第10讲 解题技巧专题：运算易错与化简绝对值【六大题型+过关测】- 【暑假自学课】2024年新七年级数学暑假提升精品讲义（北师大版2024）

第10讲 解题技巧专题：运算易错与化简绝对值 【题型一 有理数中乘除混合运算易错】 例1．（2024·辽宁鞍山·一模）计算： ． 【答案】 【分析】 本题考查有理数的乘除混合运算，除法变乘法，进行计算即可． 【详解】解：原式； 故答案为：． 【变式1-1】（23-24七年级上·江苏连云港·阶段练习）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查有理数乘除的混合运算，先将除法转化为乘法，根据多个有理数的乘法法则计算即可． 【详解】解：原式 ， 故答案为：． 【变式1-2】（23-24六年级下·上海·期中）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的乘除混合运算，先把带分数化为假分数，再把除法化为乘法，然后计算，即可作答． 【详解】解： ． 【变式1-3】（23-24六年级下·上海黄浦·期中）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的乘除混合计算，熟知相关计算法则是解题的关键． 【详解】解： 【题型二 含乘方的有理数混合运算】 例2.（23-24七年级上·广东湛江·期中）计算：． 【答案】6 【分析】本题考查了有理数的混合运算，先计算乘除，再加减即可，熟知计算法则是解题的关键。 【详解】解：原式， ． 【变式2-1】（23-24六年级下·上海长宁·期中）计算：； 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，正确计算即可，熟练掌握有理数混合运算顺序“先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先算括号内的运算”是解题的关键． 【详解】解： ． 【变式2-2】（23-24六年级下·全国·假期作业）计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）根据有理数的混合运算顺序，首先计算乘方，然后计算乘法和除法，最后从左向右依次计算即可； （2）根据有理数的混合运算顺序，首先计算乘方，然后计算乘法和除法，最后从左向右依次计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式2-3】（23-24六年级下·全国·假期作业）计算下列各题： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查含乘方的有理数混合运算，以及绝对值化简，熟练掌握有理数的混合运算法则是解题的关键． （1）先算乘方，然后再进行有理数的混合运算即可； （2）先算乘方和括号，然后再根据有理数的混合运算法则计算，即可解题； （3）先算乘方和括号，然后再根据有理数的混合运算法则计算，即可解题； （4）先算乘方、括号、以及绝对值化简，然后再根据有理数的混合运算法则计算，即可解题． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 【题型三 有理数的混合运算中的新定义型问题】 例3. （23-24七年级上·陕西西安·期中）用“△”定义新运算，对于任意有理数a，b，都有．例如：． (1)求的值； (2)若继续用“*”定义另一种新运算，例如：．求． 【答案】(1)24 (2)20 【分析】本题主要考查了有理数混合运算； （1）根据题干信息列出算式进行计算即可； （2）根据题干信息列出算式进行计算即可． 解题的关键是理解题意，熟练掌握有理数混合运算法则． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式3-1】（23-24七年级上·湖北随州·期中）用“☆”定义一种新运算：对于任意有理数和，规定，如： (1)计算：的值； (2)计算：的值． 【答案】(1)56 (2)81 【分析】此题考查了新定义，有理数的混合运算，解题的关键是正确理解题目所给新定义的运算顺序和运算法则． （1）根据题目所给新运算的运算顺序和运算法则进行计算即可； （2）根据题目所给新运算的运算顺序和运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解：根据题意可得： ； （2）解：根据题意可得： ． 【变式3-2】（22-23七年级上·江苏镇江·期中）我们定义一种新运算：，例如：． (1)求； (2)求． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了新定义运算，含乘方的有理数混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题关键． （1）根据已知新运算法则计算，即可得到答案； （2）根据已知新运算法则计算，即可得到答案． 【详解】（1）解：； （2）解： ． 【变式3-3】（23-24七年级上·福建龙岩·期中）若定义一种新的运算“*”，规定：，如． (1)求的值； (2)通过计算说明与的值是否相等? 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查有理数的混合运算、新运算，明确有理数混合运算的计算方法是解答本题的关键． （1）把相应的值代入新定义的运算中，结合有理数的相应的运算法则进行求解即可； （2）把相应的值代入新定义的运算中，结合有理数的相应的运算法则进行求解，即可解答． 【详解】（1） ； （2） ， ∵， ∴． 【题型四 根据点在数轴的位置化简绝对值】 例4. ：已知实数a、b在数轴上对应点的位置如图： (1)比较a﹣b与a+b的大小； (2)化简|b﹣a|+|a+b|． 【答案】（1）a﹣b＞a+b；（2）﹣2b． 【分析】根据数轴判断出a、b的正负情况以及绝对值的大小； （1）用作差法比较大小； （2）根据绝对值的性质去掉绝对值号，再进行加减． 【详解】解：由图可知，a＞0，b＜0，且|a|＜|b|， （1）∵（a﹣b）﹣（a+b）=a﹣b﹣a﹣b=﹣2b＞0， ∴a﹣b＞a+b； （2）因为b﹣a＜0，a+b＜0， 所以|b﹣a|+|a+b| =a﹣b﹣a﹣b =﹣2b． 【点睛】本题考查了实数的大小比较，解题的关键是熟练的掌握实数的大小比较方法. 【变式4-1】已知有理数在数轴上的位置如图所示： （1）判断正负，用“>”、“<”或“=”填空：, , （2）化简：. 【答案】（1）＜；＞；＜；（2）a． 【分析】（1）根据数轴，判断出a，b，c的取值范围，进而求解； （2）根据数轴，判断出a，b，c的取值范围，根据绝对值的性质，去绝对值号，合并同类项即可． 【详解】（1）根据数轴可知：a＞0，b＜0，c＜0，且|a|＜|b|＜|c|， ∴a+b＜0，a−b＞0，a＋b+c＜0， 故答案为：＜；＞；＜； （2）根据数轴可知：a＞0，b＜0，c＜0，且|a|＜|b|＜|c|， ∴b−c＜0，a−b＜0，a＋c＞0， ∴ ＝−（a+c）+（a+b+c）＋（a-b） ＝-a-c +a+b+c＋a-b ＝a． 【点睛】本题主要考查数轴、绝对值、整式的加减等知识的综合运用，解决此题的关键是能够根据数轴上的信息，判断出a，b，c等字母的取值范围，同时解决此题时也要注意绝对值性质的运用． 【变式4-2】已知有理数a、b满足ab＜0，a+b＞0且|a|＜|b| （1）在数轴上标出数a，﹣a，b，﹣b，并用“＜”号连接这四个数． （2）化简：|2a﹣b|﹣|2b﹣a|+|a+b| 【答案】（1）图详见解析,﹣b＜a＜﹣a＜b；（2）0 【分析】（1）根据已知得出a＜0，b＞0，|b|＞|a|，再在数轴上标出即可； （2）先去掉绝对值符号，再合并同类项即可． 【详解】（1） ﹣b＜a＜﹣a＜b； （2）∵有理数a、b满足ab＜0，a+b＞0且|a|＜|b|， ∴2a-b＜0，2b-a＞0， ∴|2a﹣b|﹣|2b﹣a|+|a+b| ＝﹣2a+b﹣（2b﹣a）+（a+b） ＝﹣2a+b﹣2b+a+a+b ＝0． 【点睛】此题考查有理数的大小比较，正确理解数的正负性、绝对值的性质是解题的关键. 【变式4-3】问题一：如图，试化简：． 问题二：表示有理数的点在数轴上的位置如图所示， （1）比较的大小关系 （2）化简：． 【答案】问题一：；问题二：（1）a＜c＜b＜-a；（2） 【分析】问题一：根据绝对值的定义进行化简即可； 问题二：（1）根据数轴上的点进行比较即可； （2）根据绝对值的定义进行化简即可． 【详解】解：问题一：由图可得：b＞0，c＜a＜0，， = =； 问题二：（1）由图可得：a＜c＜0，b＞0，， ∴a＜c＜b＜-a； （2） = = 【点睛】此题主要考查了数轴，有理数的大小比较以及整式的加减运算，正确去绝对值是解题关键． 【题型五 利用分类讨论数学思想化简绝对值】 例5. （2023春·黑龙江绥化·六年级绥化市第八中学校校考期中）已知、、均为不等式0的有理数，则的值为 ． 【答案】3，-3，1，−1． 【分析】根据绝对值的性质，将绝对值符号去掉，然后计算．由于不知道a、b、c的符号，故需分类讨论． 【详解】解：(1)当a>0，b>0，c>0时，=1+1+1=3； (2)当a<0，b<0，c<0时，==−1−1−1=−3； (3)当a>0，b>0，c<0时，==1+1−1=1； 同理，a>0，b<0，c>0；a<0，b>0，c>0时原式的值均为1． (4)当a<0，b<0，c>0时，==−1−1+1=−1； 同理，当a<0，b>0，c<0；a>0，b<0，c<0时原式的值均为−1． 故答案为：3，-3，1，−1． 【点睛】本题考查了绝对值规律的性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0，解答时要注意分类讨论． 【变式5-1】（2023秋·七年级单元测试）若，则 ． 【答案】 【分析】讨论a和b的符号，逐一求解即可． 【详解】解：∵， ∴，或，， 若，，则； 若，，则； 综上所述，的值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查绝对值的性质，分情况讨论是解题的关键． 【变式5-2】（2023秋·河南南阳·七年级南阳市实验中学校考期末）已知、，那么＝ 【答案】±2或0 【分析】根据x+a，x+b的符号，结合绝对值的性质进行计算即可． 【详解】解：当x+a＞0，x+b＞0时，原式＝1+1＝2， 当x+a＞0，x+b＜0时，原式＝1﹣1＝0， 当x+a＜0，x+b＞0时，原式＝﹣1+1＝0， 当x+a＜0，x+b＜0时，原式＝﹣1﹣1＝﹣2， 故答案为：±2或0． 【点睛】本题考查绝对值，理解绝对值的性质是解答的关键． 【变式5-3】（2023春·上海·六年级专题练习）（1）若，　　；若，　　； （2）若，则＝　 　； （3）若，则　 　． 【答案】（1）1，；（2）1；（3）1或． 【分析】（1）根据的取值，去绝对值符号，然后化简即可； （2）由（1）可知，结合可知即，化简即可； （3）结合可知a、b、c中有一个负数、两个正数或三个负数两种情况，分情况结合（1），化简即可． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， 故答案为：1，； （2）∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：1； （3）∵， ∴a、b、c中有一个负数、两个正数或三个负数两种情况， 当a、b、c中有一个负数、两个正数时， ， 当a、b、c中有三个负数时， ， 故答案为：1或． 【点睛】本题考查了绝对值的化简求值，解题的关键是熟练掌握绝对值的性质． 【题型六 利用点在数轴上的几何意义化简绝对值】 例6.（23-24七年级上·浙江金华·阶段练习）数学实验室：点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为，在数轴上A、B两点之间的距离． 利用数形结合思想回答下列问题： (1)数轴上表示2和5的两点之间的距离是 ，数轴上表示1和的两点之间的距离是 ； (2)数轴上若点A表示的数是x，点B表示的数是，则点A和B之间的距离是 ，若，那么x为 ； (3)利用数轴，求的最小值 ； (4)当x是 时，代数式； 【答案】(1)3，4 (2)，或0 (3)3 (4)或2 【分析】本题考查两点间的距离．绝对值的意义，熟练掌握两点间的距离公式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键． （1）根据两点间的距离公式进行计算即可； （2）根据两点间的距离公式进行计算即可； （3）设表示x的点为M，表示的点为A，表示1的点为B，则是点M与点A的距离与点M与点B的距离之和．结合数轴，根据点M的位置分类讨论计算即可； （4）由（3）可得当或时， 才成立，分和两种情况，去掉绝对值符号，求解即可． 【详解】（1）数轴上表示2和5的两点之间的距离是， 数轴上表示1和的两点之间的距离是． 故答案为：3，4 （2）表示数x的点A和表示的点B之间的距离， 若，则点A到点B的距离为2， ∵点B表示的数是， ∴点A表示的数是或0， ∴x为或0． 故答案为：，或0 （3）设表示x的点为M，表示的点为A，表示1的点为B，则是点M与点A的距离与点M与点B的距离之和，即． 若点M在点A的左侧，即，如下图： 则， ∵， ∴； 若点M在线段上，即，如下图： ， 则， ∴； 若点M在点B的右侧，即，如下图： 则， ∵， ∴； 综上所述，，即的最小值为3． 故答案为：3 （4）由（3）可得当或时， 才成立， 当时，可化为：， 解得：， 当时，可化为：， 解得：， 综上，当或2时，． 故答案为：或2 【变式6-1】（23-24七年级上·安徽芜湖·期中）观察下列每对数在数轴上的对应点间的距离：3与5，4与，与．并回答下列各题： (1)数轴上表示4和两点间的距离是______；表示和两点间的距离是______． (2)若数轴上的点A表示的数为x，点B表示的数为． ①数轴上A、B两点间的距离可以表示为______（用含x的代数式表示）； ②如果数轴上A、B两点间的距离为，求x的值． (3)直接写出代数式的最小值为______． 【答案】(1)6；4 (2)①  ②或 (3)5 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离，绝对值的意义，化简绝对值，理解绝对值的几何意义是解本题的关键． （1）根据数轴上两点间距离的求法解题即可； （2）①根据数轴上两点间距离的求法列出代数式化简即可；②将代入由①所得的式子，求解即可； （3）根据绝对值的性质，分段讨论取值，即当时，当时，当时，分别化简，取最小值比较即可得出答案． 【详解】（1）解：表示4和两点间的距离是， 表示和两点间的距离是， 故答案为：6；4． （2）解：①数轴上的点A表示的数为，点B表示的数为， 数轴上A、B两点间的距离可以表示为， 故答案为：； ②若数轴上A、B两点间的距离为时， 则，解得或， 的值为或． （3）解：当时，， 当时，， 当时，， 综上所述得的最小值为5， 故答案为：5． 【变式6-2】（23-24七年级上·江苏镇江·阶段练习）如图，若点、在数轴上分别表示有理数、，、两点之间的距离表示为．则．所以式子的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数的点之间的距离． 根据上述材料，解答下列问题： (1)若，则 ； (2)若，则 ； (3)式子的最小值为 ； (4)若，则 ； (5)式子的最小值为 ，此时 ． 【答案】(1)或 (2) (3) (4)或 (5)； 【分析】（1）根据绝对值的几何意义，即可求解， （2）根据绝对值的几何意义，确定在和之间，化简后，即可求解， （3）根据绝对值的几何意义，确定在和之间，化简后，即可求解， （4）根据绝对值的几何意义，分在左侧时，在右侧时，两种情况，分别化简后，即可求解， （5）根据绝对值的几何意义，确定在和之间，取最小值，当时，取最小值，即可求解， 本题考查了绝对值的几何意义，解题的关键是：根据绝对值的几何意义，确定的范围． 【详解】（1）解：根据绝对值的几何意义，表示到的距离等于， 或， 故答案为：或， （2）解：根据绝对值的几何意义，表示到的距离等于到的距离， 在和之间， ， ， 故答案为：， （3）解：根据绝对值的几何意义，的最小值表示到的距离与到的距离之和最小， 在和之间的线段上， 的最小值是， 故答案为：， （4）解：根据绝对值的几何意义，表示到的距离与到的距离之和等于， 当在左侧时，，，解得：， 当在右侧时，，，解得：， 故答案为：或， （5）解：根据绝对值的几何意义，的最小值表示到的距离与到的距离与到的距离之和最小， 由（3）可知在和之间的线段上时，取最小值， 当时，取最小值， 当时，取最小值， 故答案为：；． 【变式6-3】（23-24七年级上·云南·阶段练习）（1）探索材料（填空）： 数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于．例如数轴上表示数2和5的两点距离为； ①数轴上表示数3和的两点距离为 ； ②则的意义可理解为数轴上表示数 和 这两点的距离． （2）实际应用（填空）： ①如图1，在工厂的一条流水线上有两个加工点A和B，要在流水线上设一个材料供应点P往两个加工点输送材料 才能使P到A的距离与P到B的距离之和最小； ②如图2，在工厂的一条流水线上有三个加工点A，B，C，要在流水线上设一个材料供应点P往三个加工点输送材料 才能使P到A，B，C三点的距离之和最小； ③如图3，在工厂的一条流水线上有四个加工点A，B，C，D，要在流水线上设一个材料供应点P往四个加工点输送材料 才能使P到A，B，C，D四点的距离之和最小． （3）结论应用（填空）； ①代数式的最小值是 ； ②代数式的最小值是 ； ③代数式的最小值是 ． 【答案】（1）①4；②x，；（2）①点A、点B之间；②点B；③点B、点C之间；（3）①7；②8；③18 【分析】 （1）①按照化简绝对值的求法即可； ②，根据数轴上两点间的距离的意义可知表示哪两个点之间的距离； （2）①通过观察，比较可得点在点、之间时，可使到的距离与到的距离之和最小，为线段长； ②通过观察，比较可得点在点处时，到，，三点的距离之和最小，为线段的长； ③通过观察，比较可得点在点、之间，才能使到，，，四点的距离之和最小，为的长； （3）①结合（2）中的①，可得最小距离为4和之间的距离； ②结合（2）中的②，可得最小距离为和2之间的距离； ③结合（2）中的③，可得最小距离为和5，和2的距离之和． 【详解】 解：（1）①； 故答案为：4； ②， 的意义可理解为数轴上表示数和这两点的距离； 故答案为：，； （2）①点可能在点的左边，点和点之间，点的右边； 当点在点的左边或点的右边时，的长度均大于的长度； 当点在点和点之间时，的长度等于的长度． 当材料供应点在点和点之间时，到的距离与到的距离之和最小． 故答案为：点、点之间； ②当点在点处时，到，，三点的距离之和为的长度； 当点在除点外的任意位置时，到，，三点的距离之和均大于的长度． 材料供应点应设在点，才能使到，，三点的距离之和最小； 故答案为：点； ③当点在点、之间时，到，，，四点的距离之和为的长度； 当点在除点、之间的任意位置时，到，，，四点的距离之和均大于的长度； 材料供应点应设在点、之间，才能使到，，，四点的距离之和最小； 故答案为：点、点之间； （3）①， 在点和4之间．代数式的最小值； 故答案为：7； ②， 时．代数式的最小值； 故答案为：8； ③， 在2和之间，代数式的最小值； 故答案为：18． 【点睛】本题考查数轴上两点间的距离的意义；通过数形结合，分别得到数轴上有2个点，3个点，4个点时，动点在什么位置，到这几个点的距离之和最小，并会求最小的距离之和是解决本题的关键． 一、单选题 1．（23-24六年级下·全国·假期作业）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查有理数乘除混合运算，熟练掌握有理数乘除混合法则是解题的关键． 根据有理数乘除混合法则逐项计算并判定即可． 【详解】解：A、，原计算错误，故此选项不符合题意； B、，原计算错误，故此选项不符合题意； C、，计算正确，故此选项符合题意； D、，原计算错误，故此选项不符合题意； 故选：C． 2．（24-25七年级上·全国·假期作业）数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，化简的结果为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了运用数轴上的点表示实数和绝对值化简的应用能力，关键是能准确理解并运用以上知识进行变形、求解．运用数轴上的点表示实数和绝对值的性质进行化简、计算． 先确定的符合以及大小，然后再取绝对值即可． 【详解】解：由题意得，，，， ， 故选：B． 3．（23-24七年级上·江苏南通·阶段练习）下列各式计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握有理数的混合运算顺序和运算法则是解题的关键． 【详解】解：A、，故A不正确，不符合题意； B、，故B不正确，不符合题意； C、，故C正确，符合题意； D、，故D不正确，不符合题意； 故选：C． 4．（23-24七年级上·浙江绍兴·阶段练习）如果，那么的值是（    ） A．或3 B．或3 C．1或3 D．或 【答案】B 【分析】本题考查的绝对值的应用，以及化简求值．根据，即a、b全为正数时，或a、b为一正一负时，或a、b全负时分类讨论计算即可． 【详解】解：， 设时， ， 或时， ，或， 时， ， 综上可得：或， 故选：B． 二、填空题 5．（23-24七年级上·山东菏泽·期末）计算： ． 【答案】1 【分析】本题主要考查了有理数的乘除混合运算．根据有理数的乘除可以解答本题． 【详解】解： ． 故答案为：1． 6．（2024七年级·全国·竞赛）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，先算乘方，并把除法转化为乘法，然后根据乘法法则计算即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 7．（23-24七年级上·山东济宁·期末）实数，在数轴上的位置如图，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了利用数轴进行绝对值的化简计算，数形结合、明确绝对值的化简法则，是解题的关键． 先由数轴可得：，，再根据绝对值的化简法则计算即可． 【详解】解：由数轴可得：，， ． 故答案为：． 8．（2024六年级下·上海·专题练习）若， ；若， ； ①若，则 ； ②若，则 ． 【答案】 1 1 1 【分析】此题考查了分类讨论解决含字母参数绝对值的问题，关键是能确定含字母参数绝对值是它本身还是它的相反数． 根据实数绝对值的性质，根据的符号确定它的绝对值是它本身还是相反数即可． 【详解】解：， ， ； ， ， ， 故答案为：1，； ①， ， ， ， 故答案为：1； ②， 、、中有一个负数、两个正数和三个负数两种情况， 当、、中有一个负数、两个正数时， ， 当、、中有三个负数时， ， 故答案为：1或． 三、解答题 9．（23-24七年级上·吉林长春·期末）计算：． 【答案】 【分析】此题考查了有理数的乘除混合运算，根据有理数的乘除混合运算结合题意即可求解． 【详解】解： ． 10．（23-24七年级下·黑龙江大庆·阶段练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则以及运算顺序是解此题的关键． （1）先计算乘方，再利用乘法分配律计算即可； （2）先计算乘方和绝对值，再计算加减即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 11．（23-24七年级上·河南信阳·阶段练习）有理数a，b，c在数轴上的位置如图： (1)判断正负，用“”或“”填空：______0，_____0，____0． (2)化简：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数大小比较、数轴以及绝对值，牢记有理数大小比较的法则是解题的关键． （1）观察数轴可知，由此即可得出结论； （2）由结合绝对值的定义，即可得出的值． 【详解】（1）解：观察数轴可知：， 故答案为：； （2）∵， 12．（23-24六年级上·山东淄博·期中）阅读下列材料： 经过有理数运算的学习，我们知道可以表示5与3之差的绝对值，同时也可以理解为5上3两个数在数轴上所对应的两点之间的距离，我们可以把这称之为绝对值的几何意义．同理，可以表示5与之差的绝对值，也可以表示5与两个数在数轴上所对应的两点之间的距离．探究： (1)表示数轴上4与______所对应的两点之间的距离； (2)表示数轴上有理数所对应的点到______所对应的点之间的距离；表示数轴上有理数所对应的点到______所对应的点之间的距离； (3)利用绝对值的几何意义，请找出所有符合条件的整数，使得，则这样的整数有______个； (4)利用绝对值的几何意义，可以知道的最小值是______． 【答案】(1)1 (2)， (3)8 (4)5 【分析】本题主要考查绝对值与数轴的综合应用 （1）根据数轴上的两点距离可直接进行求解； （2）根据数轴上的两点距离可直接进行求解； （3）根据绝对值的几何意义，得出该式表示数轴上有理数所对应的点到的距离和到5的距离的和为7，继而求解； （4）首先结合数轴判断出式子的几何意义，再结合数轴判断． 【详解】（1）解：由题意得： 表示数轴上4与1所对应的两点之间的距离． 故答案为：1． （2）解：表示数轴上有理数所对应的点到5所对应点之间的距离， 表示数轴上有理数到所对应点之间的距离． 故答案为：5，． （3）解：由题意得： 表示数轴上有理数所对应的数到数轴上与5的距离之和等于7， 又， ， 又为整数， 表示的数为：，，0，1，2，3，4，5，共8个． 故答案为：8． （4）解：由题意得： 当时，有最小值， 令，代入可得，最小值为： ． 故最小值为：5． 13．（2023·全国·七年级假期作业）请利用绝对值的性质，解决下面问题： (1)已知，是有理数，当时，则_______；当时，则_______． (2)已知，，是有理数，，，求的值． (3)已知，，是有理数，当时，求的值． 【答案】(1)， (2) (3)或或或 【分析】（1）根据正负数去绝对值的方法即可求解． （2）由可得，由根据进而可求解． （3）分四种情况讨论：①当都是正数，即时；②当有一个为正数，另两个为负数时，设；③当有两个为正数，一个为负数时；④当三个数都为负数时，分别去绝对值即可求解． 【详解】（1）解：当时，则， 当，则， 故答案为：，． （2）已知是有理数，， 所以，且中两正一负， 所以． （3）由题意得：三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数或两个正数，一个负数或三个都为负数． ①当都是正数，即时， 则：， ②当有一个为正数，另两个为负数时，设， 则：， ③当有两个为正数，一个为负数时， 设， 则：， ④当三个数都为负数时， 则：， 综上所述：的值为或或或 【点睛】本题考查了化简绝对值，有理数的乘除法，熟练掌握正数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它相反数是解题的关键． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第10讲 解题技巧专题：运算易错与化简绝对值 【题型一 有理数中乘除混合运算易错】 例1．（2024·辽宁鞍山·一模）计算： ． 【变式1-1】（23-24七年级上·江苏连云港·阶段练习）计算： ． 【变式1-2】（23-24六年级下·上海·期中）计算：． 【变式1-3】（23-24六年级下·上海黄浦·期中）计算：． 【题型二 含乘方的有理数混合运算】 例2.（23-24七年级上·广东湛江·期中）计算：． 【变式2-1】（23-24六年级下·上海长宁·期中）计算：； 【变式2-2】（23-24六年级下·全国·假期作业）计算： (1)． (2)． 【变式2-3】（23-24六年级下·全国·假期作业）计算下列各题： (1) (2) (3) (4) 【题型三 有理数的混合运算中的新定义型问题】 例3. （23-24七年级上·陕西西安·期中）用“△”定义新运算，对于任意有理数a，b，都有．例如：． (1)求的值； (2)若继续用“*”定义另一种新运算，例如：．求． 【变式3-1】（23-24七年级上·湖北随州·期中）用“☆”定义一种新运算：对于任意有理数和，规定，如： (1)计算：的值； (2)计算：的值． 【变式3-2】（22-23七年级上·江苏镇江·期中）我们定义一种新运算：，例如：． (1)求； (2)求． 【变式3-3】（23-24七年级上·福建龙岩·期中）若定义一种新的运算“*”，规定：，如． (1)求的值； (2)通过计算说明与的值是否相等? 【题型四 根据点在数轴的位置化简绝对值】 例4. ：已知实数a、b在数轴上对应点的位置如图： (1)比较a﹣b与a+b的大小； (2)化简|b﹣a|+|a+b|． 【变式4-1】已知有理数在数轴上的位置如图所示： （1）判断正负，用“>”、“<”或“=”填空：, , （2）化简：. 【变式4-2】已知有理数a、b满足ab＜0，a+b＞0且|a|＜|b| （1）在数轴上标出数a，﹣a，b，﹣b，并用“＜”号连接这四个数． （2）化简：|2a﹣b|﹣|2b﹣a|+|a+b| 【变式4-3】问题一：如图，试化简：． 问题二：表示有理数的点在数轴上的位置如图所示， （1）比较的大小关系 （2）化简：． 【题型五 利用分类讨论数学思想化简绝对值】 例5. （2023春·黑龙江绥化·六年级绥化市第八中学校校考期中）已知、、均为不等式0的有理数，则的值为 ． 【变式5-1】（2023秋·七年级单元测试）若，则 ． 【变式5-2】（2023秋·河南南阳·七年级南阳市实验中学校考期末）已知、，那么＝ 【变式5-3】（2023春·上海·六年级专题练习）（1）若，　　；若，　　； （2）若，则＝　 　； （3）若，则　 　． 【题型六 利用点在数轴上的几何意义化简绝对值】 例6.（23-24七年级上·浙江金华·阶段练习）数学实验室：点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为，在数轴上A、B两点之间的距离． 利用数形结合思想回答下列问题： (1)数轴上表示2和5的两点之间的距离是 ，数轴上表示1和的两点之间的距离是 ； (2)数轴上若点A表示的数是x，点B表示的数是，则点A和B之间的距离是 ，若，那么x为 ； (3)利用数轴，求的最小值 ； (4)当x是 时，代数式； 【变式6-1】（23-24七年级上·安徽芜湖·期中）观察下列每对数在数轴上的对应点间的距离：3与5，4与，与．并回答下列各题： (1)数轴上表示4和两点间的距离是______；表示和两点间的距离是______． (2)若数轴上的点A表示的数为x，点B表示的数为． ①数轴上A、B两点间的距离可以表示为______（用含x的代数式表示）； ②如果数轴上A、B两点间的距离为，求x的值． (3)直接写出代数式的最小值为______． 【变式6-2】（23-24七年级上·江苏镇江·阶段练习）如图，若点、在数轴上分别表示有理数、，、两点之间的距离表示为．则．所以式子的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数的点之间的距离． 根据上述材料，解答下列问题： (1)若，则 ； (2)若，则 ； (3)式子的最小值为 ； (4)若，则 ； (5)式子的最小值为 ，此时 ． 【变式6-3】（23-24七年级上·云南·阶段练习）（1）探索材料（填空）： 数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于．例如数轴上表示数2和5的两点距离为； ①数轴上表示数3和的两点距离为 ； ②则的意义可理解为数轴上表示数 和 这两点的距离． （2）实际应用（填空）： ①如图1，在工厂的一条流水线上有两个加工点A和B，要在流水线上设一个材料供应点P往两个加工点输送材料 才能使P到A的距离与P到B的距离之和最小； ②如图2，在工厂的一条流水线上有三个加工点A，B，C，要在流水线上设一个材料供应点P往三个加工点输送材料 才能使P到A，B，C三点的距离之和最小； ③如图3，在工厂的一条流水线上有四个加工点A，B，C，D，要在流水线上设一个材料供应点P往四个加工点输送材料 才能使P到A，B，C，D四点的距离之和最小． （3）结论应用（填空）； ①代数式的最小值是 ； ②代数式的最小值是 ； ③代数式的最小值是 ． 一、单选题 1．（23-24六年级下·全国·假期作业）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·全国·假期作业）数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，化简的结果为（ ） A． B． C． D． 3．（23-24七年级上·江苏南通·阶段练习）下列各式计算正确的是（　　） A． B． C． D． 4．（23-24七年级上·浙江绍兴·阶段练习）如果，那么的值是（    ） A．或3 B．或3 C．1或3 D．或 二、填空题 5．（23-24七年级上·山东菏泽·期末）计算： ． 6．（2024七年级·全国·竞赛）计算： ． 7．（23-24七年级上·山东济宁·期末）实数，在数轴上的位置如图，则 ． 8．（2024六年级下·上海·专题练习）若， ；若， ； ①若，则 ； ②若，则 ． 三、解答题 9．（23-24七年级上·吉林长春·期末）计算：． 10．（23-24七年级下·黑龙江大庆·阶段练习）计算： (1)； (2)． 11．（23-24七年级上·河南信阳·阶段练习）有理数a，b，c在数轴上的位置如图： (1)判断正负，用“”或“”填空：______0，_____0，____0． (2)化简：． 12．（23-24六年级上·山东淄博·期中）阅读下列材料： 经过有理数运算的学习，我们知道可以表示5与3之差的绝对值，同时也可以理解为5上3两个数在数轴上所对应的两点之间的距离，我们可以把这称之为绝对值的几何意义．同理，可以表示5与之差的绝对值，也可以表示5与两个数在数轴上所对应的两点之间的距离．探究： (1)表示数轴上4与______所对应的两点之间的距离； (2)表示数轴上有理数所对应的点到______所对应的点之间的距离；表示数轴上有理数所对应的点到______所对应的点之间的距离； (3)利用绝对值的几何意义，请找出所有符合条件的整数，使得，则这样的整数有______个； (4)利用绝对值的几何意义，可以知道的最小值是______． 13．（2023·全国·七年级假期作业）请利用绝对值的性质，解决下面问题： (1)已知，是有理数，当时，则_______；当时，则_______． (2)已知，，是有理数，，，求的值． (3)已知，，是有理数，当时，求的值． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$