第16讲 一次函数与正比例函数【六大考点+过关测】- 【暑假自学课】2024年新八年级数学暑假提升精品讲义（北师大版）

第16讲 一次函数与正比例函数 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．掌握正比例函数的概念； 2．掌握一次函数的概念，能根据条件写出一次函数的关系式； 知识点一 一次函数的定义 一次函数：一般地，形如y=kx+b（k，b为常数，k≠0）的函数，叫做一次函数，其中x是自变量，y是x的函数。 知识点二 正比例函数的定义 正比例函数：特别地，当b=0时，y=kx（k为常数，k≠0），y叫做x的正比例函数. 函数图象经过点的含义：函数图象上的点是由适合函数解析式的一对x、y的值组成的，因此，若已知一个点在函数图象上，那么以这个点的横坐标代x，纵坐标代y，方程成立. 考点一：正比例函数的定义 例1．（23-24八年级下·辽宁铁岭·期中）下列函数：①；②；③；④；⑤．其中y是x的正比例函数的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查的是正比例函数的识别，形如，这样的函数是正比例函数，根据定义逐一分析即可． 【详解】解：是正比例函数； 当时，是正比例函数； 是一次函数； 不是正比例函数， 不是正比例函数． 故是正比例函数的有①③，共2个， 故选：B． 【变式1-1】（2023春·吉林松原·八年级统考阶段练习）下列函数是正比例函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正比例函数的定义，形如，进行判断即可． 【详解】A：是反比例函数，不是正比例函数，不符合题意； B：是二次函数，不是正比例函数，不符合题意； C：是一次函数，不是正比例函数，不符合题意； D：是正比例函数，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查正比例函数的定义，熟练掌握正比例函数的定义是解题的关键． 【变式1-2】（2023春·四川广元·八年级统考期末）下列函数是正比例函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正比例函数的定义即可解答． 【详解】解：A．，符合正比例函数的含义，故本选项正确； B．是和的形式，故本选项错误； C．自变量次数不为1，故本选项错误； D．自变量次数不为1，故本选项错误， 故选A． 【点睛】本题主要考查了正比例函数的定义，形如（k为常数且），自变量次数为1的函数是正比例函数． 【变式1-3】（2023秋·辽宁沈阳·八年级沈阳市沈东初级中学校考开学考试）若是关于x的正比例函数，则的值为 ． 【答案】 【分析】利用正比例函数的定义分析得出，再代入计算即可求解． 【详解】解：是关于的正比例函数， 且， 解得：， ． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了正比例函数的定义，正确把握定义是解题关键． 考点二：一次函数的识别 例2.（2023春·河南驻马店·八年级校考阶段练习）下列函数中，是一次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一次函数的定义条件进行逐一分析即可． 【详解】解：A、是一次函数，故此选项符合题意； B、是反比例函数，故此选项不符合题意； C、当时不是一次函数，故此选项不符合题意； D、是二次函数，故此选项不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题考查了一次函数．解题的关键是掌握一次函数的定义，一次函数的定义条件是：k、b为常数，，自变量次数为1． 【变式2-1】（2023春·贵州铜仁·八年级统考阶段练习）下列函数：①；②；③；④，其中一次函数的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据形如，、是常数）的函数，叫做一次函数进行分析即可． 【详解】解：①；③是一次函数，共2个． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了一次函数定义，关键是掌握一次函数形如，、是常数），一次函数解析式的结构特征：；自变量的次数为1；常数项可以为任意实数． 【变式2-2】（2023秋·陕西西安·八年级校考开学考试）函数①；②；③；④；⑤．是一次函数的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据一次函数的定义，函数式为整式且自变量的最高次数为1，一次项系数不为0，逐一判断． 【详解】解：①是一次函数； ②是一次函数； ③是反比例函数，不是一次函数； ④是一次函数； ⑤是二次函数， 综上分析可知，①②④是一次函数，共3个，故C正确． 故选：C． 【点睛】本题考查了一次函数的定义.关键是明确一次函数解析式为整式，自变量的最高次数为1，一次项系数不为0． 【变式2-3】（2023秋·黑龙江哈尔滨·九年级哈尔滨市虹桥初级中学校校考开学考试）给出下列函数：①；②；③；④．其中是一次函数的有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】根据一次函数的定义逐一判断即可求解． 【详解】解：①、是一次函数，故符合题意； ②、是一次函数，故符合题意； ③、是一次函数，故符合题意； ④、是二次函数，故不符合题意， 则是一次函数的有3个， 故选B． 【点睛】本题考查了一次函数的定义，熟练掌握其定义是解题的关键． 考点三：根据一次函数的定义求参数 例3. （2023秋·黑龙江哈尔滨·九年级哈尔滨市虹桥初级中学校校考开学考试）已知，y是x的一次函数，则 ． 【答案】 【分析】先根据一次函数的定义列出关于m的不等式组，求出m的值即可． 【详解】解：因为是x的一次函数， 可得：， 解得：． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是一次函数的定义，根据一次函数的定义列出关于m的不等式是解答此题的关键． 【变式3-1】（2023秋·吉林长春·八年级吉林大学附属中学校考阶段练习）函数是关于x的一次函数的条件为（    ） A．且 B． C．且 D． 【答案】C 【分析】根据一次函数的定义进行求解即可． 【详解】解：∵是关于x的一次函数， ∴， 解得：， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了一次函数的定义，解题的关键是熟练掌握定义，一般地，形如（k，b为常数，）的函数，叫作一次函数． 【变式3-2】（2023春·河南安阳·八年级统考阶段练习）已知函数是一次函数，则k的值为 ． 【答案】2 【分析】直接利用一次函数的定义分析得出k的值即可． 【详解】解：∵函数是一次函数， ∴， 解得， 故答案为：2． 【点睛】此题主要考查了一次函数的定义，正确把握定义是解题关键． 【变式3-3】（2023春·辽宁营口·八年级统考期末）若函数是一次函数，则 ． 【答案】2 【分析】一般地，形如的函数，叫做一次函数. 【详解】解：由题意可得：， 解得， 故答案为：2. 【点睛】本题主要考查了一次函数的定义，关键是掌握一次函数解析式的结构特征: ，自变量的次数为1；常数项可以为任意实数. 考点四：求一次函数自变量或函数值 例4. （2023春·广西桂林·八年级校考阶段练习）已知一次函数的图象经过点，则 ． 【答案】3 【分析】把点代入一次函数，列出关于的一元一次方程，解之即可得的值． 【详解】解：一次函数的图象经过点， 把点代入一次函数，得， 解得：． 故答案为：3． 【点睛】本题考查一次函数图象上点的坐标特征，直线上任意一点的坐标都满足函数关系式．根据一次函数图象上点的特征得出关于的一元一次方程是解题的关键． 【变式4-1】（2023春·福建泉州·八年级统考期中）若点在直线上，则代数式的值为（    ） A．3 B． C．2 D．0 【答案】A 【分析】把点代入，得出，将其代入进行计算即可． 【详解】解：把点代入得， 整理得：， ∴， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，求代数式的值，解题的关键是掌握一次函数图象上点的坐标都符合一次函数表达式，以及整式添加括号，若括号前为负号，要变号． 【变式4-2】（2023春·山东临沂·八年级统考期末）若点在函数的图象上，则代数式的值为 ． 【答案】5 【分析】把点代入函数得到，再利用等式的基本性质变形即可得出结论． 【详解】解：点代入函数的图象上， ， ， ． 故答案为：5． 【点睛】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，运用到整体代入思想．熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键． 【变式4-3】（2023春·河北廊坊·八年级统考期末）已知一次函数． (1)当时，求的值； (2)当时，求的值； (3)判断点是否在直线上． 【答案】(1)的值为5 (2)的值为6 (3)点不在直线上 【分析】（1）把代入解析式求得即可； （2）把代入解析式求得即可； （3）把代入求得的值，进行比较即可得到答案． 【详解】（1）解：当时，， 的值为5； （2）解：当时，， 解得：， 的值为6； （3）解：当时，， 点不在直线上． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握一次函数图象上点的坐标特征是解题的关键． 考点五：列一次函数解析式并求值 例5. （2023春·全国·八年级专题练习）已知点A（8，0）及在第一象限的动点P（x，y），且x+y=10，设△OPA的面积为S． (1)求出S关于x的函数解析式，并求出x的取值范围； (2)当S=12时，求P的坐标． 【答案】(1)S=-4x+40，0<x<10 (2)P（7，3） 【分析】（1）首先把x+y=10，变形为y=10-x，再利用三角形的面积求法：S=底×高÷2，可以得到S关于x的函数表达式，P在第一象限，故x＞0，再利用三角形的面积S＞0，可得到x的取值范围； （2）把S=12代入函数解析式即可． 【详解】（1）根据题意，得A（8，0），P（x，y），且x+y=10， ∴y=10-x， ∴OA=8，P（x，10-x） ∴S=×8(10-x)=-4x+40． 又∵x>0，且10-x>0， ∴0<x<10． （2）当S=12时，即12=40-4x， 解得x=7， ∴y=10-7=3， ∴S=12时，P点坐标（7，3）． 【点睛】此题考查一次函数的性质，解题的关键是数形结合运用三角形的面积公式进行计算． 【变式5-1】（2023春·上海·八年级专题练习）甲、乙两地相距120km，现有一列火车从乙地出发，以80km/h的速度向甲地行驶．设x（h）表示火车行驶的时间，y（km）表示火车与甲地的距离． （1）写出y与x之间的关系式，并判断y是否为x的一次函数； （2）当x=0.5时，求y的值． 【答案】（1），y是x的一次函数；（2） 【分析】（1）根据题意，首先计算得出y与x之间的关系式，再根据一次函数的性质分析，即可得到答案； （2）根据（1）的结论，将x=0.5代入到一次函数并计算，即可得到答案． 【详解】（1）根据题意，火车与乙地的距离表示为：80x（km） ∵甲、乙两地相距120km ∴火车与甲地的距离表示为：（km），即； 当火车到达甲地时，即 ∴，即火车行驶1.5h到达甲地 ∴ y是x的一次函数； （2）根据（1）的结论，得：． 【点睛】本题考查了一次函数的知识；解题的关键是熟练掌握一次函数的性质，从而完成求解． 【变式5-2】（2023秋·全国·八年级随堂练习）如图，甲、乙两地相距，现有一列火车从乙地出发，以的速度向丙地行驶． 设表示火车行驶的时间，表示火车与甲地的距离． （1）写出与之间的关系式，并判断是否为的一次函数； （2）当时，求的值． 【答案】（1），是的一次函数；（2）140 【分析】（1）根据题意，首先计算得出y与x之间的关系式，再根据一次函数的性质分析，即可得到答案； （2）根据（1）的结论，将x=0.5代入到一次函数并计算，即可得到答案． 【详解】（1）根据题意，火车与乙地的距离表示为：80x（km） ∵甲、乙两地相距100km ∴火车与甲地的距离表示为：（100+80x）km ∴y=100+80x ∴y是x的一次函数； （2）当时，得：y=100+80×0.5=140． 【点睛】本题考查了一次函数的知识；解题的关键是熟练掌握一次函数的性质，从而完成求解． 【变式5-3】（2023·陕西咸阳·校考一模）尊老爱幼是中华民族的传统美德，为鼓励在“争做孝心好少年”主题活动中表现优秀的同学，某班准备购买钢笔和笔记本作为奖品．某文具商店给出了两种优惠方案：①买一支钢笔赠送一本笔记本，多于钢笔数的笔记本按原价收费；②钢笔和笔记本均按定价的八折收费．已知每支钢笔定价为15元，每本笔记本定价为4元．该班班长准备购买x支钢笔和本笔记本，设选择第一种方案购买所需费用为元，选择第二种方案购买所需费用为元． (1)请分别写出，与x之间的关系式； (2)若该班班长准备购买10支钢笔，且只能选择其中一种优惠方案，请你通过计算说明选择哪种方案更为优惠． 【答案】(1)与x之间的关系式为，与x之间的关系式为 (2)选择方案②更为优惠 【分析】（1）分别根据方案①和方案②列出关系式即可； （2）将分别代入、求出结果比较大小即可． 【详解】（1）解：方案①：， 方案②：， 与x之间的关系式为，与x之间的关系式为； （2）当时，；. ， 选择方案②更为优惠． 【点睛】本题考查一次函数的应用，根据题意列出关系式是关键． 考点六：根据正比例函数的定义求函数表达式 例6. （23-24八年级下·吉林·期中）已知与成正比例，且当时，． (1)求与之间的函数关系式； (2)若点在这个函数的图象上，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了求正比例函数解析式，求自变量的值： （1）设出函数解析式，再代入已知的数据求解即可； （2）把代入（1）所求解析式中进行求解即可． 【详解】（1）解：设， ∵当时，， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵点在这个函数的图象上， ∴， ∴． 【变式6-1】（23-24八年级下·江苏南通·期中）已知与成正比例，且当时，． (1)求y与x的函数关系式； (2)设点在（1）中函数的图象上，求a的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查的是成正比例的含义，利用待定系数法求解函数解析式，掌握求解的方法是解本题的关键； （1）根据题意设设，再利用待定系数法求解函数解析式即可； （2）把点代入（1）中的函数解析式即可得到答案． 【详解】（1）解：设， 当时， ， 解得：， 与x的函数关系式为， 即； （2）把代入得， ∴． 【变式6-2】（23-24八年级下·广东中山·期中）已知y与成正比例，当时； (1)求y关于x的函数解析式； (2)当时，求x的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了正比例函数定义，一次函数自变量等知识，熟练掌握求解析式的方法，一次函数的相关知识是解题的关键 （1）设解析式为，把，代入，可求，进而可得解析式； （2）将代入（1）的关系式，计算求解即可． 【详解】（1）解：设解析式为， 把，代入得：， 解得：， ∴解析式为； （2）解：将代入得：， 解得． ∴x的值为． 【变式6-3】（23-24八年级上·江苏泰州·阶段练习）已知与成正比例，当时，． (1)求出y与x的函数关系式； (2)设点在这个函数的图象上，求a的值． (3)试判断点是否在此函数图像上，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)点不在此函数的图象上，理由见解析 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上的点的坐标特征、解一元一次方程，熟练掌握相关知识的运用是解答的关键． （1）设，将x、y值代入求出k值即可求解； （2）将点代入（1）中函数关系式中求解即可； （3）将代入（1）中函数关系式中求解判断即可． 【详解】（1）根据题意，设， ∵当时，， ∴， 解得：， ∴，即， ∴y与x的函数关系式为； （2）将点代入得：， 解得：； （3）当时，， 则点不在此函数的图象上． 一、单选题 1．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）下列函数中，y是x的正比例函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了正比例函数的定义，注意把握正比例函数的概念是解题关键．根据正比例函数的定义：一般地，两个变量x，y之间的关系式可以表示成形如（k为常数，且）的函数，那么y就叫做x的正比例函数逐项判断即可． 【详解】解：A、是一次函数，故本选项错误； B、是正比例函数，故本选项正确； C、自变量的次数是二次，故本选项错误； D、自变量的次数是不是1，不是正比例函数，故本选项错误； 故选：B． 2．（23-24八年级下·广东惠州·阶段练习）下列函数中，y是x的一次函数的有（    ） ①；②；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查了一次函数的定义，一次函数解析式的结构特征为：；自变量的次数为1；常数项可以为任意实数．一般地，形如（，是常数）的函数，叫做一次函数．根据定义作答即可． 【详解】解：y是x的一次函数的有：①，②，共2个， 故选：B． 3．（2024·陕西西安·三模）若关于的方程的解是，则直线一定经过点（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元二次方程解的定义，一次函数的性质等等，先把代入方程中得到，进而得到当时，，据此可得答案． 【详解】解：∵关于x的方程的解是， ∴， ∴， ∴直线解析式为， ∴当时，，即直线一定经过点， 故选：D． 4．（23-24八年级下·全国·课后作业）下列问题中，两个变量之间是正比例函数关系的是（　　） A．矩形的周长一定，它的长y与宽x B．书的总页数一定，未读的页数与已读的页数 C．某场电影票价固定，该场电影售票收入为y元与售票数量为x张 D．圆的面积y（cm2）与它的半径x（cm）之间的关系 【答案】C 【分析】本题考查正比例函数的定义，根据正比例函数的定义逐一进行判断即可． 【详解】解：A、矩形的周长一定，它的长y与宽x是一次函数的关系，不是正比例函数的关系；不符合题意； B、书的总页数一定，未读的页数与已读的页数是一次函数的关系，不是正比例函数的关系；不符合题意； C、某场电影票价固定，该场电影售票收入为y元与售票数量为x张是正比例函数，符合题意； D、圆的面积y（cm2）与它的半径x（cm）之间的关系不是正比例函数，不符合题意； 故选C． 5．（23-24八年级下·河北石家庄·期中）新定义：是一次函数（，a，b为实数）的“关联数”．若“关联数”是的一次函数是正比例函数，则点所在的象限是（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】本题考查了正比例函数，判断点所在的象限以及新定义；根据“关联数”是的一次函数是正比例函数，得出，得出，再代入，分别计算，即可作答． 【详解】解：∵“关联数”是的一次函数是正比例函数， ∴ ∴ 则 ∴在第二象限 故选：B 二、填空题 6．（23-24八年级下·辽宁大连·期中）若点在函数的图象上，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，利用一次函数图象上点的坐标特征，把点代入函数中求即可，掌握一次函数图象及性质是解题的关键． 【详解】解：∵点在函数的图象上， ∴，解得：， 故答案为：． 7．（23-24八年级下·河南洛阳·期中）已知是关于的一次函数，则一次函数解析式是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的定义，形如（，为常数）的函数为一次函数． 根据定义得：且，求出的值即可． 【详解】解：由已知可得且 解得且 ∴． 故一次函数解析为： 故答案为：． 8．（23-24八年级下·内蒙古鄂尔多斯·期中）在平面直角坐标系中，直线过点，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，牢记直线上任意一点的坐标都满足函数关系式是解题的关键． 把代入即可得到，代入即可求解． 【详解】解：∵直线过点， ， ， ， 故答案为：2020． 9．（2024八年级下·上海·专题练习）已知一次函数的图象经过点，，则的值为 ． 【答案】25 【分析】将，代入得到，，由代入即可求解， 本题考查了，一次函数图象上点的坐标特征，知道函数图象上点的坐标符合函数解析式以及因式分解是解题的关键． 【详解】解：∵一次函数的图象经过点，， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：25． 10．（2024九年级下·广东·专题练习）拖拉机开始工作时，油箱中有油升，如果每小时耗油升，那么油箱中的剩余油量（升）和工作时间（时）之间的函数关系式是 ，自变量x必须满足 ． 【答案】 ； ． 【分析】本题主要是考查根据实际问题列一次函数关系式，根据余油量原有油量用油量，时间应≥0，用油量不能超过原有油量得出，读懂题意，找到所求量的等量关系是解题的关键． 【详解】解：依题意得， 时间应，用油量不能超过原有油量， ∴，解得， ∴， 故答案为：，． 三、解答题 11．（23-24八年级下·重庆·期中）一个正比例函数的图象经过点． (1)求正比例函数的解析式； (2)当时，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了待定系数法求正比例函数解析式，已知函数值求自变量． （1）将点代入正比例函数，求出，即可得到正比例函数的解析式； （2）将代入正比例函数，即可求出x的值． 【详解】（1）解：正比例函数的图象经过点， ， ， 即正比例函数的解析式； （2）解：当时，， ∴． 12．（23-24八年级下·全国·假期作业）已知. (1)当m，n为何值时，是的一次函数？ (2)当m，n为何值时，是的正比例函数？ 【答案】(1) (2)， 【详解】解：（1）是的一次函数， 且，为任意实数，解得. （2）是的正比例函数， 且，， 解得， 13．（20-21八年级下·湖北武汉·阶段练习）已知，且与x成正比例，与成正比例，当时，，当时， (1)求出y与x之间的函数关系式； (2)计算时，y的值． 【答案】(1) (2)21 【分析】（1）根据正比例的定义可设，，再将当时，，当时，代入计算即可得； （2）将直接代入（1）中的结果即可得． 【详解】（1）解：由题意可设，， ， ， 当时，，当时，， ，解得， ， 即与之间的函数关系式为． （2）解：将代入得：． 【点睛】本题主要考查了正比例函数的定义、求函数解析式，熟练掌握正比例函数的定义是解题的关键． 14．（23-24八年级上·甘肃兰州·期中）写出下列各题中y关于x的函数关系式，并判断y是否为x的一次函数，是否为正比例函数． (1)长方形的面积为3，长方形的长y与宽x之间的关系； (2)刚上市时西瓜每千克元，买西瓜的总价y元与所买西瓜x千克之间的关系； (3)仓库内有粉笔400盒，如果每个星期领出36盒，仓库内余下的粉笔盒数y与星期数x之间的关系； (4)小林的爸爸为小林存了一份教育储蓄，首次存入10000元，以后每个月存入500元，存入总数y元与月数x之间的关系． 【答案】(1)，y是x反比例函数，不是一次函数，也不是正比例函数； (2)，y是x的一次函数，也是正比例函数； (3)，y是x的一次函数，不是正比例函数； (4)，y是x的一次函数，不是正比例函数． 【分析】本题考查一次函数和正比例函数的定义，熟练掌握它们的定义是解题的关键． （1）根据题意写出y关于x的函数关系式，并根据一次函数及正比例函数的定义判断即可． （2）根据题意写出y关于x的函数关系式，并根据一次函数及正比例函数的定义判断即可． （3）根据题意写出y关于x的函数关系式，并根据一次函数及正比例函数的定义判断即可． （4）根据题意写出y关于x的函数关系式，并根据一次函数及正比例函数的定义判断即可． 【详解】（1）解：由题意的：， ∴y不是x的一次函数，也不是正比例函数 （2）解：由题意的：， ∴y是x的一次函数，也是正比例函数 （3）解：由题意的：， ∴y是x的一次函数，不是正比例函数 （4）解：由题意的：， ∴y是x的一次函数，不是正比例函数 15．（2024·陕西渭南·一模）书法是文字美的艺术表现形式，中国书法历史悠久，书体沿革流变，书法艺术异采迷人，是中国汉字特有的一种传统艺术．某校举办以“发扬艺术之光，传承书法风采”为主题的书法比赛活动，校团委计划购买某种标价为120元/套的书法套具，文具店老板给出了如下优惠条件：如果一次性购买不超过10套，单价为120元/套；如果一次性购买超过10套，那么每增加1套，购买的所有书法套具的单价每套降低5元，但单价不得低于60元/套．设校团委一次性购买书法套具x套，购买的实际单价为y元/套． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)当时，求校团委购买这些书法套具的实际付款总额． 【答案】(1) (2)1400元 【分析】本题考查一次函数的实际应用，正确的列出函数关系式是解题的关键： （1）根据优惠方案，列出函数关系式即可； （2）把代入（1）中的解析式进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意，得：； （2）当时，， 故校团委购买这些书法套具的实际付款总额为元． 16．（22-23八年级下·山东济宁·阶段练习）定义：如果函数的图象经过点，我们就把此函数称作“族函数”．比如：正比例函数的图象经过点，所以正比例函数就是“族函数”． (1)①以下数量关系中，y不是x的函数的是___________（填选项） ②以下是“族函数”的是 ___________（填选项） A．   B． C．    D．     E． F． (2)已知一次函数为常数，． ①若该函数是“族函数”，求k的值． ②无论k取何值，该函数必经过一定点，请写出该定点的坐标． 【答案】(1)①BE；②F (2)①；② 【分析】（1）①根据函数的定义即可求解； ②将点代入各选项函数解析式中即可解答； （2）①将点代入，即可求解； ②函数解析式可变形为，令即可求解； 【详解】（1）①对于B选项，则与不是唯一对应关系，不符合函数定义，即不是的函数， 对于选项，则与不是唯一对应关系，不符合函数定义，即不是的函数，ACDF符合函数的定义； 故答案为：BE； ②A．，当时，，故不是 “族函数” C．，当时，，故不是“族函数” D．，当时，，故选项不是“族函数” F．，当时，，故是“族函数” 故答案为：F． （2）①一次函数（为常数，）是“族函数”， ， 解得：； ②， 令，则，， 无论取何值，该函数必经过一定点； 【点睛】本题主要考查函数的定义、新定义、用待定系数法求函数解析式、一次函数的性质，理解新定义，并学会利用分类讨论思想解决问题是解题关键． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第16讲 一次函数与正比例函数 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．掌握正比例函数的概念； 2．掌握一次函数的概念，能根据条件写出一次函数的关系式； 知识点一 一次函数的定义 一次函数：一般地，形如y=kx+b（k，b为常数，k≠0）的函数，叫做一次函数，其中x是自变量，y是x的函数。 知识点二 正比例函数的定义 正比例函数：特别地，当b=0时，y=kx（k为常数，k≠0），y叫做x的正比例函数. 函数图象经过点的含义：函数图象上的点是由适合函数解析式的一对x、y的值组成的，因此，若已知一个点在函数图象上，那么以这个点的横坐标代x，纵坐标代y，方程成立. 考点一：正比例函数的定义 例1．（23-24八年级下·辽宁铁岭·期中）下列函数：①；②；③；④；⑤．其中y是x的正比例函数的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1-1】（2023春·吉林松原·八年级统考阶段练习）下列函数是正比例函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2023春·四川广元·八年级统考期末）下列函数是正比例函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（2023秋·辽宁沈阳·八年级沈阳市沈东初级中学校考开学考试）若是关于x的正比例函数，则的值为 ． 考点二：一次函数的识别 例2.（2023春·河南驻马店·八年级校考阶段练习）下列函数中，是一次函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（2023春·贵州铜仁·八年级统考阶段练习）下列函数：①；②；③；④，其中一次函数的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式2-2】（2023秋·陕西西安·八年级校考开学考试）函数①；②；③；④；⑤．是一次函数的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式2-3】（2023秋·黑龙江哈尔滨·九年级哈尔滨市虹桥初级中学校校考开学考试）给出下列函数：①；②；③；④．其中是一次函数的有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 考点三：根据一次函数的定义求参数 例3. （2023秋·黑龙江哈尔滨·九年级哈尔滨市虹桥初级中学校校考开学考试）已知，y是x的一次函数，则 ． 【变式3-1】（2023秋·吉林长春·八年级吉林大学附属中学校考阶段练习）函数是关于x的一次函数的条件为（    ） A．且 B． C．且 D． 【变式3-2】（2023春·河南安阳·八年级统考阶段练习）已知函数是一次函数，则k的值为 ． 【变式3-3】（2023春·辽宁营口·八年级统考期末）若函数是一次函数，则 ． 考点四：求一次函数自变量或函数值 例4. （2023春·广西桂林·八年级校考阶段练习）已知一次函数的图象经过点，则 ． 【变式4-1】（2023春·福建泉州·八年级统考期中）若点在直线上，则代数式的值为（    ） A．3 B． C．2 D．0 【变式4-2】（2023春·山东临沂·八年级统考期末）若点在函数的图象上，则代数式的值为 ． 【变式4-3】（2023春·河北廊坊·八年级统考期末）已知一次函数． (1)当时，求的值； (2)当时，求的值； (3)判断点是否在直线上． 考点五：列一次函数解析式并求值 例5. （2023春·全国·八年级专题练习）已知点A（8，0）及在第一象限的动点P（x，y），且x+y=10，设△OPA的面积为S． (1)求出S关于x的函数解析式，并求出x的取值范围； (2)当S=12时，求P的坐标． 【变式5-1】（2023春·上海·八年级专题练习）甲、乙两地相距120km，现有一列火车从乙地出发，以80km/h的速度向甲地行驶．设x（h）表示火车行驶的时间，y（km）表示火车与甲地的距离． （1）写出y与x之间的关系式，并判断y是否为x的一次函数； （2）当x=0.5时，求y的值． 【变式5-2】（2023秋·全国·八年级随堂练习）如图，甲、乙两地相距，现有一列火车从乙地出发，以的速度向丙地行驶． 设表示火车行驶的时间，表示火车与甲地的距离． （1）写出与之间的关系式，并判断是否为的一次函数； （2）当时，求的值． 【变式5-3】（2023·陕西咸阳·校考一模）尊老爱幼是中华民族的传统美德，为鼓励在“争做孝心好少年”主题活动中表现优秀的同学，某班准备购买钢笔和笔记本作为奖品．某文具商店给出了两种优惠方案：①买一支钢笔赠送一本笔记本，多于钢笔数的笔记本按原价收费；②钢笔和笔记本均按定价的八折收费．已知每支钢笔定价为15元，每本笔记本定价为4元．该班班长准备购买x支钢笔和本笔记本，设选择第一种方案购买所需费用为元，选择第二种方案购买所需费用为元． (1)请分别写出，与x之间的关系式； (2)若该班班长准备购买10支钢笔，且只能选择其中一种优惠方案，请你通过计算说明选择哪种方案更为优惠． 考点六：根据正比例函数的定义求函数表达式 例6. （23-24八年级下·吉林·期中）已知与成正比例，且当时，． (1)求与之间的函数关系式； (2)若点在这个函数的图象上，求的值． 【变式6-1】（23-24八年级下·江苏南通·期中）已知与成正比例，且当时，． (1)求y与x的函数关系式； (2)设点在（1）中函数的图象上，求a的值． 【变式6-2】（23-24八年级下·广东中山·期中）已知y与成正比例，当时； (1)求y关于x的函数解析式； (2)当时，求x的值． 【变式6-3】（23-24八年级上·江苏泰州·阶段练习）已知与成正比例，当时，． (1)求出y与x的函数关系式； (2)设点在这个函数的图象上，求a的值． (3)试判断点是否在此函数图像上，说明理由． 一、单选题 1．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）下列函数中，y是x的正比例函数的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·广东惠州·阶段练习）下列函数中，y是x的一次函数的有（    ） ①；②；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（2024·陕西西安·三模）若关于的方程的解是，则直线一定经过点（    ） A． B． C． D． 4．（23-24八年级下·全国·课后作业）下列问题中，两个变量之间是正比例函数关系的是（　　） A．矩形的周长一定，它的长y与宽x B．书的总页数一定，未读的页数与已读的页数 C．某场电影票价固定，该场电影售票收入为y元与售票数量为x张 D．圆的面积y（cm2）与它的半径x（cm）之间的关系 5．（23-24八年级下·河北石家庄·期中）新定义：是一次函数（，a，b为实数）的“关联数”．若“关联数”是的一次函数是正比例函数，则点所在的象限是（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 二、填空题 6．（23-24八年级下·辽宁大连·期中）若点在函数的图象上，则的值为 ． 7．（23-24八年级下·河南洛阳·期中）已知是关于的一次函数，则一次函数解析式是 ． 8．（23-24八年级下·内蒙古鄂尔多斯·期中）在平面直角坐标系中，直线过点，则的值为 ． 9．（2024八年级下·上海·专题练习）已知一次函数的图象经过点，，则的值为 ． 10．（2024九年级下·广东·专题练习）拖拉机开始工作时，油箱中有油升，如果每小时耗油升，那么油箱中的剩余油量（升）和工作时间（时）之间的函数关系式是 ，自变量x必须满足 ． 三、解答题 11．（23-24八年级下·重庆·期中）一个正比例函数的图象经过点． (1)求正比例函数的解析式； (2)当时，求的值． 12．（23-24八年级下·全国·假期作业）已知. (1)当m，n为何值时，是的一次函数？ (2)当m，n为何值时，是的正比例函数？ 13．（20-21八年级下·湖北武汉·阶段练习）已知，且与x成正比例，与成正比例，当时，，当时， (1)求出y与x之间的函数关系式； (2)计算时，y的值． 14．（23-24八年级上·甘肃兰州·期中）写出下列各题中y关于x的函数关系式，并判断y是否为x的一次函数，是否为正比例函数． (1)长方形的面积为3，长方形的长y与宽x之间的关系； (2)刚上市时西瓜每千克元，买西瓜的总价y元与所买西瓜x千克之间的关系； (3)仓库内有粉笔400盒，如果每个星期领出36盒，仓库内余下的粉笔盒数y与星期数x之间的关系； (4)小林的爸爸为小林存了一份教育储蓄，首次存入10000元，以后每个月存入500元，存入总数y元与月数x之间的关系． 15．（2024·陕西渭南·一模）书法是文字美的艺术表现形式，中国书法历史悠久，书体沿革流变，书法艺术异采迷人，是中国汉字特有的一种传统艺术．某校举办以“发扬艺术之光，传承书法风采”为主题的书法比赛活动，校团委计划购买某种标价为120元/套的书法套具，文具店老板给出了如下优惠条件：如果一次性购买不超过10套，单价为120元/套；如果一次性购买超过10套，那么每增加1套，购买的所有书法套具的单价每套降低5元，但单价不得低于60元/套．设校团委一次性购买书法套具x套，购买的实际单价为y元/套． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)当时，求校团委购买这些书法套具的实际付款总额． 16．（22-23八年级下·山东济宁·阶段练习）定义：如果函数的图象经过点，我们就把此函数称作“族函数”．比如：正比例函数的图象经过点，所以正比例函数就是“族函数”． (1)①以下数量关系中，y不是x的函数的是___________（填选项） ②以下是“族函数”的是 ___________（填选项） A．   B． C．    D．     E． F． (2)已知一次函数为常数，． ①若该函数是“族函数”，求k的值． ②无论k取何值，该函数必经过一定点，请写出该定点的坐标． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$