（2024·高二·甘肃白银·期末）圆的圆心在直线上，且和轴相切于点，则圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2024·高二·四川乐山·期末）已知圆C的圆心在x轴上且经过，两点，则圆C的标准方程是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2024·高一·重庆沙坪坝·期末）在平面直角坐标系中，已知、两点，若圆以为直径，则圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（2024·高二·福建漳州·期中）已知圆C的圆心在直线上，且过点和，则圆C的标准方程为（    ） A． B． C． D． 考点二：圆的一般方程 【典例2-1】（2024·高二·重庆铜梁·开学考试）已知，，为原点，则的外接圆方程为 . 【典例2-2】（2024·高二·全国·期末）在中，，B和C．则的外接圆方程为 ． 【变式2-1】（2024·高二·全国·专题练习）过坐标原点，且在x轴和y轴上的截距分别为2和3的圆的方程为 . 【变式2-2】（2024·高二·山东聊城·期中）与圆同圆心，且过点的圆的方程是： . 考点三：点与圆的位置关系 【典例3-1】（2024·高二·江苏·专题练习）已知点，圆的标准方程为，则点P（　 ） A．在圆内 B．在圆上 C．在圆外 D．与a的取值有关 【典例3-2】（2024·高二·全国·课后作业）点与圆的位置关系是（    ） A．点在圆上 B．点在圆内 C．点在圆外 D．不确定 【变式3-1】（2024·高二·全国·专题练习）点与圆的位置关系是（    ）． A．点在圆上 B．点在圆内 C．点在圆外 D．不能确定 【变式3-2】（2024·高二·四川成都·期末）已知点在圆上，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 考点四：轨迹问题 【典例4-1】（2024·高二·全国·阶段练习）已知圆，是圆上的动点，点，若动点满足，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【典例4-2】（2024·高二·河南南阳·期末）已知圆的圆心为直线与直线的交点，且圆的半径为. (1)求圆的标准方程； (2)若为圆上任意一点，，点满足，求点的轨迹方程. 【变式4-1】（2024·高二·河北保定·期中）已知，动点与点的距离是它与点的距离的倍. (1)求点的轨迹方程； (2)如果把倍改成倍，求点的轨迹. 【变式4-2】（2024·高二·江苏·专题练习）已知等腰三角形的顶点是，底边一个端点是，另一个端点是，求线段中点的轨迹方程． 【变式4-3】（2024·高二·上海·课后作业）已知点、是距离为4的两个定点，动点满足，建立适当的平面直角坐标系，并求动点的轨迹方程． 考点五：二元二次曲线与圆的关系 【典例5-1】（2024·高二·福建厦门·期中）若，则方程表示的圆的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【典例5-2】（2024·高二·全国·课后作业）若方程表示圆，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（2024·高二·全国·课后作业）下列方程能表示圆的是（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（2024·高二·湖北荆门·期末）已知圆的方程为，若点在圆外，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 考点六：圆过定点 【典例6-1】（2024·高二·湖北荆州·期末）圆恒过的定点为（    ） A． B． C． D． 【典例6-2】（2024·高二·浙江温州·期中）点是直线上任意一点，是坐标原点，则以为直径的圆经过定点（      ） A．和 B．和 C．和 D．和 【变式6-1】（2024·高二·安徽·阶段练习）若圆过坐标原点，则实数m的值为（    ） A．1 B．2 C．2或1 D．－2或－1 考点七：与圆有关的对称问题 【典例7-1】（2024·高二·河南周口·期末）若曲线上相异两点P、Q关于直线对称，则k的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【典例7-2】（2024·高二·天津河东·期中）若圆关于直线对称，则（    ） A．0 B． C．2 D． 【变式7-1】（2024·高二·北京丰台·期中）已知圆关于直线对称，则实数（    ） A． B． C． D．或 【变式7-2】（2024·高二·陕西西安·阶段练习）若直线是圆的一条对称轴，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．4 【变式7-3】（2024·高二·河南郑州·阶段练习）已知直线，圆，若圆C上存在两点关于直线l对称，则的最小值是（    ） A．5 B． C． D．20 1．（2024·高二·内蒙古锡林郭勒盟·期末）已知圆C经过点和点，且圆心在y轴上，则圆C的方程为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·高二·全国·专题练习）点在圆的内部，则a的取值范围是（    ） A． B． C． 或 D．   3．（2024·高二·吉林长春·期末）已知点，点在圆上运动，则线段的中点的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 4．（2024·高二·福建福州·期中）圆关于直线对称的图形轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 5．（2024·高二·甘肃临夏·期中）已知圆，直线l过点.线段的端点B在圆上运动，则线段的中点M的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 6．（2024·高二·广东·期末）已知方程表示一个圆，则实数取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（2024·高二·广东江门·期末）方程表示一个圆，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．（2024·高二·四川成都·期末）若方程表示一个圆，则m可取的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 9．（2024·高二·江苏宿迁·阶段练习）圆关于点对称的圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 10．（2024·浙江嘉兴·模拟预测）已知点是直线：和：的交点，点是圆：上的动点，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 11．（2024·广西·模拟预测）圆关于直线对称，记点，坐标系的原点为，则的最小值为（    ） A．3 B． C． D． 12．（2024·高二·安徽合肥·期中）已知点，，，四点共圆，则 . 13．（2024·高二·河南信阳·期中）圆恒过的定点是 . 14．（2024·高二·上海徐汇·期中）对任意实数，圆恒过定点，则定点坐标为 ． 15．（2024·高二·上海·期末）已知圆经过点和，且圆心在直线上，求圆的方程． 16．（2024·高二·福建福州·期末）已知关于直线对称，点，都在上. (1)求线段垂直平分线的方程； (2)求的标准方程 17．（2024·高二·云南昆明·期中）已知点，O为坐标原点，若动点满足． (1)试求动点P的轨迹方程 (2)过点P作y轴的垂线，垂足为Q，试求线段PQ的中点M的轨迹方程． 18．（2024·高二·安徽阜阳·期末）已知的三个顶点分别为. (1)求的面积； (2)求的外接圆的方程. 19．（2024·高二·山东济南·期末）已知圆心为C的圆经过，两点，且圆心C在直线上． (1)求圆C的标准方程； (2)点P在圆C上运动，求的取值范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第09讲 圆的方程 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1、理解并掌握确定圆的几何要素． 2、理解并探求圆的标准方程和一般方程． 3、理解并掌握圆的标准方程和一般方程的求法． 4、理解并掌握点与圆的位置关系. 知识点一：圆的标准方程 ，其中为圆心，为半径． 知识点诠释： （1）如果圆心在坐标原点，这时，圆的方程就是．有关图形特征与方程的转化：如：圆心在x轴上：b=0；圆与y轴相切时：；圆与x轴相切时：；与坐标轴相切时：；过原点： （2）圆的标准方程圆心为，半径为，它显现了圆的几何特点． （3）标准方程的优点在于明确指出了圆心和半径．由圆的标准方程可知，确定一个圆的方程，只需要a、b、r这三个独立参数，因此，求圆的标准方程常用定义法和待定系数法． 知识点二：点和圆的位置关系 如果圆的标准方程为，圆心为，半径为，则有 （1）若点在圆上 （2）若点在圆外 （3）若点在圆内 知识点三：圆的一般方程 当时，方程叫做圆的一般方程．为圆心，为半径． 知识点诠释： 由方程得 （1）当时，方程只有实数解．它表示一个点． （2）当时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形． （3）当时，可以看出方程表示以为圆心，为半径的圆． 知识点四：用待定系数法求圆的方程的步骤 求圆的方程常用“待定系数法”．用“待定系数法”求圆的方程的大致步骤是： （1）根据题意，选择标准方程或一般方程． （2）根据已知条件，建立关于或的方程组． （3）解方程组，求出或的值，并把它们代入所设的方程中去，就得到所求圆的方程． 知识点五：轨迹方程 求符合某种条件的动点的轨迹方程，实质上就是利用题设中的几何条件，通过“坐标法”将其转化为关于变量之间的方程． 1、当动点满足的几何条件易于“坐标化”时，常采用直接法；当动点满足的条件符合某一基本曲线的定义（如圆）时，常采用定义法；当动点随着另一个在已知曲线上的动点运动时，可采用代入法（或称相关点法）． 2、求轨迹方程时，一要区分“轨迹”与“轨迹方程”；二要注意检验，去掉不合题设条件的点或线等． 3、求轨迹方程的步骤： （1）建立适当的直角坐标系，用表示轨迹（曲线）上任一点的坐标； （2）列出关于的方程； （3）把方程化为最简形式； （4）除去方程中的瑕点（即不符合题意的点）； （5）作答． 考点一：圆的标准方程 【典例1-1】（2024·高二·安徽·阶段练习）已知，，圆M经过A，B两点，且圆的周长被x轴平分，则圆M的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意，，中点为， 所以线段的中垂线为，令得， 所以，半径，所以圆M的标准方程为． 故选：B. 【典例1-2】（2024·高二·甘肃白银·期末）圆的圆心在直线上，且和轴相切于点，则圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为圆心在直线上，故设圆心， 又因为圆和轴相切于点，所以，即，则半径， 故圆的标准方程为. 故选：B. 【变式1-1】（2024·高二·四川乐山·期末）已知圆C的圆心在x轴上且经过，两点，则圆C的标准方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为圆C的圆心在x轴上，故设圆的标准方程, 又经过，两点， 所以，解得， 所以圆的标准方程. 故选：A. 【变式1-2】（2024·高一·重庆沙坪坝·期末）在平面直角坐标系中，已知、两点，若圆以为直径，则圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意可知，圆心的横坐标为，纵坐标为，即点， 圆的半径为， 因此，圆的标准方程为. 故选：A. 【变式1-3】（2024·高二·福建漳州·期中）已知圆C的圆心在直线上，且过点和，则圆C的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设圆C的圆心坐标为，半径为，则圆C的方程为， 由点和点在圆C上， 可得①，②， 由①②可得， 故圆C的标准方程为. 故选：A. 考点二：圆的一般方程 【典例2-1】（2024·高二·重庆铜梁·开学考试）已知，，为原点，则的外接圆方程为 . 【答案】 【解析】设外接圆方程为， 因为原点，，三点都在圆上，所以有 ，解得，则圆的方程为， 故的外接圆方程为. 故答案为： 【典例2-2】（2024·高二·全国·期末）在中，，B和C．则的外接圆方程为 ． 【答案】 【解析】由题意设圆的方程为， 代入三个点的坐标可得，解得， 所以的外接圆方程为， 故答案为：． 【变式2-1】（2024·高二·全国·专题练习）过坐标原点，且在x轴和y轴上的截距分别为2和3的圆的方程为 . 【答案】 【解析】设圆的方程为， 圆过点，和，所以，解得， 所以所求圆的方程为. 故答案为：. 【变式2-2】（2024·高二·山东聊城·期中）与圆同圆心，且过点的圆的方程是： . 【答案】 【解析】设所求圆的一般式方程为， 代入点，可得，解得， 所以，所求圆的方程为. 考点三：点与圆的位置关系 【典例3-1】（2024·高二·江苏·专题练习）已知点，圆的标准方程为，则点P（　 ） A．在圆内 B．在圆上 C．在圆外 D．与a的取值有关 【答案】C 【解析】∵， ∴点P在圆外. 故选：C． 【典例3-2】（2024·高二·全国·课后作业）点与圆的位置关系是（    ） A．点在圆上 B．点在圆内 C．点在圆外 D．不确定 【答案】C 【解析】因为，所以点在圆外， 故选：C 【变式3-1】（2024·高二·全国·专题练习）点与圆的位置关系是（    ）． A．点在圆上 B．点在圆内 C．点在圆外 D．不能确定 【答案】C 【解析】因为，所以点在圆外． 故选：C 【变式3-2】（2024·高二·四川成都·期末）已知点在圆上，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设,则， 故选：A 考点四：轨迹问题 【典例4-1】（2024·高二·全国·阶段练习）已知圆，是圆上的动点，点，若动点满足，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设，，由，得，所以， 又因为点在圆上， 所以，即. 故选：C. 【典例4-2】（2024·高二·河南南阳·期末）已知圆的圆心为直线与直线的交点，且圆的半径为. (1)求圆的标准方程； (2)若为圆上任意一点，，点满足，求点的轨迹方程. 【解析】（1） 由解得，则圆心为，半径为， ∴圆的标准方程为. （2）设，. 由，可得， 则，又点在圆上，所以， 即，化简得， ∴点的轨迹方程为. 【变式4-1】（2024·高二·河北保定·期中）已知，动点与点的距离是它与点的距离的倍. (1)求点的轨迹方程； (2)如果把倍改成倍，求点的轨迹. 【解析】（1）设点的坐标为，由， 得，化简得， 即. （2）设点的坐标为，由，得， 化简得， 当时，方程为，可知点的轨迹是线段的垂直平分线； 当且时，方程可化为， 点的轨迹是以为圆心，半径为的圆. 【变式4-2】（2024·高二·江苏·专题练习）已知等腰三角形的顶点是，底边一个端点是，另一个端点是，求线段中点的轨迹方程． 【解析】设，又，为线段的中点，∴． 由于,所以， 即可， 由于三点不共线，所以且，所以且， ∴中点的轨迹方程为且 【变式4-3】（2024·高二·上海·课后作业）已知点、是距离为4的两个定点，动点满足，建立适当的平面直角坐标系，并求动点的轨迹方程． 【解析】 如图，以直线为轴，线段的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系，则两定点为、． 设动点的坐标是，则，． 因为，所以，化简得． 这表明，动点轨迹上任意点的坐标都满足这个方程． 反过来，设平面上一点的坐标也满足方程，即有， 则． 从而以方程的解为坐标的点都在轨迹上． 综上所述，方程就是所求的动点的轨迹方程． 考点五：二元二次曲线与圆的关系 【典例5-1】（2024·高二·福建厦门·期中）若，则方程表示的圆的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】若方程表示圆， 则， 解得， 又，所以或， 即程表示的圆的个数为. 故选：B 【典例5-2】（2024·高二·全国·课后作业）若方程表示圆，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】依题意，，解得或， 所以实数的取值范围为. 故选：B 【变式5-1】（2024·高二·全国·课后作业）下列方程能表示圆的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对于A，，方程表示的图形是一个点； 对于B，，，方程不表示圆； 对于C，，，当时，方程不表示圆； 对于D，，，方程表示圆； 综上，以上方程能表示圆的是D选项中的方程． 故选：D． 【变式5-2】（2024·高二·湖北荆门·期末）已知圆的方程为，若点在圆外，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意得，圆的标准方程为， 故，， 又点在圆外，所以， ，或， 所以m的取值范围为． 故选：D. 考点六：圆过定点 【典例6-1】（2024·高二·湖北荆州·期末）圆恒过的定点为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】圆的方程化为， 由得或， 故圆恒过定点． 故选：D． 【典例6-2】（2024·高二·浙江温州·期中）点是直线上任意一点，是坐标原点，则以为直径的圆经过定点（      ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】D 【解析】设点，则线段的中点为， 圆的半径为， 所以，以为直径为圆的方程为， 即，即， 由，解得或， 因此，以为直径的圆经过定点坐标为、. 故选：D. 【变式6-1】（2024·高二·安徽·阶段练习）若圆过坐标原点，则实数m的值为（    ） A．1 B．2 C．2或1 D．－2或－1 【答案】A 【解析】将代入圆方程，得，解得或2，当时，，舍去，所以. 故选：A． 考点七：与圆有关的对称问题 【典例7-1】（2024·高二·河南周口·期末）若曲线上相异两点P、Q关于直线对称，则k的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【解析】若曲线上相异两点P、Q关于直线对称， 则圆心在直线上，故代入解得， 故选：D． 【典例7-2】（2024·高二·天津河东·期中）若圆关于直线对称，则（    ） A．0 B． C．2 D． 【答案】D 【解析】圆关于直线对称, 即圆心在直线上， 由，得圆心， 则，得. 故选：D 【变式7-1】（2024·高二·北京丰台·期中）已知圆关于直线对称，则实数（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【解析】由题意可知，， 且圆心在直线上，代入直线方程得（舍去） 或. 故选：C 【变式7-2】（2024·高二·陕西西安·阶段练习）若直线是圆的一条对称轴，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．4 【答案】A 【解析】由题意可得，直线过圆心，则，解得. 故选：A 【变式7-3】（2024·高二·河南郑州·阶段练习）已知直线，圆，若圆C上存在两点关于直线l对称，则的最小值是（    ） A．5 B． C． D．20 【答案】D 【解析】圆的圆心坐标为， 圆C上存在两点关于直线l对称，则直线l过圆心，即，有， ， 当时，有最小值20. 故选：D 1．（2024·高二·内蒙古锡林郭勒盟·期末）已知圆C经过点和点，且圆心在y轴上，则圆C的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设圆C的方程为，则圆心， 则有，解之得, 则有圆C的方程为，即 故选：C 2．（2024·高二·全国·专题练习）点在圆的内部，则a的取值范围是（    ） A． B． C． 或 D．   【答案】A 【解析】点在圆的内部， 所以，化简得，解得， 故选:A 3．（2024·高二·吉林长春·期末）已知点，点在圆上运动，则线段的中点的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设， 由题意可知，所以， 又因为， 所以， 化简可得， 所以的轨迹方程为， 故选：A. 4．（2024·高二·福建福州·期中）圆关于直线对称的图形轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】圆关于直线对称的图形的轨迹仍为圆. 将圆的方程化为标准方程可得，， 圆心，半径. 设点关于直线对称的点为， 则有，解得， 即对称圆的圆心为. 又半径， 所以，轨迹方程为. 故选：D. 5．（2024·高二·甘肃临夏·期中）已知圆，直线l过点.线段的端点B在圆上运动，则线段的中点M的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设，， 由点是的中点，得，可得， 又点在圆上运动，所以， 将上式代入可得，， 化简整理得点的轨迹方程为：. 故选：B 6．（2024·高二·广东·期末）已知方程表示一个圆，则实数取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为方程表示一个圆， 所以， 即，所以或， 故选：C. 7．（2024·高二·广东江门·期末）方程表示一个圆，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】，即. 故选：D. 8．（2024·高二·四川成都·期末）若方程表示一个圆，则m可取的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【解析】由方程分别对进行配方得：， 依题意它表示一个圆，须使，解得：或，在选项中只有D项满足. 故选：D. 9．（2024·高二·江苏宿迁·阶段练习）圆关于点对称的圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意可得圆的标准方程为， 所以圆心为，半径为， 因为点关于点的对称点为， 所以所求对称圆的标准方程为， 故选：D 10．（2024·浙江嘉兴·模拟预测）已知点是直线：和：的交点，点是圆：上的动点，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为直线：，即， 令，解得，可知直线过定点， 同理可知：直线过定点， 又因为，可知， 所以直线与直线的交点的轨迹是以的中点，半径的圆， 因为圆的圆心，半径， 所以的最大值是. 故选：B. 11．（2024·广西·模拟预测）圆关于直线对称，记点，坐标系的原点为，则的最小值为（    ） A．3 B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意，， 即圆圆心为，半径， 圆关于直线对称， 即圆心在直线上， 故，即， 故， 当时，的最小值为. 故选：B 12．（2024·高二·安徽合肥·期中）已知点，，，四点共圆，则 . 【答案】1 【解析】设过，，的圆的方程为，， 则， 解得， 所以过，，的圆的方程为， 又点在此圆上， 所以， 即， 所以， 故答案为：1 13．（2024·高二·河南信阳·期中）圆恒过的定点是 . 【答案】 【解析】圆方程化为， 由解得故圆恒过点. 故答案为： 14．（2024·高二·上海徐汇·期中）对任意实数，圆恒过定点，则定点坐标为 ． 【答案】或 【解析】，即， 令，解得，，或，， 所以定点的坐标是或． 故答案为：或. 15．（2024·高二·上海·期末）已知圆经过点和，且圆心在直线上，求圆的方程． 【解析】设圆的方程为， 圆心在直线上，得， 可得圆的方程为， 圆经过点和 所以， 解得，， 因此，所求圆的方程为． 16．（2024·高二·福建福州·期末）已知关于直线对称，点，都在上. (1)求线段垂直平分线的方程； (2)求的标准方程 【解析】（1）因为点，， 所以线段的中点为 因为直线的斜率为，所以垂直平分线的斜率不存在. 所以垂直平分线的方程为； （2）解法一：因为关于直线对称，则可设的方程为， 又因为点，在上，所以， 解得， 所以的标准方程为. 解法二：因为直线与直线的交点为圆心， 由，解得， 故圆心. 又因为. 所以的标准方程为. 17．（2024·高二·云南昆明·期中）已知点，O为坐标原点，若动点满足． (1)试求动点P的轨迹方程 (2)过点P作y轴的垂线，垂足为Q，试求线段PQ的中点M的轨迹方程． 【解析】（1）由动点满足，得，化简得， 所以动点P的轨迹方程是. （2）设点，由轴于点，且是中点，得，即， 由（1）知，， 因此，整理得. 所以点M的轨迹方程是. 18．（2024·高二·安徽阜阳·期末）已知的三个顶点分别为. (1)求的面积； (2)求的外接圆的方程. 【解析】（1）， 直线的方程为，即， 所以点到直线的距离， 所以的面积； （2）设的外接圆的方程为， 则，解得， 所以的外接圆的方程为. 19．（2024·高二·山东济南·期末）已知圆心为C的圆经过，两点，且圆心C在直线上． (1)求圆C的标准方程； (2)点P在圆C上运动，求的取值范围． 【解析】（1）圆经过，两点，得圆心在的中垂线上， 又圆心C在直线上，联立直线方程有，得， 即圆心坐标为， 又， 故圆C的标准方程为． （2）设，易知， 则（*）， 因为点P在圆C上运动，则， 故（*）式可化简为，， 由得的取值范围为． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$