3.3 幂函数（学生用书）-【状元桥·优质课堂】2024-2025学年新教材高中数学必修第一册（人教A版2019）

第三章 函数的概念与性质 探究四 函数奇偶性与单调性的综合应用 D.f(2)</(-)<f(-1) (2)已知f(x)是定义在B上的偶函数,且在 解题技巧 区间(-o,0)上单调递增.若f(-3)-0,则 函数的奇偶性与单调性的综合问题解题思路 f(x)o的解集为 (1)解决比较大小,最值问题应充分利用奇函 2 数在关于原点对称的两个区间上具有相同的 单调性,偶函数在关于原点对称的两个区间 上具有相反的单调性 (2)解决不等式问题时一定要充分利用已知 的条件,把已知不等式转化成f(x)f(x) 或f(x) f(x。)的形式,再根据函数的奇偶 【变式4】(1)已知函数f(x)是定义在B上的奇 性与单调性,列出不等式(组),要注意函数定 函数,当x[0,1]时,f(x)单调递减,且满足 义域对参数的影响. ( f(1十x)-/(1-x),则 ) 【例题4】(1)若偶函数/(x)在(-o,-1]上单调 A. f(1)f(2)<f(3) 递增,则 ( B.f(2)f(3)<f(1) ) A./(-)<f(-1)</(2) C. f(3)f(2)f(1) D. f(1)f(3)f(2) B.f(-1)</(-)<f(2) (2)已知y一/(x)在定义域(-1,1)上单调递 减且为奇函数,若f(1一a)+f(1-2a)<0. C./(2)</(-1)</(-3) 则实数a的取值范围是 随堂检测学以致用 答案见Pot 1.函数/(x)-1-x的图象关于 ( 3.已知y一/(x)是定义在R上的奇函数,当x 2 0时,f(x)-r2-2x,则f(x)在R上的解析式 A.y轴对称 为 B.直线y--x对称 4.已知f(x),g(x)均为奇函数,且F(x) C.坐标原点对称 D.直线y-x对称 af(x)十bg(x)十2在(0,+o)上的最大值为 2.已知y=f(x)是奇函数,当x0时,f(x) 5.则F(x)在(一o,0)上的最小值为 2r*-1,则f(-8)的值是 I显示 完成P.课时作业(十七)和P培优训练(四) 3.3 寡函数 [学习目标]1.通过具体实例,结合y-x.y-1 -.y-”,y-y-.”的图象,理解他们的变化规律,了解幕函 数,培养数学抽象的核心素养(重点).2.理解和掌握寡函数在第一象限的分类特征,能运用数形结合的方法处 理寡函数的有关问题,培养逻辑推理和直观想象的核心素养。 .63; 数学 必修 第一册 课堂学案 必备知识 基础落实 答案见Pos 要点一 嚣函数的概念 (2)当。0时,寡函数的图象通过 是 一般地,函数 叫做幕函数,其中 并且在区间[0,十o)上单调递增,特别地,当 a>1时,霉函数的图象 自变量,是常数. ;当0<<1 时,寡函数的图象 要点二 幕函数的图象与性质 . (3)当 时,寡函数在区间(0,十)上 1.五种寡函数的图象与性质 单调递减. 暮函数y-r 3m _- (4)霉指数互为倒数的幕函数在第一象限内的 图象关于直线 对称. #4#不441 图象 (5)在第一象限,作直线x三a(a>1),它同各 寡函数图象相交,按交点从下到上的顺序,幕 (-o0.0)U , B [0.十o) 定义域 指数按从 到的顺序排列. (0.十) 辨析 (-,0)U B B 值域 (0.) 0.十o) (0.十。o) 判断正误,正确的画“/”,错误的画“×” 哉 奇偶性 假 奇 非奇非偶 (1)当寡指数a取1,3,时,幕函数y-.*在 [o十) r(o.+) 定义域上单调递增: 单调时,__ 单调 单词 时,__ ) 单词性 递增 递增 递增 r(-o0.0) x(-00] (2)当寡指数a=-1时,幕函数y=x*在定义 时, 时, 域上单调递减. ) (0) (0.0) (0.0) (0.0) (1,1) (3)当a一0时,幕函数y三r*的图象是一条 定点 (1.1) (1.) (1,1 (1,1) (-1.-1) 直线. ) 2.一般寡函数的图象特征 (4)若幕函数y一x”的图象关于原点对称,则 (1)所有的寡函数在(0,十)上都有定义,并 y-r在定义域内y随x的增大而增大. 且图象都过点 关键能力素养提升 答案见P 探究一 霉函数的概念 数的为 规律总结 (2)若函数y=(n{}-m-1)x*为幕函数, 暴函数y-1*要满足三个特征:①系数为1 则实数n的值为 ②底数是自变量x,指数是常数a;③项数为 1.只有同时满足这三个特征,才是幕函数,这 是判断一个函数是否为暴函数的重要依据和 唯一标准. 【例题1】(1)下列函数:①y=3r^*;②y=r^{+1; .64. 第三章 函数的概念与性质 【变式1】(1)若寡函数y=f(x)的图象过点 【变式2】求下列函数的定义域和值域 (2.),则该函数的解析式为 ($1)y-x;(2)y=-r;(3)y-x. (2)已知函数f(x)=ax*1+b十1是幕函数 则a十b=__. 探究二 寡函数的定义域和值域 规律总结 求寡函数的定义域和值域的方法 寡函数的定义域和值域要根据解析式来确 定,要保证解析式有意义,值域要在定义域范 围内求解,其中,暴函数的定义域由幕指数。 探究三 寡函数的图象及应用 确定。 (1)当幕指数取正整数时,定义域为R 规律总结 (2)当幕指数取零或负整数时,定义域为 一般寡函数的图象可类比具体寡函数的 (-。。.0)(0,+). 图象. (3)当幕指数取分数时,可以化成根式,利用 (1)当a0时,函数图象与坐标轴无交点,类 根式的要求求定义域. 似于y一x的图象 (2)当0a1时,函数图象向x轴弯曲,类 【例题2】求下列函数的定义域和值域 似于y一x^{}的图象. (1)y-x-;(2)y-. (3)当a1时,函数图象向y轴弯曲,类似于 y-r的图象,再结合函数的奇偶性可得一 般寡函数的图象 【例题3】如图所示的曲线是寡函数y一在第 相应于曲线C.C,C,C.的a的值依次为 _~ 。 .65. 数学 必修 第一册 课堂学案 【变式3】点(\v2,2)与点(-2,-)分别在寡函 【例题4】(1)比较下列各组数的大小 ①(-2),(-2.5); 数/(x),g(x)的图象上,问当x分别满足什 -8-#,-() 么条件时,有下列结论成立 ①fx)>g(x);②/x)-g(x);③f(x) g(x). ③4.1,3.8(-1.9){. (2)若(3-2m)} (m+1),求实数n的取 值范围. 探究四 寡函数的性质及应用 规律总结 寡函数性质应用的常见类型 (1)比较两个寡值的大小;关键是构造适当的 函数,若指数相同而底数不同,则考虑寡函 数;若底数不同,指数也不同,则需引入中间 量,利用幕函数的单调性或借助函数的图象 来比较. (2)解不等式,利用寡函数的性质解不等式的 实质是已知两个函数值的大小判断自变量的 大小,常与暴函数的单调性、奇偶性等综合命 【变式4】(1)比较下列各组数的大小(填“”或 题,求解步骤如下:①确定可以利用的幕函 “”). ①3 数;②借助相应的寡函数的单调性,将不等式 3.1: 的大小关系转化为自变量的大小关系;③解 ②(-10){}_20-{}_a{。 不等式求参数范围,注意分类讨论思想的 (2)若(2m十1)>(n*}十m-1),则实数n 应用. 的取值范围是 .66. 第三章 勇数的概念与性质 随堂检测学以致用 答案见P. 1.在函数y= #>3”,=”+2r y=-1, B.寡函数的图象都经过点(0,0),(1,1) C.寡函数的图象不可能出现在第四象限 -c中,暴函数有 ( D.若寡函数y一x”是奇函数,则y三*是增 A.1个 C.3个 B.2个 D.4个 函数 2.霉函数的图象经过点(2,),则它的单调递增 4.y-r在[-1,1]上 ( ) 区间是 A.单调递增且是奇函数 B.[0,十oo) A.(0.十oo) B.单调递增且是偶函数 C.(-.十) D.(-o,0) C.单调递减且是奇函数 3.(参选)下列说法不正确的是 ( _ D.单调递减且是偶函数 A.y一x^{}的图象是一条直线 l提示 完成P.s课时作业(十八) 3.4 函数的应用(一) [学习目标]1.理解函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语言和工具,提升数学抽象的核心 素养,2.在实际情境中,会选择合适的函数类型刻画现实问题的变化规律,培养数学建模、数学运算的核心素养 (难).3.初步体会一次函数、二次函数、函数、分段函数模型的广泛应用,培养数据分析、数学运算的核心 过素养. 必备知识基础落实 答案见P: 要点一 函数模型应用的两个方面 中学数学阶段,我们建立的函数模型一般都是 1.利用已知函数模型解决问题,此类问题常见的 函数的解析式,注意函数的定义域 题型有两种:(1)依据题意转化为由解析式求 3.求解函数模型:根据已知条件求解函数模型 4.给出实际问题的解;将数学模型的解还原为实 函数值或自变量的值; 际问题的解,得出实际问题的解。 (2)函数解析式中含有参数,需根据题中提供 辨析 的数据,利用待定系数法求出参数,确定函数 解析式,再解决其他问题 判断正误,正确的画“/”,错误的画“×” 2.建立恰当的函数模型,并利用所得函数模型解 (1)一个好的函数模型,既能与现有数据高度 符合,又能很好地推演和预测 释有关现象,对某些发展趋势进行预测 ) (2)用来拟合孤立的点的函数图象一定要经过 要点二 建立函数模型解决实际问题的步骤 所有孤立的点 ) 1.设恰当的变量,研究实际问题中量与量之间的 (3)当x每增加一个单位时,y增加或减少的 关系,确定变量之间的关系,并用x,y分别表 量为定值,则y是x的一次函数 ) 示问题中的变量 (4)用函数模型预测的结果和实际结果必须相 等,否则函数模型就没有存在的意义了,( 2.建立函数模型:将变量v表示为x的函数,在 ) .67.2.解析由已知得f(-8)=-f(8)一-(2×8-1)一-127. 经计算知222-+2,所以相应于曲线C,C,C, 嗒案 -127 3.解设x<0,则-x0,所以f(-x)=(-x)-2· (-x)-x*+2x. [变式3]设f(x)=r”,g(x)=r,则 ffi) 又因为y一f(x)是R上的奇函数,所以f(一x)一一/(x). (V2)“"-2.(-2)-- 所以/(x)--f(-x)--r-2x。 1,所以a-2,= 1-2r,x0. 故/()一 -1.所以f(x)-r*,g(x)-r. 1--20. 分别作出它们的图象,如图所示,由图象 (*-2r>0. f(c)一 可知,①当x(-o,0)U(1,十o)时, 1--2.x.x0 f(x)g(x):②当x=1时,f(x)= 4.解由F(x)=af(x)十bg(x)十2在(0,十oo)上的最大值为 g(x);③当xE(0.1)时,f(x)g(x). 5.得F(x)-2-af(x)十bg(x)在(0,+oo)上的最大值为3. [例题4](1)①因为暴函数y=r在(-o0,0)上单调递 又f(x),g(x)均为奇函数,根据奇函数的性质可知F(x) 减,且-2-2.5,所以(-2)-<(-2.5)-. 2-af(x)十bg(x)在(-oo,0)上的最小值为-3,故F(x) af(x)+bg(x)十2在(-oo,0)上的最小值为-3+2--1. ②因为暴函数y-x在(0,十oo)上单调递增,-8-- 答-1 ()*,>#,所以()*}→(),从而# 3.3 霉函数 (){}-(){},即-8-+{-(1)。 必备知识·基础落实 要点一 ③因为4.11-1,0<3.8f<1+-1.(-1.9)+<0 y”a 所以4.1>3.8+>(-1.9). 要点二 或 单调递减 单调递减 1.单调递增 (2)因为暴函数y-x在定义域[0,十)上单调递增,所以 单调递减 3-2n0. (3)<0 (4)y-.: 2.(1)(1.1 (2)原点 下凸 上凸 解得一1<”~,即n的取值范因 有{m1二00 (5)小大 3-2mn+1. [辨析]提(1)(2)×(3)×(4)× 为[-一1.). 关键能力·素养提升 [例题1则(1)由函数的定义及三个限制条件可知,y 3r中的系数为3,不是幕函数;函数一r^+1的项数不 [变式4(1)①因为函数y一x 在(0.+o)上单调递减, 1中的系数是一1,不是画 又3<3.1,所以3>3.1. 为1,不是函数;y-一 ②因为3+1-1,0<20+1-1,(-10)+<0,所以 数;y-是暴函数:y--是暴函数.因此是暴画数的为 (-10)+<20-+3. ④. (2)因为y-x一V:在定义域[0,十)上单调递增,所以 (2)因为函数y-(n一m-1)为暴函数,所以n-m- ### 1-1,解得m-2或n--1. 2m+1>0. 答案(1)④(2)2或一1 解得 n^{+m-1>0. 1 [变式1](1)设/(t)一r,由图象过点(2,),得一 2m+1n*+n-1, 2r 2 (-1n~2. 2,则a--2,即函数的解析式为y-x. (2)依题意,因为函数/(x)一a十b十1是暴函数,所以 (-1. 2 所以a十b-0. 智(1)y-)(2)0 随堂检测·学以致用 为(-o,0)U(0.十c),值域为(0,十). 2.D设f(c)=r”,由2”-,得a=-2,所以f(x)= (2)因为y-二 域为(0,十o). r^*,单调递增区问是(一o,0).故选D项. [变式2]解析(1)函数解析式化为y一,所以所求函数的定 3.ABD解A项中,图象是两条射线(x-0),故A项不正确; 义域为R,值域为[0,十). B项中,当a0时,图象不过点(0,0),故B项不正确;C项正 1,所以所求函数的定义域为 确;D项中,y一x是奇函数,但不是增函数,故D项不正确. (2)函数解析式化为y-一 r 故选ABD项. (cx0,值域为yy:0. 4.A 由暴函数的性质知,当a0时,y=r在[o,十。o) 1,所以所求函数的定义域为(0. (3)函数解析式化为y- 上单调递增,所以y-x在[0,1]上单调递增,设f(x)-*} r[-1,1],则f(-x)=(-x)=-=-f(x),所以 十oo),值域为(0,十oo). [例题3]B 解如图所示,作直线x一2 /(x)一工是奇函数,因为奇函数的图象关于原点对称,所以 分别与4条幕函数曲线C,C。,C.C 当x[-1,0]时,y-x也单调递增,故y-x}在[-1,1]上 相交于A.B.C.D四点.设C,C,C. 单调递增且是奇函数,故选A项. C 所对应的函数分别为y一,y一 3.4 函数的应用(一) r,y=x,y=r,则A,B.C.D的纵 坐标分别为2,2,2,2且大小关 必备知识·基础落实 系为2222. [辨析](1)(2)×(3)(4)× .302·