第05讲 全等三角形与“SSS”判定三角形全等（4个知识点+6个考点）【暑假自学课】-2024年新八年级数学暑假提升精品讲义（人教版）

第05讲 全等三角形与“SSS”判定三角形全等（4个知识点+6个考点） 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1.了解全等形的概念，会判断两个图形是不是全等形。 2.理解全等三角形的概念，学会判断对应元素的方法。 3.掌握全等三角形的性质，能利用全等三角形的性质解决相关的证明和计算问题。 4.掌握用SSS,证明两个三角形全等的方法。 知识点1.全等形的概念（重点） 形状、大小相同的图形放在一起能够完全重合.能够完全重合的两个图形叫做全等形. 要点归纳：一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状、大小都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的图形全等.两个全等形的周长相等，面积相等. 【例1】下列各组的两个图形属于全等图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据全等图形的定义，逐一判断选项，即可． 【详解】解：A、两个图形不能完全重合，不是全等图形，不符合题意， B.两个图形不能完全重合，不是全等图形，符合题意， C.两个图形不能完全重合，不是全等图形，不符合题意， D.两个图形能完全重合，是全等图形，不符合题意， 【变式1-1】下列各选项中的两个图形属于全等图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等图形的识别，能够完全重合的平面图形，即形状、大小相同的图形是全等图形，据此即可求解． 【详解】解：由全等图形的定义可知，B为全等图形， 故选：B ． 【变式1-2】下列说法中，正确的是（    ） A．面积相等的两个图形是全等图形 B．形状相等的两个图形是全等图形 C．周长相等的两个图形是全等图形 D．能够完全重合的两个图形是全等图形 【答案】D 【分析】本题考查了全等形的概念，做题时一定要严格紧扣概念对选项逐个验证，这是一种很重要的方法，注意应用． 根据全等图形指的是完全重合的图形，包括边长、角度、面积、周长等，但面积、周长相等的图形不一定全等求解即可． 【详解】解：A、面积相等，但图形不一定能完全重合，说法错误； B、形状相等的两个图形也不一定是全等形，说法错误； C、周长相等的两个图形不一定能完全重合，说法错误； D、符合全等形的概念，正确． 故选：D． 【变式1-3】找出下列各组图中的全等图形（　　） A．②和⑥ B．②和⑦ C．③和④ D．⑥和⑦ 【答案】C 【详解】解：∵图形②和图形⑥不能够完全重合， 故A选项不符合题意； ∵图形②和图形⑦不能够完全重合， 故B选项不符合题意； ∵图形③和图形④能够完全重合， 故C选项符合题意； ∵图形⑥和图形⑦不能够完全重合， 故D选项不符合题意； 知识点2.全等三角形的概念和表示方法（重点） 1.全等三角形的定义 能够完全重合的两个三角形叫全等三角形. 2. 对应顶点，对应边，对应角定义 两个全等三角形重合在一起，重合的顶点叫对应顶点，重合的边叫对应边，重合的角叫对应角. 要点归纳： 在写两个三角形全等时，通常把对应顶点的字母写在对应位置上，这样容易找出对应边、对应角.如下图，△ABC与△DEF全等，记作△ABC≌△DEF，其中点A和点D，点B和点E，点C和点F是对应顶点；AB和DE，BC和EF，AC和DF是对应边；∠A和∠D，∠B和∠E，∠C和∠F是对应角. 3. 找对应边、对应角的方法 （1）全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边； （2）全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角； （3）有公共边的，公共边是对应边； （4）有公共角的，公共角是对应角； （5）有对顶角的，对顶角一定是对应角； （6）两个全等三角形中一对最长的边（或最大的角）是对应边（或角），一对最短的边（或最小的角）是对应边（或角），等等. 【例2-1】（2022秋·江苏徐州阶段练习）下图中全等的三角形是（      ） A．①和② B．②和④ C．②和③ D．①和③ 【答案】D 【详解】A、①和②，SA，角的另一条邻边不相等，两个三角形不全等，不符合题意； B、②和④，5cm分别是图②和图④的邻边和对边，两个三角形不全等，不符合题意； C、②和③，SA，角的另一条邻边不相等，两个三角形不全等，不符合题意； D、①和③，SAS，两个三角形全等，符合题意； 【例2-2】（2022秋·江苏·专题练习）如图，，和，和是对应边．写出其他对应边及对应角． 【答案】其他对应边：和．对应角：和，和，和． 【详解】解：∵△ABC≌△CDA， ∴其他对应边：AC和CA．对应角：∠BAC和∠DCA，∠B和∠D，∠ACB和∠CAD． 【变式2-1】下列说法正确的是（　　） A．形状相同的两个三角形全等 B．周长相等的两个三角形全等 C．面积相等的两个三角形全等 D．形状、大小相同的两个三角形全等 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的定义，根据两个三角形全等的定义即可判断．理解定义是判断的关键． 【详解】解：A、形状相同的两个三角形不一定全等，说法错误，不符合题意； B、周长相等的两个三角形不一定全等，说法错误，不符合题意； C、面积相等的两个三角形不一定全等，说法错误，不符合题意； D、形状、大小相同的两个三角形全等，正确，符合题意． 故选：D． 【变式2-2】如图，已知△ABD≌△ACE，且∠BAD和∠CAE、∠ABD和∠ACE是对应角，则另一对对应角是 ，对应边是 ， ， . 【答案】 ∠ADB和∠AEC AB和AC AD和AE BD和CE 【分析】根据全等三角形的概念，对应角，对应边，直接求解即可． 【详解】解：∵△ABD≌△ACE， ∴∠ADB和∠AEC是对应角；AB和AC 是对应边；AD和AE是对应边；BD和CE是对应边. 故答案为：∠ADB和∠AEC，AB和AC，AD和AE，BD和CE． 【点睛】此题主要考查了全等三角形的性质，解题关键是利用全等三角形的性质写出对应边和对应角，特别注意要应用好“对应关系”. 知识点3全等三角形的性质（重点） 　 全等三角形的对应边相等； 全等三角形的对应角相等. 要点归纳：全等三角形对应边上的高相等，对应边上的中线相等，周长相等，面积相等.全等三角形的性质是今后研究其它全等图形的重要工具. 【例3】如图，，若，则的长度为（　　）    A．2 B．5 C．10 D．15 【答案】C 【分析】根据全等三角形的性质得到即可求解． 【详解】∵，， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查全等三角形的性质，熟记全等三角形对应边相等是解题的关键． 【变式3-1】如图，△ABC≌△ADE，BC的延长线经过点E，交AD于F，∠ACB＝∠AED＝105°，∠CAD＝10°，∠B＝50°，则∠AFE＝_______°． 【答案】85 【详解】解：在△ABC中，∵∠B＝50°，∠ACB＝105°， ∴∠BAC＝25°， ∵∠CAD＝10°，∠B＝50°， ∴∠AFE＝∠BAD+∠B＝∠BAC+∠CAD+∠B＝25°+10°+50°＝85°， 故答案为：85． 【变式3-2】如图，已知，点在上，与相交于点．    (1)当，时，线段的长为________； (2)已知，，求的度数． 【答案】(1)4 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的性质，三角形的内角和定理，解题的关键是熟练掌握全等三角的性质； （1）根据全等三角形的对应边相等，即可求解； （2）根据全等三角形的对应角相等，以及三角形的内角和为，即可求解． 【详解】（1）解：，≌ ， ， 故答案为：4； （2）解：， ， ， ． 【变式3-3】如图所示，已知在四边形中， ，过点作于点，连接，，且． (1)求的度数； (2)若，试判断与之间的关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，，理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的性质，平行线的判定与性质，三角形内角和等于，熟练掌握相关知识是解答本题的关键． （1）由平行线的性质得到，再根据三角形内角和等于，求得，最后根据全等三角形的对应角相等，即可求得答案； （2）由可得，，再根据平行线的判定，即可得到答案． 【详解】（1），， ， ， ， ， ， ； （2），且． 理由：， ，， ． 知识点4.三角形全等的基本事实：边边边（重点） 三边对应相等的两个三角形全等.（可以简写成“边边边”或“SSS”）. 要点归纳：如图，如果＝AB，＝AC，＝BC，则△ABC≌△. 【例4】（2023·云南玉溪·统考三模）如图，点在一条直线上，，求证：．    【详解】证明：∵， ∴，即， 在和中 ∴． 【变式4-1】如图，中，，，直接使用“”可判定（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，熟知全等三角形的判定定理是解题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴， 根据现有条件无法直接利用判定，，， 故选：C． 【变式4-2】如图，、、、四点在同一直线上，，，．求证： 【答案】见解析 【分析】先证明，进而根据证明，即可． 【详解】证明：∵ ∴ ∴ 在中 ∴ 【点睛】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 【变式4-3】莆仙戏是现存最古老的地方戏剧种之一，被称为“宋元南戏的活化石”，该剧中“油纸伞”是最重要的道具．“油纸伞”的制作工艺十分巧妙．如图，伞圈沿着伞柄滑动时，总有伞骨，，从而使得伞柄始终平分同一平面内两条伞骨所成的，为什么？ 【答案】见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，利用证明即可求解． 【详解】解：始终平分同一平面内两条伞骨所成的， 理由：在和中， ， ， ， 即平分． 考点1：根据全等图形的定义作图 1．在3×3的方格纸中，试用格点连线将方格纸分割成两个大小、形状都相同的多边形．试画出四种不同的分割方法：    【分析】根据全等图形的定义和方格的特点解答即可． 【详解】解：如图：    【点睛】本题考查了图形的分割和全等图形的定义，熟练掌握方格纸的特点是解答本题的关键． 2.如图，这是由小正方形拼成的大长方形，请沿图中的虚线，用三种方法将下列图形划分为两个全等图形． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了画全等图形，解题的关键是熟练掌握全等图形的定义． 【详解】解：如图所示： 3.沿图中的虚线画线，把下面的图形划分为两个全等的图形（用二种不同方法）： 【答案】见解析 【分析】本题考查了查全等图形的定义，熟练掌握相关概念是解题的关键．根据全等图形的定义：对应边都相等，对应角都相等的图形进行构造即可． 【详解】解：如图所示： 4.沿着图中的虚线，请将如图的图形分割成4个全等的图形，并能拼成一个正方形．    【答案】见解析 【分析】如图所示，按图中实线部分即可将原图形划分为4个全等的图形，且能拼成一个正方形．（答案不唯一） 【详解】   【点睛】本题考查全等图形，解题的关键是掌握全等图形的定义，学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型． 考点2:全等三角形性质的应用 5．如图，已知△ABF≌△CDE． （1）若∠B＝30°，∠DCF＝40°，求∠EFC的度数； （2）若BD＝10，EF＝2，求BF的长． 【解答】解：（1）∵△ABF≌△CDE， ∴∠D＝∠B＝30°， ∴∠EFC＝∠DCF+∠D＝70°； （2）∵△ABF≌△CDE， ∴BF＝DE， ∴BF﹣EF＝DE﹣EF，即BE＝DF， ∵BD＝10，EF＝2， ∴BE＝（10﹣2）÷2＝4， ∴BF＝BE+EF＝6． 6.如图，已知△ABC≌△DEB，点E在AB上，DE与AC相交于点F． （1）当DE＝8，BC＝5时，求线段AE的长； （2）已知∠D＝35°，∠C＝60°，求∠DBC与∠AFD的度数． 【解答】解：（1）∵△ABC≌△DEB，DE＝8，BC＝5， ∴AB＝DE＝8，BE＝BC＝5， ∴AE＝AB＝BE＝8﹣5＝3； （2）∵△ABC≌△DEB，∠D＝35°，∠C＝60°， ∴∠DBE＝∠C＝60°，∠A＝∠D＝35°，∠ABC＝∠DEB， ∴∠ABC＝180°﹣∠A﹣∠C＝85°， ∴∠DBC＝∠ABC﹣∠DBE＝85°﹣60°＝25°， ∵∠ABC＝85°， ∴∠DEB＝85°， ∴∠AED＝95°， ∴∠AFD＝∠A+∠AED＝35°+95°＝130°． 7.如图，，且点A，D，C，F在同一直线上，点B，C，E在同一直线上．    (1)若，求证：． (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)40度 【分析】（1）先证明，可得，结合，可得； （2）先求解，可得，再证明，结合三角形的内角和定理可得答案． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴，即． ∵， ∴． （2）∵，， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查的是全等三角形的性质，三角形的内角和定理的应用，熟记全等三角形的对应角相等与三角形的内角和是解本题的关键． 8.已知两个三角形全等，其中一个三角形的三边长分别为6，8，10，另一个三角形的三边长分别为6，． (1)求m，n的值； (2)若分别以3，m，n为边长的三角形存在，试确定m，n的值，并说明理由． 【答案】(1)或； (2)，理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的性质及三角形三边关系， （1）有两种情况：与8、与10分别是对应边；与10、与8分别是对应边；分别求出m与n即可； （2）根据（1）中结果，分两种情况理由三角形三边关系分析即可． 熟练掌握全等三角形的性质及三角形三边关系是解题关键． 【详解】（1）解：当与8、与10分别是对应边时，则， ∴； 当与10、与8分别是对应边时，则， ∴； 综上，或； （2）由（1）得或； 当时，，不能组成三角形，不符合题意； 当时，以3，m，n为边长的三角形存在，符合题意； ∴． 考点3：图形变换中的全等三角形问题 9.如图，沿直角边所在的直线向右平移得到，下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、沿直角边所在的直线向右平移得到，则成立，故正确，不符合题意； B、为直角三角形，则成立，故正确，不符合题意； C、不能成立，故错误，符合题意； D、为对应角，正确，不符合题意； 10.如图，把△ABC沿线段DE折叠，使点B落在点F处；若，∠A=70°，AB=AC，则∠CEF的度数为（    ） A．55° B．60° C．65° D．70° 【答案】D 【详解】解：沿线段DE折叠，使点B落在点F处， ， ， ， ， ， ， ， 11.如图．两个全等的直角三角形重叠在一起，将其中的一个三角形沿着点B到C的方向平移到的位置，，平移距离为6，则阴影部分的面积为 ． 【答案】 【详解】解：由平移的性质知，BE＝6，DE＝AB＝8， ∴PE＝DE−DP＝8−3＝5， 根据题意得：△ABC≌△DEF， ∴S△ABC＝S△DEF， ∴S四边形PDFC＝S梯形ABEP＝（AB＋PE）•BE＝（8＋5）×6＝39， 故答案为：39． 12.如图，△ABE和△ADC是△ABC分别沿着AB，AC翻折180°形成的，若∠1∶∠2∶∠3＝28∶5∶3，∠ α的度数是_________. 【答案】∠α＝80° 【解析】∵∠1∶∠2∶∠3＝28∶5∶3，设∠1＝28，∠2＝5，∠3＝3， ∴28＋5＋3＝36＝180°，＝5° 即∠1＝140°，∠2＝25°，∠3＝15° ∵△ABE和△ADC是△ABC分别沿着AB，AC翻折180°形成的， ∴△ABE≌△ADC≌△ABC ∴∠2＝∠ABE，∠3＝∠ACD ∴∠α＝∠EBC＋∠BCD＝2∠2＋2∠3＝50°＋30°＝80° 13.已知：如图所示，Rt△EBC中，∠EBC＝90°，∠E＝35°.以B为中心，将Rt△EBC绕点B逆时针 旋转90°得到△ABD，求∠ADB的度数. 解：∵Rt△EBC中，∠EBC＝90°，∠E＝35°， ∴∠ECB＝________°. ∵将Rt△EBC绕点B逆时针旋转90°得到△ABD， ∴△________≌△_________. ∴∠ADB＝∠________＝________°. 【思路点拨】由旋转的定义，△ABD≌△EBC，∠ADB与∠ECB是对应角，通过计算得出结论. 【答案】55；ABD，EBC；ECB，55 【解析】旋转得到的图形是全等形，全等三角形对应边相等，对应角相等. 考点4：利用全等三角形的性质解决探究性问题 14.如图所示，已知，且点，，在同一条直线上，试判断与的位置关系，并给予证明． 【答案】，证明见解析． 【分析】本题考查全等三角形的性质及直角三角形两锐角互余的性质，正确得出全等三角形的对应角是解题关键；根据全等三角形的性质得出，根据直角三角形两锐角互余即可得结论． 【详解】解：．证明如下： ∵， ， 在中，∵， ， ， ∴． 15.如图，△ABD≌△EBC，AB=3cm，BC=6cm， （1）求DE的长． （2）若A、B、C在一条直线上，则DB与AC垂直吗？为什么？ 【答案与解析】 解：（1）∵△ABD≌△EBC， ∴BD=BC=6cm，BE=AB=3cm， ∴DE=BD﹣BE=3cm； （2）DB⊥AC．理由如下： ∵△ABD≌△EBC， ∴∠ABD=∠EBC， 又∵∠ABD+∠EBC=180°， ∴∠ABD=∠EBC=90°， ∴DB⊥AC． 16．如图，A，E，C三点在同一直线上，且△ABC≌△DAE． （1）线段DE，CE，BC有怎样的数量关系？请说明理由． （2）请你猜想△ADE满足什么条件时，DE∥BC，并证明． 【解答】（1）解：DE＝CE+BC． 理由：∵△ABC≌△DAE， ∴AE＝BC，DE＝AC． ∵A，E，C三点在同一直线上， ∴AC＝AE+CE， ∴DE＝CE+BC； （2）当△ADE满足∠AED＝90°时，DE∥BC， 证明：∵△ABC≌△DAE，∠AED＝90°， ∴∠C＝∠AED＝90°，∠DEC＝180°﹣∠AED＝90°， ∴∠C＝∠DEC． ∴DE∥BC， 即当△ADE满足∠AED＝90°时，DE∥BC． 考点5：SSS的简单应用 17.如图所示，△ABC是一个风筝架，AB＝AC，AD是连接点A与BC中点D的支架，求证：AD⊥BC. 解析：要证AD⊥BC，根据垂直定义，需证∠1＝∠2，∠1＝∠2可由△ABD≌△ACD证得． 证明：∵D是BC的中点，∴BD＝CD.在△ABD和△ACD中，∵∴△ABD≌△ACD(SSS)，∴∠1＝∠2(全等三角形的对应角相等)．∵∠1＋∠2＝180°，∴∠1＝∠2＝90°，∴AD⊥BC(垂直定义)． 18.如图，点，在上，，，．求证：．    【答案】见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，先证明，进而证明 ，即可推出． 【详解】证明： ， ， ， 在和中， ， ， ． 19.如图，已知中，，是边上的中线，试猜想： (1)与的大小关系； (2)与的位置关系．并证明你的结论． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【分析】（1）本题考查三角形中线的性质和三角形全等的判定与性质，灵活利用三角形全等判定，即可解题． （2）本题考查利用三角形全等的性质，再结合邻补角互补即可证明该题． 【详解】（1）解：，理由如下： 是边上的中线， ， 在与中， ， ． （2），理由如下： 证明：（已证）， ， ， ， ． 20.如图，AD＝CB，E、F是AC上两动点，且有DE＝BF. (1)若E、F运动至图①所示的位置，且有AF＝CE，求证：△ADE≌△CBF. (2)若E、F运动至图②所示的位置，仍有AF＝CE，那么△ADE≌△CBF还成立吗？为什么？ (3)若E、F不重合，AD和CB平行吗？说明理由． 解析：(1)因为AF＝CE，可推出AE＝CF，所以可利用SSS来证明三角形全等；(2)同样利用三边来证明三角形全等；(3)因为全等，所以对应角相等，可推出AD∥CB. 解：(1)∵AF＝CE，∴AF＋EF＝CE＋EF，∴AE＝CF.在△ADE和△CBF中，∵∴△ADE≌△CBF. (2)成立．∵AF＝CE，∴AF－EF＝CE－EF，∴AE＝CF.在△ADE和△CBF中，∵ ∴△ADE≌△CBF. (3)平行．∵△ADE≌△CBF，∴∠A＝∠C，∴AD∥BC. 考点6：利用“边边边”进行尺规作图 21.用直尺和圆规作一个角等于已知角的作图痕迹如图所示，可得，进一步得到．上述作图中判定全等三角形的依据是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定以及全等三角形对应角相等，解体的关键是根据作法找到已知条件．由作法可知，两三角形的三条边对应相等，所以利用可以证得． 【详解】解：由作一个角等于已知角的作法可知，，，， 在和中， ， ∴， 故选：A 22.已知：如图，线段a、b、c.求作：△ABC，使得BC＝a，AC＝b，AB＝c.(保留作图痕迹，不写作法) 解析：首先画AB＝c，再以B为圆心，a为半径画弧，以A为圆心，b为半径画弧，两弧交于一点C，连接BC，AC，即可得到△ABC. 解：如图所示，△ABC就是所求的三角形． 方法总结：关键是掌握基本作图的方法，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作． 23．（23-24八年级上·山西吕梁·期末）如图，已知． 实践操作： （1）作，使．（要求：尺规作图，点D在直线的下方，保留作图痕迹，不写作法）． 推理与探究： （2）点E是上一点，．探究：线段与有怎样的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）见解析；（2），见解析 【分析】本题考查了作三角形以及全等三角形的性质、平行线的性质： （1）以点A为圆心，为半径在下方画弧，同时以点B为圆心，为半径，在下方画弧，两弧相交一点，即为点D，因为，所以，即可作答． （2）先由全等三角形的性质，得，，结合平行线的性质，得，以及等角对等边，即可作答． 【详解】解：（1）如图即为所求； （2）．理由： ， ． 一、单选题 1．（23-24八年级上·四川绵阳·期末）如图，已知和是对应角，和是对应边，，则的长度为（    ）. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的性质、线段的和差等知识点，掌握全等三角形的对应边相等成为解题的关键． 由全等三角形的性质可得，然后再根据线段的和差即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴ 故选B． 2．（23-24八年级上·海南省直辖县级单位·期末）若，点A和点D，点B和点E是对应点．如果，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形对应边相等的性质，根据全等三角形对应顶点的字母写在对应位置上准确找出对应边是解题的关键． 根据全等三角形对应边相等可得，即可得解． 【详解】解：∵， ∴． 故选：C． 3．（23-24八年级上·湖南衡阳·期末）如图，，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三角形内角和定理，全等三角形的性质，根据全等三角形对应角相等求出，，再利用三角形内角和为180度求出，最后利用角的和差关系即可求解． 【详解】解：，， ， ， ， ， 故选D． 4．（23-24八年级上·福建漳州·期末）八年级（2）班的数学兴趣小组开展了设计伞的实践活动．小康所在的小组设计了截面如图所示的伞骨结构，当伞完全打开后，，E，F分别是的中点，，那么判定的依据是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查全等三角形的应用，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理．由E，F分别是，的中点，得出；根据三边对应相等，证明三角形全等． 【详解】解：∵E，F分别是的中点，， ∴， 在与中， ， ∴． 故选：A． 5．（22-23八年级上·全国·课后作业）请仔细观察用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，请你根据所学的图形的全等这一章的知识，说明画出的依据是（    ）    A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS 【答案】D 【分析】本题考查的是作图基本作图，全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握三角形全等的性质是正确解答本题的关键．由作法易得，，，利用得到三角形全等，由全等三角形的对应角相等． 【详解】解：由作法易得，，， 在和中， ， ， ． 故选：D 6．（23-24八年级上·河南商丘·期末）如图，，若，，则的长为(    )    A．6 B．5 C．8 D．7 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等．先根据全等三角形的性质得到，然后计算即可． 【详解】解：， ， ． 故选：D． 7．（23-24八年级上·贵州安顺·期末）如图，，点，，，在同一直线上，，，则（    ） A．1.5 B．2 C．2.5 D．3 【答案】A 【分析】本题考查全等三角形的性质．由全等三角形的性质得到，因此，由，得到，而，即可求出的长． 【详解】解：， ， ， ，， ． 故选：A． 8．（23-24八年级上·江苏无锡·期末）下列说法正确的是（    ） A．面积相等的图形叫做全等图形 B．周长相等的图形叫做全等图形 C．能完全重合的图形叫做全等图形 D．形状相同的图形叫做全等图形 【答案】C 【分析】本题考查了全等形的概念．全等图形指的是完全重合的图形，包括边长、角度、面积、周长等，但面积、周长相等的图形不一定全等，要具体进行验证分析． 【详解】解：A、面积相等，但图形不一定能完全重合，说法错误； B、周长相等的两个图形不一定能完全重合，说法错误； C、能完全重合的图形叫做全等图形，符合全等形的概念，正确； D、形状相同的两个图形也不一定是全等形，说法错误； 故选：C． 9．（23-24八年级上·浙江湖州·期末）已知，如图所示的网格是由9个相同的小正方形拼成的，图中的各个顶点均为格点，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查网格中的全等三角形，会利用全等图形求正方形网格中角度之和是解答的关键．根据网格特点，可得出，进而可求解． 【详解】解：如图， 由图可知：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选C． 10．（23-24八年级上·重庆城口·期末）如图，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了垂线的定义，三角形内角和定理，全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应角相等是解题关键．由垂直可知，，进而得出，再由全等三角形的性质，即可求出的度数． 【详解】解：， ， ， ， ， ． 故选：C． 二、填空题 11．（23-24八年级上·江苏连云港·阶段练习）若，且的周长为20，，则 ． 【答案】7 【分析】此题考查了全等三角形的性质，先根据周长和已知边长求出的长，再根据全等三角形对应边相等即可得到答案． 【详解】∵的周长为20，， ∴， ∵， ∴， 答案为：7 12．（23-24八年级上·四川眉山·期中），若，，则等于 ． 【答案】/33度 【分析】本题考查了全等三角形的性质，三角形的内角和，解题的关键是掌握三角形全等的性质． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， 故答案为：． 13．（22-23八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，已知方格纸中是4个相同的小正方形，则∠1+∠2的度数为 . 【答案】/45度 【分析】观察图形可知与所在的直角三角形全等，则，根据外角的性质卡得，即可求解． 【详解】观察图形可知与所在的直角三角形全等， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了利用全等的性质求网格中的角度，三角形外角的性质，等腰直角三角形的性质，得出是解题的关键． 14．（23-24八年级上·江苏镇江·期末）如图，图中的两个三角形是全等三角形，其中一些角和边的大小如图所示，那么x的值是 °． 【答案】 【分析】本题考查的是全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键． 根据全等三角形的对应角相等解答即可． 【详解】解：如图， 由题意可得， ∴，即的值为 故答案为：． 15．（23-24八年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，若，则 °． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理．熟练掌握全等三角形的性质，三角形内角和定理是解题的关键． 由题意知，，计算求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 三、解答题 16．（23-24八年级上·广东肇庆·期末）如图，C是的中点，，．求证：． 【答案】证明详见解析． 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，利用证明两个三角形全等即可，熟记全等三角形的判定方法是解本题的关键． 【详解】证明：∵C是的中点， ∴ 在和中， ， ∴． 17．（23-24八年级上·全国·课后作业）如图1，把大小为的正方形网格分割成了两个全等形．请在图2中，沿着虚线画出四种不同的分割方法，把的正方形网格分割成两个全等形．      【答案】见解析 【分析】可以利用图形的对称性和互补性来分隔成两个全等的图形． 【详解】解：∵要求分成全等的两块， ∴每块图形要包含有8个小正方形．    【点睛】本题主要考查的是作图-应用与设计作图，利用对称性和互补性解题． 18．（23-24八年级上·新疆和田·期末）如图，点、、、在同一条直线上，，，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理的应用，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． （1）先证明，然后根据证明即可； （2）根据全等三角形的性质得出，进而根据三角形内角和定理即可求解． 【详解】（1）证明：，，且， ， 在和中， ， ， （2）解：由（1）可知，， ， ，， ， ． 19．（23-24八年级上·江苏扬州·期末）如图，交于点．    (1)线段与有怎样的数量关系？证明你的结论． (2)与有怎样的数量关系？证明你的结论． 【答案】(1)，见解析 (2)，见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等角对等边、三角形的外角性质： （1）先通过证明，得，然后结合等角对等边，即可作答． （2）根据以及三角形的外角性质，即可作答． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵ ∴ ∴ ； （2）解：，理由如下： 由（1）知 ∵ ． 20．（23-24八年级上·山西朔州·阶段练习）如图，点C，D在上，且，，．求证：    (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）求出，根据全等三角形的判定定理推出即可； （2）根据全等三角形的性质得出，根据平行线的判定得出即可． 【详解】（1）证明： ， ， ， 在和中 ， ； （2）证明：， ， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定和平行线的判定，能熟练地运用定理进行推理是解此题的关键． 21．（23-24八年级上·山西临汾·期中）如图，在中，都是上的点，且．    (1)求证：； (2)若，求的大小． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理． （1）根据证明即可； （2）由全等三角形的性质得，，然后利用三角形的内角和定理求解即可． 【详解】（1）证明：， ， 在和中 ，， ． （2）解：， ，， ， ． 22．（23-24八年级上·吉林·期中）如图，的边与的边在一条直线上，且点为的中点，，． (1)求证：； (2)判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)．理由见解析 【分析】此题重点考查线段中点的定义、全等三角形的判定与性质、平行线的判定等知识，适当选择全等三角形的判定定理证明是解题的关键． （1）由点为的中点，得，而，，即可根据“”证明； （2）由全等三角形的性质得，即可根据“同位角相等，两直线平行”证明． 【详解】（1）证明：点为的中点， ， 在和中， ， ． （2）解：， 理由：， ， ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第05讲 全等三角形与“SSS”判定三角形全等（4个知识点+6个考点） 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1.了解全等形的概念，会判断两个图形是不是全等形。 2.理解全等三角形的概念，学会判断对应元素的方法。 3.掌握全等三角形的性质，能利用全等三角形的性质解决相关的证明和计算问题。 4.掌握用SSS,证明两个三角形全等的方法。 知识点1.全等形的概念（重点） 形状、大小相同的图形放在一起能够完全重合.能够完全重合的两个图形叫做全等形. 要点归纳：一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状、大小都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的图形全等.两个全等形的周长相等，面积相等. 【例1】下列各组的两个图形属于全等图形的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】下列各选项中的两个图形属于全等图形的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】下列说法中，正确的是（    ） A．面积相等的两个图形是全等图形 B．形状相等的两个图形是全等图形 C．周长相等的两个图形是全等图形 D．能够完全重合的两个图形是全等图形 【变式1-3】找出下列各组图中的全等图形（　　） A．②和⑥ B．②和⑦ C．③和④ D．⑥和⑦ 知识点2.全等三角形的概念和表示方法（重点） 1.全等三角形的定义 能够完全重合的两个三角形叫全等三角形. 2. 对应顶点，对应边，对应角定义 两个全等三角形重合在一起，重合的顶点叫对应顶点，重合的边叫对应边，重合的角叫对应角. 要点归纳： 在写两个三角形全等时，通常把对应顶点的字母写在对应位置上，这样容易找出对应边、对应角.如下图，△ABC与△DEF全等，记作△ABC≌△DEF，其中点A和点D，点B和点E，点C和点F是对应顶点；AB和DE，BC和EF，AC和DF是对应边；∠A和∠D，∠B和∠E，∠C和∠F是对应角. 3. 找对应边、对应角的方法 （1）全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边； （2）全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角； （3）有公共边的，公共边是对应边； （4）有公共角的，公共角是对应角； （5）有对顶角的，对顶角一定是对应角； （6）两个全等三角形中一对最长的边（或最大的角）是对应边（或角），一对最短的边（或最小的角）是对应边（或角），等等. 【例2-1】（2022秋·江苏徐州阶段练习）下图中全等的三角形是（      ） A．①和② B．②和④ C．②和③ D．①和③ 【例2-2】（2022秋·江苏·专题练习）如图，，和，和是对应边．写出其他对应边及对应角． 【变式2-1】下列说法正确的是（　　） A．形状相同的两个三角形全等 B．周长相等的两个三角形全等 C．面积相等的两个三角形全等 D．形状、大小相同的两个三角形全等 【变式2-2】如图，已知△ABD≌△ACE，且∠BAD和∠CAE、∠ABD和∠ACE是对应角，则另一对对应角是 ，对应边是 ， ， . 知识点3全等三角形的性质（重点） 　 全等三角形的对应边相等； 全等三角形的对应角相等. 要点归纳：全等三角形对应边上的高相等，对应边上的中线相等，周长相等，面积相等.全等三角形的性质是今后研究其它全等图形的重要工具. 【例3】如图，，若，则的长度为（　　）    A．2 B．5 C．10 D．15 【变式3-1】如图，△ABC≌△ADE，BC的延长线经过点E，交AD于F，∠ACB＝∠AED＝105°，∠CAD＝10°，∠B＝50°，则∠AFE＝_______°． 【变式3-2】如图，已知，点在上，与相交于点．    (1)当，时，线段的长为________； (2)已知，，求的度数． 【变式3-3】如图所示，已知在四边形中， ，过点作于点，连接，，且． (1)求的度数； (2)若，试判断与之间的关系，并说明理由． 知识点4.三角形全等的基本事实：边边边（重点） 三边对应相等的两个三角形全等.（可以简写成“边边边”或“SSS”）. 要点归纳：如图，如果＝AB，＝AC，＝BC，则△ABC≌△. 【例4】（2023·云南玉溪·统考三模）如图，点在一条直线上，，求证：．    【变式4-1】如图，中，，，直接使用“”可判定（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】如图，、、、四点在同一直线上，，，．求证： 【变式4-3】莆仙戏是现存最古老的地方戏剧种之一，被称为“宋元南戏的活化石”，该剧中“油纸伞”是最重要的道具．“油纸伞”的制作工艺十分巧妙．如图，伞圈沿着伞柄滑动时，总有伞骨，，从而使得伞柄始终平分同一平面内两条伞骨所成的，为什么？ 考点1：根据全等图形的定义作图 1．在3×3的方格纸中，试用格点连线将方格纸分割成两个大小、形状都相同的多边形．试画出四种不同的分割方法：    2.如图，这是由小正方形拼成的大长方形，请沿图中的虚线，用三种方法将下列图形划分为两个全等图形． 3.沿图中的虚线画线，把下面的图形划分为两个全等的图形（用二种不同方法）： 4.沿着图中的虚线，请将如图的图形分割成4个全等的图形，并能拼成一个正方形．    考点2:全等三角形性质的应用 5．如图，已知△ABF≌△CDE． （1）若∠B＝30°，∠DCF＝40°，求∠EFC的度数； （2）若BD＝10，EF＝2，求BF的长． 6.如图，已知△ABC≌△DEB，点E在AB上，DE与AC相交于点F． （1）当DE＝8，BC＝5时，求线段AE的长； （2）已知∠D＝35°，∠C＝60°，求∠DBC与∠AFD的度数． 7.如图，，且点A，D，C，F在同一直线上，点B，C，E在同一直线上．    (1)若，求证：． (2)若，，求的度数． 8.已知两个三角形全等，其中一个三角形的三边长分别为6，8，10，另一个三角形的三边长分别为6，． (1)求m，n的值； (2)若分别以3，m，n为边长的三角形存在，试确定m，n的值，并说明理由． 考点3：图形变换中的全等三角形问题 9.如图，沿直角边所在的直线向右平移得到，下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 10.如图，把△ABC沿线段DE折叠，使点B落在点F处；若，∠A=70°，AB=AC，则∠CEF的度数为（    ） A．55° B．60° C．65° D．70° 11.如图．两个全等的直角三角形重叠在一起，将其中的一个三角形沿着点B到C的方向平移到的位置，，平移距离为6，则阴影部分的面积为 ． 12.如图，△ABE和△ADC是△ABC分别沿着AB，AC翻折180°形成的，若∠1∶∠2∶∠3＝28∶5∶3，∠ α的度数是_________. 13.已知：如图所示，Rt△EBC中，∠EBC＝90°，∠E＝35°.以B为中心，将Rt△EBC绕点B逆时针 旋转90°得到△ABD，求∠ADB的度数. 解：∵Rt△EBC中，∠EBC＝90°，∠E＝35°， ∴∠ECB＝________°. ∵将Rt△EBC绕点B逆时针旋转90°得到△ABD， ∴△________≌△_________. ∴∠ADB＝∠________＝________°. 考点4：利用全等三角形的性质解决探究性问题 14.如图所示，已知，且点，，在同一条直线上，试判断与的位置关系，并给予证明． 15.如图，△ABD≌△EBC，AB=3cm，BC=6cm， （1）求DE的长． （2）若A、B、C在一条直线上，则DB与AC垂直吗？为什么？ 16．如图，A，E，C三点在同一直线上，且△ABC≌△DAE． （1）线段DE，CE，BC有怎样的数量关系？请说明理由． （2）请你猜想△ADE满足什么条件时，DE∥BC，并证明． 考点5：SSS的简单应用 17.如图所示，△ABC是一个风筝架，AB＝AC，AD是连接点A与BC中点D的支架，求证：AD⊥BC. 18.如图，点，在上，，，．求证：．    19.如图，已知中，，是边上的中线，试猜想： (1)与的大小关系； (2)与的位置关系．并证明你的结论． 20.如图，AD＝CB，E、F是AC上两动点，且有DE＝BF. (1)若E、F运动至图①所示的位置，且有AF＝CE，求证：△ADE≌△CBF. (2)若E、F运动至图②所示的位置，仍有AF＝CE，那么△ADE≌△CBF还成立吗？为什么？ (3)若E、F不重合，AD和CB平行吗？说明理由． 考点6：利用“边边边”进行尺规作图 21.用直尺和圆规作一个角等于已知角的作图痕迹如图所示，可得，进一步得到．上述作图中判定全等三角形的依据是（　　） A． B． C． D． 22.已知：如图，线段a、b、c.求作：△ABC，使得BC＝a，AC＝b，AB＝c.(保留作图痕迹，不写作法) 23．（23-24八年级上·山西吕梁·期末）如图，已知． 实践操作： （1）作，使．（要求：尺规作图，点D在直线的下方，保留作图痕迹，不写作法）． 推理与探究： （2）点E是上一点，．探究：线段与有怎样的数量关系，并说明理由． 一、单选题 1．（23-24八年级上·四川绵阳·期末）如图，已知和是对应角，和是对应边，，则的长度为（    ）. A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·海南省直辖县级单位·期末）若，点A和点D，点B和点E是对应点．如果，则的长为（   ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级上·湖南衡阳·期末）如图，，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24八年级上·福建漳州·期末）八年级（2）班的数学兴趣小组开展了设计伞的实践活动．小康所在的小组设计了截面如图所示的伞骨结构，当伞完全打开后，，E，F分别是的中点，，那么判定的依据是（    ） A． B． C． D． 5．（22-23八年级上·全国·课后作业）请仔细观察用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，请你根据所学的图形的全等这一章的知识，说明画出的依据是（    ）    A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS 6．（23-24八年级上·河南商丘·期末）如图，，若，，则的长为(    )    A．6 B．5 C．8 D．7 7．（23-24八年级上·贵州安顺·期末）如图，，点，，，在同一直线上，，，则（    ） A．1.5 B．2 C．2.5 D．3 8．（23-24八年级上·江苏无锡·期末）下列说法正确的是（    ） A．面积相等的图形叫做全等图形 B．周长相等的图形叫做全等图形 C．能完全重合的图形叫做全等图形 D．形状相同的图形叫做全等图形 9．（23-24八年级上·浙江湖州·期末）已知，如图所示的网格是由9个相同的小正方形拼成的，图中的各个顶点均为格点，则的度数为（    ） A． B． C． D． 10．（23-24八年级上·重庆城口·期末）如图，，，，则（    ） A． B． C． D． 二、填空题 11．（23-24八年级上·江苏连云港·阶段练习）若，且的周长为20，，则 ． 12．（23-24八年级上·四川眉山·期中），若，，则等于 ． 13．（22-23八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，已知方格纸中是4个相同的小正方形，则∠1+∠2的度数为 . 14．（23-24八年级上·江苏镇江·期末）如图，图中的两个三角形是全等三角形，其中一些角和边的大小如图所示，那么x的值是 °． 15．（23-24八年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，若，则 °． 三、解答题 16．（23-24八年级上·广东肇庆·期末）如图，C是的中点，，．求证：． 17．（23-24八年级上·全国·课后作业）如图1，把大小为的正方形网格分割成了两个全等形．请在图2中，沿着虚线画出四种不同的分割方法，把的正方形网格分割成两个全等形．      18．（23-24八年级上·新疆和田·期末）如图，点、、、在同一条直线上，，，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 19．（23-24八年级上·江苏扬州·期末）如图，交于点．    (1)线段与有怎样的数量关系？证明你的结论． (2)与有怎样的数量关系？证明你的结论． 20．（23-24八年级上·山西朔州·阶段练习）如图，点C，D在上，且，，．求证：    (1)； (2)． 21．（23-24八年级上·山西临汾·期中）如图，在中，都是上的点，且．    (1)求证：； (2)若，求的大小． 22．（23-24八年级上·吉林·期中）如图，的边与的边在一条直线上，且点为的中点，，． (1)求证：； (2)判断与的位置关系，并说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$