第7章 复数知识点汇总-2023-2024学年高一数学下学期备考期末复习（人教A版2019必修第二册）

《人教A版必修二知识点汇总》 第7章 《 复 数 》知识点汇总 7.1.1 数系的扩充和复数的概念 1.复数的概念 （1）定义 形如的数叫做复数，其中叫做虚数单位，且=-1，全体复数所构成的集合 叫做复数集. 这样，方程在复数集中就有解了. （2）表示方法 复数通常用字母表示，代数形式为，其中与分别叫做复数的实部与虚部. 温馨提示:①=-1；②和实数之间能进行加法、乘法运算； (3)实部，虚部. （3） 实例运用 例1说出下列复数的实部和虚部： ， ， ， ， ， ． 解：的实部为-2，虚部为； 的实部为，虚部为1； 的实部为，虚部为0； 的实部为，虚部为； 的实部为，虚部为； 的实部为，虚部为； 2.复数相等的充要条件 （1）设都是实数，则 即“两个复数相等的充要条件是它们的实部与虚部对应相等.” （2）特别地，即“0的实部与虚部都为” （3）实例运用 例2求满足下列条件的实数，的值： ①； 解：由题意可得 解得 ②． 解：由题意可得 解得 3.复数的分类 （1）实数、虚数与纯虚数的概念与充要条件 对于复数， ①当且仅当 时，它是实数；例如 都是实数. ②当且仅当时， 它是实数 ; ③当时，它叫做虚数 ; 例如 ：都是虚数. ④当且时，它叫做纯虚数. 例如都是纯虚数. （2）复数的分类 由上探究可知，复数可分类如下： （3）实例运用 例3当实数取什么值时，复数是下列数 实数虚数纯虚数． 解：（1）当虚部，即时，复数是实数； （2）当虚部，即时，复数是虚数； （3）当时，即，故当时，复数是纯虚数. 7.1.2 复数的几何意义 1.复平面的概念 如图, 点的横坐标是，纵坐标是，复数可用点 表示． 通过建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面， 轴叫做实轴，y轴叫做虚轴． 例如，复平面内的原点表示实数, 实轴上的点表示实数, 虚轴上的点表示纯虚数, 点 表示复数. 注1：实轴上的点都表示实数； 注2：除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数. 2.复数的几何意义 （1）复数的几何意义一——用点表示复数 由复平面的概念引入可知：每一个复数，有复平面内唯一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有唯一的复数和它对应． 由此可知，复数集中的数与复平面内的点按如下方式建立了一一对应关系: 注：这是复数的第一种几何意义 —— 用点表示复数. （2）复数的几何意义二——用向量表示复数 如图，设复平面内的点表示复数，连接OZ，显然向量由点 唯一确定; 反过来，点也可以由向量唯一确定. 因此，复数集中的数与复平面内以原点为起点的向量建立了如下一一对应关系(实数与零向量对应)，即 注：这是复数的第二种几何意义 —— 用起点为坐标原点的平面向量表示复数. 3.复数的模 如图，当我们用向量表示复数时 规定：向量的模叫做复数的模或绝对值，记作 或. 即. 简称为：“一个复数的模等于它实部与虚部的平方和再开算术平方根.” 注：特别地，当时，那么是一个实数，它的模就等于. 简称为：“实数的模等于这个实数的绝对值.” 4.共轭复数 （1）定义 如图，一般地， 当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数 注：特别地，虚部不等于的两个共轭复数也叫做共轭虚数．例如 与互为共轭复数. （2）表示 复数的共轭复数用表示， 即如果, 那么. （3）性质 共轭复数复数与在复平面内对应的点关于轴（实轴）对称. 5.实例运用 例3设复数，． （1）在复平面内画出复数，对应的点和向量 （2）求复数，的模，并比较它们的模的大小． 解:（1）如图，复数,对应的点分别为，，对应的向量分别为，，且复数,互为共轭复数. （2）∵ 已知 ，． ∴ 故 7.2.1 复数的加、减运算及其几何意义 1.复数加法的运算 （1）复数加法的运算法则 规定：设，是任意两个复数，那么它们的和为 简述为：“两个复数相加，实部与实部相加作为和的实部，虚部与虚部相加作为和的虚部.” 例如 注：由复数的加法法则可以看出 （1）两个复数的和仍然是一个确定的复数； （2）特别地，当都是实数时，把它们看作复数时的和就是这两个实数的和. （2）复数加法的运算律 根据复数加法的运算法则可知：对任意的，都有 （1）交换律：; （2）结合律：. 注：实数集中加法的交换律、结合律在复数集中仍然成立，且实数集中的移项法则（移正为负、移负为 正 ）在复数集中仍然成立. （3）复数加法的几何意义 如图所示，设复数，分别与向量对应，四边形为平行四边形，则 就对应着复平面中的向量. 2.复数的减法运算 （1）复数的减法法则 规定：复数的减法是加法的逆运算，即把满足的复数叫做复数减去复数的差， 记作：. 简述为：“两个复数相减，实部与实部相减作为差的实部，虚部与虚部相减作为差的虚部.” （2）复数减法的几何意义 如图所示，设复数，分别与向量对应，四边形为平行四边形，则 就对应着复平面中的向量. 3.实例运用 例1 计算； 解：原式 例2设复数的共轭复数为，若复数满足，求. 解:设，则的共轭复数, ∴ 又∵已知，即 ∴, 解得 故 例3已知复数，，求 . 解：∵已知复数，， ∴ 例4计算 （1） 解(1)： （2） 解(2)： 7.2.2 复数的乘、除运算 1.复数加法的运算 （1）复数乘法的运算法则 规定：设，是任意两个复数，那么它们的积为 简述为：“两个复数相乘，先用多项式乘多项式展开，再将代入化简.” 例如. 注：由复数的乘法法则可以看出 ①两个复数的积仍然是一个确定的复数； ②特别地，当，都是实数时，把它们看作复数时的积就是这两个实数的积. （2）复数乘法的运算律 根据复数乘法的运算法则可知：对任意的，都有 ①交换律：; ②结合律：； ③分配律：+. 注：复数乘法的运算律与多项式乘法的运算律相同，同时相应的公式——如完全平方公式、平方差公式以及乘方运算法则在复数范围内都适用. 2.复数的除法运算 （1）复数的除法法则 复数的除法法则为： 简述为：“两个复数相除，先把除式转化为分式，再分子分母同时乘以分母的共轭复数，实现分母实数化后化简.” 注：由复数的除法法则可以看出两个复数的商仍然是一个确定的复数； 例如. （2）复数范围内一元二次方程的求根公式 ①当判别式时,; ②当判别式时,; 3.实例运用 例1计算 例2计算： ． 例3计算 例4 计算 ． 例5在复数范围内解方程． 解：∵ ∴ , 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！7 学科网（北京）股份有限公司 $$