4.1.1 n次方根与分数指数幂（学生用书）-【状元桥·优质课堂】2024-2025学年新教材高中数学必修第一册（人教A版2019）

第四章 指数画数与对数函数 第四章 指数函数与对数函数 4.1 指 数 4.1.1”次方根与分数指数幕 [学习目标]1.理解n次方根和根式的概念,培养数学抽象的核心素养,2.能正确运用根式的性质化简求值,培 养数学运算的核心素养(重).3.学会根式与分数指数寡之间的相互转化,培养数学运算的核心素养(难虑). 必备知识基础落实 答案见Pt 要点一n次方根及相关概念 (2)64的立方根是 (3)64的六次方根是 1.的次方根的定义 要点三 分数指数霉的意义 一般地,如果 ,那么x叫做a的n次 方根,其中1.且nN. 1.规定正数的正分数指数寡的意义是a{三 2.a的n次方根的表示 (a>0,m,nN,n>1);规定正数的负 (1)当n是奇数时,a的n次方根用符号表示为 分数指数寡的意义是a“一 (R). (a>0,n,nEN'.n1). 2.0的正分数指数寡等于,0的负分数指数 (2)当”是偶数时,a的n次方根用符号表示为 (0). 3.根式 要点四 有理数指数寡的运算性质 式子。 1.a'-(a>o,r,sEQ). 叫做根式,这里n叫做 ,叫 做 2.(a)-a'(a0,r.sQ). 3.(ab)'-ab(a>0,b>0.rQ). 要点二:根式的性质 辨析 1.0= (nN,且n1).()"三。 判断正误,正确的画“/”,错误的画“×” (nN,且n>1). (1)当nN时,(/-3)"都有意义 _ 2.当n为大于1的奇数时,Va“= ,当 (2)实数a的奇次方根只有一个. 1_1 ) n为大于1的偶数时,V一 _ (3)()”中实数a的取值范围是任意实数 ,0. ) .0. (4)所有的分数指数寡与根式都可以相互 转化. ( 》练习:(1)64的平方根是 ) .75: 数学 必修 第一册 课堂学案 关键能力 )素养提升 答案见Psot 探究一”次方根及相关概念 探究二 根式的化简和求值 规律总结 误区防错 (1)方根个数:正数的偶次方根有两个且互为 根式的化简和求值的注意点 相反数,任意实数的奇次方根只有一个. (1)根式的化简思想是将根式有理化,利用根 (2)符号:根式a的符号由根指数n的奇偶 式的性质和乘法公式(完全平方公式、立方和 性及被开方数a的符号共同确定,①当n为 (差)公式),将所求代数式恰当地变形,达到 偶数,且a0时,为非负实数;②当n为奇 化繁为简的目的. 数时,的符号与a的符号一致 (2)化简时需注意在根式计算中,含有( 为正偶数)的形式中要求a二0,而Va”中a 【例题1】(1)以下说法正确的是 可以是任何实数. A.正数的次方根是正数 (3)为使开偶次方后不出现符号错误,第一步 B.负数的n次方根是负数 先用绝对值表示开方的结果,再去掉绝对值 C.0的n次方根是0(其中n1,且nN) 符号化简,化简时要结合条件或分类讨论 D.a的n次方根是 (2)给出下列结论; 【例题2】(1)化简下列各式 ①若a为实数,则a的偶次方根一定有两个; ①V(-2);②V(2-); ②任何一个实数必有奇次方根 ③(x十1);④v(-6). ③若va-1有意义,则a>1. (2)设-2<r2,求 -2r+1-+4r+4 其中正确结论的序号是 的值 【变式1】(参选)下列结论正确的是 A.已知a0,n为偶数,则一a的”次方根 为- B.如果a>b,则a的平方根一定大于6的平 方根 C.已知v2x十1和 (1一2x)都有意义,则 D.若 -vā对任意a恒成立,则n-4 .76. 第四章 指数函数与对数函数 【变式2】(1)化简下列各式 【例题3】把下列分数指数幕表示为根式的形式 ①V(-6);②(>0);③V(3-3)(<1). 根式表示为分数指数寡的形式(其中a>0). ##}# (1);(2);(3)Va· (2)若代数式v2x-1十2-x有意义,化简 (4)()·va. 4r-4x+1+2(r-2). 【变式3】把下列分数指数寡表示为根式的形式 根式表示为分数指数幕的形式。 (a>0);(2) (3)(a-b)-(>6);(4)(a-b)×. 探究三 根式与分数指数幕互化 规律总结 根式与分数指数寡互化的依据 (1)在解决根式与分数指数幕互化的问题时 关键是熟记根式与分数指数器转化的两个公 式和有理数指数鉴的运算性质 (2)将含有多重根号的根式化为分数指数器 的途径有两条:一是由里向外化为分数指数 寡;二是由外向里化为分数指数幕. 数学 必修 第一册 课堂学案 随堂检测学以致用 答案见Poo 1.(-2)的值是 ( 3.化简V8+43-8-4V3= A.-2 B.士2 4.以下各式中,正确等式的序号是 C.2 D.以上都不正确 ( 2.(参选)下列各式正确的是 ) A.(-3)-(-3) B.V-lal C.22 D.a^-1 I提示 完成P.课时作业(二十) 4.1.2 无理数指数寡及其运算性质 [学习目标]通过对有理数指数寡a”(a>0,且a关l;n,n为整数,且n0)、实数指数寡a(a0,且a1;x R)含义的认识,了解指数的拓展过程,掌握指数寡的运算性质,提升数学抽象与数学运算的核心素养 (重点). 必备知识基础落实 要点一 无理数指数幕与实数指数写 数指数寡的运算性质也适用于实数指数寡 一般地,无理数指数寡a*(a>0,。是无理数)是 要点二 实数指数幕的运算性质 一个确定的实数,这样,我们就将指数寝a 1.aq'-(a0.r,sER). (a>0)中指数:的取值范围从整数逐步拓展 2.(a)'-a(a0.r.sER). 到了实数.实数指数寡是一个确定的实数,整 3.(ab)-a'b(a>0,b>0,rR). 关键能力素养提升 答案见Pnt 探究一 指数寡的化简求值 【例题1】计算下列各式 (1#--8)()#1## 规律总结 指数寡运算的原则与技巧 (2)Vxyxy.xy·(xy)(xy>o). (1)有括号先算括号里的,无括号先进行指数 运算. (2)负指数幕化为正指数寡的倒数 (3)底数是小数,要先化成分数;底数是带分 数,要先化成假分数,然后要尽可能用寡的形 式表示,便于利用指数幕的运算性质 注意:化简的结果不能同时含有根式和分数 指数,也不能既含有分母又含有负指数 .78.或2-10，解得1≤3或-1≤r≤0，故选D项 (3)证明：设1=4x一a,则fx)=二9 16t x2+12+2at+a+16 答案(1)D(2)D (1∈R),当t=0时，f(x)=0:当1≠0时，f(x)= [真题4]解折(1)因为函数f(x)=(m2-m一1)x”-是暴画 16 8 数，所以m-m-1=1,所以m=2或m=一1，所以f(x)= 1+a+16+2a ，f(x)= a+√+16 >0,f(x)m= x2或f八x)=x,对任意的，∈(0，十∞)且x≠，满 足)二f>0,故f(r)是增函数，所以f(x)=,若 8 aVa+i6八) 8 8 <0,所以 a-va2+16 a+a+16 a,b∈R,a+1十b0,即a+1<-b,所以(a+1)<(-b), 由f(x1)·f()=-m2得-m≥f(x)·f（x)m=-4, 即(a+1)'<-,即(a十1)7+B<0,则f(a+1)+fb)= 即-2≤m≤2.①当m-a≤0时，f(m-a)≤0，f1)= (a十1)十B<0.故选B项. (2)令y=x,2=x寸，f(x)<0,即为y<,函数”= ≥0，所以fm-a)-f1)<日：②当m-a>0时，由 2 x,”=x寸的图象如图所示，观察图象，当0<x<1时， <为，所以满足(x)<0的x的取值范围是(0,1). (2)知f(m-a)-f1)≤号(m-a)-a+2-422 2 号m-a-1≤号1-a)=-号(a-)'+日≤，￥ 号不能同时成立.综合可知f0m-@）-fI)<日 第四章 指数函数与对数函数 签系(1)B(2)(0,1) [真题5解析设A(a,f(a),B(b,一f(b)).C(c,0),则三点在 同一条直线上， 4.1指数 1)依题意知c=√a品，则fa)二0-0=（二f6》,化简得 a c-b 4.1.1n次方根与分数指数幂 a=fK,故可以选择x)=VF(r>0), 必备知识·基础落实 (2狼题嘉知c-给则@→-0二，化简得 要点一 a-c c-b 1.x'=a [@=[D,故可以选择(x)=xx>0). 2.(1)a(2)±a b 俗率(1)WE(2)x 3.石根指数被开方数 [真题6]AD解析由题意可得(x)=28.x-C(x)=一x十 要点二 24x-16=一(x-12)+128,故当x=12时，(.x)取得最大 1.0a 值128，巴-24=-16=24-(x+1）<24 2.a lal a 一a [练习]解析64=（士8）=4=（士2）. 2√2…亚=6，当且仅当4时，等号成立，周此，当生产 答案(1)土8(2)4(3)土2 要点三 12万件时，当月能莪得最大总利润128万元：当生产4万件 1.Va" 1 1 时，当月能获得单件平均利润最大为16元.故选AD项. [真题7]C解析因为x∈(0,2]，所以1十x+(a一：)x2>0= 2.0没有意义 a-心>生，国为x∈(0,2]时，不等式a->-1 [辨析]提示(1)×(2)√/(3)×(4)× x 关键能力·素养提升 恒成立，所以只要水解一生的最大值即可，国为一士= [例题1]解析(1)A,B,D项中，没有指明n的奇偶，且D项中a -(3+)=-[(3+3)广-]=-(+)》+ 的正负也没有说明，故A,BD项均不正确.只有C项正确. 故选C项. 子由0<2知≥所以[-(+号)》+] (2)当a=0时，a的任何次方根都是0，当a<0时，a没有偶 次方根，所以①错误：由于n为奇数时，x=a可以为任意实 -子.所以当。一心>-是时，原不等式恒成立.解不等式 数，所以任意实数都有奇次方根，所以②正确：当√一I有 意义时，应有a-1≥0，所以a≥1，所以③错误.故正确结论 a-d>-是，即d-u-3<0,得-号<a<是.故选 的序号为②， C项 系(1)C(2)② [真题8]解析(1)由题意，对任意x∈R,都有f(一x)= [变式1]CD解粉因为a<0,n为偶数，则-a的n次方根有 -一脚骨异异亦脚-一a=-十a 两个，表示为土V一a,所以A项错误：当且仅当a,b为非负 数时才存在平方根，所以B项错误；由√2x十T和V(一2x)丁 因此a=0, (2②)证明：因为>0,0<a<4,-（受一a+2) 有意义可得2x+1≥0，且1-2≥0，所以-2<<号，所 以C项正确：若a-a恒成立，则两个根式是同次根式，所 r-a-（号x-a+2)(r+ 以1一1=3，得n=4,所以D项正确.故选CD项. x2+1 2=-2 2(Lax [例题2]解析(1)①√（一2）=2. 2x+1)+4(x-2x+1]=-2+Dax+4(x-1≤ ②V(2-π广=2-元 0,所以fx)≤号x-a+2. @+1=1x+1=+1≥- -x-1,x<-1. ·304· ④(x-6)=x-6. 当x<0,y<0时， (2)原式=/(x-1)产-√x+2)F=x-1川-x+21, 原式=[xy(-x)t(-y》+]寸(y)t(y 因为-2<x<2, =[-(-x)(-y2(-x)(-y)±]时(xy) 所以当-2<x<1时，原式=-(x一1)一(x+2)=一2x-1, =[-(-x)(-y)]t(xy) 当1≤x<2时，原式=x-1-(x+2)=-3, =-(-x)t(-y)(-x)+(-y)t=-1. 所以原式= |-2x-1,-2<x<1, -3,l≤r<2. [变式1]解扬(1)原式=√3-(3)++(2)1-2×(2)+ [变式2]解扬(1)①(-6)=-6. 2×2=3-3++2-2×2+2+=3-√3+8 8+2=2. ③V/(3a-3)T=13a-31=3a-1=3-3a. 2原我=得)+×后万一（停）广-3=*十 (2)因为代数式√2x一I+√2一x有意义， -3=3*+3+6-3t-3= 3X(W3+2)-3+ 片a位仁所宁长2 [例题2]解析(1)将x+十xt=4两边平方得x十x1十2= 所以v√4r-+1+2G-2)=√2x-1厅+22) 16,故x+x1=14. |2.x-1|+2|x-2|=2.x-1+2(2-x)=3. (2)将x+x=14两边平方得x2+x+2=14, [例题3]解扬(1)ai=a. 故x2+x2=194. [变式2]解扬因为中一生 (x+-y寸)2 (2)a=a. 'x十y(x寸十yt)(.x-y) (3)Waa=(a2·at)t=at. _(x+y)-2(xy)克 (4)(a)2·a=(a+)2·(a) 一y =a·a=a+b=ab. 且x+y=12,xy=9,所以(xy)=(.x十y)2-4xy=108. [变式3)解扬1)原式=d·a子·a十-a寸卡-a. 因为x<y,所以x一y=一63， @我=（倍·g)-c6+, 故原式=12-2X9时=-且 -63 3 =(aib)=aib-i. [例题3]证明令a.x2=by2=cx2=1 （3a-b)+=7a万 1 (4)(a-b)+=(a-b). 所以+1+上=，即ax+bN十c=t. 随堂检测·学以致用 1.C解析9（一2）=2=2.故选C项. 所以ar++=(侵++)=a+ 2.BC解析A项中左边=(-3了=5>0，而右边 by)过+c)过=+b+ y (-3)<0,故A项错误，T=|a|,故B项正确：2 [变式3]证明令3”=4=6=t(t>0),则3=广，2=t六，6 22+=2=2,故C项正确：当a=0时，0无意义，故D项 错误.故选BC项. 六，周为8X2=6:所以产=广，即+六-日 3.解折原式=√2(4+2v3)-√2(4-2√3) 所以=名+片 =②V(W3+1)-√(W3-1)] 随堂检测·学以致用 =2(W5+1)-(3-1)]=22. L,A解枥①应为(d)2=a:②应为ai·a=a+性=a”: 答案2√2 ③应为ai=at1:④应为(-8)子=2：⑤应为2×/(-3乎 4.解扬①=F,正确：@可 1 2×3零-2×3=.故选A项. y产=空，错误：④石=，错说.故正确等式的序号为 2.解粉原式=(5寸-5t)÷5+=5寸÷5寸-5t÷5十=5t 5t=5-55. ①②. 答案5-55 答案①② 3竖罚由根与系数的关系得a十月=-2,9=行，则2·2”= 4.1.2无理数指数幂及其运算性质 21=2=子(2y=2=2. 关键能力·素养提升 [例题1留颈(1)原式=1+（受）×（贸）-001寸+9时 管系子汽 4.解扬(1)原式=(0.1)(+)-1十2×十+(2)°×(3时)= 1+(2）'(号)广-10+271+1-10+27=19. 10-1+8+8×9=89. (2)a+a=(a)3+(a)2=(a+a)(a2-1十au) (2)因为xy>0,所以t,y同正或同负， 当x>0,y>0时， 则a产=+a4+a=十-1= a'ta a十a 原式=(xyriy+)(xy)t(xy) =(.xy)t(xy)+=(xy)+(xy)+=(xy)°=1； 2-1+1 2-1 -1=22-1. ·305·