第3章 函数的概念与性质 章末复习方案（学生用书）-【状元桥·优质课堂】2024-2025学年新教材高中数学必修第一册（人教A版2019）

数学必修第一册课堂学案 章未复习方案 知识网络体系构建 雨数 函数 函数的应用 定义城 图 单 奇 泰 析 最 定 性 象 对称性 知识整合融会贯通 答案见Pn 探究一函数的解析式与图象 【真题2】(1)(2021·浙江改编)已知a∈R,函数 函数的图象是函数的重要表示形式，它具有明 x2-4,x>2, f(x) 若f(f(w6))=3. 显的直观性，通过函数的图象能够掌握函数重 x-3|十ax≤2， 要的性质，如单调性、奇偶性等.反之，掌握好 则a= () A.-2 B.2 函数的性质，有助于正确地画出图象 C.3 D.4 【真题】函数y午的图象大致为 (2)(2022·浙江)已知函数f(x)= -x2+2,x≤1， +-1> 则f(号) 若当x∈[a,b]时，1≤f(x)≤3，则b-a的最 大值是 探究三函数的奇偶性与单调性 函数的单调性与奇偶性都是函数的重要性质， 探究二分段函数 是高考的重点内容之一，主要考查利用定义判 一个分段函数是一个函数而不是几个函数，处 断函数的单调性、奇偶性，利用函数的单调性 理分段函数时，首先要确定自变量的取值属于 与奇偶性之间的关系解决比较大小、求值或求 哪一个区间段，从而选择相应的对应关系.作 最值、解方程（组）等方面的问题.高考题型有 分段函数图象时，应根据定义域的不同区间上 选择题、填空题，也有解答题，既有容易题与中 的解析式分别作出. 等难度题，也有综合性的难题. ·72· 第三章函数的概念与性质 【真题3】(1)已知函数y=2a.x2(a>0),则此函 解决函数新定义问题的常见处理方法有联想 数是 ( 背景，即分析有关信息，联想背景函数及其性 A.偶函数且在（一o,十∞）上单调递减 质，进行类比：捕捉解题信息：紧扣定义，即围 B.偶函数且在（一∞，十∞）上单调递增 绕定义与条件来确定解题方向：巧妙赋值：构 C.奇函数且在（一∞，十∞）上单调递减 造函数等 D.奇函数且在（一o∞，十∞）上单调递增 【真题5】设f(x)是定义在(0，+∞)上的函数，且 (2)若定义在R的奇函数f(x)在（一∞，0）单 f(.x)>0,对任意a>0,b>0,若经过点(a 凋递减，且f(2)=0,则满足xf(x一1)≥0的 f(a),(b,一f(b)的直线与x轴的交点为 x的取值范围是 (c,0),则称c为a,b关于函数f(x)的平均 A.[-1,1]U[3,+o∞) 数，记为M(a,b).例如，当f(.x)=1(x>0) B.[-3,-1]U[0,1] C.[-1,0]U[1,+o∞) 时，可得M,(a,b)=c=a中，即M,(a,b)为 2 D.[-1,0]U[1,3] a,b的算术平均数， 探究四幂函数 (1)当f(x)= (x>0)时，Mr(a,b)为 在学习过程中，对幂函数的考查主要以选择 a,b的几何平均数ab; 题、填空题的形式出现，考查内容为幂函数的 (2)当f(x) (x>0)时，Mr(a,b)为 概念，幂函数的图象与性质及应用.常考查幂 口，6的调和平均数（以上两空各只需写出 指数为1,2,3，一1，这几个特殊值的幂函数， 一个符合要求的函数即可). 一般为容易题 探究六函数的应用 【真题4】(1)已知幂函数f(x)=(m2一m一1)· xm-,对任意的，x2∈(0，十c),且x1≠ 对函数实际应用问题的考查多以社会实际生 ,满足f)二f)>0,若a,b∈R,a+ 活为背景，问题新颖、灵活，主要考查学生的数 学建模能力.一次函数与二次函数的应用问题 1十b0,则f(1十a)十f(b)的值 ( 是命题的热点之一，分段函数在实际问题中应 A.恒大于0 B.恒小于0 用广泛，背景灵活多变 C.等于0 D.无法判断 【真题6】（多选）某企业一个月生产某种商品x (2)若f(x)=x子-x,则满足f(x<0的x 万件时的生产成本为C(x)=x2十4x十16（万 的取值范围是 元)，每件商品售价为28元，假设每月所生产 探究五函数新定义问题 的产品能全部售完.当月所获得的总利润用 定义一个新函数，并给出新函数所满足的条 (x(万元)表示，用心表示当月生产商品 件、具备的性质，或者给出已知函数，再定义一 个新概念，把数学知识与方法迁移到一段阅读 的单件平均利润，则下列说法正确的是 分析材料中，考生需捕捉相关信息，通过归纳、 探索，发现解题方法.主要以选择题、填空题的 A.当生产12万件时，当月能获得的最大总利 形式出现，属于中档难度，偶尔也会难度较大 润为128万元 ·73 数学必修第一册课堂学案 B.当生产12万件时，当月能获得的最大总利 【真题8】设a∈[0,4们.已知函数fx)=异 润为160万元 x∈R C.当生产4万件时，当月能获得的单件平均 (1)若f(x)是奇函数，求a的值： 利润最大为24元 D.当生产4万件时，当月能获得的单件平均 (2)当x>0时，证明：f(x)≤2x-a+2: 利润最大为16元 (3)设x1,x∈R,若实数满足f(x1)· 探究七函数思想的应用 f)=-m,证明：fm-a）-f1)<8 函数思想方法，即先构造辅助函数，将所给问 题转化为构造的辅助函数的性质（如单调性、 奇偶性、最值等)研究后，得出所需结论.利用 函数思想处理问题，需深刻理解、熟练掌握一 次函数、反比例函数、二次函数的具体特征及 一般函数y=f(x)的单调性、奇偶性、最值等， 这是利用函数思想解题的必备基础.同时要善 于观察问题的结构特征，揭示内在联系，挖掘 隐含的特性，从而构造恰当的函数和准确地利 用函数性质，使问题得以解决， 【真题7】已知x∈(0,2]，不等式1十x十(a-2)· x>0恒成立，则实数a的取值范围为( A(-2,) a(-©，J c(3》 D.(-∞，6] 探究八分类讨论思想的应用 1.分类讨论思想是处理问题的一种逻辑方法，是 常见的数学思想方法之一.当所研究的问题含 有参数时，往往对参数进行分类讨论，探求出 各类的结果，最后归纳出结论，达到解决问题 的目的.它实质上是一种化难为易、化繁为简 的解题策略. 2.分类讨论问题时，以下几点要予以足够重视. (1)做到分类讨论不重复、不遗漏. (2)不断总结经验教训，克服分类讨论中的主 观性和盲目性。 (3)注意掌握好基础知识、基本方法，这是解好 分类讨论问题的前提条件 提示完成P第三章综合测评 ·74·关键能力·素养提升 分别为f(x)=k1x(x≥0)，g(x)=k2F(x≥0)， [例题1门解析设每月生产童装的天数为x,每月利润为y元，每 月生产成本为：元： 结合已知得I)=日=6，g1)=名=， 则每月生产西服的天数为30一x,每月生产童装和西服的套 数分别为200.x和50(30一x), 即)=grr>0,g()=E(x≥0. 则y=22×200x+80×50×(30-x)=400x+120000, (2)设授资稳健型产品x万元，则投资风险型产品(20 ￥=40×200.x+150×50×(30-x)=500.x+225000. x)万元， 因为每月的生产成本不超过23万元， 依题意得获得收益为y=∫(x)十g(20一)=音+ 所以225000十500x230000, 所以010，且x为整数 2V20-x(0≤r≤20)， 显然当x=10时，y最大，最大值是124000， 即每月安排生产童装10天，生产西服20天，获得的利润最 令1=√20-x(0≤t2√5)， 大，最大利润为124000元. 则y=20g+克=一8-2+8. 8 [变式1]解析(1)由题意知y-a=kx(0≤x≤12，k<0),即y 所以当一2，即x=16时，y取得最大值，y=3.故当投资 a十k.当x=12时，y=-55,则一55=a+12k,解得k= 稳健型产品16万元，风险型产品4万元时，可使投资获得最 -西，故所求的函数关系式为ya-50<≤12. 12 大收益，最大收益是3万元 12 (2)当a=29,x=3时，y=29-5+29×3=8,中当地球表 随堂检测·学以致用 12 1.C解析由题意设L=G十b(k,b为常数，k≠0)，则有 面大气的温度是29℃时，3km上空的温度是8℃」 150k+b=15, [例题]解析设销售单价涨x元，则由题意得日利润为y= 1100k+b=20 解得k=而'所以L=6计10.所以当G (10+x)·(100-10x)-8(100-10.x)=-10(.x-4)2+360 b=10, (0≤x≤10)，当x=4时，3ym=360. 150时，L=25.故选C项. 此时销售单价为10十4=14（元）. 2.D解扬设该工厂生产x件产品的总利涧为k万元，则k 故为了获得最大利润，此商品的销售单价应为14元， 25x-(2-80x)=105x-f=-(（-19）广+10，由题意 [变式2幻解析设CE-xm,则BE=(1一x)m,每块地砖所需的 得x∈N,所以当x=52或53时，k有最大值.故选D项. 材料费用为W元，则W=r×30+号×1X(1-x)× 3.B解析由题意设第一年的产量为，则第三年的产量为 a(1+44%)=a(1+x),解得x=0.2<22%.故选B项. 20+[1--×1x1-x)]×10=10r-5x+15= 4,D解析设该家庭2018年人均食品支出为4元，则2023年 10(x一)+g,当x=}=0,25时，w有最小值，即 人均食品支出为(1一7.5%)a元，依题意得a一(1一 81 7.5%)a=75,所以a=1000,所以该家庭2023年人均食品支 用最省. 出为(1一7.5%)×1000=925（元），则人均消费支出总额为 故当点E与点C相距0.25m时，每块地砖所需的材料费用 2×925+475=2325(元)，所以n= a0.308=3a.8%. 最省. 10+2t.t∈[0,5]，t∈N. 属于富裕家庭，故选D项， [例题3]解析(1)p= 20,t∈(5,10]，t∈N, 章末复习方案 40-21.1∈(10,16]，t∈N (2)设第t周时每件销售利润为L(t), [真题门A照霸方法-令f)=年，里格K-) 10+21+0.125(1-8)2-12,t∈[0,5]，t∈N, 则L()= 20+0.125(1-8)-12,1∈(5,10]，t∈N, -fx),f(x)为奇函数，排除C,D项，由f(1)>0,排除B 项.故选A项， 40-21+0.125(t-8)2-12,t∈(10,16]，t∈N. 0.125+6,t∈[0,5]，1∈N, 方法=令)=年由>0，-1<0，可排除 即L(t)=0.125(t-8)+8,t∈(5,10]，1∈N. B,C,D项.故选A项. 0.125f-4t+36,t∈(10,16]，t∈N 当t∈[0,5]，1∈N时，L(t)单调递增，L(t)=L(5)= [真题2]解析(1)由题意可得f(f(W6)=f(6-4)-f(2) 9.125:当t∈(5,10]，t∈N时，L(t)=L(6)=L(10)= |2-3|十a=3,故a=2.故选B项. 8.5:当1∈(10,16]，t∈N时，L(t)单调递减，1.(t)= (2)由巴知（合）=-（合）广°+2=子f(子)=子+ L(11)=7.125. 由9.125>8.5>7.125，知L(t)m=9.125 号-1=站，所以f(/合)=器当x≤1时，由1< 从而第5周每件销售利润最大，最大利润为9.125元。 f(x)≤3可得1≤-x2+2≤3，所以一1≤x≤1：当x>1时， [变式3]B解析依题意，当全年用电量在2880度至4800度 之间时，电价分两段，即全年用电量中的2880度按每度电 由1≤fx)≤3可得1≤r+】-1≤3，所以1<r≤2+3 0.4883元计算，超出部分按每度电0.5383元计算，故图象 则1≤f(x)≤3等价于-1≤x≤2+3，所以[a,们二 ①不正确：记用电量为x度，电费为f(x)元/年，则当0≤ [-1,2+3],所以ba的最大值为3十3. x≤2880时，f(x)=0.4883.x,当2880<x≤4800时， f(x)=0.4883×2880+0.5383(.x-2880),当x>4800 图a)B（2器3+5 时，f(x)=0.4883×2880+0.5383×(4800-2880)+ [真题3]解析(1)令y=f(x)=2a.x,则函数y=f(x)=2a.x 0.7883(.x一4800)，故②③均正确.综上所述，正确的是 的定义城为R,且f(一x)=2a(一x)°=-2a.=一f(x),所 ②③.故选B项. 以函数y=f(r)=2ax2是奇函数，又因为a>0,所以函数 [例题4]解析由已知，投入广告费用为3万元时，药品利润为 y=f(.x)=2a.x在（一o∞，十∞）上单调递增.故选D项. 27万元，代入y=中，即3=27，解得a=3,故函数解析式 (2)由题意可知，f(0)=0,f(-x)=-f(x),f(x)在(0， 为y=x,所以当x=5时，y=125. 十∞)单调递减.又f(2)=0,所以f(-2)=0,所以xf(x 答率125 [变式4幻解析(1)设两类产品的收益与投资颜工的函数关系式 D≥0可转化为≥成2.中01 ·303· 或2-10，解得1≤3或-1≤r≤0，故选D项 (3)证明：设1=4x一a,则fx)=二9 16t x2+12+2at+a+16 答案(1)D(2)D (1∈R),当t=0时，f(x)=0:当1≠0时，f(x)= [真题4]解折(1)因为函数f(x)=(m2-m一1)x”-是暴画 16 8 数，所以m-m-1=1,所以m=2或m=一1，所以f(x)= 1+a+16+2a ，f(x)= a+√+16 >0,f(x)m= x2或f八x)=x,对任意的，∈(0，十∞)且x≠，满 足)二f>0,故f(r)是增函数，所以f(x)=,若 8 aVa+i6八) 8 8 <0,所以 a-va2+16 a+a+16 a,b∈R,a+1十b0,即a+1<-b,所以(a+1)<(-b), 由f(x1)·f()=-m2得-m≥f(x)·f（x)m=-4, 即(a+1)'<-,即(a十1)7+B<0,则f(a+1)+fb)= 即-2≤m≤2.①当m-a≤0时，f(m-a)≤0，f1)= (a十1)十B<0.故选B项. (2)令y=x,2=x寸，f(x)<0,即为y<,函数”= ≥0，所以fm-a)-f1)<日：②当m-a>0时，由 2 x,”=x寸的图象如图所示，观察图象，当0<x<1时， <为，所以满足(x)<0的x的取值范围是(0,1). (2)知f(m-a)-f1)≤号(m-a)-a+2-422 2 号m-a-1≤号1-a)=-号(a-)'+日≤，￥ 号不能同时成立.综合可知f0m-@）-fI)<日 第四章 指数函数与对数函数 签系(1)B(2)(0,1) [真题5解析设A(a,f(a),B(b,一f(b)).C(c,0),则三点在 同一条直线上， 4.1指数 1)依题意知c=√a品，则fa)二0-0=（二f6》,化简得 a c-b 4.1.1n次方根与分数指数幂 a=fK,故可以选择x)=VF(r>0), 必备知识·基础落实 (2狼题嘉知c-给则@→-0二，化简得 要点一 a-c c-b 1.x'=a [@=[D,故可以选择(x)=xx>0). 2.(1)a(2)±a b 俗率(1)WE(2)x 3.石根指数被开方数 [真题6]AD解析由题意可得(x)=28.x-C(x)=一x十 要点二 24x-16=一(x-12)+128,故当x=12时，(.x)取得最大 1.0a 值128，巴-24=-16=24-(x+1）<24 2.a lal a 一a [练习]解析64=（士8）=4=（士2）. 2√2…亚=6，当且仅当4时，等号成立，周此，当生产 答案(1)土8(2)4(3)土2 要点三 12万件时，当月能莪得最大总利润128万元：当生产4万件 1.Va" 1 1 时，当月能获得单件平均利润最大为16元.故选AD项. [真题7]C解析因为x∈(0,2]，所以1十x+(a一：)x2>0= 2.0没有意义 a-心>生，国为x∈(0,2]时，不等式a->-1 [辨析]提示(1)×(2)√/(3)×(4)× x 关键能力·素养提升 恒成立，所以只要水解一生的最大值即可，国为一士= [例题1]解析(1)A,B,D项中，没有指明n的奇偶，且D项中a -(3+)=-[(3+3)广-]=-(+)》+ 的正负也没有说明，故A,BD项均不正确.只有C项正确. 故选C项. 子由0<2知≥所以[-(+号)》+] (2)当a=0时，a的任何次方根都是0，当a<0时，a没有偶 次方根，所以①错误：由于n为奇数时，x=a可以为任意实 -子.所以当。一心>-是时，原不等式恒成立.解不等式 数，所以任意实数都有奇次方根，所以②正确：当√一I有 意义时，应有a-1≥0，所以a≥1，所以③错误.故正确结论 a-d>-是，即d-u-3<0,得-号<a<是.故选 的序号为②， C项 系(1)C(2)② [真题8]解析(1)由题意，对任意x∈R,都有f(一x)= [变式1]CD解粉因为a<0,n为偶数，则-a的n次方根有 -一脚骨异异亦脚-一a=-十a 两个，表示为土V一a,所以A项错误：当且仅当a,b为非负 数时才存在平方根，所以B项错误；由√2x十T和V(一2x)丁 因此a=0, (2②)证明：因为>0,0<a<4,-（受一a+2) 有意义可得2x+1≥0，且1-2≥0，所以-2<<号，所 以C项正确：若a-a恒成立，则两个根式是同次根式，所 r-a-（号x-a+2)(r+ 以1一1=3，得n=4,所以D项正确.故选CD项. x2+1 2=-2 2(Lax [例题2]解析(1)①√（一2）=2. 2x+1)+4(x-2x+1]=-2+Dax+4(x-1≤ ②V(2-π广=2-元 0,所以fx)≤号x-a+2. @+1=1x+1=+1≥- -x-1,x<-1. ·304·