第11讲 解题技巧专题：数轴上的动点问题【四大题型+过关测】- 【暑假自学课】2024年新七年级数学暑假提升精品讲义（北师大版2024）

第11讲 解题技巧专题：数轴上的动点问题 【题型一 数轴上点的移动问题】 例1．（23-24七年级上·江苏苏州·阶段练习）如图将直径为1个单位长度的圆形纸片上的点放在数轴的处，纸片沿着数轴向左滚动一周，点到达了点的位置，则此时点表示的数是（    ）    A． B． C． D． 【变式1-1】（23-24七年级上·四川德阳·阶段练习）等边在数轴上的位置如图所示，点A、C对应的数分别为0和．若绕顶点沿顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转一次后点B所对应的数为1，则连续翻转2023次后点B所对应的数是（    ）    A．不对应任何数 B．2021 C．2022 D．2023 【变式1-2】（22-23七年级上·江苏连云港·期中）如图所示，将圆的周长分为4个单位长度，在圆的4等分点处标上数字0，1，2，3，先让圆周上数字0所对应的点与数轴上的数1所对应的点重合，再让圆沿着数轴按逆时针方向滚动，那么数轴上的数将与圆周上的数字 重合．    【变式1-3】（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在数轴上，点表示的数是，点表示的数为，点是数轴上的动点．点沿数轴的负方向运动，在运动过程中，当点到点的距离与点到点的距离比是时，点表示的数是 ．    【题型二 数轴上的动点中求运动的时间问题】 例2.如图，已知线段，点O为线段AB上一点，且．动点P以1cm/s的速度，从点O出发，沿OB方向运动，运动到点B停止；点P出发1s后，点Q以4cm/s的速度，从点O出发，沿OA方向运动，运动到点A时，停留2s，按原速沿AB方向运动到点B停止．设P的运动时间为t s． (1)OA=__________cm，OB=__________cm； (2)当Q从O向A运动时，若，求t的值． (3)当时，直接写出t的值． 【变式2-1】（23-24七年级上·广东佛山·期中）【阅读材料】若数轴上点、点表示的数分别为，（），则、两点间的距离可表示为，记作． 【解决问题】一个点从数轴上的原点开始，先向左移动2个单位长度到达点，再向右移动10个单位长度到达点． (1)请画出数轴，并在数轴上标出、两点的位置； (2)若动点，分别从点，同时出发，沿数轴向左运动．已知点的速度是每秒1个单位长度，点的速度是每秒2个单位长度，设移动时间为秒（）． ①用含的代数式表示：秒时，点表示的数为______，点表示的数为______； ②为何值时，点表示的数与点表示的数互为相反数？ ③为何值时，，两点之间的距离为4？ 【变式2-2】已知数轴上三点，，对应的数分别为，，，点为数轴上任意一点，其对应的数为． (1)如果点到点，点的距离相等，那么的值是________； (2)数轴上是否存在点，使点到点，点的距离之和是？如果存在，请求出的值；如果不存在，请说明理由； (3)如果点以每秒个单位长度的速度从点向右运动时，点和点分别以每秒个单位长度和每秒个单位长度的速度也向右运动，且三点同时出发，那么经过几秒，． 【变式2-3】如图1，、两点在数轴上对应的数分别为和6． (1)直接写出、两点之间的距离___； (2)若在数轴上存在一点，使得，求点表示的数； (3)如图2，现有动点、，若点从点出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向右运动，同时点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，当点到达原点后立即以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右运动，求：当时的运动时间的值． 【题型三 数轴上的动点中求定值问题】 例3. 点在数轴上对应的数分别为，且满足． (1)如图，求线段的长； (2)若点C在数轴上对应的数为x，且x是方程的根，在数轴上是否存在点P使，若存在，求出点P对应的数，若不存在，说明理由； (3)如图，点P在B点右侧，的中点为为靠近于B点的四等分点，当P在B的右侧运动时，有两个结论：①的值不变；②的值不变，其中只有一个结论正确，请判断正确的结论，并求出其值． 【变式3-1】阅读下面的材料： 如图①，若线段在数轴上，A，B点表示的数分别为a，b，则线段的长（点A到点B的距离）可表示为． 请用上面材料中的知识解答下面的问题： 如图②，一个点从数轴上的原点开始，先向左移动1cm到达A点，再向左移动2cm到达B点，然后向右移动7cm到达C点，用1个单位长度表示1cm． (1)请你在数轴上表示出、、三点的位置，并直接写出线段的长度； (2)若将点A向右移动cm，请用代数式表示移动后的点表示的数？ (3)若点B以每秒2cm的速度向左移动至点，同时点A，点C分别以每秒1cm和4cm的速度向右移动至点，点，设移动时间为t秒，试探索：的值是否会随着t的变化而变化？请说明理由． 【变式3-2】如图，一个点从数轴上的原点开始，先向左移动到达A点，再向右移动到达B点，然后再向右移动到达C点，数轴上一个单位长度表示． (1)请你在数轴上表示出A，B，C三点的位置； (2)把点C到点A的距离记为，则_______． (3)若点A沿数轴以每秒匀速向右运动，经过多少秒后点A到点C的距离为？ (4)若点A以每秒的速度匀速向左移动，同时点B、点C分别以每秒、的速度匀速向右移动．设移动时间为t秒，试探索：的值是否会随着t的变化而改变？若变化，请说明理由，若无变化，请直接写出的值． 【变式3-3】如图，记数轴上A、B两点之间线段长为，（单位长度），（单位长度），在数轴上，点A在数轴上表示的数是，点D在数轴上表示的数是15． (1)点B在数轴上表示的数是_____，点C在数轴上表示的数是_____，线段BC的长＝_____． (2)若线段以1个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时线段以2个单位长度/秒的速度向左匀速运动，当点B与C重合时，点B与点C在数轴上表示的数是多少？ (3)若线段以1个单位长度/秒的速度向左匀速运动，同时线段以2个单位长度/秒的速度也向左匀速运动，设运动时间为t秒，当时，M为中点，N为中点． ①若数轴上两个数为a、b，则它们的中点可表示为．则点M表示的数为_____，点N表示的数为______．（用代数式表示） ②线段MN的长是否为定值，如果是，请求出这个值；如果不是，请说明理由． 【题型四 数轴上的动点中找点的位置问题】 例4. 已知在纸面上有一数轴（如图所示）． (1)操作一：折叠纸面，使表示数1的点与表示数﹣1的点重合，则此时表示数4的点与表示数 的点重合； (2)操作二：折叠纸面，使表示数6的点与表示数﹣2的点重合，回答下列问题： ①表示数9的点与表示数 的点重合； ②若这样折叠后，数轴上的A，B两点也重合，且A，B两点之间的距离为10（点A在点B的左侧），求A，B两点所表示的数分别是多少？ ③在②的条件下，在数轴上找到一点P，设点P表示的数为x．当PA+PB＝12时，直接写出x的值． 【变式4-1】已知在数轴上A，B两点对应数分别为﹣2，6． (1)请画出数轴，并在数轴上标出点A、点B； (2)若同一时间点M从点A出发以1个单位长度/秒的速度在数轴上向右运动，点N从点B出发以3个单位长度/秒的速度在数轴上向左运动，点P从原点出发以2个单位长度/秒的速度在数轴上运动． ①若点P向右运动，几秒后点P到点M、点N的距离相等？ ②若点P到A的距离是点P到B的距离的三倍，我们就称点P是【A，B】的三倍点．当点P是【B，A】的三倍点时，求此时P对应的数． 【变式4-2】如图，已知为数轴上的两个点，点表示的数是，点表示的数是20． (1)直接写出线段的中点对应的数； (2)若点在数轴上，且，直接写出点对应的数； (3)若熊大从点出发，在数轴上每秒向右前进8个单位长度；同时熊二从点出发，在数轴上每秒向左前进12个单位长度它们在点处相遇，求点对应的数； (4)若熊大从点出发，在数轴上每秒向左前进8个单位长度；同时熊二从点出发，在数轴上每秒向左前进12个单位长度，当它们在数轴上相距20个单位长度时，求熊大所在位置点对应的数． 一、单选题 1．（23-24六年级下·全国·假期作业）数轴上点表示的数是，将点沿数轴移动单位长度得到点，则点表示的数是（    ） A． B． C．或 D．或 2．（23-24七年级上·重庆江津·阶段练习）如图，已知，在的左侧是数轴上的两点，点对应的数为，且，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左运动，在点的运动过程中，，始终为，的中点，设运动时间为秒，则下列结论中正确的有　　 ①对应的数是； ②点到达点时，； ③时，； ④在点的运动过程中，线段的长度会发生变化． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 3．（23-24七年级上·河南新乡·期末）如图，在数轴上，点A表示的数是10，点B表示的数为50，点P是数轴上的动点．点P沿数轴的负方向运动，在运动过程中，当线段和的大小关系满足时，点P表示的数是 ． 4．（22-23七年级上·河北石家庄·期中）如图，数轴上，两点表示的数分别为，，是线段上的一个动点将数轴沿点向左对折，点的对应点落在数轴上的处 （1）线段的长为 ； （2）若点与点重合，则线段的长为 ，若，则点表示的数是 ． 三、解答题 5．（23-24七年级上·江苏镇江·期中）如图所示，已知正方形的边长为1，在数轴上的位置如图所示，点A表示的数为0，点D表示的数为． (1)将正方形从如图所示的位置沿数轴向左滚动一圈（滚动一圈指线段再次落在数轴上），则点A表示的数是 ； (2)将正方形从如图所示位置沿数轴向右滚动，则数表示的点与点 重合； (3)将正方形从如图所示的位置沿数轴滚动，向右滚动的圈数记为正数，向左滚动的圈数记为负数，依次运动情况记录如下：． ①第 次滚动后，点A离原点最远； ②当正方形结束滚动时，点D表示的数是什么？ 6．（23-24七年级上·河南郑州·阶段练习）如图，数轴上A、B两点表示的数分别是和3，将这两点在数轴上以相同的速度同时相向运动，若A、B分别到达M、N两点，且满足（k为正整数），我们称A、B两点完成了一次“准相向运动”． (1)A、B两点之间的距离为 (2)若A、B两点完成了一次“准相向运动”． ①当时，M、N两点表示的数分别为 ， ； ②当k为任意正整数时，求M、N两点表示的数（用含字母k的式子表示）． 7．（23-24七年级上·福建龙岩·期中）如图，已知数轴上原点为，点表示的数为是数轴上在左侧的一点，且两点间的距离为．动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒．    (1)数轴上点表示的数是 ，点表示的数是 （用含的代数式表示）； (2)动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，若点同时出发； 当点运动多少秒时，点与点间的距离为个单位长度？ 若点间的距离记为，点间的距离记为，是否存在一个数，使得的值与无关？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 8．（22-23七年级上·湖南岳阳·期末）材料阅读：当点C在线段上，且时，我们称n为点C在线段上的点值，记作．如点C是的中点时，则，记作；反过来，当时，则有．因此，我们可以这样理解：与具有相同的含义．    初步感知： (1)如图1，点C在线段上，若，则_______；若，则_______； (2)如图2，已知线段，点P、Q分别从点A和点B同时出发，相向而行，运动速度均为，当点P到达点B时，点P、Q同时停止运动，设运动时间为．请用含有t的式子表示和，并判断它们的数量关系． 拓展运用： (3)已知线段，点P、Q分别从点A和点B同时出发，相向而行，若点P、Q的运动速度分别为和，点Q到达点A后立即以原速返回，点P到达点B时，点P、Q同时停止运动，设运动时间为ts．则当t为何值时，等式成立． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第11讲 解题技巧专题：数轴上的动点问题 【题型一 数轴上点的移动问题】 例1．（23-24七年级上·江苏苏州·阶段练习）如图将直径为1个单位长度的圆形纸片上的点放在数轴的处，纸片沿着数轴向左滚动一周，点到达了点的位置，则此时点表示的数是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据直径为1个单位长度的圆形纸片上的点放在数轴的处，纸片沿着数轴向左滚动一周，得到之间的距离即可得到答案． 【详解】解：直径为1个单位长度的圆形纸片上的点放在数轴的处，纸片沿着数轴向左滚动一周， 之间的距离为圆的周长， 点放在数轴的处， 点对应的数为． 故选B． 【点睛】本题主要考查了数轴，熟练掌握数轴的特点以及圆的周长公式，掌握点的移动与点表示的数之间的关系． 【变式1-1】（23-24七年级上·四川德阳·阶段练习）等边在数轴上的位置如图所示，点A、C对应的数分别为0和．若绕顶点沿顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转一次后点B所对应的数为1，则连续翻转2023次后点B所对应的数是（    ）    A．不对应任何数 B．2021 C．2022 D．2023 【答案】D 【分析】根据是等边三角形，找出它的运动规律并进行计算即可． 【详解】解：由题意可得， 每3次翻转为一个循环组依次循环 ∵， ∴翻转2023次后点B在数轴上， ∴点B对应的数是． 故选：D． 【点睛】本题考查了数轴，找到的运动规律是解决此类问题的关键． 【变式1-2】（22-23七年级上·江苏连云港·期中）如图所示，将圆的周长分为4个单位长度，在圆的4等分点处标上数字0，1，2，3，先让圆周上数字0所对应的点与数轴上的数1所对应的点重合，再让圆沿着数轴按逆时针方向滚动，那么数轴上的数将与圆周上的数字 重合．    【答案】1 【分析】根据周长为4个单位长度，利用除以4，进而即可得到答案． 【详解】解：由题意可得， ， ∵由数轴可得：数轴上的对应圆周上的， ∴数轴上的对应圆周上的， ∴将与圆周上的数字1重合， 故答案为：1． 【点睛】本题考查数轴和点表示的数，解题的关键是找到数轴上的数与圆周上的数之间的对应关系． 【变式1-3】（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在数轴上，点表示的数是，点表示的数为，点是数轴上的动点．点沿数轴的负方向运动，在运动过程中，当点到点的距离与点到点的距离比是时，点表示的数是 ．    【答案】或/或 【分析】本题考查了数轴上的动点问题、数轴上两点间的距离，可分为“当点运动到点右侧时”和“当点运动到点左侧时”两种情况讨论，根据“点到点的距离与点到点的距离比是”，列式计算即可，根据数轴得到两点间的距离是解题的关键． 【详解】解：∵在点运动过程中，点到点的距离与点到点的距离比是， ∴， 当点运动到点右侧时，， ∴此时点表示的数是； 当点运动到点左侧时，， ∴此时点表示的数是， 综上所述，点表示的数是或， 故答案为：或． 【题型二 数轴上的动点中求运动的时间问题】 例2.如图，已知线段，点O为线段AB上一点，且．动点P以1cm/s的速度，从点O出发，沿OB方向运动，运动到点B停止；点P出发1s后，点Q以4cm/s的速度，从点O出发，沿OA方向运动，运动到点A时，停留2s，按原速沿AB方向运动到点B停止．设P的运动时间为t s． (1)OA=__________cm，OB=__________cm； (2)当Q从O向A运动时，若，求t的值． (3)当时，直接写出t的值． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】（1）直接按比例求解即可； （2）根据数量关系列方程即可； （3）分类讨论两点的位置关系，列方程求解即可． 【详解】（1），点O为线段AB上一点，且， 那么． 故答案为：； （2）动点P以1cm/s的速度，从点O出发，沿OB方向运动，则， 点P出发1s后，点Q以4cm/s的速度，从点O出发，沿OA方向运动，运动到点A时，停留2s，按原速沿AB方向运动到点B停止， 则从到时，， 从到时，． 因为当Q从O向A运动时，若， 所以，解得． （3）当则从到时，， ， 可得，解得， 从到时，在左侧时，． ， 可得，解得， 从到时，在右侧时，． ， 可得，解得． 综上所述： 【点睛】此题考查动点问题，解题关键是找出每段线段的长，用速度表示点的路程，然后找出等量关系列方程． 【变式2-1】（23-24七年级上·广东佛山·期中）【阅读材料】若数轴上点、点表示的数分别为，（），则、两点间的距离可表示为，记作． 【解决问题】一个点从数轴上的原点开始，先向左移动2个单位长度到达点，再向右移动10个单位长度到达点． (1)请画出数轴，并在数轴上标出、两点的位置； (2)若动点，分别从点，同时出发，沿数轴向左运动．已知点的速度是每秒1个单位长度，点的速度是每秒2个单位长度，设移动时间为秒（）． ①用含的代数式表示：秒时，点表示的数为______，点表示的数为______； ②为何值时，点表示的数与点表示的数互为相反数？ ③为何值时，，两点之间的距离为4？ 【答案】(1)见解析 (2)①，；②；③或． 【分析】本题考查的是数轴的定义及数轴上两点之间的距离公式，弄清题中的规律是解本题的关键． （1）根据题意画出数轴，即可解答； （2）①用含的代数式表示即可； ②根据相反数的意义列式计算即可求解； ③根据题意列出绝对值方程即可求解． 【详解】（1）解：如图： ； （2）解：①秒时，点表示的数为，点表示的数为； 故答案为：，； ②由题意得：， 解得：； ③由题意得：，即， ∴或， 解得：或． 【变式2-2】已知数轴上三点，，对应的数分别为，，，点为数轴上任意一点，其对应的数为． (1)如果点到点，点的距离相等，那么的值是________； (2)数轴上是否存在点，使点到点，点的距离之和是？如果存在，请求出的值；如果不存在，请说明理由； (3)如果点以每秒个单位长度的速度从点向右运动时，点和点分别以每秒个单位长度和每秒个单位长度的速度也向右运动，且三点同时出发，那么经过几秒，． 【答案】(1)； (2)存在，或； (3)或． 【分析】（1）根据列出关于x的方程求解即可； （2）根据P点在N点右侧或在M点左侧分别求出即可； （3）设经过t秒，则点P表示的数为，点M表示的数为，点N表示的数为，得，求解即可． 【详解】（1）解：依题意得， 解得 故答案为： （2）存在，理由如下： 因为到，的距离之和是，所以不可能在中间， 当在左侧， ， 解得：； 当在的右边， ， 解得：， 故． （3）依题意得：点P表示的数为，点M表示的数为，点N表示的数为， 因为， ， 解得． 【点睛】此题主要考查了一元一次方程的应用，以及数轴；关键是理解题意，表示出两点之间的距离，利用数形结合法列出方程． 【变式2-3】如图1，、两点在数轴上对应的数分别为和6． (1)直接写出、两点之间的距离___； (2)若在数轴上存在一点，使得，求点表示的数； (3)如图2，现有动点、，若点从点出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向右运动，同时点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，当点到达原点后立即以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右运动，求：当时的运动时间的值． 【答案】(1)22 (2)或 (3)当时的运动时间的值为2或秒 【分析】（1）根据两点间的距离公式即可求出、两点之间的距离； （2）设点表示的数为．分两种情况：①点在线段上；②点在线段的延长线上．根据列出关于的方程，求解即可； （3）根据点的运动方向分两种情况：①当时，点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动；②当时，点从原点开始以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右运动，根据列出关于的方程，解方程即可． 【详解】（1）解：、两点之间的距离是：； （2）解：设点表示的数为．分两种情况： ①当点在线段上时， ， ， 解得； ②当点在线段的延长线上时， ， ， 解得． 综上所述，点表示的数为或； （3）解：分两种情况： ①当时，点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动， 此时点表示的数为，点表示的数为， ， ， 解得，符合题意； ②当时，点从原点开始以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右运动， 此时点表示的数为，点表示的数为， ， ， 当时，， 解得； 当时，， 解得，不符合题意，舍去； 综上所述，当时的运动时间的值为2或秒． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，数轴，结合动点考查了两点间的距离，以及路程、速度与时间关系的应用，理解题意，找到相等关系进行正确分类是解题的关键． 【题型三 数轴上的动点中求定值问题】 例3. 点在数轴上对应的数分别为，且满足． (1)如图，求线段的长； (2)若点C在数轴上对应的数为x，且x是方程的根，在数轴上是否存在点P使，若存在，求出点P对应的数，若不存在，说明理由； (3)如图，点P在B点右侧，的中点为为靠近于B点的四等分点，当P在B的右侧运动时，有两个结论：①的值不变；②的值不变，其中只有一个结论正确，请判断正确的结论，并求出其值． 【答案】(1)4 (2)或 (3)正确的结论为①的值不变，其值为2 【分析】（1）利用非负数的性质求出a与b的值，即可确定出的长； （2）求出已知方程的解确定出x，得到C表示的点，设点P在数轴上对应的数是m，由确定出P位置，即可做出判断； （3）设P点所表示的数为n，就有，，根据条件就可以表示出， ，再分别代入①和②求出其值即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ， ∴， ∴． 答：的长为4； （2）∵， ∴， ∴BC==5． 设点P在数轴上对应的数是m， ∵， ∴， 令， ， ∴或． ①当时， ， ； ②当时， ，（舍去）； ③当时， ， ． ∴当点P表示的数为或时，； （3）解：设P点所表示的数为n， ∴， ． ∵PA的中点为M， ∴． ∵N为的四等分点且靠近于B点， ∴B， ∴①=2（不变）， ②（随点P的变化而变化）， ∴正确的结论为①，且． 【点睛】此题考查了数轴的运用，数轴上任意两点间的距离公式的运用，去绝对值的运用，一元一次方程的解，解题的关键是灵活运用两点间的距离公式． 【变式3-1】阅读下面的材料： 如图①，若线段在数轴上，A，B点表示的数分别为a，b，则线段的长（点A到点B的距离）可表示为． 请用上面材料中的知识解答下面的问题： 如图②，一个点从数轴上的原点开始，先向左移动1cm到达A点，再向左移动2cm到达B点，然后向右移动7cm到达C点，用1个单位长度表示1cm． (1)请你在数轴上表示出、、三点的位置，并直接写出线段的长度； (2)若将点A向右移动cm，请用代数式表示移动后的点表示的数？ (3)若点B以每秒2cm的速度向左移动至点，同时点A，点C分别以每秒1cm和4cm的速度向右移动至点，点，设移动时间为t秒，试探索：的值是否会随着t的变化而变化？请说明理由． 【答案】(1)数轴见解析，cm (2) (3)不变，理由见解析 【分析】（1）根据题目中点的运动可直接得出点、、的位置，进而可得出的长度； （2）根据“数轴上的点，越往右越大”可得出点A移动后所表示的数； （3）先分别表示，点，点所对应的数，再表达两点间的距离，进而可表示，最后判断它的值是否变化即可． 【详解】（1）如图所示： ． (cm)； （2）将点A向右移动cm，则移动后的点表示的数为； （3）的值不会随着t的变化而变化， 理由如下： 由题意可知，，点，点所对应的数分别为：，，， 由点的运动可知，点在点的右侧，点在点的右侧， ∴， ， ∴， ∴的值不会随着t的变化而变化． 【点睛】本题考查了数轴上点的运动，掌握数轴上两点之间的距离求解方法是解决问题的关键． 【变式3-2】如图，一个点从数轴上的原点开始，先向左移动到达A点，再向右移动到达B点，然后再向右移动到达C点，数轴上一个单位长度表示． (1)请你在数轴上表示出A，B，C三点的位置； (2)把点C到点A的距离记为，则_______． (3)若点A沿数轴以每秒匀速向右运动，经过多少秒后点A到点C的距离为？ (4)若点A以每秒的速度匀速向左移动，同时点B、点C分别以每秒、的速度匀速向右移动．设移动时间为t秒，试探索：的值是否会随着t的变化而改变？若变化，请说明理由，若无变化，请直接写出的值． 【答案】(1)见解析； (2)； (3)秒或秒； (4)不变化，值为． 【分析】（1）根据题意，在数轴上表示点A、B、C的位置即可； （2）利用数轴上两点间的距离公式解题； （3）分两种情况讨论：点A在点C的左侧或点A在点C的右侧； （4）表示出，再相减即可解题． 【详解】（1）如图， （2） 故答案为：； （3）①当点A在点C的左侧时：      ②点A在点C的右侧时： 所以，经过或秒后点A到点C的距离为3cm． （4）移动t秒后，， 的值不会随着的变化而变化，． 【点睛】本题考查数轴、数轴上两点间的距离等知识，掌握相关知识是解题关键． 【变式3-3】如图，记数轴上A、B两点之间线段长为，（单位长度），（单位长度），在数轴上，点A在数轴上表示的数是，点D在数轴上表示的数是15． (1)点B在数轴上表示的数是_____，点C在数轴上表示的数是_____，线段BC的长＝_____． (2)若线段以1个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时线段以2个单位长度/秒的速度向左匀速运动，当点B与C重合时，点B与点C在数轴上表示的数是多少？ (3)若线段以1个单位长度/秒的速度向左匀速运动，同时线段以2个单位长度/秒的速度也向左匀速运动，设运动时间为t秒，当时，M为中点，N为中点． ①若数轴上两个数为a、b，则它们的中点可表示为．则点M表示的数为_____，点N表示的数为______．（用代数式表示） ②线段MN的长是否为定值，如果是，请求出这个值；如果不是，请说明理由． 【答案】(1)，14，24 (2)当点B与C重合时，点B与点C在数轴上表示的数是﹣2 (3)①；；②MN的长是定值， 【分析】（1）数轴上点A右边的点B表示的数是点A表示的数加上这两个点的距离，数轴上点D左边的点C表示的数是点D表示的数减去这两个点的距离，依此方法可求出点B和点C表示的数，因为点C在点B的右边，所以用点C表示的数减去点B表示的数即得到线段的长； （2）设运动的时间为t秒，先确定点B表示的数为，点B与点C相距24个单位长度，两个点相向运动，则点B与点C重合时，点B与点C运动的距离和为24，列方程求出t的值再求出点B表示的数即可； （3）①先用t的代数式表示出A、B、C、D四点对应的数，再根据中点公式即可求解； ②用两点间距离公式即可求解． 【详解】（1）解：因为点A表示的数是，点B在点A右侧，且， 所以， 所以点B表示的数是； 因为点D表示的数是15，点C在点D的左侧，且， 所以， 所以点C表示的数是14， 点B与点C的距离是（单位长度）， 所以线段BC的长为24个单位长度， 故答案为：，14，24． （2）设运动的时间为t秒，则点B表示的数是， 根据题意得， 解得， 所以， 答：当点B与C重合时，点B与点C在数轴上表示的数是． （3）①根据题意得，t秒后点A对应的数为：，点C对应的数为：， ∵M为中点， ∴点M对应的数为：， t秒后点B对应的数为：，点D对应的数为：， ∵N为中点， ∴点N对应的数为：， 故答案为：；； ②线段的长为定值， ∵点M对应的数为，点N对应的数为； ∴， ∴线段的长为定值． 【点睛】此题考查数轴上两点的距离的求法、解一元一次方程、列一元一次方程解应用题等知识与方法，解题的关键是正确理解行程问题中相遇问题和追及问题的数量关系并且用代数式和等式表示这些关系． 【题型四 数轴上的动点中找点的位置问题】 例4. 已知在纸面上有一数轴（如图所示）． (1)操作一：折叠纸面，使表示数1的点与表示数﹣1的点重合，则此时表示数4的点与表示数 的点重合； (2)操作二：折叠纸面，使表示数6的点与表示数﹣2的点重合，回答下列问题： ①表示数9的点与表示数 的点重合； ②若这样折叠后，数轴上的A，B两点也重合，且A，B两点之间的距离为10（点A在点B的左侧），求A，B两点所表示的数分别是多少？ ③在②的条件下，在数轴上找到一点P，设点P表示的数为x．当PA+PB＝12时，直接写出x的值． 【答案】(1)-4 (2)①-5；②A、B两点表示的数分别是-3，7；③x的值为-4或8． 【分析】（1）先求出中心点，再求出对应的数即可； （2）①求出中心点是表示2的点，再根据对称求出即可；②求出中心点是表示2的点，求出A、B到表示2的点的距离是5，即可求出答案；③根据点P在数轴上的位置，分类讨论，当点P在点A的左侧时，当点P在点A、B之间时，当点P在点A的右侧时，根据各种情形求解即可． 【详解】（1）解：∵折叠纸面，使数字1表示的点与-1表示的点重合，可确定中心点是表示0的点， ∴4表示的点与-4表示的点重合， 故答案为∶-4； （2）解：①∵折叠纸面，使表示数6的点与表示数﹣2的点重合，可确定中心点是表示2的点， ∴表示数9的点与表示数-5的点重合； 故答案为∶ -5； ②∵折叠后，数轴上的A，B两点也重合，且A，B两点之间的距离为10（点A在点B的左侧）， ∴A、B两点距离中心点的距离为10 ÷2= 5， ∵中心点是表示2的点， ∴A、B两点表示的数分别是-3，7； ③当点P在点A的左侧时， ∵PA+PB＝12， ∴-3-x+7-x=12， 解得x=-4； 当点P在点A、B之间时，此时PA+PB=12不成立，故不存在点P在点A、B之间的情形； 当点P在点A的右侧时， ∵PA+PB＝12， ∴x-(-3)+x-7=12， 解得x=8， 综上x的值为-4或8． 【点睛】本题考查了数轴的应用，能求出折叠后的中心点的位置是解此题的关键． 【变式4-1】已知在数轴上A，B两点对应数分别为﹣2，6． (1)请画出数轴，并在数轴上标出点A、点B； (2)若同一时间点M从点A出发以1个单位长度/秒的速度在数轴上向右运动，点N从点B出发以3个单位长度/秒的速度在数轴上向左运动，点P从原点出发以2个单位长度/秒的速度在数轴上运动． ①若点P向右运动，几秒后点P到点M、点N的距离相等？ ②若点P到A的距离是点P到B的距离的三倍，我们就称点P是【A，B】的三倍点．当点P是【B，A】的三倍点时，求此时P对应的数． 【答案】(1)见解析； (2)①秒或2秒后点P到点M、点N的距离相等，②P对应数-6或0． 【分析】（1）画出数轴，找出A、B所对应的点即可； （2）①根据两点间距离表示出MP=2t+2－t=t+2．当点P在点N左侧时，NP=6－5t；当点P在点N左右侧时，NP=5t－6，计算即可； ②根据点P是【B，A】的三倍点，可得PB=3PA．分情况讨论：当点P在A点左侧时，求出点P对应数-6；当点P在A、B之间时，求出点P对应数0，综上可知点P对应数-6或0． 【详解】（1）解：如图所示： （2）解：①MP=2t+2－t=t+2．当点P在点N左侧时，NP=6－5t；当点P在点N左右侧时， NP=5t－6 ∴t+2 =6－5t，得：t=； 或t+2 =5t－6，得：t=2． 即秒或2秒后点P到点M、点N的距离相等， ②∵点P是【B，A】的三倍点， ∴PB=3PA． 当点P在A点左侧时，AB=2PA=8， ∴PA=4，点P对应数-6； 当点P在A、B之间时，AB=4PA=8， ∴PA=2，点P对应数0， 综上可知点P对应数-6或0． 【点睛】本题考查数轴，解题的关键是掌握数轴的三要素及画法，数轴上两点之间的距离，注意对于动点问题需要进行分情况讨论． 【变式4-2】如图，已知为数轴上的两个点，点表示的数是，点表示的数是20． (1)直接写出线段的中点对应的数； (2)若点在数轴上，且，直接写出点对应的数； (3)若熊大从点出发，在数轴上每秒向右前进8个单位长度；同时熊二从点出发，在数轴上每秒向左前进12个单位长度它们在点处相遇，求点对应的数； (4)若熊大从点出发，在数轴上每秒向左前进8个单位长度；同时熊二从点出发，在数轴上每秒向左前进12个单位长度，当它们在数轴上相距20个单位长度时，求熊大所在位置点对应的数． 【答案】(1)线段的中点对应的数为 (2)点对应的数为或50 (3)点对应的数为 (4)熊大所在位置点对应的数为或 【分析】（1）根据数轴上线段中点所对应的数计算方法进行计算即可； （2）分两种情况进行解答，即点在点的左侧或右侧，列式计算即可； （3）求出相遇的时间，再根据数轴表示数的方法进行计算即可； （4）分追及前相距20和追及后相距20两种情况进行解答，设未知数，根据速度、时间、路程之间的关系列方程求解即可． 【详解】（1）解：线段的中点对应的数为， 答：线段的中点对应的数为； （2）解：当点在点的左侧时，点所对应的数为：， 当点在点的右侧时，点所对应的数为：， 答：点对应的数为或50； （3）解：设相遇时间为s，由题意得， ， 解得， 点对应的数为； （4）解：追及前相距20，设行驶的时间为s，由题意得， ， 解得， 此时熊大所在位置点对应的数为， 追及后相距20，设行驶的时间为s，由题意得， ， 解得， 此时熊大所在位置点对应的数为， 答：熊大所在位置点对应的数为或． 【点睛】本题考查数轴，理解数轴表示数的方法，掌握速度、时间、路程之间的关系是解决问题的关键． 一、单选题 1．（23-24六年级下·全国·假期作业）数轴上点表示的数是，将点沿数轴移动单位长度得到点，则点表示的数是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查数轴上点移动后数字表示，解题关键是移动规律左减右加．根据数轴上点的移动规律，左减右加计算即可． 【详解】解：根据数轴上点的移动规律，左减右加， 可得点向左移动时：， 可得点向右移动时：， 综上可得点表示的数是或， 故选． 2．（23-24七年级上·重庆江津·阶段练习）如图，已知，在的左侧是数轴上的两点，点对应的数为，且，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左运动，在点的运动过程中，，始终为，的中点，设运动时间为秒，则下列结论中正确的有　　 ①对应的数是； ②点到达点时，； ③时，； ④在点的运动过程中，线段的长度会发生变化． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了数轴上两点距离．利用数轴，分类讨论即可求解． 【详解】解：已知，在的左侧是数轴上的两点，点对应的数为，且， 对应的数为：；故①是正确的； ，故②是正确的； 当时，，，故③是错误的； 在点的运动过程中，，故④是错误的； 故选：B． 二、填空题 3．（23-24七年级上·河南新乡·期末）如图，在数轴上，点A表示的数是10，点B表示的数为50，点P是数轴上的动点．点P沿数轴的负方向运动，在运动过程中，当线段和的大小关系满足时，点P表示的数是 ． 【答案】26或/或 26 【分析】本题考查了数轴上的动点问题，数轴上两点间的距离，根据题意可得该问题可分为两种情况，即可得到等式，求解即可得到结果，根据数轴得到两点间的距离是解题的关键． 【详解】解：在点P运动过程中，，即， 分两种情况： ①当点P运动到点A右侧时，， 此时点P表示的数是； ②当点P运动到点A左侧时，设，则， ∵， ∴， 则，， ∴点P表示的数是， 综上所述，点P表示的数是26或， 故答案为：26或． 4．（22-23七年级上·河北石家庄·期中）如图，数轴上，两点表示的数分别为，，是线段上的一个动点将数轴沿点向左对折，点的对应点落在数轴上的处 （1）线段的长为 ； （2）若点与点重合，则线段的长为 ，若，则点表示的数是 ． 【答案】 ； ； 或． 【分析】（）根据数轴上两点间的距离即可求解； （）先求出的中点表示的数，设点表示的数为，再分两种情况：当点在的中点的右侧时，当点在的中点的左侧时，分别列出方程求解，即可． 本题主要考查数轴上点表示的数以及一元一次方程的应用，掌握数轴上两点间的距离求法以及根据等量关系列方程是解题的关键． 【详解】（）∵，两点表示的数分别为，， ∴， 故答案为：； （）当点与点重合时，即为中点， ∴， 故答案为：； ∵数轴上，两点表示的数分别为，， ∴的中点表示的数为， 设点表示的数为， 当点在的中点的右侧时， ∵与关于点对称， ∴表示的数为：， ∴，解得：； 当点在的中点的左侧时，则，解得：， 综上所述：点表示的数为或， 故答案为：或． 三、解答题 5．（23-24七年级上·江苏镇江·期中）如图所示，已知正方形的边长为1，在数轴上的位置如图所示，点A表示的数为0，点D表示的数为． (1)将正方形从如图所示的位置沿数轴向左滚动一圈（滚动一圈指线段再次落在数轴上），则点A表示的数是 ； (2)将正方形从如图所示位置沿数轴向右滚动，则数表示的点与点 重合； (3)将正方形从如图所示的位置沿数轴滚动，向右滚动的圈数记为正数，向左滚动的圈数记为负数，依次运动情况记录如下：． ①第 次滚动后，点A离原点最远； ②当正方形结束滚动时，点D表示的数是什么？ 【答案】(1) (2) (3)①3；②9 【分析】（1）根据正方形滚动1周后点的位置得出点对应的数； （2）根据正方形滚动的规律，得到经过数轴上的数的点； （3）①先判断每次滚动后点的位置，再根据所得结果判断点距离原点最近和点距离原点最远的出现的次数； ②根据正方形结束运动时，点C的位置得出其所表示的数即可． 此题主要考查数轴的特点，解题的关键是根据题意得到正方形滚动一周，正方形的顶点移动4个单位． 【详解】（1）由题可得，正方形向左滚动一周，正方形的顶点4向左移动4个单位， 所以正方形向左滚动一周后，点对应的数为：， 故答案为：； （2）∵ 所以在滚动过程中，点经过数轴上的数； 故答案为：； （3）①因为5次运动后，点依次对应的数为： ； ； ； ； 所以第3次滚动后，点距离原点最远； ②由①可得: 当正方形结束运动时, 此时点表示的数是， ∴点表示的数为：， 故答案为：①3；②9． 6．（23-24七年级上·河南郑州·阶段练习）如图，数轴上A、B两点表示的数分别是和3，将这两点在数轴上以相同的速度同时相向运动，若A、B分别到达M、N两点，且满足（k为正整数），我们称A、B两点完成了一次“准相向运动”． (1)A、B两点之间的距离为 (2)若A、B两点完成了一次“准相向运动”． ①当时，M、N两点表示的数分别为 ， ； ②当k为任意正整数时，求M、N两点表示的数（用含字母k的式子表示）． 【答案】(1)4； (2)①5，；②，． 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离公式，数轴上的点表示有理数，根据题意得出是解题关键． （1）根据数轴上两点之间的距离公式即可求解； （2）①由题意可知，，再根据两点间距离公式，得出，即可得出答案； ②同①理可得，，进而得出，即可得出答案． 【详解】（1）解：A、B两点表示的数分别是和3， 之间的距离为， 故答案为：4； （2）解：① 当时，， 两点在数轴上以相同的速度同时相向运动， ， ，， ， ， 表示的数为，N表示的数为， 故答案为：5；； ②同①理可得，， ， ， M点表示的数为，N点表示的数为． 7．（23-24七年级上·福建龙岩·期中）如图，已知数轴上原点为，点表示的数为是数轴上在左侧的一点，且两点间的距离为．动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒．    (1)数轴上点表示的数是 ，点表示的数是 （用含的代数式表示）； (2)动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，若点同时出发； 当点运动多少秒时，点与点间的距离为个单位长度？ 若点间的距离记为，点间的距离记为，是否存在一个数，使得的值与无关？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，； (2)当点运动秒或秒时，点与点间的距离为个单位长度；存在，或． 【分析】（）利用两点间的距离为即可求出点表示的数，根据动点则可求出表示的数； （）利用数轴上两点间的距离即可求解； 利用数轴上两点间的距离和整式化简不含则有系数为零即可求解； 此题考查了数轴和绝对值，解题的关键是熟练掌握数轴上两点间的距离和绝对值化简及其应用． 【详解】（1）设点表示的数为， ∵是数轴上在左侧的一点，且，两点间的距离为， ∴，解得：， ∴点表示的数是， ∵动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动， ∴点表示的数是， 故答案为：，； （2）同理，点表示的数是， 依题意，得，整理得：， 解得或， ∴当点运动秒或秒时，点与点间的距离为个单位长度； ②存在，理由： 由题意得：点表示的数是：， ∴，， 当时，即， ∴， 若的值与无关，则，解得； 当时，， 若的值与无关，则，解得； 当时，， 若的值与无关，则，解得 ∴综上可知：当或时，的值与无关． 8．（22-23七年级上·湖南岳阳·期末）材料阅读：当点C在线段上，且时，我们称n为点C在线段上的点值，记作．如点C是的中点时，则，记作；反过来，当时，则有．因此，我们可以这样理解：与具有相同的含义．    初步感知： (1)如图1，点C在线段上，若，则_______；若，则_______； (2)如图2，已知线段，点P、Q分别从点A和点B同时出发，相向而行，运动速度均为，当点P到达点B时，点P、Q同时停止运动，设运动时间为．请用含有t的式子表示和，并判断它们的数量关系． 拓展运用： (3)已知线段，点P、Q分别从点A和点B同时出发，相向而行，若点P、Q的运动速度分别为和，点Q到达点A后立即以原速返回，点P到达点B时，点P、Q同时停止运动，设运动时间为ts．则当t为何值时，等式成立． 【答案】(1)， (2)；； (3)存在t为4或，使等式成立 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，理解新定义是解题的关键． （1）根据材料阅读，即可求解； （2）根据材料阅读，可表示和，即可求解； （3）分两种情况：当点Q到达点A之前时，当点Q到达点A返回时，结合，列出方程，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得：， ∵， ∴， 故答案为：， （2）解：∵， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴； （3）解：当点Q到达点A之前时， ∵ ∴， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴，          解得：； 当点Q到达点A返回时，此时， ∴ ∵， ∴， ∵ ∴               ∴                              ∴存在t的值为4或，使等式成立． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$